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Operazioni finanziarie

La presente trattazione si pone come obiettivo di analizzare i due principali criteri di scelta degli investimenti e dei finanziamenti per valutare la convenienza tra due o più operazioni finanziarie. Si tratta di operazioni progettate poiché il loro flusso di cassa non è osservato ma solo previsto. Il primo criterio analizzato... Vedi di più

Esame di Matematica Finanziaria II docente Prof. C. Barracchini

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C’è, però, di più. Dire che il valore attuale in 0 del capitale S k

+ t

disponibile al tempo è , vuol dire che si ritiene di poter

t S (

1 i ) k

k k

investire, da oggi fino al tempo , questa somma al tasso , generando

t i

k

così appunto il montante .

S k

Ciò implica dunque l’ipotesi che, per tutta la durata del progetto ed

indipendentemente dall’ordine di grandezza delle somme in questione, la

realtà offrirà la possibilità di investire i capitali al tasso : ipotesi,

i

evidentemente del tutto irrealistica.

Inoltre il tasso è da intendersi come costo opportunità del denaro per

i 0

il decisore. Vari tentativi sono stati fatti per cercare si rendere

. Ad esempio l’utilizzo di una media

“oggettivo” il calcolo di i 0

ponderata dei tassi che rappresenterebbero i costi del capitale, di

differenti provenienze, investito nel progetto. Tale tasso medio è detto

usualmente WACC (Weighted Average Cost of Capital).

2.3 TIR

La nozione di VAN (o REA) di un’ operazione, soffre – e lo abbiamo

segnalato – del grave difetto di non essere intrinseca all’operazione, e

quindi oggettivamente definita.

Si ottiene invece una caratteristica intrinseca ed oggettiva di

un’operazione se – elementarmente parlando – si cerca di rispondere non

alla domanda “quanto essa consentirà di guadagnare” ma a quella “che

tasso d’interesse si ricava dai capitali investititi?”

n P

∑ k

Considerando la nostra funzione DCF , avremo che :

( )

+ t

1 i k

=

k 0

se esiste un valore di i maggiore di -1 per il quale tale funzione risulta

nulla, e questo valore è unico, allora esso viene detto TASSO

10

INTERNO DI RENDIMENTO (T.I.R.) (in inglese IRR cioè Internal

Rate of Return).

Il TIR è quel tasso che segnala indifferenza al progetto finanziario e

separa gli intervalli di tassi che fanno ritenere l’operazione conveniente,

da intervalli per i quali l’operazione è svantaggiosa.

Come utilizzare il TIR di due operazioni finanziarie? Fondamentalmente

la regola decisionale è la seguente:

- nel caso di INVESTIMENTI è preferibile quello che ha un TIR

maggiore;

- nel caso di FINANZIAMENTI è preferibile quello che ha un TIR

minore.

Esiste anche una versione “assoluta” del criterio, in base al quale

un’operazione d’investimento (o di finanziamento) va eseguita se il suo

TIR è maggiore (o minore) di un tasso di riferimento prefissato, al quale

si ritiene di poter altrimenti investire le proprie disponibilità (o al quale

si ritiene di potersi altrimenti finanziare).

2.4 Critiche al criterio del TIR

Così formulato il criterio appare rispondere in pieno ai requisiti che ci

eravamo proposti di soddisfare: è interamente oggettivo, poiché, in base

ad esso, operatori diversi, nella stessa situazione, giungono di necessità

alle stesse conclusioni (ciò che invece non accadeva con il criterio del

VAN). Né richiede, da parte di chi voglia applicarlo, alcuna capacità

speciale di previsione sull’andamento futuro del mercato e dei tassi: esso

si fonda, infatti, esclusivamente sulle caratteristiche intrinseche dei

progetti da confrontare. 11

Il tutto è talmente semplice, che il criterio stesso, pur se il suo ambito di

applicazione risulta ridotto al solo confronto tra operazioni dotate di

TIR, ha avuto un successo folgorante.

Ad un esame più approfondito, le ragioni di tale successo appaiono

decisamente inconsistenti.

Abbiamo osservato che il VAN di un’operazione calcolato al tasso i

rappresenta il valore attuale, a quel tasso, del maggior guadagno che

l’operazione permette di conseguire, rispetto all’impiego dei medesimi

capitali al tasso ; e notato – criticamente – che il fondamento di questo

i

discorso è che per tutta la durata dell’operazione i capitali siano davvero

investibili a quel tasso: ipotesi, questa, la cui inaccettabilità rende poco

credibile il tutto.

Peraltro, ha senso dichiarare che svolgere un’operazione avente TIR = i

,equivale ad impiegare gli stessi capitali a questo tasso in quanto se i

annulla il DCF, ciò vuol dire che esso rende il montante delle entrate

uguale a quello delle uscite: dunque, se fino alla fine dell’operazione i

capitali si possono investire al tasso , compiere l’operazione o investire

i

al di fuori di essa dà gli stessi risultati.

Come si vede, la logica sottesa alla nozione di TIR è la stessa che da

senso a quella del VAN, e ne condivide dunque il difetto di fondo: che è

quello di ipotizzare l’esistenza di un tasso unico costante per una durata

anche notevole.

Comunque noi ci limiteremo all’aspetto matematico anche perché, in

realtà, non esistono tanti altri indicatori che permettono di valutare in

maniera “scientifica” un progetto finanziario. 12

n P

∑ =

k 0

Risolvere la funzione ed individuare in questo

( )

+ t

1 i k

=

k 0

modo il TIR, significa risolvere un’equazione algebrica si grado elevato.

Occorre, quindi, fare prima alcune considerazioni matematiche:

- affronteremo prima alcuni teoremi per dimostrare l’esistenza

effettiva di una soluzione;

- successivamente studieremo alcuni metodi (i più utilizzati)

iterativi che permettono, in breve tempo, di determinare una

buona approssimazione della soluzione;

- infine applicheremo tali metodi (mediante alcuni esempi) alla

nostra funzione DCF = 0 per trovare il TIR. Capitolo 3

Risoluzione approssimata di equazioni

3.1 Separazione delle radici

I metodi che illustreremo in questo capitolo si possono applicare quando

[ ] in cui è contenuta una ed una sola radice

sia noto un intervallo a; b

dell’equazione da risolvere.

Occorre perciò, prima di passare alla risoluzione vera e propria

dell’equazione, compiere quell’operazione che prende il nome di

separazione delle radici.

= (A)

Sia f ( x ) 0 13

Un’equazione, e siano le radici della (A), che vogliamo

c , c ,...

1 2

determinare; sia cioè: = =

f ( c ) 0

; f ( c ) 0

;...

1 2

Separare le radici dell’equazione (A) significa individuare, per ciascuna

[ ]

radice, , un intervallo, che la contenga e che non contenga

c a ; b

i i i

alcun’altra radice.

Il modo più efficace per separare le radici di un’equazione è quello di

ricorrere ad una opportuna interpretazione grafica. Talvolta può risultare

necessario compiere un breve studio di funzione.

3.2 Teoremi di esistenza e unicità

Al fine, però, di rendere più precise le considerazioni intuitive che

risultano dall’interpretazione grafica di un’equazione, sono utili i

seguenti teoremi.

3.2.1 Teorema di esistenza della radice. [ ]

è continua nell’intervallo chiuso e se risulta

Se a; b

f (x ) < , ossia se la funzione assume, negli estremi

f ( a ) * f (

b ) 0 f (x )

dell’intervallo, valori di segno opposto, allora l’equazione

=

f ( x ) 0

ha almeno una radice interna a tale intervallo.

Esempio 1. Consideriamo l’equazione

− =

x

xe 1 0

Che è nella forma (A) ove si ponga

= −

x

f ( x ) xe 1

Si ha 14

= − = − <

0

( 0 ) 0 * 1 1 0

f e

= − = − >

1

f (

1

) 1 * e 1 e 1 0

Poiché inoltre la funzione è continua in , possiamo concludere che

R

( )

nell’intervallo è contenuta almeno una radice dell’equazione in

0

;

1

esame.

Esempio 2. Consideriamo ora l’equazione

− − =

2

x 2 ln x 0

Che è nella forma (A) ove si ponga

= − −

2

f ( x ) x 2 ln x

>

è definita e continua per . Non possiamo applicare il teorema

f (x ) x 0

[ ] , perché nel primo estremo, come

di esistenza all’intervallo 0

;

1

abbiamo osservato, la funzione non è definita. Per superare questa

difficoltà, cominciamo con l’osservare che nel secondo estremo di tale

intervallo la funzione assume un valore negativo:

= − − = − <

2

f (

1

) 1 2 ln 1 1 0

Cerchiamo perciò di sostituire il primo estremo con un punto in cui

= 2

risulti definita e positiva. Si ha, ad esempio, per :

f (x ) x e

1 1

− − −

= − − = − + = >

2 2 2 2

f ( e ) ( e ) 2 ln e 2 2 0

4 4

e e

 

1

 

Dunque, nell’intervallo si trova almeno una radice della nostra

;

1

2

 

e

equazione.

Notiamo che il teorema di esistenza della radice assicura l’esistenza di

− − =

2

una soluzione dell’equazione anche nell’intervallo

x 2 ln x 0

( )

:

2 ; 2 ( )

2

= − − = − ≅ − <

f ( 2 ) 2 2 ln 2 ln 2 0 . 3466 0

= − − ≅ >

2

f ( 2 ) 2 2 ln 2 1 . 3068 0 15

3.2.2 Primo teorema di unicità della radice [ ]

Sia una funzione definita e continua nell’intervallo chiuso e

a; b

f (x ) <

derivabile nei suoi punti interni. Sia inoltre e sia

f ( a ) * f (

b ) 0

′ ≠ in .

f ( x ) 0 ( a ; b )

Allora esiste un’unica soluzione dell’equazione nell’intervallo

f (x )

aperto .

( a ; b )

Esempio 1. Consideriamo ancora l’equazione

− =

x

xe 1 0

= − = + = +

x x x x

Posto , risulta , e quindi:

f x xe f x e xe x e

( ) 1 ( ) (

1 )

′ > → + > → > −

x

f x x e x

( ) 0 (

1 ) 0 1

′ < → + < → < −

x

f x x e x

( ) 0 (

1 ) 0 1

Nell’intervallo , in cui già sappiamo che deve esistere almeno una

(

0

;

1

)

radice, è sempre positiva. Perciò nell’intervallo esiste

(

0

;

1

)

f x

( )

un’unica soluzione dell’equazione data.

Esempio 2. Consideriamo nuovamente l’equazione

− − =

2

x x

2 ln 0

Come già detto, esiste almeno una radice di tale equazione, sia

( )

 

1

 

nell’intervallo sia nell’intervallo .

2 ; 2

;

1

2

 

e

= − −

2 , si ha:

Ponendo f x x x

( ) 2 ln 16

2

x

1 2 1

′ = − =

f ( x ) 2 x x x

Come si può notare dal grafico che esprime il prodotto dei segni della

′ :

nostra funzione f (x )

2 2

1

− 2

1 2

0 2

2 2

e

- + - +

Fig. 3.2.2.1 Prodotto dei segni

2 2 2

2 1

x

′ > → > → − < < ∧ >

x x

( ) 0 0 0

f x 2 2

x −

2

x

2 1 2 2

′ < → < → < − ∧ < <

f x x x

( ) 0 0 0

x 2 2

 

1 ′

 

Notiamo che nell’intervallo la derivata si annulla,

f x

( )

;

1

2

 

e

1 2

< < . Perciò il primo teorema di unicità non è

essendo 1

2 2

e ( )

applicabile a in tale intervallo. Nell’intervallo , invece,

f x 2 ; 2

( )

′ è sempre positiva, e quindi, essendo soddisfatte tutte le ipotesi, il

f x

( )

primo teorema di unicità ci assicura che in tale intervallo esiste un’unica

soluzione dell’equazione data.

3.2.3 Secondo teorema di unicità della radice [ ]

Sia una funzione definita e continua nell’intervallo chiuso e

a; b

f x

( )

derivabile due volte nei punti interni di tale intervallo. Sia inoltre

< , e sia, in , sempre positiva o sempre

f a f b f x a b

( ) * ( ) 0 ( ) ( ; )

negativa. 17

Allora esiste un’unica soluzione dell’equazione nell’intervallo

f (x )

aperto .

( a ; b )

Esempio

Consideriamo di nuovo l’equazione

− − =

2

x 2 ln x 0  

1

 

Avevamo osservato, che nell’intervallo esiste almeno una

;

1

2

 

e

radice, ma, non potendosi applicare in tale intervallo il primo teorema di

unicità della radice, non era possibile affermare con certezza l’unicità di

tale soluzione. = − −

2

Osserviamo ora che, ponendo , è:

f x x x

( ) 2 ln

1

′ = −

f ( x ) 2 x x

1

′ = +

f ( x ) 2 2

x ′

≠ >

Quindi risulta, per qualunque , . Possiamo quindi

x 0 f ( x ) 0

 

1

 

applicare all’intervallo il secondo teorema di unicità della

;

1

2

 

e

radice, e affermare che in tale intervallo la nostra equazione ammette

una ed una sola soluzione.

3.3 Dimostrazione dell’ esistenza del TIR

La maggior parte delle funzioni DCF,che rappresentano un investimento,

hanno la seguente forma:

= − + + + +

2 n

K

DCF C C v C v C v

( i ) 0 1 2 n

Dove:

- rappresenta l’esborso iniziale e quindi, ovviamente, è una

( C )

0

somma negativa; 18

- rappresentano gli introiti che derivano dall’investimento

K

(

C ; C ; C )

1 2 n

che sono costituiti da somme positive;

1

=

- e è il fattore di attualizzazione.

v +

(

1 i )

Poniamo = = − + + + +

2 n

K

f ( v ) DCF C C v C v C v

( i ) 0 1 2 n

Prendendo l’intervallo , avremo che negli estremi di tale

( 0

;

1

)

intervallo, la assume valori discordi in segno:

f (v ) = − <

f ( 0 ) C 0

0

= − + + + + >

K

f (

1

) C C C C 0

0 1 2 n

Avremo quindi che, per il teorema di esistenza della radice,

nell’intervallo è contenuta almeno una radice della funzione .

( 0

;

1

) f (v )

Inoltre si ha ′ −

= + + + + + >

2 n 1

K

f ( v ) 0 C 2

C v 3

C v nC v 0

1 2 3 n

′ −

= + + + − >

n 2

K

f ( v ) 2

C 6

C v n ( n 1

)

C v 0

2 3 n

Quindi, per i teoremi di unicità della radice prima analizzati, f (v )

.

ammette un'unica soluzione nell’intervallo ( 0

;

1

)

Di conseguenza sapendo che la v esiste ed è unica nell’intervallo

considerato, possiamo ricavarci il TIR che sarà:

1 v

= =

i TIR v

1 0 → ∞

= =

avremo che quindi

Quando i

v 0 i 0

1 1

= = =

Quando avremo che quindi

v i i

1 0

1

Cioè il TIR esiste de è unico. In questi casi, cioè: ( )

<

nel caso di un investimento con un unico costo iniziale e

C 0

0

> ∀k ≥ ;

successivi introiti positivi C 0 1

k 19

e nel caso di un finanziamento con una sola entrata iniziale e successive

′ ′

< > < < <

∀k ≥

uscite (per cui e );

C 0 f ( 0 ) 0

; f (

1

) 0 f ( v ) 0

; f ( v ) 0

1

k

è consolidata tendenza a considerare efficace e significativo il criterio

del TIR: negli altri casi, anche i maggiori estimatori del TIR, ritengono

che esso risulti totalmente inefficiente.

3.4 Metodo di Bisezione

Si voglia risolvere l’equazione − =

x

xe 1 0 è

Sappiamo già, dagli esempi precedenti, che nell’intervallo (

0

;

1

)

contenuta una e una sola radice di tale equazione. Perciò indicando con

la soluzione da determinarsi, sarà:

x < <

0 1

x

Quindi è un intervallo di indeterminazione per , e i valori 0 e

(

0

;

1

) x

1 ne sono approssimazioni, rispettivamente per difetto e per eccesso. Per

=

migliorare tali approssimazioni consideriamo il punto medio, ,

0 . 5

m

.

dell’intervallo (

0

;

1

) = −

x

Si ha, posto :

( ) 1

f x xe = − <

( 0 ) 1 0

f ≅ − <

( 0 . 5

) 0 . 17563 0

f = − >

(

1

) 1 0

f e

= −

x 1

y xe 20

y 0.75

0.5 1

0.625

0 x

Fig. 3.4.1 Metodo di Bisezione ( )

cade nell’intervallo ,

È quindi evidente che la soluzione 0

.

5

;

1

x

assume valori discordi.

poiché negli estremi di questo, la f (x )

( )

Perciò l’intervallo è un nuovo intervallo di indeterminazione per

0

.

5

;

1

della nostra funzione:

la soluzione x < <

0 . 5 x 1

e i valori 0.5 e 1 sono approssimazioni di , evidentemente migliori

x

delle precedenti. Per migliorarle ulteriormente, possiamo considerare

( )

ancora il punto medio dell’intervallo :

0

.

5

;

1

+

0 . 5 1 = 0 . 75

2

Calcolando in tale punto e negli estremi dell’intervallo si ha:

( )

f x ≅ − <

( 0 . 5

) 0 . 17563 0

f ≅ >

( 0 . 75

) 0 . 58775 0

f = − >

(

1

) 1 0

f e

Poiché negli estremi dell’intervallo assume valori di

( 0 . 5

;

0

. 75

) ( )

f x

è contenuta in tale intervallo:

segno opposto, la soluzione x 21

< <

0 . 5 x 0 . 75

Possiamo continuare il procedimento descritto fino a raggiungere una

precisione prefissata: desiderando un risultato esatto fino alla terza cifra

decimale, si avrà, dopo quattordici iterazioni del metodo descritto:

< <

0 x 1

< <

0 . 5 x 1

< <

0 . 5 x 0 . 75

M M M

M M M

M M M

< <

0 . 56689 x 0 . 56738

< <

0 . 56714 x 0 . 56738

Possiamo perciò assumere il valore

0.567

come approssimazione, esatta fino alla terza cifra decimale, della

− =

x .

soluzione dell’equazione xe 1 0

3.5 Metodo delle Secanti o delle corde [ ]

Sia una funzione definita e continua nell’intervallo chiuso ,

a; b

f (x )

e si supponga che negli estremi di tale intervallo la funzione assuma

valori, e , discordi in segno. Infine si supponga che

f (a ) f (b ) ′

nell’intervallo aperto la derivata seconda esista e sia

( a ; b ) f (x )

sempre positiva o sempre negativa.

Com’è noto, in tali ipotesi, l’equazione

=

f ( x ) 0

Ammette una ed una sola soluzione nell’intervallo . allo scopo di

( a ; b ) =

determinarne un’approssimazione, tracciamo il grafico di y f (x )

nell’intervallo che stiamo considerando e congiungiamone i punti

e , con un segmento.

estremi, A

( a ; f ( a )) B (

b

; f (

b )) 22

L’ascissa del punto d’intersezione di tale segmento con l’asse delle

x

1

ascisse può essere considerata come una prima approssimazione della

soluzione della nostra equazione.

x y B

a x3

x2

x1 b

0 x

A

Fig. 3.5.1 Metodo delle Secanti

Per calcolare , scriviamo l’equazione della retta passante per i punti

x

1

A e B : − −

x a y f ( a )

=

− −

b a f (

b ) f ( a )

L’ascissa del punto di intersezione di tale retta con l’asse delle x si

= in questa equazione:

ottiene sostituendo y 0

− − −

x a 0 f ( a ) b a

= → = −

x a f ( a )

− − −

b a f (

b ) f ( a ) f (

b ) f ( a )

E quindi si ha −

b a

= −

x a f ( a )

1 f (

b ) f ( a ) 23

′ >

Supponiamo ora, per fissare le idee, che sia in , e che

f ( x ) 0 ( a ; b )

< >

risulti e .

f ( a ) 0 f (

b ) 0

In tali ipotesi si potrebbe dimostrare (e del resto non è difficile

osservando la figura) che risulta: < <

a x b

1 ( )

E che la radice dell’equazione è contenuta nell’intervallo .

x ; b

x 1

Possiamo pertanto applicare nuovamente il procedimento descritto

( )

all’intervallo , per avere una seconda approssimazione . Si

x ; b x

1 2

ottiene: −

b x

= − 1

x x f ( x )

2 1 1

f (

b ) f ( x )

1

E risulta: ( )

< < < ∈

con

a x x b x x ; b

1 2 2

{ } così

Continuando in questo modo si costruisce una successione x n

definita: =

 

x a

0

 

 

b x (1)

= − n

x x f ( x )

 

+ −

n 1 n n

f (

b ) f ( x )

 

n

Per le considerazioni prima svolte, si avrà:

= < < < <

K

a x x x b

0 1 2

{ }

La successione è limitata e dunque converge a un limite ; si ha

c

x n

quindi: =

lim x c

n

→ +∞

n

Passando al limite in entrambi i membri della (1), si ha:

 

b x →

= − n

lim x lim x f ( x )

 

+ −

n 1 n n

→ +∞ → +∞ f (

b ) f ( x )

 

n n n 24

b c

→ = − → = → =

c c f ( c ) f ( c ) 0 c x

f (

b ) f ( c )

{ } =

Perciò il limite della successione è la soluzione della .

x f ( x ) 0

x

n come un’approssimazione

Possiamo considerare ciascuno dei valori x n

di , affetta da un errore pari a .

x x

x n

Per definizione di limite, tale errore può sempre essere reso minore di

una qualsiasi quantità positiva prefissata, a condizione di prendere n

abbastanza grande.

È importante rilevare che le nostre considerazioni sono state svolte nel

′ > < >

caso in cui è in , e .

f ( x ) 0 ( a ; b ) f ( a ) 0 f (

b ) 0

′ < >

, e

La (1) è valida anche nel caso in cui sia f ( x ) 0 f ( a ) 0

< .

f (

b ) 0

In altri casi, invece, la (1) andrà così modificata:

=

 

x b

0

 

 

a x (2)

= − n

x x f ( x )

 

+ −

n 1 n n

f ( a ) f ( x )

 

n

Si può ricorrere a questa regola mnemonica: il metodo parte dall’estremo

in cui la funzione ha segno opposto a quello della derivata seconda: cioè

′ < =

, si pone e si applica la (1), se invece

se risulta f ( x ) * f ( a ) 0 x a

0

′ > =

si pone e si applica la (2).

f ( x ) * f ( a ) 0 x b

0 { }

In ogni caso si ottiene una successione , convergente alla soluzione

x n

=

della . Se tale successione è crescente, risulta costituita da

f ( x ) 0

approssimazioni per difetto della soluzione ; se invece è decrescente, i

x

valori sono approssimazioni per eccesso di .

x x

n 25

Esempio

Consideriamo nuovamente l’equazione

− − =

2

x 2 ln x 0  

1

 

Come si è detto ammette una radice nell’intervallo e una

;

1

2

 

e

( )

nell’intervallo . Vogliamo determinare un’approssimazione di

2 ; 2

quest’ultima .

Cominciamo ponendo = − −

2

f x x x

( ) 2 ln

Risulta 1

= − − = − ≅ − <

2

f ( 2 ) ( 2 ) 2 ln 2 ln 2 0 . 346574 0

2

= − − = − ≅ >

f ( 2 ) 4 2 ln 2 2 ln 2 1 . 30685 0

Inoltre si ha 1 1

′ ′

= − = +

e

f ( x ) 2 x f ( x ) 2 2

x x

′ >

Si ha per qualunque valore di x appartenente al dominio della

f ( x ) 0 >

funzione . Possiamo perciò costruire una successione di

( x 0

)

approssimazioni della soluzione della funzione, applicando il metodo

delle secanti. ′

′ ′

= <

Poiché risulta , il metodo parte da

( ) * ( ) ( ) * ( 2 ) 0

f x f a f x f

= = e avremo, dalla (1):

x a 2

0  

=

x 2

0

 

 

2 x

= − n

x x f ( x )

 

+ −

n 1 n n

f ( 2 ) f ( x )

 

n

Otteniamo 26

− −

2 2 2 2

= − ≅ − − ≅

x 2 f ( 2 ) 2 ( 0

.

346574

) 1

.

537

+

1 − 1

.

30685 0

.

346574

( 2

) ( 2 )

f f

≅ −

Essendo , si ha poi

f (

1 . 537 ) 0 . 067463

− −

2 x 2 1

.

537

= − ≅ − − ≅

1

x x f ( x ) 1

.

537 ( 0

.

067463

) 1

.

55973

− +

2 1 1

f ( 2

) f ( x ) 1

.

30685 0

.

067463

1

Proseguendo in questo modo, si ha:

− −

2 x 2 1

.

55973

= − ≅ − − ≅

2

x x f ( x ) 1

.

55973 ( 0

.

011755

) 1

.

56365

− +

3 2 2

f ( 2

) f ( x ) 1 .

30685 0

.

011755

2 ≅

x 1

.

56432

4 ≅

x 1 . 56444

5 ≅

x 1 . 56446

6

Come si vede, le prime quattro cifre dopo la virgola si sono

“stabilizzate”. È perciò ragionevole assumere il valore 1.56446 come

approssimazione, esatta fino alla quarta cifra decimale, della soluzione

( )

− − =

2

dell’equazione , nell’intervallo .

x x 2 ; 2

2 ln 0

3.6 Metodo delle tangenti o di Newton

Il metodo delle tangenti, o di Newton, è concettualmente simile al

metodo delle secanti prima trattato. Anche in questo caso si costruisce

una successione di approssimazioni della soluzione dell’equazione

= da risolvere.

f x

( ) 0

Per determinare ciascuna di tali approssimazioni si sostituisce al grafico

=

di una retta, di cui si cerca poi l’intersezione con l’asse delle x;

y f x

( )

ma,mentre nel caso del metodo delle secanti, tale retta era una secante

= , nel metodo di Newton essa è una

della curva di equazione y f x

( )

tangente alla curva. 27

Si debba risolvere l’equazione =

f ( x ) 0

Supponiamo che siano verificate tutte le ipotesi già fatte nell’esporre il

[ ]

metodo delle secanti: sia definita e continua in un intervallo a; b

f (x ) ( )

, e siano discordi e esista e sia in sempre

a; b

f (a ) f (b ) f (x )

positiva o sempre negativa. Sotto tali ipotesi, per il secondo teorema di

( )

unicità della radice, l’equazione ha un'unica soluzione in .

a; b

< >

Per fissare le idee, si supponga che sia e che sia

f ( a ) 0

, f (

b ) 0

( )

′ > in .

a; b

f ( x ) 0 y B (b;f(b))

B1 (x1;f(x1))

B2 (x2;f(x2)) b

a x3 x2 x1

0 x

Fig. 3.6.1 Metodo di Newton =

Dopo aver disegnato la curva di equazione , possiamo

y f (x )

determinare una prima approssimazione della soluzione , tracciando

x

la tangente alla curva nel suo punto e cercandone

( ; ( ))

B b f b

l’intersezione con l’asse delle x. L’ascissa, , di questo punto si può

x

1 =

calcolare scrivendo l’equazione della tangente e ponendo in essa .

0

y

l’equazione di tale tangente è: ′

− = − → − = −

y y m

( x x ) y f (

b

) f (

b

)( x b

)

B B 28

=

Ponendo nell’ultima equazione, si ottiene :

x

y 0 1

f (

b

)

− = − → = −

0 f (

b

) f (

b )( x b

) x b ′

1 1 f (

b )

Risulta, ovviamente: < <

a x b

1

Volendo migliorare questa approssimazione, possiamo ripetere il

anziché al

ragionamento esposto, applicandolo al punto B ( x ; f ( x ))

1 1 1

punto B. si ottiene una nuova approssimazione :

x 2

f ( x )

= − 1

x x ′

2 1 f ( x )

1

E risulta: < <

a x x

2 1 { } così

Continuando in questo modo si costruisce una successione x n

definita: =

 

x b

0

 

 

f ( x ) (3)

= − n

x x

 

+ ′

n 1 n f ( x )

 

n

E si avrà < < < < =

K

a x x x b

2 1 0

{ }

La successione è limitata e dunque converge a un limite ; si ha

c

x n

quindi: =

lim x c

n

→ +∞

n

Passando al limite in entrambi i membri della (3), si ha:

 

b x f c

( )

= − = − → =

n

lim x lim x f ( x ) c c f c

( ) 0

 

+ ′

n 1 n n

→ +∞ → +∞ f (

b ) f ( x ) f c

( )

 

n n n 29

{ } =

Quindi il limite della successione è la soluzione, , della .

x f ( x ) 0

x

n

Possiamo considerare ciascuno dei valori come approssimazione di

x n

, affetta da un errore pari a . Per definizione di limite, tale

x x

x n

errore può sempre essere reso minore di una qualsiasi quantità positiva

prefissata, a condizione di prendere n abbastanza grande.

È importante rilevare che le nostre considerazioni sono state svolte nel

′ > < >

caso in cui è in , e .

f ( x ) 0 ( a ; b ) f ( a ) 0 f (

b ) 0

′ < >

La (3) è valida anche nel caso in cui sia , e

f ( x ) 0 f ( a ) 0

< .

f (

b ) 0 =

In altri casi, il metodo delle tangenti andrà applicato prendendo .

x a

0

In pratica si procede così:

′ ′

< = >

, si pone , se invece è

se risulta f ( x ) * f ( a ) 0 x b f ( x ) * f ( a ) 0

0

=

si prende .In altre parole il metodo parte dall’estremo in cui la

x a

0

funzione ha lo stesso segno della derivata seconda.

{ } , convergente alla soluzione

Si ottiene in ogni caso una successione x n

=

della . Se tale successione è crescente, risulta costituita da

f ( x ) 0

approssimazioni per difetto della soluzione ; se invece è decrescente,

x

sono approssimazioni per eccesso di .

i valori x x

n

Esempio

Applichiamo il metodo di Newton per ritrovare la soluzione

dell’equazione − − =

2

x 2 ln x 0

( )

Nell’intervallo , già calcolata nell’esempio precedente col metodo

2 ; 2

delle secanti.

Posto = − −

2

( ) 2 ln

f x x x 30

Risulta 1 1

′ ′

= − = +

e

f ( x ) 2 x f ( x ) 2 2

x x ( )

′ ∈

> per qualunque valore di e

Essendo x 2 ; 2

f ( x ) 0

1 ′

= − < <

è e quindi assegniamo a il

x

f ( 2 ) ln 2 0 f ( x ) * f ( 2 ) 0 0

2

valore 2.

Calcoliamo :

x

1 f ( x )

= − 0

x x ′

1 0 f ( x )

0

= ≅ =

Poiché è e e , risulta:

x f f

2 ( 2 ) 1 . 30685 ( 2 ) 3 . 5

0 1 . 30685

≅ − → ≅

x x 1 . 62661

2

1 1

3 . 5

Calcoliamo :

x 2 f ( x ) f (

1

.

62661

)

= − ≅ −

1

x x 1

.

62661

′ ′

2 1 f ( x ) f (

1

.

62661

)

1

Sostituendo 0 . 159362

≅ − → ≅

x x

1 . 62661 1 . 56621

2 2

2 . 63844

Proseguendo allo stesso modo, si ha

x 1 . 56446

3 ≅ 1

.

56446

x 4

Come si vede, le prime cinque cifre dopo la virgola si sono

“stabilizzate”. È perciò ragionevole assumere il valore 1.56446 come

approssimazione, esatta fino alla quinta cifra decimale, della soluzione

( )

− − =

2

dell’equazione , nell’intervallo .

x x

2 ln 0 2 ; 2

Confrontando questi risultati con quelli ottenuti con il metodo delle

secanti, si può notare una convergenza più rapida. 31


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

La presente trattazione si pone come obiettivo di analizzare i due principali criteri di scelta degli investimenti e dei finanziamenti per valutare la convenienza tra due o più operazioni finanziarie. Si tratta di operazioni progettate poiché il loro flusso di cassa non è osservato ma solo previsto. Il primo criterio analizzato è il Valore Attuale Netto (VAN) che esprime la somma algebrica delle entrate e delle uscite attualizzate attraverso l’utilizzo di un tasso di attualizzazione di riferimento. Tale criterio si basa sul principio secondo il quale un’iniziativa merita di essere presa in considerazione solo se i benefici che ne possono derivare sono superiori alle risorse utilizzate. Il secondo criterio è il Tasso Interno di Rendimento (TIR o IRR) che, algebricamente, è il tasso per il quale il VAN risulta nullo. Il TIR è quel tasso che segnala indifferenza al progetto finanziario e separa gli intervalli di tassi che fanno ritenere l’operazione conveniente, da intervalli per i quali l’operazione è svantaggiosa. Sono trattati alcuni importanti metodi matematici per la risoluzione approssimata di equazioni e, inoltre, si è analizzata la loro applicazione per il calcolo effettivo del TIR. Infine è descritta una utile applicazione del TIR nella valutazione delle offerte di vendita con pagamenti rateizzati: il TAN o tasso annuo nominale e il TAEG cioè il tasso annuo effettivo globale.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Finanziaria II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Barracchini Carla.

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