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FISICA DELL’ATMOSFERA Capitolo 9

La propagazione del suono in un gas è un processo che dal punto di vista termodinamico

1

può essere considerato adiabatico-reversibile e quindi isentropico per cui è possibile

scrivere l’equazione relativa dS ∂S ∂S

≡ + v =0 (9.3)

i

dt ∂t ∂x

i

dove S(x, y, z, t) è l’entropia (per unità di massa). Per un gas ideale (e sappiamo bene

che l’atmosfera si comporta come tale) −

S = c ln p c ln ρ (9.4)

v p

dove c e c sono rispettivamente i calori specifici a volume e pressione costanti.

v p

L’equazione (9.2) può essere riscritta

∂ρ · ∇ρ ·

+ v + ρ∇ v = 0

∂t

e dividendo per ρ d ln ρ

∂ ln ρ · ∇ −∇ ·

+ v ln ρ = v = (9.2a)

∂t dt

Notare la relazione tra la derivata totale rispetto al tempo, chiamata materiale o la-

grangiana, e la derivata parziale rispetto al tempo, chiamata euleriana:

d ∂ ∂

≡ + v

i

dt ∂t ∂x

i

Dall’equazione (9.3) e (9.4) si ottiene ponendo γ = c /c

p v

d ln ρ 1 d ln p

= (9.3a)

dt γ dt

e inserendo nella (9.2a) 1 d ln p −∇ ·

= v (9.5)

γ dt

Utilizzando le equazioni di continuità e isentropica, abbiamo eliminato la densità. Ora

riprendiamo l’equazione (9.1) Il termine che contiene la densità e la pressione può essere

modificato 2

1 ∂p p ∂ ln p c ∂ ln p

= =

ρ ∂x ρ ∂x γ ∂x

i i i

2

dove c = γRT = γp/ρ è una quantità che dipende dalla temperatura del gas e, quindi,

è una funzione che si suppone nota dello spazio e del tempo. In seguito verrà fuori che

2

c è la velocità del suono al quadrato; a questo punto non è ancora possibile dimostrare

1 Ciò non è strettamente vero poiché un pò di dissipazione esiste ma questo fenomeno, considerato di

ordine superiore, viene trascurato in questa trattazione

[9:2]

FISICA DELL’ATMOSFERA Capitolo 9

questa affermazione ma sarebbe possibile confermare facilmente che questa quantità ha,

effettivamente, le dimensioni di una velocità al quadrato.

Con quanto appena scritto, le equazioni (9.1) diventano

2

∂v ∂v c ∂ ln p

i i

−v −

= (9.6)

k

∂t ∂x γ ∂x

k i

Anche qui la densità è stata eliminata ed ora abbiamo, con le equazioni (9.5) e (9.6) un

sistema determinato di 4 equazioni in 4 incognite: la pressione p e le tre componenti del

vettore velocità del gas v. Utilizziamo un metodo perturbativo ponendo che la velocità

del gas possa essere scomposta in due parti: v = u + X . Una componente rappre-

i i i

senta la velocità associata al vento e alla turbolenza (u ), l’altra la velocità associata

i

al disturbo introdotto dall’onda acustica che si propaga (X ). Si assume, inoltre, che

i

i moti relativamente lenti associati alla prima componente siano praticamente incom-

primibili per cui per essa vale l’equazione che governa proprio i fluidi non comprimibili:

∇ · u = ∂u /∂x = 0.

i i

In accordo anche la pressione viene scomposta in due parti, p = p + p dove p è la

0 a a

parte associata all’onda acustica mentre p viene considerata costante.

0

Introducendo quest’ultima scomposizione è possibile scrivere:

1 1 p

p 1

1 a

a

ln p = ln p ln p + ln 1 +

1 + =

0 0

γ γ p γ γ p

0 0

p

p '

|p | e introdurre una

Utilizzando il fatto che /p << 1, si può scrivere ln 1 + a

a

a 0 p p

0 0

nuova variabile di pressione normalizzata e dello stesso ordine di grandezza di quelle

acustiche p p

a a

P = = (9.7)

20

γp ρ c

0 0

Avendo assunto che p è costante, si ottiene

0 ∂p dp dP

1 ∂P 1 =

= ;

γ ∂x ∂x γ dt dx

i i i

Considerando una scomposizione anche per la temperatura nella quale, però, la parte

0

1

fluttuante si considera associata solo ai moti turbolenti si ha T = T + T con T

0 0

costante e anche 0

T

2 2 (9.8)

c = c 1 +

0 T 0

20

dove c = γRT = costante.

0

Riprendo l’equazione (9.6) e applico la scomposizione 0

∂ ∂ T ∂P

2

−(u −

(u + X ) = + X ) (u + X ) c 1 +

i i k k i i 0

∂t ∂x T ∂x

k 0 i

1 Le fluttuazioni di temperatura associate all’onda sonora sono trascurabili mentre si tiene conto di una

possibile variazione della temperatura legata ai moti turbolenti

[9:3]

FISICA DELL’ATMOSFERA Capitolo 9

0

∂u ∂X ∂u ∂X ∂u ∂X ∂P T ∂P

i i i i i i 20 20

−u − − − − −

+ = u X X c c

k k k k

∂t ∂t ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x T ∂x

k k k k i 0 i

Coerentemente alle assunzioni prese in precedenza, è possibile cancellare i termini di

secondo ordine (il quarto termine del lato destro) e levare i termini del primo ordine

(primo a sinistra e primo a destra) che si elidono a vicenda. Alla fine si ottiene

0

∂X ∂u ∂P T ∂P

∂X i i

i 20 20

−u − − −

= X c c (9.9)

k k

∂t ∂x ∂x ∂x T ∂x

k k i 0 i

Si riprende l’equazione (9.5) e si fanno le medesime sostituzioni e approssimazioni

dP ∂ ∂X i

− −

= (u + X ) =

i i

dt ∂x ∂x

i i

∂P ∂P ∂X i

+ (u + X ) =

i i

∂t ∂x ∂x

i i

∂P ∂P ∂X i

−u −

= (9.10)

i

∂t ∂x ∂x

i i

Ora si suppone che la dipendenza dal tempo delle fluttuazioni acustiche possa essere

−iωt

descritta solo da un fattore esponenziale e . In particolare le P e X vengono scritte

come −iωt

<{Π(x, }

P (x, y, z, t) = y, z, ω)e

−iωt

<{s(x, }

X(x, y, z, t) = y, z, ω)e

dove Π e s sono due funzioni complesse rispettivamente scalare e vettoriale. Da adesso in

poi, per semplificare i calcoli, andremo avanti solamente con la Π e la s, ricordando però

che, per ottenere quantità fisicamente significative occorrerà tener conto delle formule

appena scritte e riottenere quantità reali.

0

Le funzioni u e T sono anche esse funzioni del tempo ma si assume che tutte le fre-

quenze caratteristiche del loro spettro siano molto piccole rispetto a ω. Con questa

0

ipotesi, u e T sono funzioni lentamente variabili e, limitatamente alle approssimazioni

seguenti, possono essere considerate indipendenti dal tempo; alla fine sarà possibile ri-

introdurre una dipendenza del tempo come parametro interno a queste funzioni. Con

−iω

questa assunzione le derivate rispetto a t si trasformano in un fattore e il termine

−iω

e viene fattorizzato e può essere eliminato. Le (9.9) e (9.10) diventano ora delle

equazioni differenziali in cui la dipendenza temporale è scomparsa

0

T ∂Π ∂s ∂u

∂Π i i

20 20

+ c + u + s (9.11)

iωs = c

i k k

∂x T ∂x ∂x ∂x

i 0 i k k

∂Π ∂s i

iωΠ = u + (9.12)

i ∂x ∂x

i i

Si hanno nuovamente 4 equazioni nelle quattro funzioni incognite legate all’onda sonora

s e Π che, ora, rappresentano solo la parte dipendente dallo spazio. Le altre grandezze

i 0

20

ω, c , T , T , u sono tutte assunte note.

0 k [9:4]

FISICA DELL’ATMOSFERA Capitolo 9

Si applica l’operatore alle (9.11) (notare che si esegue una somma sull’indice i e

∂x i

quindi da tre equazioni se ne ottiene una)

0

2

∂s ∂

∂ Π T ∂Π ∂ ∂s ∂u

i i i

2

2

iω + c

= c + u + s

k k

0

0 2

∂x ∂x ∂x T ∂x ∂x ∂x ∂x

i i 0 i i k k

i

Dividendo per iω e inserendo nella (9.12) si ottiene

0

2

∂ T ∂Π ∂ ∂s ∂u ∂Π

1 ∂ Π i i

2

2 + c

c + u + s + u (9.13)

iωΠ = k k i

0

0 2

iω ∂x ∂x T ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

i 0 i i k k i

i 2

∂ Π ha implicita una sommatoria su due indici uguali; il termine

Si ricorda che il termine 2

∂x

i 2

è un laplaciano indicato anche con il simbolo oppure ∆. E’ possibile eliminare s

i

dalla (9.13) utilizzando nuovamente la (9.11). Tuttavia si vede che è sufficiente prendere

solo il primo termine del lato destro della (9.11) poiché tutti gli altri termini, una volta

inseriti nella (9.13) formerebbero dei termini di ordine superiore nelle variabili legate

0

alla turbolenza T e u . Ponendo

i 20

c ∂Π

'

s

i iω ∂x

i

si ottiene 0 20 20

∂ T ∂Π ∂ c ∂Π c ∂Π ∂u

∂ ∂Π

i

2 20 2 20

−ω − ∇

Π c Π = c + +

u + iωu

k k

∂x T ∂x ∂x ∂x iω ∂x iω ∂x ∂x ∂x

i 0 i i k i k k k

0 20 2

∂Π T ∂Π ic ∂Π ∂u

∂ ∂ Π i

20 2 2 2

∇ −iωu −

c Π + ω Π = c + u + (9.14)

k k

0

∂x ∂x T ∂x ω ∂x ∂x x ∂x ∂x

k i 0 i i i k k k

Poiché vale la ∂u /∂x = 0, è possibile commutare u con la derivata ∂/∂x come negli

k k k k

esempi che seguono: ∂u ∂Π ∂Π

∂ x

u Π = Π + u = u

k k k

∂x ∂x ∂x ∂x

k k k k

2

∂ Π ∂ ∂ ∂ ∂Π

u = u Π= u

k k k

∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

i k k i k i

Applicando tale proprietà si ottiene 0 20

∂ ∂ T ∂Π ic ∂ ∂ ∂Π ∂Π ∂u i

20 2 2 2

∇ −iω −

c Π + ω Π = u Π c + u +

k k

0

∂x ∂x T ∂x ω ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

k i 0 i i k i k k

L’indice del primo termine a destra dell’uguaglianza può essere cambiato in i e il termine

stesso può essere ragruppato [9:5]

FISICA DELL’ATMOSFERA Capitolo 9

0

2 2

ic ∂

∂ ∂ ∂Π ∂Π ∂u ω T ∂Π

i

0

20 2 2 20

∇ −

c Π + ω Π= (u Π) c

u + i

k 2

ω ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x c ∂x T ∂x

i k i k k i 0 i

0

Utilizzando l’identità

∂u ∂ ∂Π

∂Π i 2

− ∇

= u u Π

i i

∂x ∂x ∂x ∂x

k k k k

si ottiene 2

2

∂ ∂ ∂Π ∂ ∂Π ω

ic 0 2

20 2 2

∇ − ∇ − (u Π) +

c Π + ω Π= u + u u Π i

k i i 2

ω ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x c

i k i k k 0

0

∂ T ∂Π

20

−c ∂x T ∂x

i 0 i

e poi 2

20 20 2

∂ ∂

ic ic

∂Π ∂Π ω

20 2 2 2

∇ − ∇ Π +

c Π + ω Π= u + u u Π +

k i i 2

ω ∂x ∂x ∂x ∂x ω ∂x c

i k i k i 0

0

∂ T ∂Π

20

−c ∂x T ∂x

i 0 i

20 2 2

Si può notare dalla (9.14) che il termine c Π + ω Π e quindi anche il termine

2

ω

2

∇ Π + Π

20

c

che appare nell’ultima uguaglianza moltiplicato per u è una funzione lineare delle vari-

i

0

abili di ordine uno: u e T

Per tale ragione questo termine è di secondo ordine e può essere trascurato

0

20 2

ic ∂ ∂Π ∂Π ∂ T ∂Π

2 2 2 20

∇ ' −

c Π + ω Π u + u c

k i

0 ω ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x T ∂x

i k i k i 0 i

E’ facile vedere che vale 2

2

∂Π ∂Π ∂ ∂Π

∂ u + u =2 u

k i i

∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

i k i k i k k

e si giunge finalmente a 0 2

∂ T ∂Π 2 ∂ ∂Π

2 2

∇ − −

Π+ k Π= u (9.15)

i

∂x T ∂x iω ∂x ∂x ∂x

i 0 i i k k

con k = ω/c .

0 [9:6]


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica dell'atmosfera e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Fuà Daniele.

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