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Utilizzando la funzione di costo esponenziale si ha

dπ (q )

2 2 : p − k q = 0

2 2

dq

2

da cui p

(p) ≡ q (p) =

S

2 2 k 2

3.2 Ottimizzazione della leader

La leader, deve tener conto dell’offerta della follower al prezzo che essa deciderà. L’offerta della follower

q (p) .

2 La funzione di domanda di mercato per l’impresa 1 sarà dunque una "domanda residua" risultante

dall’aver sottratto alla funzione di domanda, la funzione d’offerta della follower, entrambe funzioni del

prezzo, che sarà deciso dalla follower.

Funzione di domanda residua

Definizione 1 D

R(p) = Q (p) − S (p)

2

p

= α − βp − k

µ ¶

1

= a − β + p

k

π (p) = pR(p) − c (R(p)) − F

max 1 1

q

1 µ µ ¶ ¶ µ µ ¶ ¶

2

1 1 1

= p · a − β + − F

p − k a − β + p 1

k 2 k

∂π (p)

1 = ...

∂p

ak (2 + bk)

∗ =

p (1 + bk) (3 + bk)

da cui si ricalcolano µ µ ¶ ¶

1 ak (2 + bk)

q (p) = R(p ) = a − β +

1 k (1 + bk) (3 + bk)

p

(p) =

q

2 k

π (p) =

1

π (p) =

2 D

3.2.1 Esercizio

Rifare l’esercizio utilizzando per la sola impresa leader la funzione C (q ) = F +c q con costi variabili

L L L L L

lineari.

3.2.2 Esercizio

Dati: D

• P = 12 − 2Q 2

• C(q ) = F + 3q

L L L

2

• C(q ) = F + 3q

F F L

1. Calcolare la soluzione di leadership sia di quantità che di prezzo (attenzione, invertire la funzione

di domanda). Quando i calcoli si complicano usate semplicemente le soluzioni numeriche.

2. La leader guadagna di più in leadership di prezzo o di quantità?

3. La follower? 7

4 Collusione

T

• RM A = a − 2bq − 2bq

1 2

• CM A = c

1 1

• CM A = c

2 2

π = π + π = {[a − b(q + q )] q − c q } + {[a − b(q + q )] q − c q }

© ª © ª

1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2

2 2

− bq − bq q − c q − bq − bq q − c q

= aq + aq

1 1 2 1 1 2 1 2 2 2

1 2

, poi per q .

Si deriva il profitto totale prima per q

1 2

Notare che ∂π ∂π

∂π T OT 1 2

= +

∂q ∂q ∂q

1 1 1

∂π : a − 2bq − 2bq − c + {−bq } = 0

1 2 1 2

| {z } {z }

|

∂q

1 ∂π /∂q ∂π /∂q

1 1 1 2

ovvero − 2bq − c = bq

: a − 2bq

1 2 1 2

Il termine a sinistra equivale alla massimizzazione del proprio profitto. La quantità che rende∂π /∂q = 0

1 1 CL

è la quantità di Corrnot. In questo caso invece, la quantità che annulla la condizione del I ordine, q

1

implica che la derivata della funzione di profitto propria sia pari a bq > 0. Pertanto tale quantità si

2 CL CR

troverà sul tratto ancora crescente della funzione del profitto π , dunque q < q . Il termine

1 1 1

∂π 2 = {−bq } < 0

2

∂q 1

danneggia i profitti dell’impresa 2. Questo termine in valore

dice di quanto l’incremento della quantità q

1

indica esattamente la quantità che il cartello impone di NON produrre all’impresa 1.

Analogamente per l’impresa 2 ∂π ∂π ∂π

T OT 1 2

= +

∂q ∂q ∂q

2 2 2

∂π 2 : {−bq } + {a − 2bq − bq − c } = 0

1 2 1 2

∂q

2

che equivale a RM A = CM A

T 2

a − 2bq − 2bq = c

1 2 2

da cui a − c

1

q = (3)

− q

1 2

2b

a − c

2

q = (4)

− q

2 1

2b

da cui a − c a − c

1 2

q = !!!

− + q

1 1

2b 2b

Si annulla tutto! Perche’ ? Cosa sta succedendo? Dalla (3) abbiamo

a − c

1

q + q =

1 2 2b

Dalla (4) abbiamo a − c

2

q + q =

1 2 2b

Cosa sono i membri di destra delle due equazioni? Sono la quantita’ d’equilibrio prodotta in condizioni di

o c . Cosa dice la teoria? Le due imprese

monopolio, qualora il costo marginale fosse rispettivamente c

1 2

producono la quantita’ di monopolio nell’impresa con costi marginali inferiori e si spartiscono i profitti

in ”qualche modo arbitrario”, che sara’ esplicitato piu’ avanti.

PROPOSIZIONE. Perche’ la quantita’ totale prodotta da imprese che si uniscono in cartello e’ pari

alla quantita’ prodotta da una impresa monopolistica?

8

Dim. Supponiamo c = c = c. Possiamo riscrivere i profitti come

1 2

+ π = {[a − b(q + q )] q − cq } + {[a − b(q + q )] q − cq }

π 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2

= [a − b(q + q )] (q + q ) − c (q + q )

1 2 1 2 1 2

= [a − bQ] Q − cQ

che e’ la funzione di profitto in monopolio che si risolve

RM A = CM A

a − 2bQ = c

da cui a − c

Q =

mon 2b

Cosa succede se la funzione di costo di entrambe le imprese è

Esercizio 1 2

C(y ) = c y

i i i

4.1 Sulla spartizione delle quantita’ fra imprese appartenenti allo stesso cartello

In sostanza il sistema ci da una sola equazione indipendente, capace di determinare una sola incognita:

la quantita’ totale. Assecondando criteri economici possiamo assumere che tale quantita’ venga prodotta

nell’impianto piu’ conveniente, ovvero ai costi marginali piu’ bassi.

Tuttavia le imprese devono spartirsi il profitto. Abbiamo detto che tale criterio puo’ essere in parte

arbitrario, ma, deve garantire almeno una condizione fondamentale:

• il profitto dell’impresa che partecipa di un accordo cooperativo deve essere almeno uguale al profitto

che essa realizzerebbe utilizzando il criterio non-cooperativo, ovvero l’ottimizzazione singola, ovvero

il profitto di Cournot.

Pertanto rappresentando la situazione come un gioco matriciale dove C sta per ”cooperare” e N C

per ”non cooperare”, si ha: Impresa 2

C NC

CO CO mon

Impresa 1 C π , π 0, π

1 2 2

mon CR CR

NC π , 0 π , π

1 1 2

Devono essere rispettate le seguenti condizioni:

CO CR

1. π > π per ogni impresa i se si vuole che l’accordo si attui;

i i

2. π (N C, C) ≤ π (C, C) per evitare che l’impresa 1 sia tentata di tradire l’accordo di cartello e

1 1

analogamente per l’impresa 2.

3. π (C, N C) ≥ π (N C, N C)per evitare che l’impresa 1 sia tentata di tradire l’accordo di cartello e

1 1

analogamente per l’impresa 2.

Tutto questo si attua distribuendo adeguatamente le quote dei profitti.

Si veda anche Carraro pp. 235-242.

4.2 Collusione nel tempo: giochi ripetuti

... da fare

Gibbons Vedete anche pp. 88-113 ma piuttosto dispersivo. Forse meglio Cabral pp. 163-170 + leggere

pp.171-189. Payoff della strategia "Cooperare per sempre"

Definizione 2 µ ¶

X ∞

1 − δ

2 t

CO CO CO CO CO

π + δπ + δ π + ... = π δ = π 1 − δ

t=0

µ 1 CO

π

= 1 − δ

9

Payoff della strategia "NON Cooperare dal prossimo periodo in poi" = "Cournot dal

Definizione 3

prossimo periodo in poi" µ ¶

X ∞

1 − δ

2 t

CR CR CR CR

δπ + δ π + ... = δ · π δ = δ · π 1 − δ

t=0

µ δ CR

π

= 1 − δ

Payoff della strategia "DEVIARE" = "Monopolio per 1 sola volta nel periodo t e poi

Definizione 4

Cournot per sempre" ∞

X

t t+1 t+2 t t+1 t

Mon CR CR M on CR

δ π + δ π + δ π . = δ π + δ · π δ

t=0

µ ¶

1 − δ

t t+1

M on CR

= δ π + δ · π 1 − δ

µ ¶

1

t t+1

M on CR

π + δ

= δ π

1 − δ

CO MON DEV MON

dove δ ' 1/(1 + r) = tasso di sconto; π = π /(n imprese); π = π .

4.2.1 Convenienza a deviare nel periodo corrente

L’impresa decide di cooperare se e solo se il profitto di deviazione nel periodo corrente (= profitto di

monopolio) e la "punizione" che ne consegue danno un profitto scontato a oggi minore del valore presente

di cooperare all’infinito µ µ

¶ ¶

1 δ

CO MON CR

≥ π +

π π

1 − δ 1 − δ

Ci chiediamo per quale δ ciò sia vero

CO MON CR

π ≥ (1 − δ) π + δπ

CO MON MON CR

π ≥ π − δπ + δπ

MON CR MON CO

δπ − δπ ≥ π − π

MON CO

− π

π

δ ≥ (5)

MON CR

π − π

dove per definizione MON CO MON CR

π − π > π − π

CO MON

Nell’esempio lineare con due imprese π = (1/2) π , ne deriva che la (5) risulti

Esempio. MON MON MON

(1/2) π

π − (1/2) π =

δ ≥ MON CR MON CR

π − π π − π

CO

π

= MON CR

(π − π )

Considerando il tasso d’interesse, converrà deviare se e solo se

M ON CO

− π

1 π

≥ M ON CR

1+ r π − π

ovvero MON CR

− π

π

1+ r ≥ MON C0

π − π

Attenzione, alcuni testi considerano la stessa equazione ma per studiare il vantaggio di "cooperare" e

quindi bisogna in tal caso valutare la diseguaglianza inversa.

• 1. Fare i calcoli utilizzando i risultati ottenuti con le funzioni lineari. Quanto deve

Esercizio.

valere δ oppure r? 10

• Cosa succede se l’impresa coopera per 2 periodi, devia in t = 3, e dunque

Esercizio 2 (esame).

CR

ottiene π da t = 4, .., ∞? Calcolare i valori presenti della strategia e il valore presente della

strategia di cooperazione infinita. Valutare il δ che le rende eguali.

• http://dep.eco.uniroma1.it/~miceli/Corsi-web/Miceli_EOI_Web/Convenienza-

Esempio in tempo finito:

deviazione.htm

Generalizzazione del tasso di scanto (Cabral p.167-168)

Definizione 5 1

δ = h (1 + g)

r

1+ f

dove f = frequenza alla quale le imprese decidono di aggiustare i prezzi, h = probabilità di soprav-

vivenza dell’indistria, g =tasso di crescita della domanda.

4.3 Caso con n imprese

(Carraro pp. 250-1)

Utilizzando le formule derivanti dalle soluzioni con n imprese si ottiene

2

(n + 1)

δ ≥ 2

n + 6n + 1

Verificare, temo che sotto ci sia n.

4.4 Caso con concorrenza di prezzo

Carraro pp. 251-2.

Carraro Paragrafo 12.5, NO. n

5 Generalizzazione a imprese

n

5.1 Cournot con imprese

Si veda Carraro pp. 242 + Conclusioni pp. 246-253

Determinare le quantità, prezzi e profitti ottimi per un numero n di imprese simmetriche.

max π (Q) = (a − b (n − 1) q − bq ) q − kq − F

−i

i i i i i

q

i 2

= aq − b (n − 1) q q − bq − kq − F

−i

i i i i

i

∂π (Q)

i : a − b (n − 1) q − k − 2bq = 0 (6)

−i i

∂q

i a − k (n − 1)

=⇒ q = − q

−i

i 2b 2

Per risolverlo più semplicemente, sapendo che nella eq. (6) abbiamo q = q , scriviamo

−i i

a − b (n + 1) q − k = 0

i

da cui a − k

q =

i (n + 1) b

Nel calcolare p (Q) facciamo un po’ di manipolazioni per evidenziare il rapporto con il costo marginale

n (a − k) a + kn k k

∗ = a − b

p(Q) = a − bnq = + − =

i (n + 1) b n +1 n +1 n +1

(a − k)

= k + n +1 11

: Qual’è il massimo ammontare F consentito a ciascuna impresa per non uscire dal mercato?

i

∗ ∗

= [p(Q) − k] q

π i i

µ ¶

(a − k) a − k

= k + − k − F

i

n +1 (n + 1) b

2

(a − k)

= − F

i

2

b (n + 1)

E’ nel caso di n −→ ∞? 2

(a − k)

lim π (n) = − F = 0 − F

i i

i 2

n−→∞ b (n + 1)

Dunque lim F = 0

i

N−→∞

15

10

5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

n

2

(a−k)

Esempio: .π (n) =

i 2

b(n+1)

In Cournot con n imprese come trovereste il massimo numero N di imprese simmetriche che potrebbero

resistere sul mercato per un F dato. calcolate e/o illustrate il vostro ragionamento e proponete la vostra

soluzione, aiutandovi anche con un grafico.

Riprendiamo µ ¶

(a − k) a − k

π = k + − k (7)

i n +1 (n + 1) b

2

(a − k)

1 − F =0 (8)

= 2

b (n + 1)

ne risulta che, per un dato n, possiamo determinare l’ammontare massimo di costi fissi sostenibili

2

1 (a − k)

F =

max 2

b (n + 1)

Possiamo usare la stessa equazione per determinare, per dato F , il numero massimo di imprese che

i

possono sostenere quella tecnologia. Risolvendo per F

(a − k)

√ − 1

=

N

max bF

Determinare l’equilibrio in collusione per ciascuna impresa i − esima.

π (Q) = (a − bQ) Q − kQ

max tot

Q

(Q)

∂π tot : a − 2bQ − k = 0

∂Q a − k

∗ =

=⇒ Q 2b a − k a + k

mon (Q) = a − b

=⇒ p =

2b 2

µ ¶µ ¶ 2

a + k a − k (a − k)

mon (Q) = − k =

=⇒ π 2 2b 4b

12


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto estrapolato dal corso di lezioni di Economia dell'Organizzazione Industriale, della professoressa Augusta Miceli, tratta dell'Oligopolio con beni omogenei, e nello specifico del Duopolio di Cournot, della Leadership di quantità o equilibrio di Stackleber, della Leadership di prezzo, della Collusione ed infine della Generalizzazione a n imprese.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia dell'organizzazione industriale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Miceli Maria Augusta.

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