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(α + kβ) (α + kβ)

∗ ∗

p = =

, p

1 2

(2β − γ) (2β − γ)

a condizione che sia 2β − γ > 0.

23 13

• Esempio: α = 8, β = , γ = , k = 3,

Invertiamo la prima funzione di reazione 2 2

8 + 3 2

α + kβ 2β 3 3

p = R (p ) : p = − = − + p = −35 + 8p

+ p

1 1 2 2 1 1 1

1 1

γ γ 3 3

23 1

8 + 3 3

p = R (p1) : p = + p = 4.375 + 0.125 p

2 2 2 1 1

23 23

2 2 µ ¶

1 2

1

∗ ∗

p = p = 8 + 3

(α + kβ) = =5

1 2 2 1

2β − γ 3

2 −

3 3

p2 6

4

2

0 0 2 4 6 p1

Da cui ∗

BER−dif f ∗ ∗ ∗ ∗

q (p , p ) = α − βp + γp

1 2 i j

i (α + kβ) (α + kβ)

= α − β + γ

2β − γ 2β − γ

α + kβ

= α − (β − γ) 2β − γ

β

= (α − βk + γk)

2β − γ

= 6.33

∗ ∗ ∗

(p , p ) per simmetria

= q

2 1 2

Queste quantità sono maggiori o minori che in Bertrand con beni omogenei?

In Bertrand avremmo avuto 2

∗ ∗

Bertr∗

q (p = k = p ) = α − βk = 8 − 3 = 6

1 1 2 3

Dunque dif f

BER < q

q 1 1

comprensibile perché il prezzo di Betrand è il costo marginale.

Profitti BERT R−dif f ∗ ∗

π = (p − k) q = (5 − 3) · 6.33 = 12.66

i i

i −dif

Nash−P f BERT RAND

π (p , p ) > π =0

1 2 i

i 5

3 Leadership con beni differenziati

Il meccanismo è identico alla leadership di quantità, ovvero il metodo di soluzione all’indietro funziona

sia per le quantità che per i prezzi.

• Nel caso di leadership di quantità e beni differenziati, l’unica cosa che cambia è avere il coefficiente

c che moltiplica q che tipicamente è minore di b.

−i

• Nel caso di leadership di prezzi e beni differenziati, siccome possono coesistere più beni, non c’è il

problema di avere una "follower" "price taker" e si usa la soluzione all’indietro normale. Anche qui,

l”unico risultato del fatto che la domanda dipenda da più beni è che il coefficiente γ che moltiplica

p è tipicamente minore di β.

−i

3.1 Leadership di quantità

La parte teorica è identica al caso del bene omogeneo pertanto esponiamo direttamente l’esempio con le

funzioni lineari esplicitado il fatto che la dipendenza dalla produzione del bene differenziato (coefficiente

c) sarà inferiore alla diepndenza dalla produzione del bene stesso

max π (q , q ) = (a − bq − cq ) q − F − kq

1 1 2 1 2 1 1 1

q

1

max π (q , q ) = (a − bq − cq ) q − F − kq

2 1 2 2 1 2 2 2

q2

si risolve a ritroso partendo dalla follower

∂π (q , q ) a − k c

2 1 2 ∗

: a − cq − 2bq − k = 0 =⇒ q = − q

1 2 1

2

∂q 2b 2b

2

si sostituisce in µ µ ¶¶

a − k c

max π (q , R (q ) = a − bq − c − F − kq

q

− q

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2b 2b

q

1 1 1 1

a

2 2 2

= aq − F − kq − bq + q − +

c cq ckq

1 1 1 1 1

1 1

2b 2 b 2b

1 1 a 1

2

= a − k − 2bq + q −

c c + ck = 0

1 1

b 2 b 2b

(2b − c) (a − k)

∗ =

q

1 2 2

4b − 2c

1

che per b = c tornerebbe ad essere q = (a − k) .

1 2b (2b − c) (a − k)

a − k c

∗ =

q −

2 2 2

2b 2b 4b − 2c

NB. I passaggi che seguono non sono da sapere, li ho fatti soltanto per poter comparare i profitti nei

diversi casi. Dovete imparare soltanto il metodo µ ¶

(2b − c) (a − k) a − k c (2b − c) (a − k)

= a − b − c

p −

1 2 2 2 2

4b − 2c 2b 2b 4b − 2c

1

= (2ab − ac + 2bk + ck)

4b

1

= (a (2b − c) + k (2b + c))

4b 1

= ( se b = c) = (a + 3k)

4

µ ¶ µ ¶

a − k (2b − c) (a − k)

c (2b − c) (a − k)

= a − b − c

p 2 2 2 2 2

2b 2b 4b − 2c 4b − 2c

da risolvere numericamente. 6

Da cui

L−dif f ∗ ∗

π (q , q ) = (p − k) q

1 2 1 1

1 µ ¶

1 (2b − c) (a − k)

= (a (2b − c) + k (2b + c)) − k 2 2

4b 4b − 2c

2 2

1 1

(a − k) (12 − 3)

2 2

= =

(2b − c) (2 · 2 − 1)

2 2 2 2

8b 2b − c 8 · 2 2 · 2 − 1

2

1 (12 − 3)

2

= (2 · 2 + 1) 2 2

8 · 2 2 · 2 + 1 2

1 1

(a − k)

2 2 L−omog

> ( se b = c) = = = π (q , q )

(2b − b) (a − k) 1 2

1

2 2

8b 2b − b 8b

Applicazioni numeriche:

1. Beni sostituti a = 24, k = 3, b = 2, c = 1 2

1 (24 − 3)

2

L−dif f

π (q , q ) = = 35.43

(2 · 2 − 1)

1 2

1 2 2

8 · 2 2 · 2 − 1

2. Beni complementari a = 24, k = 3, b = 2, c = −1 2

1 (24 − 3)

2

L−dif f

π (q , q ) = = 76. 563

(2 · 2 + 1)

1 2

1 2 2

8 · 2 2 · 2 + 1

3. Beni omogenei a = 24, k = 3, b = 2, c = 2 2

1 (24 − 3)

2

L−omog

π (q , q ) = = 27. 563

(2 · 2 − 2)

1 2

1 2 2

8 · 2 2 · 2 − 2

−dif

F f ∗ ∗

(q , q ) = (p − k) q

π 1 2 2 2

2 µ µ ¶ µ ¶ ¶µ ¶

a − k (2b − c) (a − k) a − k

c (2b − c) (a − k) c (2b − c) (a − k)

= a − b − c − k

− −

2 2 2 2 2 2

2b 2b 4b − 2c 4b − 2c 2b 2b 4b − 2c

µ µ ¶ µ ¶ ¶µ ¶

a − k (2b − c) (a − k) a − k

c (2b − c) (a − k) c (2b − c) (a − k)

= a − b − c − k

− −

2 2 2 2 2 2

2b 2b 4b − 2c 4b − 2c 2b 2b 4b − 2c

µ ¶µ ¶

¡ ¢ ¡ ¢

1 1

a − k a − k

2 2 2 2

= − 2bc − c − 2bc − c

4b 4b

2 2 2 2

4 2b − c 4b 2b − c

µ 2

¡ ¢

1 a − k

1 2 2

− 2bc − c

= 4b

2 2

b 4 2b − c

> ( se c = b) ¶

µ 2

¡ ¢

1 1 a − k 2 2 2

= − 2b − b

4b

2 2

b 4 2b − b

µ ¶ 2

1 1

1 −omog

F

= = π (q , q )

a − k 1 2

2

b 4 4

Anche per la follower, la differenziazione è remunerante.

Applicazioni numeriche

1. Beni sostituti a = 24, k = 3, b = 2, c = 1 ¶

µ ¡ ¢

24 − 3

1 1

−dif

F f 2 2

π (q , q ) = − 2 · 2 · 1 − 1

4 · 2 = 4.125

1 2

2 2 2

2 4 2 · 2 − 1

2. Beni complementari a = 24, k = 3, b = 2, c = −1 ¶

µ ¡ ¢

1 1 24 − 3

L−dif f 2 2

4 · 2 = 6.12

(q , q ) = + 2 · 2 · 1 + 1

π 1 2

2 2 2

2 4 2 · 2 + 1

7

3. Beni omogenei a = 24, k = 3, b = 2, c = 2 ¶

µ ¡ ¢

1 24 − 3

1

L−omog 2 2

π (q , q ) = − 2 · 2 · 2 − 2

4 · 2 = 2.625

1 2

2 2 2

2 4 2 · 2 − 2

Confronti in strategie di leadership di quantità

• Se i beni sono sostituti è meglio essere leader.

• Se i beni sono complementari è meglio essere leader.

• Se i beni fossero quasi omogenei è meglio essere leader.

3.2 Leadership di prezzo

Con i beni differenziati, possono coesistere due prezzi e quindi la folower non sarà una "price taker",

potrà ottimizzare sul proprio prezzo, e il modello sarà quindi identico a quello utilizzato per le quantità.

Ipotizziamo le seguenti funzioni di domanda diretta e di costo:

Dom

• q (p , p ) = (α − βp + γp )

1 2 1 2

1

Dom

• q (p , p ) = (α − βp + γp )

1 2 2 1

2

• C(q ) = F + k q = 0 + kq

i i i i i

max π (p , p ) = p q (p , p ) − kq (p , p ) − F

1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1

p

1 = (p − k) (α − βp + γp ) − F

1 1 2 1

max π (p , p ) = p q (p , p ) − kq (p , p ) − F

2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2

p2 = (p − k) (α − βp + γp )

2 2 1

22

= αp − kα − βp + kβp + γp p − kγp

2 2 1 2 1

Si risolve a ritroso partendo dalla follower a + βk

∂π γ

(p , p )

2 1 2 ∗

: a − 2βp + kβ + γp = 0 =⇒ p = (3)

+ p

2 1 1

2

∂p 2β 2β

2

Da notare che poiché il segno di γ è positivo, la funzione di reazione per i beni complementari ha segno

γ 12

< poiché si suppone che la dipendenza dal prezzo del bene sostituto sia

positivo. Il coefficiente 2β

inferiore. Si sostituisce la funzione di reazione nella funzione di profitto della leader

∗ ∗

max π (p , R (p )) : (p − k) (α − βp + γR (p ))

1 1 1 1 1 1

2 2

p

1 ¶¶

µ µ a + βk γ

− k) α − βp + γ + p

= (p

1 1 1

2β 2β

µ ¶

1 1 1 a

2

= (p − k) α + + p +

kγ − βp γ γ

1 1 1

2 2β 2 β a k

1 1 1 1 1 1 k

2 21 2 21 2

− kα − γ − βp + p + kβp + + − p −

k γ kγp γp γ a γ

= αp 1 1 1 1 1

2 2β 2 2 β 2 β 2 β

∗ 2 1 1 a 1 k

(p , R (p ))

∂π 1 1 1

2 2 2

: α − 2βp + p + kβ + =0

γ kγ + γ − γ

1 1

∂p 2β 2 2 β 2 β

1 ¢

¡

1 2 2

2 2

: = 0

− kγ + kβγ − 4β p + 2γ p

aγ + 2αβ + 2kβ 1 1

2β ´

³

¡ ¢

¢

¡ 2 2 1

2 2 1 23 13 2

+ − +

2 + 3 2

2 2

− γ + βγ

α (2β + γ) + k 2β 3 3 3 3 3

∗ ³ ´

¡ ¢

=

p = = 3.21

1 2 2 2

2

− 2γ

4β 23 13

− 2

4

8


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratto dal corso di lezioni diEconomia dell’Organizzazione Aziendale tenuto dalla professoressa Augusta Miceli, analizza l'Oligopolio con beni differenziati, e nello specifico le Funzioni di domanda, i Modelli a decisione simultanea: Cournot e Bertrand, la Leadership con beni differenziati.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia dell’Organizzazione Aziendale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Miceli Maria Augusta.

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