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Lezione 2

R

Metrica su R

I numeri reali vengono solitamente rappresentati sulla retta

R

orientata: ad ogni x corrisponde il segmento orientato avente per

R

estremi 0 ed x. Il valore assoluto di x è

x se x 0

|x| = −x se x 0

<

e rappresenta la distanza di x dall’origine cioè la lunghezza del

R

segmento 0x. La distanza tra due numeri x, y è

|x −

(x, =

d y) y|

Proprietà (del valore assoluto)

|x| −r

r se e solo se x r ,

< < <

|x ≤ |x| |y|.

+ +

disuguaglianza triangolare: y| dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 2 2 / 12

Lezione 2

Q

Densità di R

L’intorno circolare di centro x e raggio r 0 è l’insieme dei punti la

>

cui distanza da x è inferiore a r ; cioè

R

{y ∈ |x − }

) = :

I(x, r y| r

<

R

{y ∈ − }

= : +

x r y x r

< <

= (x + )

r x r

,

Sebbene i numeri razionali siano assai meno dei numeri reali,

possiamo approssimare qualsiasi numero (lunghezza) reale con un

numero (lunghezza) razionale.

Q)

Teorema (Densità di

L’insieme dei razionali è denso nei reali cioè

R, Q

∀x ∈ ∀ε ∃q ∈ |x −

:

0, q|

> < ε. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 2 3 / 12

Lezione 2

Struttura degli insiemi numerici R

Il confronto tra numeri (cioè la proprietà che risulta essere

totalmente ordinato) permette di definire i seguenti concetti

fondamentali:

limitatezza di un insieme,

massimo e minimo di un insieme,

estremo superiore ed inferiore di un insieme. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 2 4 / 12

Lezione 2

Limitatezza

Definizione

R

Sia A un insieme. R

∃m ∈

A è inferiormente limitato se tale che

≤ ∀x ∈

m x, A;

m si dice minorante di A. R

∃M ∈

A è superiormente limitato se tale che

≤ ∀x ∈

x M, A;

M si dice maggiorante di A.

A è limitato se inferiormente e superiormente limitato. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 2 5 / 12

Lezione 2

Limitatezza

Se l’insieme A non è inferiormente limitato, si dirà inferiormente

illimitato. Poiché essere inferiormente limitato significa

R

∃m ∈ ∀x ∈ ≤

: A si ha m x

essere inferiormente illimitato si scriverà

R

∀m ∈ ∃x ∈ :

A m x

>

Domanda: come si descriverà la proprietà di essere superiormente

illimitato? dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 2 6 / 12


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Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Definizione delle metriche sull'insieme dei numeri reali [math]\mathbb{R}[/math] e di valore assoluto: proprietà. Densità dell'insieme dei numeri razionali [math]\mathbb{Q}[/math] nell'insieme dei numeri reali [math]\mathbb{R}[/math] (Lemma di Archimede). Proprietà degli insiemi numerici: limitatezza, minoranti e maggioranti, massimi e minimi, estremi superiori ed inferiori. Costruzione degli intervalli di numeri reali.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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