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Lezione 1

I numeri naturali

Le operazioni di addizione e di moltiplicazione tra numeri naturali non

verificano le seguenti due proprietà:

esistenza dell’opposto di un numero cioè:

N ∄y N

∀x ∈ 6 = ∈ + =

con x 0, tale che x y 0

esistenza dell’inverso di un numero cioè:

N ∄y N

∀x ∈ 6 = ∈ · =

con x 1, tale che x y 1

N

In altre parole, in non si possono risolvere le equazioni:

+ = =

x 5 3 e 2x 7

N

∈ · =

Attenzione! Per ogni x si ha x 0 0 infatti

· = · (0 + = · + ·

x 0 x 0) x 0 x 0. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 1 4 / 11

Lezione 1

I numeri interi N

Per risolvere la prima equazione si allarga l’insieme all’insieme dei

numeri interi Z = {. −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,

. . , . . .}

che si definiscono a partire dai numeri naturali aggiungendo gli

opposti di ogni numero naturale (eccetto 0).

Le operazioni di addizione e moltiplicazione verificano le stesse

proprietà di prima con l’aggiunta

Z, Z

∀x ∈ ∃y ∈ + =

tale che x y 0

−x

Il numero y si indica e si chiama opposto di x. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 1 5 / 11

Lezione 1

I numeri interi

Purtroppo la moltiplicazione tra numeri interi continua a non verificare

la proprietà dell’esistenza dell’inverso cioè:

Z ∄y Z

∀x ∈ 6 = 6 = ±1, ∈ · =

con x 0 e x tale che x y 1

Z + =

In non si può ancora risolvere l’equazione 2x 7 0 mentre

+ = ⇔ = −2.

x 5 3 x

Osservazione

”meno per meno fa più” perché, grazie alla proprietà distributiva,

= (−1) · [1 + (−1)] = (−1) · + (−1) · (−1) = −1 + (−1) · (−1).

0 1 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 1 6 / 11

Lezione 1

I numeri razionali Z

Per risolvere la seconda equazione si allarga l’insieme all’insieme

dei numeri razionali

p

Q Z, N

= = : ∈ ∈ \ {0}

x p q .

q

I numeri razionali si definiscono a partire dai numeri interi prendendo

tutti i possibili rapporti con denominatore non nullo.

Le operazioni di addizione e moltiplicazione verificano le proprietà dei

numeri naturali ed inoltre

ogni razionale ammette opposto,

ogni razionale non nullo ammette inverso.

Con i numeri razionali possiamo misurare le lunghezze degli oggetti

fissando un’unità di misura . . . . . . ma purtroppo non tutte le lunghezze

si possono esprimere attraverso numeri razionali! dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 1 7 / 11


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Introduzione alle proprietà di base dei numeri: numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali. Operazioni con i numeri e loro proprietà principali. Incommensurabilità: dimostrazione della non razionalità di radice di 2 [math]\sqrt{2}[/math]. Estensione degli insiemi numerici: costruzione dell'insieme dei numeri reali [math]\mathbb{R}[/math] come estensione dell'insieme dei numeri razionali.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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