Nuclei - Stabilità e decadimento radioattivo

Figura 11.3 9

Per una sfera omogenea di raggio R, vedi appendice 3, si ha un minimo di

diffrazione per ⋅

q R ≈ 4.5

h

In fig 11.2 Abbiamo visto che il minimo della sezione d’urto, e quindi del

≈ -1

|q|/˜ 1.8 fm . Da questo concludiamo che il

fattore di forma, si ha per h

≈ ≈

nucleo di carbonio ha un raggio R 4.5 2.5 fm

q

Possiamo ottenere informazioni sul raggio nucleare anche studiando il

→ 0. Se la lunghezza d’onda e’

comportamento dei fattori di forma per q

2

molto piu’ grande del raggio R del nucleo, avremo che:

⋅

h q R

R << <<

D

essendo = , per 1 avremo 1

h h

q q

puo’ essere allora sviluppato in serie di potenze di

2

F(q ) q:

r n

θ

⎛ ⎞

∞

( ) r

r r

iq x cos

( ) 1

∑

∫ θ

= =

2 3

⎜ ⎟

F q f x d x con angolo tra x e q

h

⎝ ⎠

n !

= 0

n ⎡ ⎤

2

⎛ ⎞

π

∞ + 1 qr

( )

1 2

∫ ∫ ∫ θ φ θ

= − + =

⎢ ⎥

2 2

⎜ ⎟

f r 1 cos ... d d cos r dr

⎝ ⎠

− h

⎢ ⎥

2

0 1 0 ⎣ ⎦

2

∞ ∞

1 q

( ) ( )

∫ ∫

π π

= − +

2 4

4 f r r dr 4 f r r dr ...

2

h

6

0 0

⟨r ⟩,

2

Se definiamo Raggio quadratico medio della distribuzione di carica, come:

∞ ( )

∫

π

=

2 2 2

r 4 r f r r dr

0

Avremo quini: 2 2

q r

( ) 1

= + +

2

F q 1 ...

2

h

6 10

⟨r ⟩ si misura a piccoli valori di

2 2

q ( )

2

dF q

= −

2 2

h

r 6 2

dq =

2 0

q

11.2.3 Distribuzione di carica dei nuclei e raggi nucleari

A partire dalla meta’ degli anni 50 studi sistematici, fondati su numerose misure

dei fattori di forma effettuate con diversi acceleratori, hanno portato alle

seguenti conclusioni:

1) I nuclei non sono sfere con una superficie definita in modo

netto;

2) al loro interno la densita’ di carica e’ costante mentre in

superficie si annulla in modo graduale;

3) la densita’ di carica e’ ben riprodotta, questo e’ mostrato in Fig 11.4 per

alcuni nuclei, dalla distribuzione di Woods-Saxon a due parametri:

( )

ρ

( ) ( ) ( )

0

ρ ρ ρ

= → → =

r dove c 0 / 2

( )

−

r c

+ a

1 e 1

− − → = × =

3

per A grande c 1

. 07 fm A ; a 0

. 54 fm 11

Figura 11.4

Dalla distribuzione della carica elettrica di un nucleo, determinata come visto

dallo scattering con gli elettroni, possiamo farci un’idea di come la materia

nucleare e’ distribuita nel nucleo. Se il protone fosse un oggetto puntiforme,

potremmo identificare la densita’ dei protoni con quella della carica elettrica:

ρ(protone) ρ(carica).

= Poiche’ le forze nucleari che legano i nucleoni insieme

sono indipendenti dalla carica elettrica e a corto raggio d’azione, possiamo

assumere con buona approssimazione che il rapporto tra la densita’ dei

neutroni e quella dei protoni e’ la stessa in tutti i punti in un nucleo e quindi

ρ(neutrone) ρ(protone)

che: / = N/Z.

Quindi la densita’ totale dei nucleoni sara’ :

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

= + = N/Z× + = N/Z + =

T n p p p carica carica

ρ

= [( N + Z ) / Z] × carica

ρ ρ

= A/Z ×

T carica

Essendo la densita’ costante , avremo : (4/3)×π ×R ×ρ =A

3 0

ρ

da cui, per =0.17 nucleoni/fm ,

3

0

R = 1.12×A fm

1/3

In Fig. 11.5 vediamo lo r.m.s. del raggio nucleare per vari nuclei in

funzione di A determinato da esperimenti di diffusione di elettroni. Un

1/3

fit con una retta, forzata a passare per l’ origine, da’ come risultato una

pendenza di R = 1.23 fm.

0

Figura 11.5 12

Se indichiamo con t lo spessore dello strato di superficie per

ρ(r)

cui passa dal 90% al 10% del suo valore massimo, si

≅

trova che t ha lo stesso valore per TUTTI i nuclei pesanti: t 2.40 fm,

vedi Fig. 11.6:

1) per una materia nucleare infinitamente estesa si avrebbe

≅

ρ 0.17× nucleoni/fm

3

T

2) i Lantanidi ( Terre rare ) hanno una forma elissoide;

Li, Be e in particolare He,

3) nuclei leggeri come 6,7 9 4

ρ(r)

sono casi particolari con di tipo gaussiano.

Fig. 11.6 13

Appendice 3: fattore di forma per una distribuzione di

carica uniforme in una sfera di raggio R

0

( )

∫

ρ ρ =

3

r d r 1

Condizione di normalizzazione: 0

⎧ 3 1

( )

ρ ρ

= = ≤

⎪ r per r R

π

0 0

3

⎨ 4 R

0

⎪ ( )

ρ = >

r 0 per r R

⎩ 0

θ

qr cos

( ) π π

2 R i

∫ ∫ ∫

ρ φ θ θ

= =

0

2 2

h

F q d sin d e r dr

0 0 0 0

⎛ ⎞

qr qr

h −

2

R i i

∫

ρ π

= − =

0 2 ⎜ ⎟

h h

2 r e e dr

0 ⎝ ⎠

iqr 2

0

π

4 qr

R

∫

ρ

= 0

h sin rdr

0 h

q 0 qR

qr

= = 0

Ponendo ,

x x

0

h h

π 2 3

( ) h h

4 [ ]

x

∫

ρ ρ π x

= = − =

0

2 h 0

F q x sin xdx 4 sin x x cos x

0 0

2 3 0

q q q

0

⎡ ⎤

3

h qR qR qR

π

ρ − =

= 0 0 0

4 sin cos

⎢ ⎥

0 ⎣ ⎦

3 h h h

q ⎡ ⎤

3

h qR qR qR

3 1 π

= −

0 0 0

4 sin cos

⎢ ⎥

π ⎣ ⎦

3 3 h h h

4 R q

0

N.B.: questo fattore di forma riproduce in modo soddisfacente la diffusione su

nuclei con grande

A 14

Esercizio:Fattore di forma elettrico

r

( )

ρ

r r '

r

p .

−

e r

f q r

θ r r r r

p r

= −

R r r '

i r ' R

3 0

Figura 11.7 d r '

La particella targhetta sia un elettrone e quella bersaglio abbia una struttura di

r

( )

ρ

carica distribuita con densità , vedi figura 11.7.

r '

Avremo: r )

(

ρ r

r r ' ( )

∫

( ) ρ

∫ =

= 3

2 3 r ' d r ' 1

'

V r e Z d r

r r

−

r r '

Avremo: r

( )

rr ρ

⋅

q r r '

i

∫ ∫

ψ ψ = 2 3 3

h

H e Z e d r d r

'

r r

−

int

f i r r '

V R

0 r

r

Calcoliamo il doppio integrale prima su tenendo costante

r r '

r

r r

= +

r R r ' r

r ( )

r rr ρ

⋅ ⋅

q R q r ' r '

i i

∫ ∫

ψ ψ = =

2 3 3

h h

H e Z e e d r d R

'

f int i R

V R

0 r

r ⋅

q R rr

i ⋅

q r ' r

h

e ( )

i

∫ ∫ ρ

= 2 3 3

h

e Z d R e r d r

' '

R

V R

0 15

Fattore di Forma elettrico

r

r θ

⋅

q R qR cos

i i

h h

π π ∞

e e

2

∫ ∫ ∫ ∫

φ θ θ

= =

3 2

d R d d R dR

sin

R R

V 0 0 0 θ

qR cos

i h

∞ e

1

∫ ∫

π θ

= =

2

d R dR

2 cos

− R

1 0 ⎛ ⎞

qR qR

h

∞ −

2 i i

∫

π

= − =

2 ⎜ ⎟

h h

R e e dR

2 2 ⎝ ⎠

iqR

2

0 2

⎛ ⎞

h h

∞ ( )

∫

π π

= =

h ⎜ ⎟

qR dR

4 sin / 4 ⎝ ⎠

q q

0

Riassumendo otteniamo: rr

2 ⋅

⎛ ⎞ '

q r

h r

( )

i

∫

ψ ψ π ρ

= 2 3

h

⎜ ⎟

H 4 e Z e r ' d r '

int

f i ⎝ ⎠

q R

0

dove chiamiamo Fattore di Forma Elettrico la quantità F(q ) definita da

2

rr

⋅

q r '

( ) r

( )

i

∫ ρ

=

2 3

h

F q e r ' d r '

R

0 16

11.3 Masse dei Nuclei

La massa dei nuclei, come anticipato nel capitolo sui metodi di misura, e’

determinata misurando la traiettoria degli ioni in campi elettrici e

≅

magnetici. Oggi si raggiungono precisioni fino a 10 . Per ridurre gli

-6

confronto

errori sistematici, le misure si fanno di solito per con nuclei di

calibrazione che hanno valori di massa molto vicini a quelli dei campioni da

misurare.

L’ unita’ di misura usata in fisica nucleare e’ la Atomic Mass Unit, u,

definita da: 126

u = 1/12 massa dell’ isotopo ( C)

In queste unita’ la massa dell’ atomo di idrogeno e’

M( H ) = 1.007825 u = 938.783 MeV/c

11 2

con fattore di conversione: u = 931.494 MeV/c

2 17

Come gia’ ricordato, le masse dei nuclidi instabili a vita media breve NON

possono essere misurate con uno spettrometro di massa. In questi casi si

possono usare le leggi della conservazione dell’ energia in opportune

reazioni nucleari.

Si definisce la grandezza data da :

Energia di Legame B

1

B( Z,A ) = [ Z M( H ) + ( A - Z ) M – M( A,Z ) ]

n

Dove M( H ) = M + M e si trascura l’ energia di legame dell’

1 p e ≅ 13.6 eV ).

atomo di idrogeno ( B

H

Si definisce di una reazione Nucleare :

Q-Value

Q = ( M – M ) c = T - T

2

iniziale finale finale iniziale

Alcuni esempi: 12 N

1) : Consideriamo il caso dell' Azoto 7

→ +

14 12 3

N H

p + N

Dalla conservazione dell' energia abbiamo:

⋅ + + ⋅ + = ⋅ + + ⋅ +

2 2 2 2

c T c T c T c T

M M M M

14 14 12 12 3 3

p p N N H H

N N

MeV da cui

si trova Q = -22.1355 Q

= + − −

M

M M M

12 14 3

p 2

N H

N c 7

⋅ 3

NOTA BENE: Le energie di legame degli elettroni atomici sono circa uguali a 20.8 Z eV.

≅

Per l' idrogeno si ottiene 13.6 eV. 18

2) Misura della massa del neutrone dalla cattura in quiete di neutroni termici

da parte dell’idrogeno (E ≈ 1/40 ev) a formare un nucleo di deuterio:

cinetica γ

+ → +

1 1 2

n H H

(deutone)

L’ energia del fotone e’direttamente proporzionale all’energia di legame B

del nucleo di deuterio H:

2 ( )

ν 2

h

ν

= + − = + =

2

( ) 2.225 MeV

B M M M c h

n p d 2

2 M c

d

dove l’ultimo termine tiene conto dell’energia di rinculo del deutone e

il decadimento avviene a riposo, vedi figura 11.?

r r

− p p Figure 11.?

γ

deutone

3) Come ultimo esempio si consideri la reazione

+ → +

1 6 3 4

H Li He He

Il bilancio energetico di questa reazione e dato da

'

( )

+ = + = +

2

E E E E dove E Mc T

1 6 3 4

H Li He He

Note le masse, e misurate le energie cinetiche dei tre nuclidi noti e di quello

di cui si vuole misurare la massa, è determinata l’energia di legame B.

Nota Bene: In natura si trova:

1) Nuclei con dispari: hanno 1 o 2 isotopi stabili

Z

dispari ed pari: sono instabili

2) Z A β-stabili

dispari ed dispari: solo uno o due nuclei

3) Z A 19

11.4 L’ Abbondanza dei Nuclidi

L’abbondanza relativa dei vari nuclidi in funzione del numero di massa A e’

mostrata in figura 11.8.

Misurate in diversi campioni nel sistema solare, esse sono identiche e coincidono

con quelle riscontrate nei raggi cosmici provenienti dall’esterno del sistema

solare. I nuclei piu’ leggeri fino al Fe ( il nucleo piu’ stabile ), furono prodotti per

56

fusione nucleare nelle stelle. I nuclei piu’ pesanti furono creati nelle esplosioni di

stelle molto pesanti come le supernovae.

Figura 11.8: abbondanza degli elementi all’interno del sistema

solare in funzione del numero di massa A, normalizzata

all’abbondanza del silicio. 20

11.5 Le Energie di legame dei nuclei

I nuclei ci appaiono quindi come delle gocce di liquido sferiche di densita’

circa costante. Un nucleo e’ pero’ un sistema che ubbidisce alla meccanica

quantistica e vedremo che i suoi stati eccitati sono separati di energie

dell’ordine del keV o piu’ dai suoi stati fondamentali. Questo ci permette di

dire che I nuclei della materia terrestre sono tutti allo stato fondamentale.

Come ogni sistema, un nucleo nel suo stato fondamentale sara’ quindi

caratterizzato da una energia ben definita, un momento angolare ben

definito, etc.

Poiche’ un nucleo e’ un sistema legato, e’ necessaria una energia B(Z,N),

che abbiamo chiamato per separarlo completamente

“energia di legame”,

in Z protoni e N neutroni. Affinche’ il nucleo possa formarsi, B(Z,N) deve

essere positiva. Nella tabella 11.3 sono elencate le energie di legame per i

nuclei piu’ leggeri. Nella tabella sono anche indicate le energie di legame per

nucleone, B(Z,N) / A, che , per la gran parte dei nuclei, vale circa 7-8 MeV

con fluttuazioni a volte importanti da nucleo a nucleo. La fluttuazione e’ molto

marcata nel valore della differenza tra l’energia di legame di un nucleo e

quella del nucleo precedente nella tabella di Mende. Questa energia puo’

essere interpretata come l’energia di legame dell’ultimo nucleone che si

aggiunge per formare quel nucleo della sequenza.

Tabella 11.3 21

4 8 12 16

Risulta essere particolarmente grande per i nuclei “pari-pari” : He

, Be

, C , O

2 4 2 8

e particolarmete piccola per i nuclei immediatamente seguenti. Il valore di

legame poi aumenta aggiungendo uno a uno tre nucleoni fino a formare il

successivo nucleo pari-pari. Questo andamento verra’ spiegato nei prossimi

paragrafi con la struttura a gusci (shell) dei nuclei.

Si notano altri effetti piu’ piccoli quali l’extra energia di legame associata

all’accoppiamento neutrone-neutrone e protone-protone. Questo effetto

deriva dal carattere attrattivo della interazione nucleone-nucleone ed e’

associato, come vedremo, all’accoppiamento dei momenti angolari. Nella

tabella 11.3 possiamo anche notare che i nuclei pari-pari hanno spin zero.

La caratteristica delle energie di accoppiamento e gli effetti di una struttura a

gusci che si sovrappongono ad un andamento lentamente crescente della

energia di legame per nucleone, si possono notare in tutto l’intervallo di

nuclei per i quali sono disponibili dati sperimentali. Questo e’ ben visibile

nella figura 11.10 nel caso dei nuclei stabili. Vediamo di nuovo che anche per

i nuclei piu’ pesanti in corrispondenza a particolari valori di Z e N, i Numeri

Magici (vedi di seguito), si possono osservare delle deviazioni che indicano

la presenza di un legame piu’ forte. ♦ Numeri magici:

2,8,20,28,50,82,126

♦ Numeri Doppiamente

magici:

4 168 40

He ; O ; Ca ;

2 2 8 20 20

48 208

Ca ; Pb

20 28 82 126

Figura 11.10 22

11.6 Modello a goccia

Prima di interpretare con la formula di massa questi comportamenti

dell’energia dei legami dei nuclei, ricordiamo i risultati sperimentali che

hanno portato alla analogia tra i nuclei e la teoria dei liquidi e da questa

al “modello a goccia”.

1) Si trova che B/A e’ ~ costante. Se l’ interazione fosse forte con TUTTI I

nucleoni del nucleo, avremmo che il numero di legami attrattivi deve essere

e ne segue che B/A∝A e NON

uguale a A(A—1)/2. Quindi, per A >> 1,: B∝A

2

costante come dato dalle misure.Abbiamo un fenomeno di saturazione delle

forze nucleari: interazione solo con I primi vicini. La situazione e’ analoga a

quella del legame chimico di una goccia di idrogeno liquido: forte legame

OMOPOLARE tra coppie di atomi con formazione di H . Un terzo atomo NON

2

e’ attratto: molecola di H : satura. Questo e’ dovuto alla forza di scambio:

2

scambio degli elettroni tra I due atomi della molecola.

ρ=costante →

2) Densita’ ad un certo punto deve intervenire una forza

REPULSIVA altrimenti c’e’ il collasso. Nella molecola la forza repulsiva e’ data

dalla sovrapposizione degli orbitali elettronici pieni. 23

11.7 La formula semi-empirica di massa

Abbiamo visto nei paragrafi precedenti che la densita’ della materia

nucleare e’ approssimativamente costante e che i nuclei hanno una ben

definita superficie esterna. Tutto avviene come se il nucleo si

comportasse come una goccia di liquido. Questa analogia e’ resa esplicita

nella una formula di notevole valore

“formula semi-empirica di massa”:

capace di “fittare” con l’aiuto di pochi parametri le energie di legame di

tutti i nuclei con la sola eccezione di quelli piu’ leggeri ed introdotta per la

prima volta nel 1935 dal fisico tedesco Carl von Weizsäcker .

Formula semi-empirica di massa o Formula di Weizsacker

I parametri vengono determinati fittando la formula ai dati sperimentali e i

loro valori dipendono dall’intervallo in massa per i quali sono stati

ottimizzati. La tabella 11.4 riassume i risultati ottenuti con tre diversi fit.. 24

Fit ai minimi Wapstra Rohlf

quadrati (MeV)* (MeV)

(MeV)

15.8 14.1 15.75

a V 18.3 13 17.8

a S 0.714 0.595 0.711

a C 23.2 19 23.7

a A 12 n/a n/a

a P

δ (even- -33.5 +11.18

-11.2

even)

δ (odd- +33.5 -11.18

+11.2

odd)

δ (even- 0 0

0

odd)

Wapstra: A. H. Wapstra, Springer, 1958

Atomic Masses of Nuclides,

Rohlf: James William Rohlf, Wiley, 1994

Modern Physics from a to Z0,

*Wapstra ( Handbuch der Physik, XXXVIII / 1

Tabella 11.4: risultati di diversi fit a diverse energie di legame misurate 25

Nella formula la analogia col modello a goccia e’ rappresentata dai primi due

termini: il primo, rappresenta l’energia di legame

“termine di volume”,

dovuta a tutti i nucleoni del nucleo come l’energia di coesione di un liquido; il

secondo, l’energia di superficie di una

“termine di superficie” ,rappresenta

sfera. Il terzo termine, rappresenta l’energia di una

“termine Coulombiano”,

sfera carica di raggio R A e carica totale Ze. Il quarto termine e’ chiamato

1/3

0

“termine di asimmetria” e, per A fissato, da’ il massimo valore dell’energia di

legame quando N = Z ( A pari ) o N = Z ± 1 ( A dispari ). E’ cosi’ chiamato

poiche’ tende a rendere I nuclei simmetrici nel numero di neutroni e protoni.

Ricordiamo che a causa del Principio di esclusione di Paoli l’attrazione media

tra neutrone-protone e’ piu’ grande di quella tra neutrone-neutrone e protone-

protone. Cosi’, per un dato valore di A, e’ vantaggioso dal punto di vista

energetico massimizzare le coppie neutrone-protone che possono interagire:

questo si realizza con valori di Z e N i piu’ uguali possibile. L’ultimo termine e’

dovuto alla energia di accoppiamento dei momenti angolari nucleari e la sua

forma e’ puramente fenomenologica. Come vedremo questo e’ legato alla

struttura a gusci dei nuclei. Nella figura 11.11 sono mostrati I diversi contributi

all’ energia di legame per nucleone in funzione di A.

Figura 11.11 26

La formula semi-empirica di massa, oltre a darci una descrizione e una

comprensione dell’energia di legame dei nuclei, spiega il significato delle

masse degli elementi chimici e fa capire perche’ in chimica ci sono solo un

numero finito di atomi stabili.

11.8 La stabilita’ dei nuclei

I nuclidi presenti in natura vengono rappresentati nella “carta di Segre’”, vedi

figura 11.12, in funzione crescente di N e Z. I nuclei stabili si trovano solo

≈ ≈

lungo una fascia stretta attorno ai valori N Z A/2 per A < 40. Per valori di

A piu’ elevati i nuclei stabili presentano un numero di neutroni sempre piu’ in

eccesso su quello dei protoni per bilanciare con la loro forza nucleare

attrativa quella repulsiva dovuta alle cariche dei protoni. Tutti gli altri nuclidi

sono instabili e decadono spontaneamente in vari modi. Per gli isobari con

un eccesso di neutroni e’ energeticamente vantaggioso convertire un

neutrone in un protone, mentre, nel caso di un eccesso di protoni e se

energeticamente possibile, puo’ avvenire la reazione inversa. Come vedremo

di seguito, queste reazioni insieme alla cattura K sono chiamate decadimenti

β e sono una particolare manifestazione della interazione debole trattata nel

capitolo 8. Nel paragrafo seguente discutiamo il bilancio energetico dei

β.

decadimenti figura 11.12, 27

I nuclei di Fe e Ni posseggono la massima energia di legame per nucleone e

sono, quindi, i nuclidi piu’ stabili.Nei nuclei piu’ pesanti, a causa della

maggiore repulsione coulombiana, l’ energia di legame per nucleone e’

minore. I nuclei ancora piu’ pesanti diventano instabili e decadono per

fissione in due o piu’ nuclei piu’ leggeri, fissione spontanea.

I nuclidi stabili, 275 in totale, si trovano in una regione stretta nel piano N-Z

che viene chiamata linea di stabilita’. La loro vita media e’

considerevolmente piu’ lunga dell’eta’ del sistema solare. Quando nei

α,

processi di decadimento si produce un nucleo di elio, detto particella si

α.

parla di decadimenti β

11.9 La valle di stabilita’

Consideriamo dei nuclidi con uguale numero di massa A, isobari,. La formula

empirica di Weizsacker puo’ essere riscritta come

dove

La massa del nucleo, fissato A, risulta quindi funzione di Z : per A dispari il

2

grafico risulta essere una parabola; per A pari avremo, a causa del

δ ≠ β/2γ.

parametro 0, due parabole. Il minimo delle parabole si trova a Z =

In uno spettro isobarico il nucleo con massa piu’ piccola e’ quindi stabile

β.

rispetto al decadimentp 28

β

Decadimento nei nuclei con A dispari

Prendiamo come esempio il caso dei nuclei con A = 101. Il minimo della

parabola e’ allora occupato dallo Ru che ha Z = 44. Gli isobari con

101

neutroni in eccesso, come ad esempio

101 101

Mo e il Tc , decadono attraverso la conversione :

42 43 → + +

-

n p e v

e

La carica del nucleo figlio sup era di una unita ' quella

del nucleo genitore

, vedi figura 11.13.

Nello stato finale v

engono anche prodotti un elettrone

e un antineutrino - e

, vedi capitolo 8.

ν ν

− −

→ + + → + +

101 101 101 101

Mo Tc e ; Tc Ru e

e e

42 43 43 44

Masse atomiche

relative β - β+

o cattura k

Z

Figura 11.13: parabola di massa per A = 101. In ascissa e’ 29

riportato il numero atomico Z mentre l’origine sulla scala delle

masse e’ arbitraria. I decadimenti possibili sono indicati con le

frecce.

Materiale didattico per il corso di Fisica Nucleare e Subnucleare II del Prof. Carlo Dionisi, riguardante i seguenti argomenti: le proprietà generali dei nuclei; la sezione d'urto di Mott; masse dei nuclei ed energia di legame; formula di Weizsacker o formula semi empirica di massa; stabilità dei nuclei e decadimento radioattivo; il modello a gas di Fermi; numeri magici e modello a Shell; legge di Geiger Nuttal; barriera coulombiana e teoria di Gamow; momenti magnetici anomali.