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4 moti rigidi e moti affini

3 Asse istantaneo di rotazione

Un tensore antisimmetrico di uno spazio vettoriale reale di dimensione tre ha un autovalore

W(t)

nullo. Infatti, essendo il polinomio caratteristico di terzo grado esiste almeno un autovalore reale

Indicando con (t) un autovettore unitario corrispondente a si ha

λ. λ

a o (t) = (t). (26)

λ

W(t)a a

o o

Ne deriva che, per la (24), = (t) · (t) = 0. (27)

λ W(t)a a

o o

Risulta dunque (t) = (28)

W(t)a o.

o

Si considerino i punti che all’istante occupano posizioni sulla retta per (t)

t p A

(h, = (t) + (t). (29)

t) p h a

c A

o o

Essi hanno tutti la stessa velocità poichè, per la (28),

(h, = (t) + (h, − (t)) = (t) + (t) = (t). (30)

t) ṗ t) p ṗ hW(t)a ṗ

W(t)(c

ċ A A A A

o o o

Tale proprietà vale per qualsiasi retta parallela a (t). Pertanto ad ogni retta parallela a (t)

a a

o o

corrisponde una velocità, in generale diversa da retta a retta. Si osservi che

Si consideri ora una qualsiasi coppia di punti e e il vettore differenza (20).

A B

per la differenza delle velocità (25) risulta, per la (28), T

· (t) = · (t) = · (t) = −d(t) · (t) = 0. (31)

ḋ(t) a W(t)d(t) a d(t) W(t) a W(t)a

o o o o

Pertanto la differenza di velocità, se non è nulla, è ortogonale non solo al vettore per la (23),

d(t),

ma anche al vettore (t). Alla proprietà (31) corrisponde anche un’altra interpretazione. Se la si

a o

pone nella forma ( (t) − (t)) · (t) = 0, (32)

ṗ ṗ a

B A o

ne discende che (t) · (t) = (t) · (t), (33)

ṗ ṗ

a a

B A

o o

La proiezione ortogonale della velocità su (t) risulta dunque uguale per tutti i punti del corpo.

a o

La velocità di un qualsiasi punto si può allora esprimere come somma di una velocità (t) parallela

v o

a (t), uguale per tutti i punti, e di una velocità ortogonale a (t). In particolare lungo una retta

a a

o o

su un piano per (t) ortogonale a (t)

p a

A o

= (t) + · (t) = 0, (34)

t) p hd(t), d(t) a

c(h, A o

le velocità si possono esprimere come ⊥

= (t) + = (t) + (t) + (35)

t) ṗ hW(t)d(t) hW(t)d(t),

v v

ċ(h, A o A

con (t) := ( (t) · (t))a (t), (36)

v a

A

o o o

⊥ (t) := ( (t) − (t)), (37)

v v

A o

A

⊥ (t), come un vettore ortogonale a (t). È sufficiente scegliere ortogonale

essendo d(t), a d(t)

v o

A

⊥ e la (31) risulterà ortogonale sia ad che a

anche a (t) perché che per la (24) d(t)

v W(t)d(t),

A ⊥

(t), sia parallelo a (t). Esiste allora un solo valore di tale che

h

a v

o A ⊥ (t) + = (38)

hW(t)d(t)

v o,

A

una posizione a cui corrisponde la velocità (t) parallela a

individuando cosı̀, attraverso la (34), v o

(t). La retta per tale posizione parallela a (t) si dice asse istantaneo di rotazione.

a a

o o

DISAT, Università dell’Aquila, 16 aprile 2011 (1219) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

5

moti rigidi e moti affini

3.1 Vettore assiale

Poiché trasforma un qualsiasi vettore in un vettore ortogonale sia ad che a (t),

W(t) d(t) d(t) a o

si può pensare di costruire un vettore tale che sia

ω(t)

= × ∀d(t) ∈ V. (39)

W(t)d(t) d(t)

ω(t)

Tale vettore esiste ed è unico. Infatti ponendo, in una base ortonormale,

= (t)e + (t)e + (t)e (40)

ω ω ω ,

ω(t) 1 1 2 2 3 3

le componenti sono date dalle espressioni seguenti

· = × · = × · = · ⇒ (t) = ·

ω

W(t)e e e e e e e W(t)e e

ω(t) ω(t) ω(t)

1 2 1 2 1 2 3 3 1 2

· = × · = × · = · ⇒ (t) = · (41)

ω

W(t)e e e e e e e W(t)e e

ω(t) ω(t) ω(t)

2 3 2 3 2 3 1 1 2 3

· = × · = × · = · ⇒ (t) = ·

ω

W(t)e e e e e e e W(t)e e

ω(t) ω(t) ω(t)

3 1 3 1 3 1 2 2 3 1

Poiché = × = (42)

W(t)ω(t) o,

ω(t) ω(t)

è un autovettore corrispondente a = 0. Esso è pertanto parallelo ad (t). Il vettore

λ a

ω(t) ω(t)

o

è detto di La relazione (39) definisce, per via delle (41), una corrispondenza

vettore assiale W(t).

biunivoca tra tensori antisimmetrici e vettori in uno spazio V di dimensione tre.

3.2 Centro istantaneo di rotazione

In uno spazio euclideo di dimensione due, in corrispondenza di un campo di velocità rigido al-

l’istante si dice la posizione del punto tale che (t) = 0.

t, centro istantaneo di rotazione C ṗ C

Poichè (t) − (t) = (t) − (t)), (43)

ṗ ṗ p

W(t)(p

A C A C

se (t) è il centro istantaneo di rotazione la velocità (t) coincide con la differenza tra le velocità

p ṗ

C A

ed è dunque ortogonale alla retta congiungente le posizioni (t) e (t). Questo permette di

p p

A C

calcolare il centro di rotazione come la intersezione delle rette passanti per le posizioni (t) e

p A

(t) di due punti qualsiasi e ortogonali alle loro velocità.

p C

4 Moti rigidi in termini di coordinate

Considerando uno spazio euclideo di dimensione due dotato di un sistema di coordinate cartesiane

indotte dalla base ortonormale {e }, in un moto rigido la rotazione può essere descritta nel

, e

1 2

seguente modo = cos + sin (44)

θ(t)e θ(t)e ,

R(t)e

1 1 2

= − sin + cos (45)

θ(t)e θ(t)e .

R(t)e

2 1 2

corrisponde la seguente relazione tra le coordinate

Alla relazione (10) ! !

!

! −

cos − sin

(t)

(t) x̄ x̄

θ(t) θ(t)

x

x 1B 1A

1A

1B (46)

+

= .

sin cos

(t)

(t) x̄ x̄

θ(t) θ(t)

x

x 2B 2A

2A

2B

Derivando rispetto a si ha

t ! ! ! !

(t) (t) − sin − cos −

ẋ ẋ θ(t) θ(t) x̄ x̄

1B 1A 1B 1A

= + (47)

θ̇(t) .

(t) (t) cos − sin −

ẋ ẋ θ(t) θ(t) x̄ x̄

2B 2A 2B 2A

DISAT, Università dell’Aquila, 16 aprile 2011 (1219) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

6 moti rigidi e moti affini

Ricavando dalla (46) l’espressione !

!

! (t) − (t)

− cos sin x x

x̄ x̄ θ(t) θ(t) 1B 1A

1B 1A (48)

= (t) − (t)

− sin cos

− x x

θ(t) θ(t)

x̄ x̄ 2B 2A

2B 2A

si ottiene

e sostituendola nella (47) !

! !

! 0 − (t) − (t)

(t)

(t) θ̇(t) x x

ẋ 1B 1A

1A

1B (49)

+

= .

(t) − (t)

(t)

(t) x x

ẋ 0

θ̇(t) 2B 2A

2A

2B

Questa è la relazione tra le componenti delle velocità corrispondente alla (17). La matrice che

compare nella (49) è dunque la matrice di W(t).

In generale, in uno spazio euclideo di dimensione tre dotato di un sistema di coordinate cartesia-

corrisponde la seguente relazione

ne indotte dalla base ortonormale {e }, alla relazione (17)

, ,

e e

1 2 3

tra le componenti 

 (t) − (t)

0 −ω (t) (t)

(t)

(t) x x

ω

ẋ 1B 1A

3 2

1A

1B 

 (t) − (t)

(t) 0 −ω (t)

(t)

(t) (50)

+

= x x

ω

ẋ .

2B 2A

3 1

2A

2B 

 

 (t) − (t)

−ω (t) (t) 0

(t)

(t) x x

ω

ẋ 3B 3A

2 1

3A

3B

La matrice di è antisimmetrica poiché

W T = −W ⇒ · = −e · (51)

.

W We e We

i j i j

5 Moti affini

Un moto si dice se, comunque si fissi , la descrizione del moto in termini di deformazioni

affine t 0

(4) è tale che, per ogni coppia di punti ∈ B, risulta ad ogni istante

A, B t

= + − ), (52)

, t) , t) p̄

F(t)(p̄

φ(p̄ φ(p̄

B A B A

essendo un tensore tale che det 0. Un risulta pertanto definito dal moto di

> moto affine

F(t) F(t)

un punto qualsiasi del corpo, ad esempio e da La espressione corrispondente per le velocità

A, F.

è = + − ). (53)

, t) , t) p̄

Ḟ(t)(p̄

φ̇(p̄ φ̇(p̄

B A B A

la espressione in termini di moto di ciascun punto

Sostituendo alla (52) (t) = (t) + − ), (54)

p p p̄

F(t)(p̄

B A B A

si ottiene per le velocità (t) = (t) + (t ) − (t )). (55)

ṗ ṗ p

Ḟ(t)(p

B A B A

0 0

Essendo dalla (54) −1

(t ) − (t ) = (p (t) − (t)), (56)

p p p

F(t)

B A B A

0 0

risulta −1

(t) = (t) + (p (t) − (t)). (57)

ṗ ṗ p

Ḟ(t)F(t)

B A B A

Ponendo −1

:= (58)

,

L(t) Ḟ(t)F(t)

DISAT, Università dell’Aquila, 16 aprile 2011 (1219) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

7

moti rigidi e moti affini

la (57) si può scrivere (t) = (t) + (t) − (t)). (59)

ṗ ṗ p

L(t)(p

B A B A

Considerando la deformazione da un istante fissato ad un qualsiasi istante +

t t τ

(p (t), ) = (p (t), ) + (τ )(p (t) − (t)), (60)

τ τ p

F

φ φ

B A B A

t

t t

si ha la seguente espressione per le velocità all’istante è

t

(p (t), 0) = (p (t), 0) + (0)(p (t) − (t)). (61)

p

φ̇ φ̇

B A B A

t

t t

Dal confronto con la (59) risulta −1

= = (0). (62)

L(t) Ḟ(t)F(t) Ḟ t

Questa espressione permette di dare un’utile caratterizzazione di Dalla decomposizione polare

L.

del gradiente della deformazione (τ ) = (τ )U (τ ) (63)

F R

t t t

si ottiene, derivando in = 0,

τ

= (0) = (0)U (0) + (0) (0) = (0) + (0), (64)

L(t) Ḟ Ṙ R U̇ Ṙ U̇

t t t t t t t

poiché (0) = implica (0) = e (0) = Si noti che (0) è antisimmetrico e (0) è

F I R I U I. Ṙ U̇

t t t t t

simmetrico. Infatti T T T

(τ ) (τ ) = ⇒ (τ ) (τ ) + (τ ) (τ ) =

R R I Ṙ R R Ṙ O

t t t t t t

T

⇒ (0) + (0) = (65)

Ṙ Ṙ O,

t t

T T

(τ ) = (τ ) ⇒ (0) = (0). (66)

U̇ U̇ U̇ U̇

t t t t

Esprimendo come somma della parte simmetrica e della parte antisimmetrica

L(t) = + (67)

L(t) D(t) W(t),

con 1 1

T T

:= (L(t) + ), := (L(t) − ) (68)

D(t) L(t) W(t) L(t)

2 2

risulta dunque = (0), = (0). (69)

D(t) U̇ W(t) Ṙ

t t

Per questa ragione e sono dette rispettivamente e

velocità di dilatazione velocità

D(t) W(t)

angolare.

Un è un campo di velocità in cui le velocità sono tali che valga la (59),

campo di velocità affine

essendo una qualsiasi applicazione lineare.

L(t)

6 Gradiente della velocità

Nel caso di un generico moto ad ogni istante è definita la deformazione

t : R̄ 7→ E. (70)

t)

φ(·,

Si consideri una retta = + (71)

p̄ h d̄

c̄(h) A

DISAT, Università dell’Aquila, 16 aprile 2011 (1219) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

8 moti rigidi e moti affini

e per ogni la curva tale che

t t)

c(·, = (72)

t) t).

c(h, φ(c̄(h),

Il vettore tangente in è

t)

c(0, 1

− (73)

:= lim t) t) .

d(t) c(h, c(0,

h

h→0

Ad ogni istante risulta pertanto definito, per ciascun punto il gradiente di come l’appli-

A, t),

φ(·,

cazione lineare : 7→ (74)

, t)

F(p̄ d̄ d(t),

A

che trasforma i vettori tangenti alle curve per nei vettori tangenti alle curve corrispondenti per

p̄ A

(t) =

p , t).

φ(p̄

A A

All’istante la velocità dei punti del corpo è descritta dalla funzione

t : (t) 7→ (t). (75)

p ṗ

v A A

t

che ha come dominio la forma del corpo all’istante ed è detta Il

t campo spaziale della velocità.

gradiente di tale campo vettoriale [v. 2] è quella applicazione lineare ∇v tale che

Appendice t

1 1

− (76)

∇v = lim (c(h, − (c(0, = lim t) t) .

t)) t))

d(t) v v ċ(h, ċ(0,

t t t

h h

h→0 h→0

Poiché dalla (73) si ha 1

− (77)

= lim t) t) ,

ḋ(t) ċ(h, ċ(0,

h

h→0

dalla (76) si ottiene ∇v = (78)

d(t) ḋ(t).

t

si ha anche

Dalla (74) 1 −1

= lim + ) − = = (79)

τ , t) , t)F(p̄ , t)

ḋ(t) d(t d(t) Ḟ(p̄ d̄ Ḟ(p̄ d(t).

A A A

τ

τ →0 risulta, omettendo gli argomenti,

Sostituendo questa nella (78) −1

∇v = (80)

.

ḞF

t

Considerando la deformazione da un istante fissato ad un qualsiasi istante +

t t τ

(·, ) : (t) 7→ (t + ), (81)

τ p p τ

φ A A

t

risulta definito, per ciascun punto il gradiente di (·, ), come l’applicazione lineare

A, τ

φ t

(p (t), ) : 7→ + ), (82)

τ τ

F d(t) d(t

A

t

che trasforma i vettori tangenti alle curve per (t) nei vettori tangenti alle curve corrispondenti

p A

per (t + ). Al posto della (79) si ottiene

p τ

A 1

= lim + ) − = (p (t), (83)

τ t)d(t)

ḋ(t) d(t d(t) Ḟ A

t

τ

τ →0

risultando dunque ∇v = (84)

.

t t

DISAT, Università dell’Aquila, 16 aprile 2011 (1219) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico relativo ai moti rigidi e ai moti affini vengono trattati i seguenti argomenti: i moti; i moti rigidi; asse istantaneo di rotazione; vettore assiale; centro istantaneo di rotazione; moti rigidi in termini di coordinate; moti affini; gradiente della velocità; descrizione di campi di velocità affini.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria informatica e automatica
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica dei solidi e dei materiali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Tatone Amabile.

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