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La relazione (2) è l'equazione cartesiana di un circonferenza avente centro nel punto di

− β

= k

r 1 k e

coordinate (α,β) e raggio . Si può, pertanto, affermare che nel moto piano

descritto dalle equazioni (1) le particelle fluide, individuate dalle coordinate

lagrangiane (α,β), descrivono nei piani di moto le circonferenze di raggio r e centro

β.

nel punto di coordinate (α,β). Il raggio r dipende unicamente dalle coordinata

Dalle (1) si ricava:

− α

x ( ) ( )

ϑ = = α + ⇒ ϑ = α + + π

tan tan k mt k mt n (3)

− β

z

La derivata della (3) rispetto al tempo, dà il modulo della velocità angolare:

∂ϑ

ω = = km

t

che, per le ipotesi fatte, risulta essere costante. Si conclude, pertanto, che il moto delle

ω = km

particelle fluide è circolare ed uniforme di velocità angolare e di periodo

= π ω = π

T 2 2 ( km ) .

β = β = = ϑ = α =

; t t 0 ; k ; R 1 k

Si ponga . Sostituendo nelle (1) si ottiene:

⎧ = ϑ + ϑ

x R r sen

⎨ (4)

⎪ = β + ϑ

⎩ z r cos α,

Le (4) danno, nell'istante generico considerato ed in funzione dell'unica variabile il

luogo geometrico dei punti del generico piano di moto occupati dalle particelle fluide

β = β . Questo luogo geometrico è la

aventi i centri orbitali alla stessa profondità − β

= k

r R e

trocoide descritta da un punto P distante della quantità dal centro della

=

R 1 k

circonferenza di raggio , che rotola senza strisciare su una retta parallela

β − R

all'asse x e da esso distante della quantità . La linea fluida che si costituisce

delle particelle fluide che si occupano nell'istante considerato dei punti della trocoide

viene assunta quale profilo ondoso. 13

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Napoli, Ottobre, 2001 ϑ

ϑ 2

1

α ϑ

= +

x r sen

1 1 1

β ϑ

= +

z r cos

1 1 1 14

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Napoli, Ottobre, 2001

4.3 LE EQUAZIONI DELLA TROCOIDE ω

M

Nel moto rigido piano ogni atto di moto sia rotatorio, con velocità angolare di

Λ

modulo costante. Le traiettorie polari del moto siano la retta (base), appartenente al

l

p

piano fisso , e la circonferenza (rulletta) di raggio R e centro O appartenente al

π. 2

piano mobile Tra le traiettorie descritte dai punti del piano mobile, si consideri

r < R.

quella del punto P interno alla rulletta e distante dal suo centro della quantità

T Cxz

Si consideri nel piano fisso il riferimento avente origine C coincidente con

C ≡ Λ

x

il centro di istantanea rotazione C all'istante iniziale t = 0, asse e asse z

0 ≡ ξ

ζ T

T C , sovrapposto a

positivo verso il basso. Il riferimento mobile sia C 0 C

0

ξ ≡ ζ ≡ ≡

x , z C C

nell'istante t = 0 , con e origine .

0

L'equazione generale della traiettoria descritta dal punto considerato è:

= + ξ + ζ

i k

P ( t ) C ( t ) ( t ) ( t ) (5)

0 ( )

ξ ζ ξ, ζ

T

e le coordinate (costanti) di P nel riferimento , ,

essendo C 0

= =

i i k k T

C ( t )

, ( t )

, ( t ) le leggi di variazione dell'origine e dei versori di .

0 C 0

T

( x ,

z ) (x, z) C

Dette e le coordinate in di e di P all'istante t, indicati con

C C 0

C

0 0

α γ α γ i k, :

( , )

, ( , ) i coseni direttori dei versori e tali che

1 1 2 2

⎧ α γ

α + γ =

2 2 1

1 1 1 1

⎪ α α + γ γ = =

⎨ ; 0

; 1

1 2 1 2

⎪ α γ

α + γ =

2 2

⎩ 1 2 2

2 2

proiettando la (5) sugli assi del riferimento fisso si ottiene:

= + α ξ + α ζ

⎧ x x C 1 2

⎪ 0

⎪ = + γ ξ + γ ζ

z z

⎩ C 1 2

0 15

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Napoli, Ottobre, 2001

Essendo: α ϑ γ ϑ α = − ϑ γ = ϑ

= = −

cos ; sen ; sen ; cos ;

1 1 2 2

= ϑ − ϑ = − ϑ ξ = ζ = +

x R R sen ; z R R cos ; 0 ; r R

C C

0 0

sostituendo si ottiene: = ϑ + ϑ

⎧ x R r sen

⎪ = + ϑ

⎩ z R r cos

T C x z x x,

Se si assume un riferimento avente l'asse parallelo ad ma da

C 1 1 1

1

β − R

esso distante della quantità le equazioni della trocoide si scrivono:

⎧ = = ϑ + ϑ

x x R r sen

1

⎪ = β + ϑ

⎩ z r cos

1

formalmente identiche alle (4), che risultano, pertanto, essere le equazioni di una

trocoide. C

Ricordando che il punto di contatto tra la rulletta e la base è il centro di istantanea

t

rotazione, la retta passante per esso e per P è normale alla trocoide. Ne consegue che

ψ ϕ

l'angolo tra la detta normale e la verticale è uguale all'angolo che la tangente alla

trocoide in P forma con l'orizzontale: ϑ

sen

r

ψ ϕ

= =

tan tan (6)

+ ϑ

cos

R r 16

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Napoli, Ottobre, 2001

La velocità istantanea di P è pari a: ω

= − ∧

v ( C P ) (7)

P t

l

La velocità del centro O della circonferenza è paria a: ω

= − ∧

v ( C O )

O t

ω R,

di modulo direzione e verso di x. La traiettoria di O è la retta t parallela ad x,

da essa distante di R e detta retta dei centri. −v

Se si imprime a tutto il sistema una velocità pari a la (7) diventa:

O

ω ω= − ∧ ω

= − ∧ − − ∧

v ( O P )

( C P ) ( C O ) (8)

P t t

In questo moto, quindi, il punto P ruota intorno ad O di moto circolare uniforme con

ω ωr.

velocità angolare costante e velocità periferica di modulo Analogo moto

avranno tutti i punti Pi che compongono la trocoide, ciascuno sfasato rispetto al

∆ϑ = O O / R

della quantità .

seguente Pi+ +

i

1 i 1

Dalle considerazioni fatte segue un semplice metodo per la costruzione della trocoide,

=

O P r

intesa quale luogo geometrico dei punti Pi , estremi dei segmenti .

i i

λ = π

2 R

Sulla retta dei centri si prenda il segmento di lunghezza e lo si divida in n

= λ = π

O O / n 2 R / n . Con centro in ciascuno di detti punti

parti di lunghezza i 1

i+ r .

si traccino le circonferenze di raggio Su due circonferenze successive di centri Oi e

∆ϑ = O O / R

si riportino i rispettivi punti Pi Pi+ , sfasati dell'angolo . Il

Oi+ +

i

1 1 i 1

luogo dei detti punti è la trocoide.

λ = π

2 R

La quantità è la lunghezza della trocoide, la quantità H = 2 r ne è l'altezza.

17

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Napoli, Ottobre, 2001 18

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4.4 IL PROFILO ONDOSO TROCOIDALE

Come già detto, si assume quale profilo ondoso la linea fluida che si costituisce delle

particelle aventi i centri orbitali ad uguale profondità. Come si è anche visto, la forma di

questa linea fluida è una trocoide e il profilo ondoso assunto prende il nome di onda

trocoidale. α

Derivando la seconda delle (3) rispetto ad si ottiene:

∂ϑ = ⇒ ϑ = α +

k k cos t . (9)

∂α

Supposto nullo il valore della costante, unicamente per motivi di semplicità, si ha:

=

⎧ x 0

ϑ = ⇒ α = ⇒ ⎨

1

) 0 0 ⎪ = β +

⎩ z r = λ

⎧ x

π ⎪

2

ϑ = π ⇒ α = = π = λ ⇒ ⎨

2 R

2

) 2 k ⎪ = β +

⎩ z r

λ

⎧ =

x

⎪ 2

π λ

ϑ = π ⇒ α = = π = ⇒ ⎨

3

) R

k 2 ⎪ = β −

z r

ϑ = π =

2 n ; ( n 0 , 1

, ....., n )

Le precedenti relazioni valgono in generale e

ϑ = π =

n ; ( n 1

, ....., n ) rispettivamente, definendo i punti di cavo d'onda - punti

1) e 2) delle precedenti relazioni, ed i punti di cresta d'onda -punto 3) delle precedenti

relazioni. La distanza verticale tra il cavo e la cresta definisce l'altezza dell'onda: 19

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Napoli, Ottobre, 2001 ⎛ ⎞

1 − β

= = k

⎜ ⎟

e

H 2

r 2

⎝ ⎠

k

Il raggio r è l'ampiezza dell'onda.

ϑ β,

Si osservi ancora che l'angolo non dipende da sicché tutte le particelle aventi i

centri orbitali su una stessa verticale sono ruotate in ogni istante dello stesso angolo. Il

luogo geometrico di siffatti punti è denominata verticale idrodinamica. Le sue equazioni

α

sono date dalle (1) quando in esse si diano al tempo t ed alla coordinata lagrangiana

fissati valori. In generale la verticale idrodinamica è una curva, per valori di

ϑ = π =

2 n ; ( n 0 , 1

, ....., n ) essa coincide con l'effettiva verticale.

Infine, le particelle del profilo ondoso aventi valori della coordinata lagrangiana

α /

differenti di multipli interi di 2π k. hanno identico valore dell'ordinata z. La quantità

λ = π = π

2 / k 2 R è la lunghezza dell'onda.

λ

Fissate l'altezza H e la lunghezza dell'onda trocoidale di superficie, resta definita la

posizione dell'asse x. Infatti: ⎛ ⎞

λ λ

π

2 H 1 − β ⎜ ⎟

= = ⇒ β =

λ → = k

e ln

k ; r ⎜ ⎟

S

S S π π

λ ⎝ ⎠

2 k 2 H

β = β + λ

β 9 il

L'altezza dell'onda diminuisce velocemente crescere di . Infatti per S

raggio orbitale r diventa: λ

⎛ ⎞ π

2

− β +

⎜ ⎟ −

k 1

r

1

1

1 − β − β ⎝ ⎠

S

= = = ⇒ = ≅

k k 9 9

e

e

e

e ; r

r S

S 2

r

k

k

k S

Vale a dire che ad una profondità pari ad un nono della lunghezza d'onda, la

corrispondente altezza diventa metà di quella dell'onda di superficie (Legge di

Rankine). Questa caratteristica giustifica l'appartenenza dell'onda trocoidale alla

famiglia delle onde di superficie, le quali sono appunto caratterizzate da una

propagazione essenzialmente superficiale con veloce smorzamento all'aumentare della

profondità. 20

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Napoli, Ottobre, 2001

L'imposizione della condizione di non compenetrabilità tra fluido e fondo, richiede

β→∞

l'annullarsi del raggio orbitale sul fondo. Questa condizione è verificata per , dal

che ne consegue l'applicazione dell'onda trocoidale a fondali di profondità infinita.

La retta dei centri di una trocoide non è retta di compenso delle aree, vale a dire che

rispetto ad essa l'area sottesa superiormente dalla trocoide non è uguale a quella sottesa

inferiormente.

Α

L'area compresa tra il profilo trocoidale e la retta tangente alle gole è data

dall'integrale: π

2

= − ϑ + ϑ ϑ = π − π 2

A (

1 cos ) r ( R r cos )

d 2 rR r

0 λ h

Uguagliando questa area a quella del rettangolo di base e altezza si ricava:

2

2 r

r

= − ⇒ = − =

h r b r h (10)

2 R 2 R

Ne segue che il livello di acqua calma, al quale si riduce il profilo ondoso superficiale in

assenza di perturbazione, si trova al di sotto della retta dei centri della quantità b data

dalla precedente relazione.

Le equazioni parametriche della linea fluida assunta quale profilo ondoso si ottengono

β = β α t.

ponendo nelle (1) il valore , con parametri la coordinata e il tempo

α le particelle fluide si occupano dei punti

Fissato un istante t, al variare del parametro

della trocoide già vista. Γ , sono:

Sia inizialmente t=0. Le equazioni della linea fluida, che si indicherà con 0

⎧ 1 − β

= α + α

k

x e sen k

⎪ k

⎪ 1 − β

⎪ = β + α

k

z e cos k

⎩ k 21

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Napoli, Ottobre, 2001 Γ t

Quelle della linea fluida corrispondenti al generico istante successivo sono:

1

1

⎧ 1 − β

= α + α +

k

x e sen k ( mt )

⎪ 1

k

⎪ 1 − β

⎪ = β + α +

k

z e cos k ( mt )

1

⎩ k ∈Γ ∈Γ

P ( x , z ) P ( x , z )

e occupati negli istanti

Si considerino due punti 0 0 0 0 1 1 1 1 α β

( , )

t

t=0 e t= dalle particelle fluide aventi rispettive coordinate lagrangiane e

1 0

α β

( , ) tali che riesca:

1 = ⇒ α = α +

z z m t (11)

0 1 0 1 1

x x

e sussiste la relazione:

Tra i valori delle ascisse 0 1

− = α − α = −

x x m t

1 0 1 0 1

P P

Ne segue che il vettore risulta avere la direzione dell'asse x, verso contrario e

1 0 i

m t

modulo , sicché indicato con il versore di x, risulta:

1 − = − i

P P m t (12)

1 0 1

Γ Γ

P P

Al variare di su i punti di nella corrispondenza definita dalla (11)

0 1

0 1

definiscono i vettori paralleli dati dalla (12), costanti in modulo e verso. Ne consegue

−m

Γ Γ i

t

che il profilo ondoso può ottenersi da mediante la traslazione rigida .

1

1 0 22

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Napoli, Ottobre, 2001

Si conclude che la deformazione nel tempo del profilo ondoso, a seguito del moto

circolare uniforme di cui sono animate le particelle fluide, è del tutto equivalente alla

Γ c

traslazione rigida di con celerità costante pari a:

0 = −m

c i (13)

A riepilogo di quanto esposto, si conclude che la teoria dell'onda trocoidale è

applicabile alle onde superficiali di altezza finita che si propagano su fondali profondi

(teoricamente di profondità infinita), con creste e cavi parallele tra loro ed interessanti

tratti di esse tanto estesi da ritenere soddisfatte le ipotesi di moto fluido piano. L'ipotesi

infine della presenza delle sole forze di gravità, definisce l’appartenenza dell’onda

trocoidale a quelle di tipo gravitazionale.

L'onda trocoidale ricade pertanto nella categoria delle onde gravitazionali, superficiali,

di altezza finita, su fondali profondi. 23

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Napoli, Ottobre, 2001

4.5 CONDIZIONI IDRODINAMICHE DEL MOTO ONDOSO

TROCOIDALE

In questo paragrafo saranno verificate le condizioni affinché il moto ondoso trocoidale

sia idrodinamicamente possibile.

Nelle ipotesi di base poste, l’equazione indefinita del moto assume la forma:

⎧ ∂

2

d x 1 p

= = −

⎪ a x ρ ∂

2 x

⎪ dt

⎛ ⎪

v

d p ⇔

= = − ⎟

a ⎨

grad gz ⎟

⎜ ρ ⎠

dt ⎪ ∂

2

d z 1 p

⎪ = = −

a g

⎪ z ρ ∂

2

⎩ z

dt

a

Ne segue che il campo del vettore è conservativo e quindi irrotazionale. Pertanto,

deve valere: ∂ ∂

a a

=

x z

∂ ∂

z x

La stessa relazione esprime anche che in ogni istante t esiste una funzione delle

variabili x ed y tale che l’espressione:

− + −

a dx ( g a ) dz

x z

ne è il differenziale esatto. α, β

L’accelerazione è una funzione delle variabili x, z e t e e t ; le prime sono le

coordinate dei punti della regione dello spazio occupato dalle particelle fluide all’istante

t; le altre sono le coordinate lagrangiane delle particelle fluide coinvolte nel moto. 24

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Napoli, Ottobre, 2001

La relazione: [ ]

( ) ( ) ( )

= α β = α β α β

a a a

, , t x , , t , y , , t , t β)

esprime l’uguaglianza nell’istante t tra l’accelerazione della particella fluida (α, e

quella che nel medesimo istante si verifica nel punto di coordinate (x,z) occupato dalla

stessa particella.

Le relazioni: ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a a a

x z

= +

⎪ ∂α ∂ ∂α ∂ ∂α

x z

⎪ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

a a a

x z

⎪ = +

⎪ ∂β ∂ ∂β ∂ ∂β

⎩ x z

∂ ∂

a a

;

riguardate come un sistema nelle incognite , forniscono:

∂ ∂

z x

∂ ∂ ∂ ∂

⎧ a a

z z

+

⎪ ∂ ∂α ∂β ∂β ∂α

a ∂ ∂

=

⎪ ⎡ ⎤

x x

⎪ ⎢ ⎥

x D ( ) ∂α ∂β

⎪ x , y , z − β

⎢ ⎥

= = = − 2 k

⎨ ; D 1 e

( ) ∂ ∂

∂ α β ⎢ ⎥

z z

, y ,

⎪ ∂ ∂ ∂ ∂

a a

x x ⎢ ⎥

⎪ + ∂α ∂β

⎣ ⎦

∂ ∂β ∂α ∂α ∂β

a

⎪ =

⎪ ∂

⎩ z D

Sviluppando queste relazioni si ottiene: 25

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Napoli, Ottobre, 2001 ω ϑ

ω ϑ

∂ ∂

2 2

sen sen

r k r k

a a

= =

x z

; ∂

z D x D

Ne segue che le equazioni del Gerstner verificano quelle indefinite del moto.

Le ipotesi generali di base, richiederebbero anche il verificarsi della relazione:

∂ ∂

⎛ ⎞

v v

= − =

⎜ ⎟

v j x z

rot 0

∂ ∂

⎝ ⎠

z x

in quanto, come è noto, si mantiene sempre irrotazionale il movimento che parta dalla

quiete, di un fluido perfetto ed incomprimibile, soggetto a forze conservative.

a v

Operando come in precedenza, quando alla accelerazione si sostituisca il vettore

della velocità si ricava: [ ]

∂ ω ϑ + ⎫

v r k cos kr

= −

x ⎪

z D − β

⎪ 2 k

e ≠0

⇒ = − ω

v j

⎬ rot 2 − β

− 2 k

[ ] 1 e

∂ ω ϑ −

v r k cos kr ⎪

= −

z

∂ ⎭

x D

Il risultato ottenuto ancora oggi non trova una valida giustificazione teorica.

la regione dello

Si proceda ora alla verifica dell’equazione di continuità. A tal fine, sia

spazio occupato dal fluido all’istante generico t e limitata da due piani, paralleli a quelli

= − =

y 1 2 ; y 1 2 .

del moto e aventi equazioni Le coordinate cartesiane dei punti

P∈ sono date dalle funzioni: 26

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Napoli, Ottobre, 2001 ( )

α β

=

⎧ x x , y , , t

⎪ [ ]

( )

= α β ∈ ℜ ∈ −

2

⎨ y y ; , ; y 1 2

, 1 2

,

⎪ ( )

= α β

⎩ z z , y , , t

∇(t) Μ(t)

Sia il volume di e la massa del fluido ivi posto, sicché riesca:

∫ ∫ ∫ ∫

1 2

= ρ ∇ = ρ α β = ρ α β

M ( t ) d dy D d d D d d

1 2

( )

∇ t I I

Per il principio di conservazione della massa nel tempo deve verificarsi:

∫ ∂ρ ∂

D D

d M ( t ) α β = ⇔

= d d 0

∂ ∂

d t t t

I − β

= − 2 k

D 1 e indipendente dal tempo, la relazione di

Essendo lo jacobiano

continuità è certamente verificata.

Sulla superficie libera deve essere imposta la condizione di pressione costante e pari a

p

quella atmosferica . A tale si richiede il verificarsi della relazione:

a ∂ ∂

∂ ∂ ∂ [ [

p p x p z ( )

= + β = β ∀ α ∈ ℜ ∞

; ; , t x 0

,

∂α ∂ ∂α ∂α

∂ s

x z

Ricavando le derivate parziali della pressione p dall’equazione indefinita e derivando

le equazioni del Gerstner, si ottiene: 27

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Napoli, Ottobre, 2001 [ ]

∂ [ ]

p ( )

= ρ − α + = ⇒ − =

2 2

r k km g sen k m t 0 km g 0

∂α s

Questa è una delle relazioni più importanti del moto ondoso trocoidale in quanto, come

si vedrà, riveste un significato fisico fondamentale. Essendo k e m grandezze costanti

la sua validità si estende anche ai profili ondosi sottostanti quello di superficie, che

risultano, pertanto, linee a pressione costante.

Fissato un istante t, si consideri la particella fluida di massa elementare m situata in un

punto P dell’onda di superficie.

Se si considera la trocoide generata dal rotolamento delle rulletta sulla base, il punto C

è centro di istantanea rotazione; ne segue che la congiungente i punti C e P è normale

alla trocoide. Sulla particella di massa m agisce la forza di gravità, avente modulo mg,

ω

2

direzione e verso dell’asse z, e la forza centrifuga m r . Essendo il profilo ondoso

una linea isobarica, la risultante di queste forze deve anche essa avere direzione normale

al profilo, vale a dire coincidente con quella della congiungente i punti C e P. Ne

segue che i triangoli FPF’ e COB sono simili. Quest’ultimo prende il nome di

triangolo caratteristico del moto ondoso trocoidale: 28

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Napoli, Ottobre, 2001

Il rapporto di similitudine tra i due triangoli vale:

ω 2

m r mg ω

= ⇒ = ⇒ =

2 2

R g k m g

R

r

relazione già trovata per altra via, con evidente e fondamentale significato fisico.

ρ,

Con riferimento alla particella di volume unitario e di massa i lati del triangolo

ρω

2 danno:

caratteristico letti nella scala ρω ρω ρ

⋅ = ⋅ = =

2 2

OC R g w ;

ρω ρω

⋅ = ⋅

2 2

OP r ;

ρω

⋅ = =

2

CP PF w a

w

La grandezza prende il nome di pesantezza apparente e il suo modulo vale:

a ( )

2

= + ρω + ρω ϑ

2 2 2

w w r 2 w r cos

a

Pertanto, il peso della particella fluida risente della presenza della forza centrifuga

generata dal moto rotatorio uniforme che l’anima; in particolare sul cavo e sulla cresta

dell’onda essa vale rispettivamente:

= + ρω = − ρω

2 2

w w r ; w w r ;

a a 29

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Napoli, Ottobre, 2001

Se al posto della particella è posto un corpo, il peso apparente è pari in modulo anche

alla spinta esercitata dal liquido. Ne segue che, rispetto alle condizioni statiche, in cresta

un corpo tende ad immergersi di più, di meno se si trova nel cavo dell’onda.

Dalla figura segue infine: ϑ

r sen

=

β

tan + ϑ

R r cos

β =β = r/R ; ritenendo:

Il massimo valore di 0

r ϑ << β = β β = β

cos 1

; tan ; tan 0 0

R

la precedente relazione si può scrivere:

β = β ϑ = β ω

sen sen t

0 0

espressione approssimata spesso usata per lo studio del rollio di una nave sull’onda. 30

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Napoli, Ottobre, 2001

4.6 L’ENERGIA DELL’ONDA TROCOIDALE

Nelle condizioni iniziali di quiete il liquido possiede soltanto energia di posizione; in

quelle perturbate, è presente un’energia meccanica complessiva, che si compone di pari

aliquote potenziale e cinetica. Infatti, le particelle fluide, inizialmente disposte su piani

di riposo, ruotano intorno ai centri posti su piani verticalmente più alti rispetto a quelli

di riposo; pertanto ad esse compete un’energia potenziale maggiore. A questa è da

aggiungere l’energia cinetica dovuta alla velocità periferica di rotazione.

L’espressione dell’energia dell’onda tropicale sarà ricavata seguendo l’elegante e

rigoroso metodo riportato nella pubblicazione scientifica: “Sull’energia dell’onda

trocoidale”, autori i professori M. Mandarino, E. Fasano jr, rivista “Tecnica Italiana”,

N.1, 1982. ρdτ

Si consideri una particella materiale di volume dτ e massa avente coordinate

β

lagrangiane (α, y, ).

Rispetto alle condizioni statiche sia dE l’energia meccanica complessiva da essa

e cinetica dE .

posseduta, somma delle due aliquote potenziale dE

P C

Per effetto del moto circolare uniforme, la particella possiede un’energia dE è pari a:

C

1 1

= = ω ρ τ = τ

2 2 2

dE v dm r d w b

d

c 2 2

= 2

b r 2 R

essendo la distanza tra la linea dei centri orbitale e quella di riposo.

β+b,

Questa ultima ha una distanza dall’asse z = sicché detta z la coordinata verticale

r

della posizione occupata all’istante t, l’energia potenziale della particella rispetto alla

retta di riposo è data dalla relazione:

( ) ( ) ( )

= − τ = − ϑ τ ϑ = α +

dE w z z d w b r cos d ; k mt )

P r 31

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

Ne segue la relazione: = + = τ − ϑ τ

dE dE dE 2 wbd wr cos d

P C

Si consideri un cilindro di liquido limitato da due piani paralleli a quello di moto e posti

a distanza unitaria, superiormente dalla superficie ondosa libera, lateralmente dalle

superficie cui appartengono le verticali idrodinamiche delle particelle fluide aventi i

α α+ λ.

centri orbitali sulle rette x = ed x = ed inferiormente illimitata.

( ) ( )

τ α α

, t , E , t il detto cilindro e l’energia meccanica della massa

Si indichino con

liquida in esso contenuta.

Dalle precedenti relazioni segue: ∫ ∫

( )

α = = − ϑ τ

E , t dE 2 E wr cos d

c

( ) ( )

τ α τ α

, t , t

⎡ ⎤

[ ] [ ]

1 1

= α α + λ ⋅ − ⋅ β ∞

I , , ,

Assunto l’intervallo , e indicato con D lo jacobiano

⎢ ⎥⎦ S

⎣ 2 2

β

-2k , l’integrale a secondo membro si scrive:

della trasformazione, pari a 1-e

∫ ∫

ϑ τ = ϑ α β =

wr cos d w r cos D d dy

d

( )

τ α , t I

∞ α + λ

∫ ∫

− β

k

e ( )

− β

= − β α + α

2 k

w (

1 e ) d cos k mt d

k

β α

s 32

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

Essendo nullo l’ultimo integrale scritto, segue:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

α = α = α + α ⇔ α = α

E , t 2 E , t E , t E , t E , t E , t

c c P c P

Pertanto, l’energia complessiva è data dalla relazione: ( )

∫ ∫ ∫

( ) β

α = = τ = − α β =

2 k

E , t 2 dE w b

d 2 w b 1 e d dy

d

c

( ) ( )

τ α τ α

, t , t I

∞ − β − β ⎤

⎡ ⎤ π

2 2 2

2 k 4 k

∫ H H

e e

= λ − β = λ −

S S ⎥

⎢ ⎥ d w 1

2 w λ

2

2 k 2 k 8

⎣ ⎦

⎣ 2

β S

Dove H = 2r è l’altezza dell’onda di superficie.

S S

Si può pertanto concludere che l’energia meccanica totale della massa liquida

considerata è somma di due aliquote uguali, potenziale e cinetica,costanti nel tempo e

α.

indipendenti dalla coordinata

Essendo il secondo termine in parentesi generalmente molto piccolo, spesso si scrive:

2

H λ

= + ≅ S

E E E w

P c 8 33

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Napoli, Ottobre, 2001

5. MOTI ONDOSI REGOLARI IRROTAZIONALI

5.1 INTRODUZIONE

La teoria dell’onda trocoidale presenta una limitazione nell’ipotesi di profondità infinita

del fondale ed una incongruenza nella rotazionalità del moto fluido.

Nella teoria dell’onda piana sinusoidale il fondale può essere anche finito e le equazioni

del moto sono completamente rispettate.

Le ipotesi sono:

• Fluido perfetto ed incomprimibile a temperatura costante, orizzontalmente indefinito,

limitato superiormente dalla superficie libera e inferiormente dal fondo:

• Forze esterne gravitazionali:

• Moto irrotazionale

Si assuma il seguente riferimento cartesiano:

• Oxyz fisso

• Coordinato Oxy coincidente con la superficie libera indisturbata, origine qualsiasi;

• Asse z verticale, positivo verso l'alto.

Detti: ( )

ϕ = ϕ

• x , y

, z , t la funzione potenziale di velocità;

( ) ( ) ( )

= − ⇔ ψ = + =

• z h x , y ; ' x , y

, z z h x , y 0 l’equazione del fondo;

( ) ( ) ( )

= ζ ψ = − ζ =

• z x , y

, t ; x , y , z , t z x , y , t 0 l’equazione della superficie libera;

Le equazioni del moto sono: ( )

∆ ϕ =

⎧ x , y , z , t 0

2

⎪ ∂ϕ p

1

⎪ + + + =

2

v g z 0

⎪ ∂ ρ

⎩ t 2 34

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

con campo di definizione: [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∀ ∈ − ∞ +∞ × − ∞ +∞ × − ζ

x , y

, z , , h x , y , x , y

, t

Le condizioni ai limiti sono:

1. Sulla superficie libera:

a) Condizione cinematica:

∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂ζ

+ − + = ⇔ + × ψ = ⇔

v

0 0

u v w grad

∂ ∂ ∂ ∂

x y t t

b) Condizione dinamica :

⇒ :

p = p p = p = 0

assoluta atmosferica relativa

∂ϕ 1

+ + ζ =

2

v g 0

t 2

2. Sul fondo: ∂ϕ

× = =

v n 0

∂n

Le condizioni iniziali si riferiscono al liquido inizialmente in quiete, vale a dire che in

= ζ = = = =

t 0 : u v w 0

tutti i punti del campo di moto per .

ϕ

All’infinito occorre imporre che la funzione sia limitata. 35

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Napoli, Ottobre, 2001

5.2 LA TEORIA LINEARE

Le equazioni scritte costituiscono un sistema non lineare di equazioni differenziali alle

derivate parziali, in quanto tali sono le condizioni dinamiche e cinematiche in superficie

libera. La soluzione è possibile quando, come suggerito da Stokes, la funzione

ζ

potenziale di velocità e l’elevazione ondosa siano sviluppabili in serie di potenze

ε

rispetto ad un parametro : ( ) ( ) ( )

ϕ = ε

ϕ + ε ϕ + ε ϕ +

1 2 2 3 3 ......

( ) ( ) ( ) ( )

ζ = ζ + ε

ζ + ε ζ + ε ζ +

0 1 2 2 3 3 ...... ε

Il Levi-Civita ha dimostrato che il procedimento è convergente purché sia

sufficientemente piccolo.

La soluzione analitica del problema si semplifica ulteriormente quando nei precedenti

sviluppi si trascurino i termini di ordine superiore al primo. Ciò equivale a considerare

λ

onde di piccole ampiezza a rispetto alla lunghezza , vale a dire ammettere che il

rapporto a/λ <<1. Tali ipotesi comportano il trascurare nelle equazioni scritte le

ϕ ζ

potenze di esponente maggiore di uno delle derivate parziali delle funzioni e e i

prodotti di cui due o più fattori coincidano con tali derivate ed imporre il rispetto della

condizione ai limiti in superficie sul piano z=0.

Pertanto la condizione cinematica sulla superficie libera:

ζ ϕ + ζ ϕ − ϕ + ζ = 0

x x y y z t

si riduce nell’ipotesi di linearità alla seguente:

ζ = ϕ =

=

t z 0

z

0

z 36

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

Quella dinamica ( )

1

ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ζ =

2x 2y 2z g 0

t 2

diventa: ϕ + ζ =

g 0

=

t z 0

Le due condizioni in superficie, combinate tra loro, danno la relazione complessiva:

ϕ + ϕ =

g 0

= =

tt z z

0 0

Infine, se si assume il fondale di profondità costante pari ad h, l’equazione sul fondo si

scrive: ϕ = 0

=−

z z h

Le equazioni da integrare sono: ( )

∆ ϕ =

⎧ x , y

, z , t 0

2

⎪ ∂ϕ 1 p

⎪ + + + =

2

v g z 0

⎪ ∂ ρ

⎩ t 2

con campo di definizione: [ ]

( ) ( ) ( )

∀ ∈ − ∞ +∞ × − ∞ +∞ × −

x , y

, z , , h ,

0 37

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Napoli, Ottobre, 2001

5.3 L’ONDA SINUSOIDALE PROGRESSIVA

La soluzione più semplice delle precedenti equazioni è l’onda piana progressiva

sinusoidale, avanzante a velocità costante senza deformarsi su un fondale di profondità

uniforme.

A tale fine si assuma la seguente funzione per il potenziale di velocità:

− − ω + ε

ϕ = ℜ = − ω + ε

i ( kx t )

( x , z , t ) e P ( z ) ie P ( z ) sen( kx t )

ω

dove k e sono costanti reali positive.

La funzione scritta è certamente il potenziale di un moto fluido piano, con giacitura del

piano di moto coincidente con quella del coordinato Oxz.

ϕ

Le derivate prime e seconde di valgono:

ϕ = − ω + ε ϕ = − − ω + ε

2

k P ( z ) cos( kx t ); k P ( z ) sen( kx t );

x xx 2

dP ( z ) d P ( z )

ϕ = − ω + ε ϕ = − ω + ε

sen( kx t ); sen( kx t );

z zz

dz dz

Pertanto, l’equazione di Laplace si scrive: 2

d P

∆ ϕ = ⇔ − 2

0 k P ( z )

2 2

dz

L’integrale generale di questa equazione è: 38

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2001 −

= +

kz kz

P ( z ) Ae Be

Le costanti A e B si ottengono imponendo la condizione ai limiti sul fondo:

∂ϕ C

− −

= ⇒ − = ⇒ = =

kh kh kh kh

kAe kBe Ae Be

0 0

∂z 2

=−

z h

Ne segue: ⎫

C

= kh

A e ⎪

2 ⎪ + − +

+

k ( z h ) k ( z h )

e e

⇒ = = +

⎬ P ( z ) C C cosh k ( h z )

2

C ⎪

= kh

B e ⎭

2

e la seguente espressione del potenziale di velocità:

ϕ = + − ω + ε

( x , z , t ) C cosh k ( z h )

sen ( kx t )

Dalla condizione dinamica ai limiti in superficie

∂ϕ + =

ζ 0

g

t =

z 0 39

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

si ricava l’espressione dell’elevazione ondosa:

ω

C

= ζ = − ω + ε = − ω + ε

z ( x , t ) cosh kh cos( kx t ) a cos( kx t )

g

dove si è posto: ω

C ag 1

= ⇒ =

a cosh kh C ω cosh kh

g ϕ

Con le posizioni fatte, la funzione vale: +

a g k z h

cosh ( )

=

ϕ − ω + ε

kx t

( x , z , t ) sen( )

ω kh

cosh

Il rispetto della condizione complessiva in superficie:

∂ ϕ ∂ϕ ⎛ ⎞

2 k ( )

= ⇔ − ω +

+ − ω + ε =

2

⎜ ⎟

g 0 ag ag tanh kh sen kx t 0

∂ ω

∂ ⎝ ⎠

2 z

t =

= z 0

z 0

richiede che sia identicamente nullo il termine in parentesi, pertanto:

ω 2 = k tanh kh

g 40

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

Di seguito si analizzerà l’influenza del fondale sulle caratteristiche del moto ondoso in

esame; a tal fine si considereranno le seguenti condizioni:

1. Fondale di profondità infinita;

2. Fondale di profondità finita;

1. Fondale di profondità infinita

Per fondale di profondità illimitata, si ottengono le seguenti relazioni:

a g

ϕ = − ω + ε

kz

e kx t

( x , z , t ) sen( )

ω

= ζ = − ω + ε

kz

z ( x , t ) a e cos( kx t )

ω 2 = k

g ∈Oxz

Si identifichi la generica particella fluida con le coordinate x , z del punto P da

0 0 0

( )

=

x x x , z , t

essa occupato nelle condizioni di quiete. Le funzioni e

0 0

( )

=

z z x , z , t danno le equazioni parametriche della traiettoria descritta nel tempo

0 0 ( )

x , z .

dalla particella 0 0

Nel moto fluido in esame esse sono espresse dalle relazioni:

⎧ = − − ω + ε +

kz

x a e sen ( k x t ) x

0 0 0

⎪ = − ω + ε +

kz

⎩ z a e cos( k x t ) z

0 0 0 41

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

ottenute integrando rispetto al tempo le equazioni:

⎧ a g

dx ( )

= = ϕ = − ω + ε

kz

u x , z , t k e cos

( kx t )

⎪ 0

ω

x 0 0 0

dt

⎪ a g

dz ( )

⎪ = = ϕ = − ω + ε

kz

w x , z , t k e sen( kx t )

0

ω

⎩ z 0 0 0

dt

e ponendo in esse le costanti di integrazione pari alle rispettive coordinate della

posizione iniziale assunta.

Quadrando e sommando si ha: ( )

( ) ( ) 2

− + − = =

2 2 kz 2

x x z z a e r

0

0 0

( )

x , z

Ne segue che la particella fluida è animata di moto circolare di raggio

0 0

( )

= kz

r a e x , z

e centro nel punto di coordinate .

0 0 0

Al generico istante t, vale anche la relazione:

x x ( ) ( )

= − − ω + ε = − ϑ ⇒ ϑ = − ω + ε

0 tan kx t tan kx t

− 0 0

z z 0

ϑ

Con l’angolo si è indicata l’anomalia del punto P(x, z), posizione occupata dalla

( )

x , z

particella all’istante t, misurata in senso orario rispetto alla retta verticale

0 0

passante per il centro della traiettoria, vale a dire di segno contrario alle rotazioni

antiorarie, assunte positive. ∂ ϑ ∂ = ω

j t

Pertanto, detto il versore dell’asse y e il modulo costante della velocità

= π ω

= − ω

ω j T 2

angolare, risulterà . Il periodo di rotazione è .

L’elevazione ondosa è data dalla relazione: 42

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2001 = ζ = − ω + ε

kz

z (x, t) a e cos(kx t )

0

Fissato il tempo, questa relazione dà, al variare di x e z, il luogo geometrico dei punti

del piano Oxz occupati dalle particelle fluide nell’istante considerato.

Quando si fissano i valori di t e di z , si ottiene l’equazione di una funzione sinusoidale

0 λ = =2 π λ

kz 2π k k

a e 0

in x, di ampiezza e lunghezza . La costante positiva è

detta numero di onda.

Si assumerà quale profilo ondoso di superficie all’istante t, quello dato dalla precedente

relazione quando in essa si ponga z = 0.

0

= ζ = − ω + ε

z ( x , t ) a cos( kx t )

vale a dire il luogo geometrico dei punti del piano, aventi coordinate (x, z), occupati

dalle particelle fluide animate di moto circolare uniforme di velocità angolare

= π ω

= − ω

ω j , T 2

periodo , raggio a e centri appartenenti all’asse x, vale a dire il

profilo ondoso di superficie è la linea fluida che si compone delle particelle posto

inizialmente sul pelo libero indisturbato. ζ

Nella precedente relazione, fissato il valore di x, si ottiene l’elevazione ondosa nel

ζ

punto P(x, 0), al variare del tempo. La legge di variazione di è quella di un moto

= π ω

ω, T 2

armonico di pulsazione ampiezza a, periodo di oscillazione . = − λ

z 9 ,

Sotto la superficie libera il moto si smorza rapidamente; infatti per 0

= − λ

z 2 si riduce a meno di un ventesimo, per

l’ampiezza dell’onda si dimezza, per

= − λ

z diventa circa 1/535. Γ Γ

Si fissino due istanti t e t , con t = t +∆t, e si indichino con e i rispettivi

1 2 2 1 1 2

profili ondosi di equazioni: 43

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Napoli, Ottobre, 2001


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria navale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Architettura Navale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Miranda Salvatore.

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