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Lezione 16

Monotonia

Esempio 2

(x) =

Determinare gli intervalli di monotonia di f x 2 ln x.

2

(x) = =

Abbiamo visto che Df 2x con x 1 unico punto stazionario

− x

(f ) = (0, +∞).

poiché CE 2

2 x

(x) = −1

f se e solo se Df 2x 0 cioè 0 e quindi

ր − ≥ ≥

x x

[1, +∞);

x ∈ 2

2 x

(x) = −1

f se e solo se Df 2x 0 cioè 0 e quindi

ց − ≤ ≤

x x

(0,

x 1].

∈ 0 1

↓ ↓

∄ ∄ +

segno di Df 0

∄ ∄

monotonia di f min

ց ր dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 16 6 / 24

Lezione 16

Monotonia 1 2

(x ) =

Figure: Grafico della funzione f x 2 ln x

− dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 16 7 / 24

Lezione 16

Massimi e minimi & monotonia

a

Teorema (1 condizione sufficiente per massimi e minimi)

(a,

Sia x b) un punto stazionario per f derivabile.

0

Se esiste r 0 tale che

> (x) (x )

Df 0, r x

≤ ∀x ∈ − ,

0 0

(x) (x + )

Df 0, x r

≥ ∀x ∈ ,

0 0

allora x è un punto di minimo locale.

0

Se esiste r 0 tale che

> (x) (x )

Df 0, r x

≥ ∀x ∈ − ,

0 0

(x) (x + )

Df 0, x r

≤ ∀x ∈ ,

0 0

allora x è un punto di massimo locale.

0 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 16 8 / 24

Lezione 16

Massimi e minimi & monotonia

Purtroppo esistono funzioni derivabili che pur assumendo in un punto

x il minimo (oppure il massimo) non risultano prima decrescenti e

0

successivamente crescenti (o viceversa).

R R

:

Esempio. Sia f definita

−→ 1

2

+ =

x 2 sen se x 0,

6

x

(x) =

f =

0 se x 0.

= (x) =

Il punto x 0 è punto di minimo in quanto f 0 per ogni x 0;

6

>

0

inoltre la derivata di f è 1 1

+ =

4x 2xsen cos se x 0,

− 6

x x

(x) =

Df =

0 se x 0.

Si può far vedere che per ogni r 0 fissato la derivata Df non è

>

(−r (0, ).

sempre non positiva in 0) e non negativa in r

, dsm

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Lezione 16

Massimi e minimi & monotonia 1/2nπ

−1/(2n+1)π

−r 0 r

Figure: Grafico della funzione f dsm

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Lezione 16

Massimi e minimi & monotonia

Non sempre è facile studiare il segno di Df soprattutto quando siamo

in presenza di funzioni dipendenti da un parametro.

a

Teorema (2 condizione sufficiente per massimi e minimi)

N

(a, (a,

Siano x b) un punto stazionario per f b) e n tale

∈ ∈ C ∈

0

n k

(x ) = (x ) =

che D f 0 e D f 0 per ogni k n.

6 <

0 0

Se n è pari e se

n (x )

D f 0 allora x è un punto di minimo locale,

>

◮ 0 0

n (x )

D f 0 allora x è un punto di massimo locale.

<

◮ 0 0

Se n è dispari x non è né punto di minimo né punto di massimo

0

locale ed inoltre

n (x )

D f 0 implica f strettamente crescente;

>

◮ 0

n (x )

D f 0 implica f strettamente decrescente.

<

◮ 0 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 16 11 / 24

Lezione 16

Massimi e minimi & monotonia =

Dimostrazione. Limitiamoci al caso particolare n 4 e supponiamo

4 (x )

D f 0.

>

0 x

0

4 + + +

Segno di D f 3

Monotonia di D f ր ր

3 +

Segno di D f 0

2

Monotonia di D f ց ր

2 + +

Segno di D f 0

Monotonia di Df ր ր

+

Segno di Df 0

Monotonia di f ց ր

Quindi x è punto di minimo locale.

0 dsm

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Lezione 16

Massimi e minimi & monotonia

Esempio 4 3

(x) =

Determinare il carattere dei punti stazionari di f x 4x .

3 2

(x) = = =

La derivata Df 4x 12x si annulla in x 0 e x 3.

− 1 2

2 2

(x) =

La derivata seconda è D f 12x 24x.

2 (3) = =

Poiché D f 36 0 allora x 3 è punto di minimo locale.

> 2

2 3

(0) = (x) =

Purtroppo D f 0 e si calcola D f 24x 24.

3 (0) = =

Poiché D f allora x 0 non è punto né di minimo né di

−24 1

massimo locale e la funzione risulta strettamente decrescente in

un intorno di 0. dsm

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Lezione 16

Massimi e minimi & monotonia

0 3

4 3

(x ) =

Figure: Grafico di f x 4x .

− dsm

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Lezione 16

Convessità e concavità R

: (a,

Ricordiamo che una funzione f b) si dice

−→

convessa se per ogni coppia di punti sul grafico il segmento che li

unisce è tutto al di sopra del grafico di f compreso tra i due punti

cioè ((1 + ) (1 (x ) + (x )

f t)x tx t)f tf

− ≤ −

1 2 1 2

(a, [0,

per ogni x x b) e per ogni t 1];

∈ ∈

,

1 2

concava se per ogni coppia di punti sul grafico il segmento che li

unisce è tutto al di sotto del grafico di f compreso tra i due punti

cioè ((1 + ) (1 (x ) + (x )

f t)x tx t)f tf

− ≥ −

1 2 1 2

(a, [0,

per ogni x x b) e per ogni t 1].

∈ ∈

,

1 2 dsm

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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Teoremi di monotonia ed applicazioni; condizioni necessarie e sufficienti per il calcolo dei punti di massimo e dei punti di minimo per una funzione; funzioni concave e funzioni convesse; condizioni equivalenti per la convessità e la concavità; punti di flesso e condizione di esistenza.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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