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£ ¡ ¢¤

I∗ I∗ I∗

= A + p Q − c Q

v

mon mon mon

CP CP

= SN C + SN P

I

= SN P

mon

4.3 Esercizio con costi marginali crescenti

Dati: ³ ´

2

(1−q)

1

• Funzione di utilità di ogni consumatore i − esimo che compra 1 sola unita di q : U (q) = θ −

i i 2 2

• Funzione d’utilità aggregata supponendo che ogni consumatore sia una quota λ , i = 1, ..., I della popo-

i

lazione, usiamo la stessa funzione con il θ medio.= 2

à !

2

1 (1 − q)

U (q) = θ −

2 2

2

• C (q) = F + c (q) = 0 + c · q ;

v

• cma = ∂c (q ) /∂q = 2c · q, dove c = 0.5

v i

Usando le (1) e (2) I

X

Imon

max π (q , q , ...q ) = λ [U (q ) − c (q )]

1 2 I i i i v i

q ,q ,.q .

1 2 I i=1 #

" Ã !

I

X 2

1 (1 − q )

i

= λ (q )

θ − − c

i v i

2 2

i=1

I

X

= λ A

i i

i=1

Imon (q , q , ...q )

∂π 1 2 I 0 0

I∗

q : : λ [U (q ) − c (q )] = 0

i i i

i i v

∂q

i

(θ (1 − q ) − 2c · q ) = 0

: λ

i i i i

θ i

I∗ =

=⇒ q

i 2c + θ i ¡ ¢ θ i

I∗ I∗

=⇒ p = 2 · c · Q = 2c ·

i mon 2c + θ i

oppure µ ¶

¡ ¢ θ θ

i i

I∗ I∗

=⇒ p = θ 1 − q = 1.5

1 − = 2c ·

= θ i

i i 2c + θ 2c + θ

i i

dunque ⎧ µ ¶

⎛ ⎞

´

³ 2

⎪ ( )

1

2 1−

⎪ 1

θ 1+1

⎨ = − = 0.375

A

1 − i 1

1 2 2

⎜ ⎟

2c+θ µ ¶

i

A = θ − =

⎝ ⎠

i

i 2

⎪ ( )

2

2 2 1−

⎪ 12

∗ 1+2

⎩ A = 2 − = .89

2 2

= A + p q

T

1 1 1

1

T = A + p q

2 2 2

2

Da cui il profitto del monopolista in discriminazione di I grado

I∗

π = λ A + λ A

1 1 2 2

mon 8

4.4 Esercizio con costi marginali costanti

Dati: ³ ´

2

(1−q)

1

(q) = θ − = 1, θ = 2.

, dove θ

• Funzione di utilità di ogni consumatore i = 1, 2, U

i i 1 2

2 2

(q) = 0 + c · q;

• C (q) = F + c

v

(q) /∂q = c dove c = 0.5

• cma = ∂c

v

1. Calcolare la quantità venduta a ciascun consumatore

2. La tariffa in due parti attribuita a ciascuno

3. I profitti dello stesso monopolista derivanti dalla vendita a ciascun consumatore.

4. Il profitto totale del monopolista.

5. Il surplus netto di ogni consumatore.

6. Il surplus del monopolista

7. Il surplus sociale di questo caso.

Imon

max π = λ [U (q ) − cq ] + λ [U (q ) − cq ]

1 1 1 1 2 1 2 1

q ,q

1 2 I

∂π (q , q , ...q )

1 2 I 0 0

I∗

q : : λ [U (q ) − c (q )] = 0

i i i

i i v

∂q

i

(θ (1 − q ) − c) = 0

: λ

i i i

c

I∗

=⇒ q = 1 −

i θ i 0.5

I

q = 1 − = 0.5

1 1

0.5

I = 1 −

q = 0.75

2 2

I = θ (1 − q ) = 1 (1 − 0.5) = 0.5

=⇒ p 1 1

1

I

=⇒ p = θ (1 − q ) = 2 (1 − 0.75) = 0.5

2 2

2 ⎛ ⎞

´

³

à ! 2 ¶

µ

c

1 − 1 −

2 1

1 (1 − q c

) ⎜ ⎟

θ

i i

= θ = θ

A − − cq − − c 1 −

⎝ ⎠

i i i i

2 2 2 2 θ i

2

(θ − c)

i

= 2θ i

Usando la formula finale 2

(1 − 0.5)

A = = 0.125

1 2 2

(2 − 0.5)

= = 0.562

A

2 4

Da cui il profitto del monopolista in discriminazione di I grado

I∗ = λ A + λ A

π 1 1 2 2

mon

2. Calcolare la parte fissa A della tariffa in due parti. CP

3. Dimostrare che nel caso di funzione di costo marginale costante, poiché il SP = 0, allora

I∗ CP

= λ A + λ A = SN C

π 1 1 2 2

mon

4. Il surplus sociale di questo caso.

I∗ CP CP

= λ A + λ A = SN C = SS

π 1 1 2 2

mon 9

5 Discriminazione di II grado

Trattiamo il caso in cui il monopolista sa di affrontare diversi tipi di consumatori di cui conosce la diversa funzione

di domanda ma non può osservare i "tipi" per poter fissare per ogni tipo la tariffa di cui sopra che estrae il

loro surplus. Per esempio, fra studenti e adulti sono indistinguibili in un acquisto on-line. Analogamente, nelle

sottoscrizioni on-line è difficile distinguere fra un cliente business o residenziale. I consumatori a domanda alta,

se potessero accedere alla tariffa più bassa, cercherebbero di otenerla. Viceversa se offrisse ai tipi a domanda

bassa la tariffa troppo alta i consumatori a domanda bassa non comprerebbero affatto, determinando una perdita

di reddito.

Come può il monopolista discriminare fra i tipi non osservandoli? Il monopolista deve creare una tariffa tale

per cui non sia conveniente, per i tipi a domanda alta, accettare la tariffa in due parti degli individui a domanda

bassa (vincolo di incentivo) e che ciascun consumatore preferisca pagare la parte fissa per poi acquistare la

quantità per lui ottimale, che non consumare affatto (vicolo di partecipazione).

θ NON osservabili

Ipotesi 6 i

(No Resale condition) Impossibile per i consumatori fare "arbitraggio" comprando la merce al prezzo

Ipotesi 7

basso e rivendendola ad un prezzo più alto, non a causa di impossibilità fisica, ma perché svantaggioso in termini

di incentivi.

Il monopolista utilizzerà non il prezzo unitario per ogni unità prodotta, ma una "Tariffa in due parti"

Ipotesi 8

T = A + p q

i i i i

Per semplicità ipotizziamo costi fissi pari a zero: F = 0.

Ipotesi 9

5.1 Derivazione teorica

Supponiamo esistano

• due tipi i = 1, 2 con funzioni di utilità U (q ) = θ (1 − q ):

i i i i

• la funzione di costo del monopolista sia C (Q) = F + cq + cq , dove F = 0

1 2

Il programma di ottimizzazione del è il seguente

monopolista

max Π = λ (T − cq ) + λ (T − cq )

II 1 1 1 2 2 2

q ,q ,A,A

1 2 2 soggetto ai vincoli

(q ) − T ≥ U (q ) − T , (V I )

U

2 2 2 2 1 1 2

U (q ) − T ≥ U (q ) − T , (V I )

1 1 1 1 2 2 1

U (q ) − T ≥ 0, (V P ),

2 2 2 2

U (q ) − T ≥, 0 (V P ),

1 1 1 1

• Si dimostra che se vale la proprietà per cui la U M (q) > U M (q) in ogni punto q, (l’utilità marginale o

2 1

vvero la curva di domanda del tipo 2 è più ripida, i vincoli (V I ) e (V P ) sono ridondanti (dimostrazione

1 2

in appendice) e gli altri due valgono con il segno di eguaglianza.

Il problema di venta quindi max Π = λ (T − cq ) + λ (T − cq )

II 1 1 1 2 2 2

q ,q ,A,A

1 2 2 soggetto ai vincoli

U (q ) − T = U (q ) − T , (V I )

2 2 2 2 1 1 2

U (q ) − T =, 0 (V P ),

1 1 1 1

Da (V P )

1 T = U (q )

1 1 1

sostuendolo in (V I )

2 T = U (q ) − [U (q ) − U (q )]

2 2 2 2 1 1 1

10

II

Sostutuiamo T e T in Π

1 2

max Π = λ (U (q ) − cq ) + λ {U (q ) − [U (q ) − U (q )] − cq }

II 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2

q ,q ,A,A

1 2 2 II

∂Π 0

: λ (U (q ) − c) = 0

2 2

∂q

2

II

∂Π 0 0 0

: λ [U (q ) − c] − λ [U (q ) − U (q )] = 0

1 1 2 1 1

1 2 1

∂q

1

Soluzioni: 0

II∗ : U (q ) = c

q 2

2 2 0 0 0

II∗

q : λ U (q ) = c + λ [U (q ) − U (q )]

1 1 2 1 1

1 2 1

p = c

2 0 0

p = c + λ [U (q ) − U (q )] = cma + costo di "barare"

1 2 1 1

2 1

II∗ II∗ II∗

A : U (q ) − cq

2

2 2 2 0 0

II∗ II∗ II∗

A : U (q ) − (c + λ [U (q ) − U (q )]) q

1 2 1 1

1 1 2 1 1

¡ ¢ ¡ ¢

II II∗ II∗ II∗ II∗ II∗ II∗

Π = λ + p q − cq + p q − cq

A + λ A

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

¡ ¢ ¡ ¢

II∗ II∗ II∗ II∗ II∗ II∗

= λ + pq − cq + pq − cq

A + λ A

1 2

1 1 1 2 2 2

II∗ II∗

= λ A + λ A

1 2

1 2

5.2 Esempio ´

³ 2

(1−q)

1

• U (q ) = θ − .

i i i 2 2

0 (q ) = θ (1 − q) , θ = 1, θ = 2.

• U i i 1 2

i

• c = 0.5 mon

Π = λ (T − cq ) + λ (T − cq )

max 1 1 1 2 2 2

q ,q

1 2 soggetto ai vincoli

à Ã

! !

2 2

(1 − q (1 − q

) )

1 1

2 1

= θ , (V I )

θ − − T − − T

2 2 2 1 1

2 2 2 2

à !

2

1 (1 − q )

1

θ = 0, (V P ),

− − T

1 1 2

2 2

Dall’ultimo vincolo (??) ricaviamo à !

2

)

1 (1 − q

1

∗ (q ) = θ

T −

1 1

1 2 2

∗ (q , q ) = U (q ) − [U (q ) − U (q )]

T 1 2 2 2 2 1 1 1

2 Ã Ã Ã

! ! !

2 2 2

1 1 1

(1 − q (1 − q (1 − q

) ) )

2 1 1

= θ − − θ − + θ −

2 2 1

2 2 2 2 2 2

∗ ∗

e T nella funzione dei profitti(??) , che adesso sono soltanto funzione delle quantità q e q

Sostituiamo T 1 2

1 2 " Ã #

!

2

1 (1 − q )

1

max Π : λ θ +

− − cq

II 1 1 1

2 2

q ,q

1 2 " Ã Ã Ã #

! ! !

2 2 2

1 1 1

(1 − q (1 − q (1 − q

) ) )

2 1 1

+λ θ − − θ − + θ − − cq

2 2 2 1 2

2 2 2 2 2 2

11

Deriviamo per q e per q

1 2 mon

∂Π : λ [θ (1 − q ) − c] − λ [θ (1 − q ) − θ (1 − q )] = 0

1 1 1 2 2 1 2 1

∂q

1

mon

∂Π : λ (θ (1 − q ) − c) = 0

2 2 2

∂q

2

sostituendo i parametri (1 − q ) − c = 0 (12)

θ 2 2

λ [θ (1 − q ) − c] − λ [θ (1 − q ) − θ (1 − q )] = 0 (13)

1 1 1 2 2 1 1 1

riordinando i termini della prima condizione

(1 − q ) = c

θ 2 2 λ

2

(1 − q ) = c + [θ (1 − q ) − θ (1 − q )]

θ 1 1 2 1 1 1

λ

1

(1 − q ) = c

θ 2 2 λ

2

(1 − q ) = c + (1 − q ) (θ − θ )

θ 1 1 1 2 1

λ

1

∙ ¸

λ

2

(1 − q ) 1 + (1 − θ ) = c

θ 1 1 2

λ

1

Deve essere λ

2 (1 − θ ) < 1

0 < 1+ 2

λ

1

per cui deve essere λ

1

< (14)

1 < θ 2 λ

2

> λ .

quindi deve essere almeno λ

1 2 è alto, tanto meno la frazione di essi (λ ) deve essere

La condizione (14) dice che tanto più θ

Risultato 1 2 2

bassa. (Avanzato e facoltativo) Verificare se la violazione di questa condizione porta a profitti inferiori

Esercizio 2

al caso di non discriminazione.

Otteniamo, chiamando il termine entro parente quadra

λ

2 (1 − θ )

D =1+ 2

λ

1

Soluzioni c

II∗

q = 1 −

1 θ · D

1 c

II∗

q =1 −

2 θ 2

c

II∗

La grandezza q = 1 − corrisponde alla quantità che si trova in corrispondenza fra la retta

osservazione 3 i θi

del costo marginale e la retta della domanda di tipo θ . Il coefficiente D < 1 determina un q minore di quello

i i

in corrispondenza dell’intersezione suddetta e quindi un prezzo più alto.

II∗

p = c

2 c

II∗

p =

1 D Ã !

¢

¡ 2 2

II∗ ¢

¡

1 − q

1 (θ − c)

2

2

II∗ II∗

A = θ =

− − c 1 − q

2

2 2

2 2 2θ 2

à !

¢

¡ ¶

µ

2

II∗

1 − q

1 λ

2

1

II∗ II∗

A = θ ) (θ − θ ) q

− − c + (1 − q

1 1 2 1

1 1

2 2 λ

1

Non ci sono semplificazioni. calcolare solo numericamente.

II II∗ II∗

= λ A + λ A

Π 1 2

1 2

12

5.2.1 Soluzioni numeriche

Fissiamo λ = 0.7 =⇒ λ = 0.3

1 2 λ 0.3

2

D =1+ (1 − θ ) = 1 + (1 − 2) = 0.57

2

λ 0.7

1 c 0.5

II∗ = 1 −

q =1 − = 0.122

1 θ · D 0.57

1

c 0.5

II∗ = 1 − =1 −

q = 0.75

2 θ 2

2

II∗ = c = 0.5

p 2 c

II∗

p = = 0.5/0.57 = 0.87

1 D Ã

à ! !

¢¤

£ ¡ 2 2

II∗ II∗

− q

1 − q 1

1 [1 − (0.75 − 0.122)]

2 1

II∗ II∗

= θ q = 2

− − p − − 0.5 · 0.75 = 0.547

A 2 2

2 2

2 2 2 2

à Ã

! !

¢

¡ 2 2

II∗

1 − q (1 − 0.122)

1 1

1

II∗ II∗

= θ q =

− − p − − 0.87 · 0.122 = 0.0084

A 1 1

1 1

2 2 2 2

−3

: 8. 418 × 10

Al consumatore 2 resta .... (da calcolare)

e questo è dovuto all’asimmetria informativa.

5.2.2 Grafico surpluses D = (1 − q)

P

1

D

P = 2 (1 − q)

2 c

II∗

p = = 0.87

1 D

II∗ = c = 0.5

p 2

2.5

p(q) 2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 q

(Riportare commento Varian)

Verificare la differenza fra il profitto del monopolista nei casi di discriminaz I, II e nessuna

Esercizio.

discriminazione con gli stessi dati

5.2.3 Grafico tariffe = 0.547 + 0.5q

T

2

T = 0.0084 + 0.87q

1 13

2.0

T(q) 1.5

1.0

0.5

0.0 0 1 2 3

q

• cosa indica la quantità dove avviene l’intersezione fra le due rette? Non corrisponde a nessuna

Dubbio:

delle soluzioni di quantità trovate ed inoltre eccede la massima quantità acquistabile da ogni consumatore.

Si deve quindi trattare di una quantità aggregata? Se qualcuno ha una risposta, sarei felice di discuterne

con voi, grazie!

6 Discriminazione di III grado

NB. Devo "pulirla" leggermente, probabilmente ci sono resideui poco chiari negli esercizi. Lo farò più tardi. La

teoria dovrebbe funzionare. Eventualmente mandatemi commenti.

In questo caso, esistono più tipi di consumatori con funzioni di domanda osservabili, come nel caso di

discriminazione di I grado, ma il monopolista non usa lo strumento della tariffa in 2 parti, ma soltanto il prezzo

lineare, quindi non è in grado di appropriarsi dei surplus dei consumatori.

θ osservabili

Ipotesi 10 i

Impossibile per i consumatori fare "arbitraggio" comprando la merce al prezzo basso e rivendendola

Ipotesi 11

ad un prezzo più alto.

Prezzo lineare.

Ipotesi 12

Nella discriminazione di III grado il monopolista chiede soltanto un prezzo lineare nella quantità (senza parte

.

fissa) diverso ad ogni tipo di consumatore a cui venderà una quantità specifica del bene q

i

Esistano due tipi di consumatori, ciascuno con la propria funzione di domanda inversa, mentre, essendo

la merce un bene omogeneo, essa avrà un’unica funzione di costo sui due mercati perché il bene è prodotto

dall’unico monopolista. Il monopolista massimizza la seguente funzione di profitto

III

max Π = p (q )q + p (q )q − c (q + q )

1 1 1 2 2 2 1 2

q ,q

1 2 III ∂p ∂c

(q )

∂Π 1 1

: p (q ) + q − (q + q ) = 0

1 1 1 1 2

∂q ∂q ∂q

1 1 1

(q ) = CM A (q )

: RM A

1 1 1 1

∙ ¸

1 ∂c

p (q ) 1 − , (15)

=

1 1 |ε | ∂q

1 1

III

∂Π ∂p ∂c

(q )

2 2

: p (q ) + q − (q + q ) = 0

2 2 2 1 2

∂q ∂q ∂q

2 2 2

(q ) = CM A(q )

: RM A

2 2 2

∙ ¸

1 ∂c

p (q ) 1 − (16)

=

2 2 |ε | ∂q

2 2

Poiché il costo marginale è lo stesso nei due mercati e pari a c, equaglio la (15) e la (16)

∙ ∙

¸ ¸

1 1

(q ) 1 − (q ) 1 −

= p

p 1 1 2 2

|ε | |ε |

1 2

14


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratto dal corso di lezioni di Economia dell’Organizzazione Industriale tenuto dalla professoressa Augusta Miceli, tratta del monopolio, nello specifico trattando i vari temi della Massimizzazione del profitto, della Elasticità della domanda, del Ricavo Marginale, della Massimizzazione del profitto e della Condizione di entrata sul mercato in monopolio.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia dell’Organizzazione Industriale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Miceli Maria Augusta.

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