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Ne segue chela (8), da un punto di vista analitico, è invariante rispetto a tutte le possibili

trasformazioni definite dalle relazioni (2).

Sostituendo nella (9), si ottiene ancora :

( )

= = =

q K q K f q ,

q ,....,

q f ( K q ,

K q ,...., K q )

1 2 n 1 1 2 2 n n (10)

+ +

∀ ∈ℜ ∀ λ µ τ ∈ℜ

n 3

( q , q ,....., q ) , ( , , ) .

1 2 n

Vale a dire: = ( , ,...., )

La funzione q f q q q è dimensionalmente omogenea se e solo se l’equazione

1 2 n λ µ τ

( , ,...., , , , )

(10) è un’identità nella variabili q q q .

1 2 n

Osservando la (10) e le precedenti relazioni segue, altresì, che la funzione gode di una

λ, µ, τ .

triplice omogeneità di gradi a, b, c rispetto a

Si noti che se Q è una grandezza adimensionale, essendo K = 1, la (10) diventa:

( )

= = =

q q f q ,

q ,....,

q f ( K q ,

K q ,...., K q ) (11)

1 2 n 1 1 2 2 n n

vale a dire che un'equazione adimensionale è certamente dimensionalmente omogenea,

essendo indipendente da qualsiasi trasformazione definita dalle (2).

Ad esempio si consideri la resistenza D incontrata da una sfera di diametro d animata di

ρ

moto rettilineo uniforme di velocità V in un fluido indefinito di densità e viscosità

ε,

dinamica sicché, fissato un sistema di unità di misure, si abbia:

ρ ε

=

D f (

V , d , , ) 8

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Luglio, 2006

Le dimensioni delle grandezze ed i corrispondenti coefficienti di riduzione sono:

[ ] − −

λ µ τ

= =

2 2

D L M T ; K D

[ ] − −

λ τ

= =

1 1

V L T ; K

V

[ ] λ

= =

d L : K d

[ ] − −

ρ λ µ

= =

3 3

L M ; K ρ

[ ] − − − −

ε λ µ τ

= =

1 1 1 1 1

. L M T ; K ε

Se si passa a nuove unità di misura, la condizione di omogeneità dimensionale richiede

che: ρ ε

=

K D f ( K V , K d , K , K )

ρ ε

D V d

La funzione: ρ

V d

ρ

= 2 2

D V d f ( )

ε

che in seguito si ricaverà, soddisfa l’omogeneità richiesta. Infatti, applicando la

trasformazione conseguente ad una variazione di unità di misure, si ha: ρ

K V K d K ρ

V d

= ρ 2 2 2 2

K D K K V K d f ( )

ρ

D V d ε

K ε

− −

λ τ λ λ µ ρ

1 3

V d

− − −

λµτ =λ µρ λ τ λ =

2 3 2 2 2 2 2

D V d f( )

− −

λ µ τ ε

1 1

ρ

Vd

= λ µ τ ρ

2 2 2

V d f ( )

ε 9

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Luglio, 2006 = + + +

Q Q Q ..... Q

Se la relazione funzionale (7) è del tipo , si ha:

1 2 n

= = + + +

q f ( q , q ,...., q ) q q ....... q (12)

1 2 n 1 2 n

Q , Q Q ,....., Q

La (12) è dimensionalmente omogenea se le grandezze hanno

1 , 2 n

uguali dimensioni. = ⋅ ⋅ ⋅

n n n

Q Q Q ..... Q

1 2 n , affinché la funzione numerica::

Se la (7) è del tipo 1 2 n

= = ⋅ ⋅ ⋅

n n n

q f ( q , q ,...., q ) q q ........ q

1 2 n (13)

1 2 n 1 2 n

n , n ,......, n

sia dimensionalmente omogenea, gli esponenti devono essere

1 2 n

soluzioni del sistema: + + + =

⎧ ..........

a n a n a n a

1 1 2 2 n n

⎪ + + + =

⎨ ..........

b n b n b n b (14)

1 1 2 2 n n

⎪ + + + =

⎩ .........

c n c n c n a

1 1 2 2 n n

la cui seconda matrice è la matrice dimensionale (6).

Se a = b = c = 0 la grandezza Q è adimensionale, la sua misura q è indipendente dal

n , n ,......, n devono essere soluzioni

sistema di unità di misura e gli esponenti 1 2 n

del sistema lineare omogeneo associato al sistema (14):

+ + + =

⎧ a n a n a n

.......... 0

1 1 2 2 n n

⎪ + + + =

b n b n b n

.......... 0 (15)

1 1 2 2 n n

⎪ + + + =

c n c n c n

. ......... 0

1 1 2 2 n n 10

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Luglio, 2006

Pertanto, resta definito il prodotto adimensionale

∏ = ⋅ ⋅ ⋅

n n n

Q Q ..... Q

1 2 n

1 2 n

Q Q ,....., Q . Esso è una funzione reale positiva delle misure

delle grandezze 1

, 2 n

q , q ,......, q ed, essendo una grandezza adimensionale, è invariante rispetto ad una

1 2 n

qualsiasi trasformazione di unita di misura.

Commenti e considerazioni

L’osservazione sperimentale di un fenomeno fisico deve evidenziare le grandezze coinvolte e i legami tra esse

esistenti. La relazione analitica descrittiva deve formalizzare la presenza sia delle grandezze, che delle

dipendenze rilevate, considerando in maniera primaria che:

− la relazione fisica deve sussistere indipendentemente dalle unità di misura scelte;

− tutte le operazioni analitiche utilizzate devono soddisfare il principio di omogeneità dimensionale.

La prima condizione è intrinseca allo stesso fenomeno fisico in esame; la seconda coinvolge le operazioni

analitiche impiegate. L’omogeneità dell’operazione di somma ha significato chiaro ed immediato.

Non altrettanto evidente è stato il significato di altre operazioni, quali ad esempio moltiplicazione e

potenza, che applicate a grandezze di specie diverse danno comunque una grandezza fisicamente

significativa.

Queste questioni sono state a lungo dibattute ed hanno trovato adeguata e corretta sistemazione con la

definizione di grandezze derivate data da Newton.

L’Analisi Dimensionale formalizza il problema e fornisce i necessari strumenti per evidenziare le

dimensioni di tutte le grandezze fisiche, che caratterizzano le grandezze stesse, al di là della loro misura,

legata alle unità fissate. Le grandezze adimensionali superano anche questo ultimo problema, rendendo

altresì possibile ridurre l’equazione di un fenomeno fisico a dipendere unicamente da esse.

∏ indipendenti è pari al numero delle

Il numero p di prodotti adimensionali i

soluzioni indipendenti del sistema lineare omogeneo (15), vale a dire p = n - r, dove r

è il rango della matrice (dimensionale) del sistema omogeneo associato ed n il numero

delle incognite.

Poiché le infinite soluzioni del sistema (15) dipendono linearmente dalle p soluzioni

Q Q ,....., Q

indipendenti, ulteriori prodotti adimensionali delle grandezze 1

, 2 n

∏ ∏ ∏

, , ......., , sicché si può

dipenderanno dai p prodotti indipendenti 1 2 p

Π

scrivere che un qualsiasi prodotto adimensionale è esprimibile dalla relazione:

∏ = ∏ ∏ ∏ (16)

F ( , ,

......, )

1 2 p 11

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Napoli, Luglio, 2006

Se la grandezza Q non è adimensionale, è possibile: ∏

Risolvere il sistema (14) e definire un prodotto avente le stesse dimensioni

B) Q

di Q: ∏ = ⋅ ⋅ ⋅ ∏ =

n n n

Q Q ..... Q : Q

1 2 n

Q Q

1 2 n

Il sistema ha soluzione se e solo se le matrici del sistema (14) hanno stesso rango,

condizione certamente verificata, avendo ammesso la omogeneità dimensionale della

=

q f ( q , q ,...., q ) .

funzione 1 2 n

Calcolato , resta definito il prodotto adimensionale:

Q Q Q

∏ = Π = =

1

Q ∏

Q ⋅ ⋅ ⋅ n

n n n

1 2

Q Q ..... Q

Q n

1 2

che, per la (16), è, in generale, funzione dei p prodotti indipendenti

∏ ∏ ∏

, , ......., q ,

q ,......, q

, con valori funzioni di e invarinati rispetto ad

1 2 p 1 2 n

una qualsiasi trasformazione definita dalle relazioni (2).

Considerare la funzione implicita

B) ( )

ψ = − =

Q,Q ,Q ,....,Q F(Q ,Q ,....,Q ) Q 0

1 2 n 1 2 n

e calcolare i prodotti adimensionali indipendenti ottenibili dalle grandezze

( )

Q,Q ,Q ,....,Q ; successivamente si espliciterà la dipendenza funzionale del

1 2 n

prodotto relativo a Q dai rimanenti.

Si possono trarre quindi le seguenti conclusioni.

Tra le grandezze coinvolte in un fenomeno fisico sussista la relazione funzionale:

=

Q F ( Q , Q ,...., Q )

1 2 n 12

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Napoli, Luglio, 2006 +

ℜ n

La funzione reale, positiva, continua ed uniforme in :

=

q f ( q , q ,...., q )

1 2 n

sia dimensionalmente omogenea.

∏ ∏ ∏

, , ......., i prodotti adimensionali indipendenti definiti dalla

Detti 1 2 p ∏

grandezze coinvolte nel fenomeno e quello relativo alla grandezza Q, tutti

calcolabili nei modi su indicati, la relazione funzionale:

=

Q F ( Q , Q ,...., Q )

1 2 n

può essere ridotta nella forma:

∏ = Ψ ∏ ∏ ∏

( , ,......, )

1 2 p

Questa ultima esprime il così detto teorema di Buckingham o di Vaschy.

Si perviene, pertanto ad una relazione che, benché, in generale, di forma non nota,

consente di dedurre informazioni utili su un determinato fenomeno fisico, in funzione di

variabili indipendenti ridotte nel numero ed adimensionali. Ne conseguono vantaggi

fondamentali legati sia alla riduzione del numero di variabili, sia all’indipendenza dei

valori assunti dalle unità di misura assunte, condizione quest’ultima necessaria perché

la relazione di Buckingham abbia il carattere invariante delle grandezze adimensionali.

Infine, si noti che un gruppo adimensionale può essere variato agendo su una delle sue

grandezze coinvolte; i suoi effetti, tuttavia, sono del tutto generali, vale a dire non legati

esclusivamente alla variazione della grandezza, ma a quella del gruppo adimensionale.

13

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Napoli, Luglio, 2006

3. GRUPPI EQUIVALENTI DI GRANDEZZE FONDAMENTALI

Le tre grandezze fondamentali non possono essere raggruppate in un prodotto

adimensionale, essendo: ∏ = a b c

L M T

verificata solo per a=b=c=0. Q , Q , Q ( a , b , c ),

Tre grandezze derivate abbiano dimensioni

1 2 3 1 1 1

( a , b , c ), ( a , b , c ) ; se la relazione:

2 2 2 3 3 3 ∏ = h

h h 3

Q Q Q

1 2

1 2 3

= = = Q , Q , Q

h h h 0 , godono della stessa proprietà

è verificata se e solo se 1 2 3

1 2 3

delle grandezze fondamentali. Ciò equivale ad imporre che il sistema

+ + =

⎧ h a h a h a 0

1 1 2 2 3 3

⎪ + + =

⎨ h b h b h b 0

1 1 2 2 3 3

⎪ + + =

⎩ h c h c h c 0

1 1 2 2 3 3

abbia unicamente soluzione nulla, vale a dire il determinante:

a a a

1 2 3 ≠

b b b 0 (17)

1 2 3

c c c

1 2 3 14

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Napoli, Luglio, 2006 Q , Q , Q

e le tre grandezze derivate si diranno dimensionalmente indipendenti.

1 2 3

Alle medesime conclusioni si perviene considerando i coefficienti di riduzione

K , K , K Q , Q , Q

di ; rispetto a L, M e T ed imponendo la loro indipendenza

1 2 3 1 2 3 h , h , h diversi da zero tali che:

algebrica, vale a dire che non esistano tre scalari 1 2 3

⋅ ⋅ = ⇔

h h h

K K K 1

1 2 3

1 2 3 (18)

+ + + + + +

λ µ τ = λ µ τ

h a h a h a h b h b h b h c h c h c 0 0 0

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

Le (18) equivalgono ancora al sistema (17):

+ + =

⎧ h a h a h a 0

1 1 2 2 3 3

⎪ + + =

⎨ h b h b h b 0

1 1 2 2 3 3

⎪ + + =

⎩ h c h c h c 0

1 1 2 2 3 3

= = =

h h h 0

che ammette la soluzione banale se e solo se il determinante della

1 2 3

matrice dei coefficienti è diverso da zero.

Ne segue che se Q è una generica grandezza derivata, avente dimensioni (a,b,c) e

coefficiente di riduzione K, può scriversi: β γ

α

= ⋅ ⋅

K K K K (20)

1 2 3

α, β, γ

in quanto certamente esistono le soluzioni del sistema:

α + β + γ =

⎧ a a a a

1 2 3

α + β + γ =

⎨ b b b b

1 2 3

α +

β + γ =

⎩ c c c c

1 2 3 15

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Napoli, Luglio, 2006

poiché il determinante della sua prima matrice è diverso da zero.

Pertanto, essendo q

β γ β γ

α α

= ⋅ ⋅ ⇔ = ⇒ = = ⋅ ⋅

1

K K K K K q K q K K K q

1 1 1

2 3 2 3

q

La misura di Q, come le grandezze fondamentali, gode di una triplice omogeneità di

α, β, γ Q , Q , Q

rispetto a .

gradi 1 2 3

Q , Q , Q , possono essere assunte come grandezze fondamentali in un

Pertanto 1 2 3

nuovo sistema di misura, e l'equazione dimensionale di Q si scriverà:

β γ

α

=

Q Q Q Q (21)

1 2 3

α, β, γ Q , Q , Q

dimensioni di Q rispettoa .

con 1 2 3

Gli esempi di seguito riportati evidenziano che è indispensabile il ricorso a terne di

grandezze dimensionalmente indipendenti per il calcolo dei prodotti adimensionali. 16

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Napoli, Luglio, 2006

2. CALCOLO DI PRODOTTI ADIMENSIONALI

E s e m p i o N. 1

Le grandezze più comuni coinvolte nei fenomeni di flusso sono la forza F, la velocità V,

ρ µ

l'accelerazione di gravità g, i parametri di stato del fluido, quali densità , viscosita

γ

, tensione superficiale , velocità c del suono nel fluido, pressione di vapore

.Scritte le equazioni dimensionali di queste grandezze:

p

v −

= 1 1 2

F L M T

= 1 0 0

L L M T −

= 1 0 1

V L M T

= 1 0 1

c L M T −

= 1 0 2

g L M T

ρ = 3 1 0

L M T

− −

µ = 1 1 1

L M T

γ = 0 1 2

L M T

[ ] − −

= 1 1 2

p L M T

v

si vogliono determinare i prodotti adimensionali indipendenti :

∏ = µ γ ρ

n n n n n nv

n n n

F g c L V p

3 5 6 7 8 9

1 2 4

i

Esplicitando le dimensioni delle singole grandezze e raccogliendo a base comune, si

può simbolicamente scrivere:

[ ] − + + + + − − + + + + − − − − − − −

∏ = = n n n n n n 3 n n n n n n n 2 n n 2 n n 2 n n 2 n

0 0 0

L M T L M T

1 2 3 4 6 7 8 9 1 2 5 8 9 1 2 3 4 5 7 9

i 17

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Napoli, Luglio, 2006

La condizione di omogeneità dimensionale consente di scrivere il sistema di tre

n , n , n , n , n , n ,

n ,

n , n

equazioni nelle nove incognite :

1 2 3 4 5 6 7 8 9

− + + + + − − =

⎧ n n n n n n 3

n n 0

1 2 3 4 6 7 8 9

⎪ + + + + =

⎨ n n n n n 0

1 2 5 8 9

⎪ + + + + + − =

⎩ 2 n n 2 n n 2 n n 2 n 0

1 2 3 4 5 7 9

Scrivendo nel seguente modo la matrice dimensionale delle otto grandezze:

n n

n n n n n n n 8 9

1 2 3 4 5 6 7

µ γ ρ p

F g C L V v

1 -1 1 1 0 1 1 -3 -1

L 1 1 0 0 1 0 0 1 1

M -2 -1 -2 -1 -2 0 -1 0 -2

T

si può notare la sua coincidenza, come già osservato, con la matrice del sistema sopra

scritto e quanto immediata sia da essa la scrittura dello stesso sistema..

La matrice dimensionale, come si può verificare, ha rango tre, il sistema, pertanto, è

certamente compatibile e le sue soluzioni indipendenti sono pari in numero a:

= − = − =

p n r 9 3 6 18

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Luglio, 2006 n

Per la loro determinazione, si risolva, ad esempio, il sistema rispetto alle incognite ,

6

n n n n n

Si osservi che i coefficienti di costituiscono un sistema massimo

, . , ,

7 8 6 7 8

di colonne linearmente indipendenti della matrice dimensionale.

Per ottenere le cinque soluzioni indipendenti, si assegnino, di volta in volta, i seguenti

valori alle rimanenti incognite:

) = = = = = =

1 n 1

; n n n n n 0

1 2 3 4 5 9

) = = = = = =

2 n 1

; n n n n n 0

2 1 3 4 5 9

) = = = = = =

3 n 1

; n n n n n 0

3 2 1 4 5 9

) = = = = = =

4 n 1

; n n n n n 0

4 2 3 1 5 9

) = = = = = =

5 n 1

; n n n n n 0

5 2 3 4 1 9

) = = = = = =

6 n 1

; n n n n n 0

9 2 3 4 5 1

Ne conseguono le cinque soluzioni cercate: n

n n n n n n n n

9

1 2 3 4 5 6 7 8

1a Soluz.→ 1 0 0 0 0 0 -2 -2 -1

2a Soluz.→ 0 1 0 0 0 0 -1 -1 -1

3a Soluz.→ 0 0 1 0 0 0 1 -2 0

4a Soluz.→ 0 0 0 1 0 0 0 -1 0

5a Soluz.→ 0 0 0 0 1 0 -1 -2 -1

6a Soluz.→ 0 0 0 0 0 1 0 -2 -1

Le cinque soluzioni formano la così detta matrice delle soluzioni. Il minore costituito

dalla prime cinque colonne, è, così come si è costruito, diverso da zero, dal che

consegue che la matrice ha rango cinque, pari al numero delle righe, che, pertanto,

risultano essere indipendenti.

Alle cinque soluzioni indipendenti calcolate, corrispondono i sei prodotti adimensionali

indipendenti: 19

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Napoli, Luglio, 2006

F F

∏ = ⇔ =

C Coefficiente di forza

=

1 F

ρ ρ

2 2 1 2

L V S V

2

µ VL VL

∏ = ⇔ = =

R Numero di Reynolds

=

µ

2 N

ρ ν

LV ρ

gL V

∏ = ⇔ =

F = Numero di Froude

3 N

2 gL

V V

c

∏ = ⇔ =

M Numero di Mach

=

4 N c

V ρ

γ 2

L V

∏ = ⇔ =

W = Numero di Weber

5 N γ

ρ 2

L V −

p p p

σ

∏ = ⇔ =

v o v = Indice di cavitazione

6 ρ ρ

2 2

V 1 2 V

sono rispettivamente una superficie e una pressione di riferimento.

dove con S e p

o n n n

Se il sistema fosse risolto rispetto a si perverrebbe ai prodotti

, ,

3 4 5

adimensionali:

Fg −

∏ = = ⋅ ⋅ ⋅

' 2 2

C M W F

1 F N N N

γ

2

c

Lg −

∏ = = ⋅

' 2 2

M F

2 N N

2

c

V

∏ = =

' M

3 N

c

ρ 4

c −

∏ = = ⋅ ⋅

' 4 2

M W F

4 N N N

γ

g 20

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Napoli, Luglio, 2006

µ c − −

∏ = = ⋅ ⋅

' 1 1

M W R

5 N N N

γ 2

p c − σ

∏ = = ⋅ ⋅ ⋅

'6 2 2

v M W F

γ N N N

g

esprimibili, come si vede, in funzione di queli assunti indipendenti e già determinati.

Considerando che ogni altra soluzione del sistema è esprimibile mediante una relazione

lineare in funzione di quelle indipendenti, si può verificare che i cinque prodotti

adimensionali indipendenti sono caratterizzati dal verificare la relazione:

α α α

α α α

∏ ⋅ ∏ ⋅ ∏ ⋅ ∏ ⋅ ∏ ∏ =

3 5 6

1 2 4 1

5

1 2 3 4 6

α = α = α = α = α = α = 0 , relazione che può essere

se e solo se 1 2 3 4 5 6

generallizzata per p prodotti adimensionali indipendenti.

Se le grandezze considerate sono coinvolte in un fenomeno fisico sicché tra esse esiste

una relazione funzionale del tipo:

( )

ρ µ γ

Ψ =

F , L , V , g , , , , c , p 0

V

l’applicazione dei metodi dimesionali esposti consente di pervenire alla relazione tra i

prodotti adimensionali indipendenti:

( )

Φ Π Π Π Π Π Π =

, , , , , 0

1 2 3 4 5 6 21

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Napoli, Luglio, 2006

E s e m p i o N. 2

Si consideri una sfera di diametro d avanzante di moto rettilineo uniforme di velocità

ρ µ

V in un fluido di densità e viscosità . Detta D la resistenza al moto, sussista tra

le grandezze coinvolte una relazione implicita del tipo:

ρ µ =

F ( D , d , V , , ) 0

Si scriva al solito modo la matrice dimensionale:

n n n n n

1 2 3 4 5

µ ρ

D V d

1 -1 -3 1 1

L 1 1 1 0 0

M -2 -1 0 -1 0

T

ed il relativo sistema di equazioni:

− − + + =

⎧ n n 3

n n n 0

1 2 3 4 5

⎪ + + =

⎨ n n n 0

1 2 3

⎪ + + =

⎩ 2 n n n 0

1 2 3

per il calcolo dei prodotti adimensionali indipendenti:

∏ = µ ρ

n n n n n

F V d

1 2 3 4 5

i 22

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Luglio, 2006

La matrice del sistema ha rango r = 3. I prodotti adimensionali indipendenti sono in

numero p = 5 - 3 = 2. n n n , si ottengono le soluzioni:

Risolvendo il sistema rispettoa , ,

3 4 5

n n n n n

1 2 3 4 5

1a Soluz.→ 1 0 -1 -2 -2

2a Soluz.→ 0 1 -1 -1 -1

e i seguenti prodotti adimensionali indipendenti:

D D

∏ = ⇔ =

C Coefficiente di resistenza

=

1 D

ρ ρ

2 2 1 2

d V S V

2

µ Vd Vd

∏ = ⇔ = =

R Numero di Reynolds

=

µ

2 N

ρ ν

d V ρ

= π 2

S d 4 la superficie della sfera

essendo

La precedente relazione funzionale si trasforma, pertanto, nella seguente:

∏ ∏ = ⇔ =

F ( , ) 0 C F ( R )

1 2 D N C

Si è quindi pervenuti ad una relazione qualitativa tra il coefficiente di resistenza D

R

ed il numero di Reynolds , avendo conseguito una notevole riduzione del numero di

N

variabili ed una descrizione generalizzata del fenomeno. La relazione adimensionale

determinata, infatti, è valida per una sfera di qualsiasi dimensione e per qualsiasi

C al

velocità e fluido. Nella figura seguente è riportato l'andamento del coefficiente D

R , ricavato dall'avviamento di dati sperimentali

variare del numero di Reynolds N

ottenuti da diversi autori. 23

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Luglio, 2006 Coefficiente di resistenza della sfera in funzione del numero di Reynolds

Curva (1): Teoria di Stokes; curva (2): Teoria di Oseen

24

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Ottobre, 2004

E s e m p i o N. 3

Si consideri una lastra piana senza spessore, di lunghezza L e larghezza b, in moto

ρ µ

uniforme in un fluido di densità e viscosità con velocità V appartenente al suo

piano e direzione coincidente con quella di L.

sia legata alle altre grandezze dalla relazione:

La resistenza al moto R

F ρ µ =

F ( R , L , b , V , , ) 0

F

Si scriva la matrice dimensionale:

n n n n n n

1 2 3 4 5 6

µ ρ

R b L V

F

1 -1 1 1 1 -3

L 1 1 0 0 0 1

M -2 -1 0 0 -1 0

T

ed il relativo sistema di equazioni:

− + + + − =

⎧ n n n n n 3

n 0

1 2 3 4 5 6

⎪ + + =

⎨ n n n 0

1 2 6

⎪ + + =

⎩ 2 n n n 0

1 2 5

per il calcolo dei prodotti adimensionali indipendenti:

∏ = µ ρ

n n n n n n

R b L V

1 2 3 4 5 6

i F 25

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

La matrice del sistema ha rango r = 3. I prodotti adimensionali indipendenti sono

in numero p = 6 - 3 = 3. n n n

, si ottengono le soluzioni:

Risolvendo il sistema rispettoa ,

4 5 6

n n n n n n

1 2 3 4 5 6

1a Soluz.→ 1 0 0 -2 -2 -1

2a Soluz.→ 0 1 0 -1 -1 -1

3a Soluz.→ 0 0 1 -1 0 0

e i seguenti prodotti adimensionali indipendenti:

R R

∏ = ⇔ =

F F

C Coefficiente di resistenza

=

1 F

ρ ρ

2 2 1 2

L V S V

2

µ Vd Vd

∏ = ⇔ = =

R Numero di Reynolds

=

µ

2 N

ρ ν

d V ρ

b

∏ =

3 L = ⋅

S 2( b L )

essendo bagnata della lastra.

La precedente relazione funzionale si trasforma, pertanto, nella seguente:

⎛ ⎞

b

∏ ∏ ∏ = ⇔ = ⎜ ⎟

F

( , , ) 0 C F R ,

1 2 3 F N

⎝ ⎠

L C , il

Si è quindi pervenuti ad una relazione qualitativa tra il coefficiente di resistenza F

R , e il rapporto di figura b/L. Le esperienze confermano, inoltre,

numero di Reynolds N

che per valori di RN superiori a 105, il coefficiente CF non risente dell’influenza del

rapporto di figura. Nella figura seguente è riportato l'andamento della funzione ottenuta

da dati sperimentali. 26

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Ottobre, 2001 27

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

E s e m p i o N. 4

Si consideri un' ala rettangolare a sezione costante di geometria nota, di allungamento

ρ µ

finito, in moto traslatorio uniforme in un fluido di densità e viscosità con velocità

di modulo V e direzione perpendicolare alla apertura. Dette b l'apertura dell'ala, c la

α

corda della sua sezione, l'angolo tra le direzioni della velocità e della corda (angolo

di incidenza) e W la forza fluidodinamica esercitata dal fluido sull'ala, sussiste la

relazione funzionale: ρ µ α =

F ( W , b , c , V , , , ) 0

Le componenti di W nella direzione di V ed in quella ad essa normale sono dette

rispettivamente forza di resistenza D (resistenza) e forza di portanza L (portanza),

legate alle rimanenti grandezze da relazioni funzionali simili a quella sopra scritta.

Procedendo come negli esempi precedenti alla loro adimensionalizzazione, si ottengono

le relazioni: ( )

D

= = λ α

F R , ,

C = Coefficiente di resistenza

D 1 N 1

ρ 2

1 S

V

2 ( )

L

= = λ α

F R , ,

C = Coefficiente di portanza

L 2 N

ρ 2

1 S

V

2 ⋅ λ =

S = b c b/c

è la superficie alare, è l'allungamento dell'ala e

dove

= ⋅ ν

R V c è il numero di Reynolds.

n λ = ∞ il

Per il moto fluido intorno all'ala è bidimensionale, i coefficienti di portanza e

resistenza non dipendono più dall'allungamento dell'ala e caratterizzano le prestazioni

fluidodinamiche della sezione alare (profilo alare). 28

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Ottobre, 2001 C C

Nella figura seguente sono riportate le curve di e per uno stesso profilo in

L D

funzione dell'angolo di incidenza e per diversi valori del numero di Reynolds.

C al variare dell'angolo di incidenza entro

Si noti l'andamento lineare del coefficiente L

un certo intervallo di valori e la evidente ininfluenza del numero di Reynolds. Al di

fuori di detto intervallo l'andamento perde il carattere lineare, risentendo dell'influenza

R C

soprattutto sui valori massimi assunti da , oltre i quali interviene il

di N L C si differenziano

fenomeno dello stallo con distacco del fluido. Le curve di D

R , pur presentando i valori del coefficiente di resistenza minori,

maggiormente con N C .

in genere di un ordine di grandezza, di quelli assunti da L 29

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Ottobre, 2001 30

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

E s e m p i o N. 5

Nel funzionamento isolato di un'elica navale, le grandezze coinvolte sono la spinta T, la

ρ µ

coppia Q, il diametro dell'elica D, il numero di giri n, la densità e la viscosità

pv .

dell'acqua, l'accelerazione di gravità g, la tensione di vapore

Sussistano le relazioni funzionali: µ ρ = 0

F ' ( T , g , n , , p , V , D )

v ,

µ ρ = 0

F

" ( Q , g , n , , p , V , D )

v ,

Si consideri la prima relazione relativa alla spinta T, in modo analogo si procederà per

la coppia Q.

Si scrivano la matrice dimensionale ed il relativo sistema di equazioni:

n n n n n n n n

1 2 3 4 5 6 7 8

µ ρ

T g n p V D

v

1 -1 0 -1 -1 -3 1 1

L 1 0 0 1 1 1 0 0

M -2 -1 -1 -1 -2 0 -1 0

T + − − − + + =

⎧ n n n n 3

n n n 0

1 2 4 5 6 7 8

⎪ + + + + =

⎨ n n n n n 0

1 4 5 6 7

⎪ + + + + + =

⎩ 2 n 2 n n n 2 n n 0

1 2 3 4 5 7 31

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

La matrice del sistema ha rango 3, le soluzioni indipendenti sono in numero p = n - r =

n n n

8 - 3 = 5. Risolvendo rispetto a si ottengono le soluzioni:

, , ,

6 7 8

n n n n n n n n

1 2 3 4 5 6 7 8

1a Soluz.→ 1 0 0 0 0 -1 -2 -2

2a Soluz.→ 0 1 0 0 0 0 -2 1

3a Soluz.→ 0 0 1 0 0 0 -1 -1

4a Soluz.→ 0 0 0 1 0 -1 -1 -1

5a Soluz.→ 0 0 0 0 1 -1 -2 0

e i prodotti indipendenti:

T

∏ = = C = Coefficiente di carico di spinta

1 T

ρ 2

D V

gD V

∏ = ⇔ =

F = Numero di Froude relativo al diametro

2 N

2 gD

V

nD V

∏ = ⇔ =

J = Coefficiente di avanzo

3 V nD

µ VD VD

∏ = ⇔ = =

R = Numero di Reynolds relativo al

µ

4 N

ρ ν

DV ρ

diametro −

p p p

σ

∏ = ⇔ =

v v = Coefficiente (indice) di cavitazione

5 ρ ρ

2 1 2

V V

2 32

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Ottobre, 2001 n n n

Risolvendo il sistema rispetto a si ottengono i prodotti adimensionali:

,

3 6 8

T −

∏ = = ∏ ∏ =

' 2 K = Coefficiente di spinta

1 1 3 T

ρ 2 4

n D

g −

∏ = = ∏ ∏

' 2

2 2 3

2

Dn V

∏ = ∏ = =

' 1 J = Coefficiente di avanzo

3 3 nD

µ −

∏ = = ∏ ∏

' 1

4 3 5

ρ 2

nD

p −

∏ = = ∏ ∏ 2

v =

5 4 5

ρ 2 2

n D

Pertanto la relazione: µ ρ =

F ' ( T , g , n , , p , V , D ) 0

v ,

si trasforma nella:

∏ ∏ ∏ ∏ ∏ = ⇔ = σ

' ' ' ' '

F ' ( , , , , ) 0 K f ( J , F , R , )

1 2 3 4 5 T 1 N N

Analogamente per la coppia Q si ottiene :

∏ ∏ ∏ ∏ ∏ = ⇔ = σ

' ' ' ' '

F ' ( , , , , ) 0 K f ( J , F , R , )

1 2 3 4 5 Q 2 N N 33

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegenria Navale

Napoli, Ottobre, 2001

K

dove è il coefficiente di coppia espresso da:

Q Q

=

K Q ρ 2 5

n D

Le due relazioni funzionali:

⎧ T

= σ =

K K ( J , F , R , )

⎪ T T N N ρ 2 4

n D

⎪ Q

⎪ = σ =

K K ( J , F , R , )

Q Q N N

⎪ ρ 2 5

⎩ n D

caratterizzano completamente un'elica in condizioni funzionamento isolato. Se l'elica è

profondamente immersa e le condizioni sono tali che il moto fluido sia completamente

turbolento con assenza di fenomeni di cavitazione, le relazioni precedenti diventano:

⎧ T

= =

K K ( J )

⎪ T T ρ 2 4

n D

⎪ Q

⎪ = =

K K ( J )

Q Q

⎪ ρ 2 5

⎩ n D

Esse prendono il nome di caratteristica di funzionamento dell'elica. Nella figura

seguente se ne riporta la rappresentazione grafica ottenuta sperimentalmente. 34

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Architettura Navale del Prof. Salvatore Miranda, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: modello sperimentale, analisi dimensionale e teoria dei modelli; equazioni dimensionali e unità di misura; calcolo di prodotti adimensionali; la resistenza al moto di una nave; equazione di Navier - Stokes in forma adimensionale; caratteristiche fisiche dei fluidi.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria navale
SSD:
A.A.: 2006-2007

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Architettura Navale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Miranda Salvatore.

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