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Modello regressione

Questo appunto tratta il Modello di regressione ARMA sui residui, come sviluppato nel corso di lezioni di econometria tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico vengono trattati i temi: Stima del modello lineare con schema AR, coefficienti di autoregressione noti, coefficienti di auto... Vedi di più

Esame di Econometria docente Prof. F. Carlucci

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Modulo…

valido soltanto quando l’autocorrelazione è generata dallo schema

(5.1.1). Pagina X-4

Modulo…

5.2 Schemi ARMA(p,q) sui residui

L'esempio del paragrafo precedente, costituito dal modello lineare (4.1.1) con i

residui che seguono lo schema autoregressivo del primo ordine (5.1.1), può essere

u

t

esteso al caso di residui che seguono uno schema autoregressivo del secondo ordine

=ϕ +ϕ +ε (5.2.1)

y u u

t 1 t−1 2 t−2 t

con le ipotesi (5.1.2) e (5.1.3), oppure ancora uno schema autoregressivo di ordine

generico p =ϕ +ϕ +…+ϕ +ε (5.2.3)

y u u u

t 1 t−1 2 t−2 p t−p t

ε può essere estesa allo schema

Ma anche la componente MA(1)

t = ε − ϑ ε

u −

1 1

t t t

e più in generale allo schema MA(q)

= ε − ϑ ε − ϑ ε + − ϑ ε (5.2.3)

u ...

− − −

t t 1 t 1 2 t 2 q t q

Combinando la (5.2.2) con la (5.2.3) si ottiene lo schema ARMA(p,q)

= ϕ + + ϕ + ε − ϑ ε + − ϑ ε (5.2.4)

u u ... u ...

− − − −

t 1 t 1 p t p t 1 t 1 q t q

, diventa

che, utilizzando l'operatore L

− ϕ − ϕ + − ϕ = − ϑ − ϑ + − ϑ ε ε (5.2.5)

2 2

p

(

1 L L ... L )

u (

1 L L ... )

1 2 1 2

p t q t q t

o ancora ϕ ⋅ = ϑ ⋅ ε (5.2.6)

( L ) u ( L )

t t

ϕ ϑ

con i polinomi e dati dalle (2.1.11) e (2.1.12).

(L ) (L )

In questo caso molto generale, costituito dal modello lineare (4.1.1) con residui

(5.2.6), è possibile inserire nel (2.1.1) la

che seguono lo schema ARMA(p,q) u

t

definita dalla (3.2.6) ottenendosi la forma compatta

ϑ

( )

L (5.2.7)

ε

= β + β + + β +

...

y x x x

t 1 1

t 2 2 t k kt t

ϕ

( )

L

ε

dove le soddisfano alle ipotesi stocastiche deboli (5.1.2) e (5.2.3). Lo schema

t

(5.2.7) è un caso particolare del modello (2.1.15), come facilmente si evince.

Il test del “portmanteau”

{ε }

Quando il processo soddisfa alle ipotesi (5.1.2) (5.1.3) è chiamato “rumore

t {ε }

bianco”. Per verificare che non sia autocorrelato per tutti ritardi da ad , e

1 s

t Pagina X-5

Modulo…

cioè che, se è sufficientemente grande, sia “bianco”, G.E.P. Box e D. Pierce (1970)

s

hanno sviluppato il test, detto del “portmanteau”, basato sulla statistica (5.2.8)

s

= ρ τ ⎯

⎯→ χ

d

2 2

ˆ

Q n ( ) − − −

1

s p q

τ =

1 2

χ

che tende in distribuzione verso una variabile aleatoria con gradi di

s−p−q−1

libertà, dove è l'o rdine dello schema stimato sui residui e l'unità da

(p,q) ARMA

sot trarre ad corrisponde all'esistenza dell’intercetta. Il test si riduce quindi ad un

s

test del chi quadrato.

Il test di “bianchezza” dei residui di Box e Pierce n on dà buoni risultati a meno

che non sia molto grande. Così la Ljung e Box (1978) stesso l'hanno corretto con

n

un altro basato su di una statistica simile alla (5.2.8) (5.2.9)

s 1

= ρ τ ⎯

⎯→ χ

d

2 2 2

ˆ

Q n ( ) − − −

1

s p q

− τ

n

τ =

1

ma che offre prestazioni nettamente migliori per valore di anche abbastanza

n

piccoli. {ε } è un rumore bianco, le stime delle

L'interpretazione del test è semplice: se t

ρ(τ)

autocorrelazioni sono vicine allo zero e quindi anche la è vicina allo zero. Se

Q

2

χ

la data dalla (5.2.9) è maggiore del valore critico del con gradi di

Q s−p−q−1

{ε }

ρ τ

ˆ

libertà, allora almeno un è significativamente diverso da zero ed non può

( ) t

essere un rumore bianco. Pagina X-6

Modulo…

5.3 Stima del modello lineare con schema AR(p) sui residui e

coefficienti di autoregressione noti

Una volta che il modello (5.2.7) sia stato specificato, anche con l'aiuto dei test di

autocorrelazione, la sua stima è in alcuni casi particolari abbastanza semplice.

Supponiamo in primo luogo che manchi lo schema a somma mobile e che quindi sia

ϑ = ; la (5.2.7) diventa

( L ) 1 = β + β + + β +

⎧ (5.3.1)

y x x ... x u

t 1 1

t 2 2 t k kt t

⎨ = ϕ + ϕ + + ϕ + ε

u u u ... u

⎩ − − −

t 1 t 1 2 t 2 p t p t

Il metodo delle quasi differenze

ϕ quasi

Se e è noto la stima è effettuata con gli sul modello delle

p=1 OLS

1

differenze

−ϕ =β −ϕ −ϕ −ϕ (5.3.2)

y y (x x )+β (x x )+…+β (x x )+ε

t 1 t−1 1 1t 1 1t−1 2 2t 1 2t−2 k kt 1 kt−1 t

nel quale i valori relativi alla variabili sono immediatamente calcolati conoscendo i

ϕ , e il residuo

dati campionari e 1 ε =u −ϕ u

t t 1 t−1

soddisfa alle ipotesi standard degli a seguito delle (5.1.2) e (5.1.3). Se ma i

OLS p≠1

coefficienti di autoregressione sono noti, la procedura è la stessa, con le quasi

differenze sostituite dai valori

− ϕ + − ϕ

y y ... y (5.3.3)

− −

t 1 t 1 p t p =

j 1

, 2

,..., k

− ϕ + − ϕ

x x ... x

− −

jt 1 jt 1 p jt j

calcolati in base dati campionari e ai coefficienti di autoregressione.

La trasposizione matriciale

Interessante è la trasposizione matriciale del metodo delle quasi differenze. Se

poniamo − ϕ − ϕ − ϕ

⎡ ⎤

... 1 0 ... 0

p p 1 1

⎢ ⎥

− ϕ − ϕ − ϕ

0 ... 1 ... 0 (5.3.4)

⎢ ⎥

= p 2 1

T ⎢ ⎥

... ... ... ... ... ... ... ...

⎢ ⎥

0 0 ... 0 0 0 ... 1

⎣ ⎦

ed colonne, si ha che

matrice di n−p n Ty=TXβ+Tu

cioè Pagina X-7

Modulo…

Ty=TXβ+ε (5.3.5)

β.

sulla quale si possono applicare gli per stimare

OLS

L'uso dei minimi quadrati generalizzati

La (5.3.5) viene determinata con una procedura che ricorda quella dei minimi

quadrati generalizzati. Vediamo come questa somiglianza sussiste nei fatti, nel

caso particolare di . Il modello è costituito dalla prima della (5.3.1) e dalla

p=1

(5.1.1), con le ipotesi (5.1.2) e (5.1.3). Calcoliamo innanzi tutto la matrice di

~

{ }

u

dispersione delle , avvalendosi della (5.1.4) e (5.1.5)

t ~ ~ ~ ~ ~

~ ~

= = ε + ϕ ε + ϕ ε + = ε + ϕ ε + =

2 2 2 2 2 2

Var (

u ) E (

u ) E [( ...) ] E ( ) E ( ) ...

− − −

t t t t t t t

1 2 2

1

= σ + ϕ + ϕ + = σ = σ

2 2 4 2 2

(

1 ...) u

− ϕ 2

1

~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

= ⋅ = ε + ϕ ε + ϕ ε + ε + ϕ ε + ϕ ε + =

2 2

( , ) ( ) [( ...)(

Cov u u E u u E ...)]

− − − − − − −

t t t t t t t t t t

1 1 1 2 1 2 3

ϕ

~ ~ ~

= ϕ ε + ϕ ε + ϕ ε + = σ = ϕσ

2 3 2 5 2 2 2

E E E

( ) ( ) ( ) ...

− − −

t t t u

1 2 3 − ϕ 2

1

~

u

e così via per le altre covarianze di con se stessa ritardata, date da

t

~ ~ τ

= ϕ σ (5.3.6)

2

Cov (

u , u )

− τ

t t u

~

u

Così la matrice di dispersione di è

⎡ ⎤

ϕ ϕ ϕ n

2 1

1 ...

⎢ ⎥

ϕ ϕ ϕ n 2

1 ... (5.3.7)

⎢ ⎥

~ ~ ⎢ ⎥

′ = σ = σ 2

2 −

ϕ ϕ ϕ

( )

E u u V

n

2 3

1 ...

u u

⎢ ⎥

... ... ... ... ...

⎢ ⎥

⎢ ⎥

− − −

ϕ ϕ ϕ

n n n

1 2 3 ... 1

⎣ ⎦

e l'inversa della è

V − ϕ ⎤

⎡ 1 0 ... 0 0 ⎥

⎢ − ϕ + ϕ − ϕ

2

1 ... 0 0 ⎥

1 ⎥

− = − ϕ + ϕ

1 2

V 0 1 ... 0 0

− ϕ 2 ⎥

1 ... ... ... ... ... ...

⎢ ⎥

⎢ − ϕ

0 0 0 ... 1 ⎦

⎣ − =I.

come si può facilmente verificare, constatando che V⋅V La fattorizzazione di V

1

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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta il Modello di regressione ARMA sui residui, come sviluppato nel corso di lezioni di econometria tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico vengono trattati i temi: Stima del modello lineare con schema AR, coefficienti di autoregressione noti, coefficienti di auto regressione non noti.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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