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Si possono considerare due limiti dell'evoluzione del

precedente portafoglio

• Il caso per tempi brevi (utile per il VaR)

• Il caso di distribuzione normale che si ottiene come nel caso

precedente e che è alla base della teoria di Markowitz

Assunzioni alla base del

modello di Markowitz

Il modello è costruito in un “mondo

● media – varianza”

I rendimenti dei vari asset si ipotizzano

● distribuiti normalmente

Quando necessario, si ipotizza anche

● l’esistenza di un titolo a rendimento

certo Notazione

S

 s s 0 quota investita nel titolo s (s=1..n ) a t=0

 =

● s  t 

0 vincolo di esaurimento del capitale

n

●  =1

s

s=1

(è solo una normalizzazione a t=0)

Il vincolo non sempre imposto indica che

 0

● s

non sono consentite vendite allo scoperto

R =μ rendimento del titolo s

● s s

rendimento totale di portafoglio

● n

R= R 

s s

s=1 µ

Operatori e contesto ,σ

Fondamentali i concetti di:

● valore medio: n

– ∑

E R]= E R

[  [ ]

s s

s=1

varianza:

– n n

∑ ∑

2 2

Var R E R R] Cov R , R

[ ]= [ ]−E [ =   [ ]

r s s r

r=1 s=1

n n−1 n

∑ ∑ ∑

2 Var R Cov R , R

=  [ ]2   [ ]

s s r s r s

s=1 r=1 s=r 1

Se E R] E R ' e Var R]Var R '

– [ [ ] [ [ ]

si dice che R domina R'

Tante possibilità

Se ci sono molti portafogli, il criterio media-varianza permette

comunque di fare una prima selezione su quelli più interessanti,

σ

scartandone subito alcuni. A parità di si sceglie il portafoglio

µ µ

con maggiore. Tra i punti rimasti, a parità di si scelgono solo

σ

quelli con minore. La frontiera efficiente è l’unione dei punti

V così scelti. V

µ µ

1

V V

3 2 σ σ

Il criterio non permette però di scegliere tra i punti lungo la

frontiera efficiente.

Formalizzazione:

n titoli aleatori

Notazione:

● Rispettivamente vettore colonna unitario (e),

vettore dei rendimenti medi (μ) e

vettore dei pesi degli n titoli (ω),

matrice delle varianze-covarianze (Σ).

[ ] [ ]

1 μ 1

1 μ R , R

2 =∥ ∥=∥Cov [ ]∥

e= μ=

... r s s s

. ..

... . ..

1 μ n

Σ è simmetrica con le varianze dei titoli sulla diagonale principale.

Formalizzazione:

n titoli aleatori

Data la notazione precedente si può scrivere:

● T

E R]=

[ 

T

Var R]=

[  

Il problema di ottimizzazione è:

● ω ω

Σ

T

min

ω

dati i vincoli: T

 =k

T

e =1

Formalizzazione:

n titoli aleatori

Si usa una funzione lagrangiana

T T T n

L , y y y y R , y y R

 =   k −  1−e  ∈ ∈

1, 2 1 2 1, 2

e imponendo la condizione di prim’ordine si ha:

T T T

2 y y e

=  

1 2

T

 =k

T e=1

Formalizzazione:

n titoli aleatori

se si pone: α µ µ

= Σ

T 1

β µ µ

− −

= Σ = Σ

T 1 T 1

e e

γ −

= Σ

T 1

e e

si può risolvere il sistema trovando:

1 kγ−β

1 α−kβ y

y =

= 1

2 2

2

2

2 αγ−β

αγ−β

γ β α β

− −

k k

ω µ − −

= Σ + Σ

T T 1 T 1

e

αγ β αγ β

− −

2 2

NB richiede e quindi non si può avere un

det ≠0

riskfree

Formalizzazione:

n titoli aleatori

ω

Moltiplicando il vettore si avrà un espressione che

ci consente di esprimere la varianza in relazione

al rendimento voluto: 2

γk −2βkα

2

σ = 2

αγ−β

NB: Per verificare che questo è il minimo si

dovrebbe calcolare l'hessiano

Formalizzazione:

n titoli aleatori

Il vettore dei pesi del portafoglio in funzione del

● µ

rendimento atteso è al vertice dell’iperbole :

1 −

ω = Σ

T T 1

e

γ

ed il vertice ha coordinate

1

k ;

= =

 

Introduzione di vincoli di

non negatività

Se si impone non è più possibile vendere allo

 0

● s

scoperto alcuni titoli ma il procedimento per la soluzione

resta il medesimo.

il vettore dei pesi non ha valori negativi: la soluzione è

– accettabile anche col nuovo vincolo

il vettore dei pesi ha valori negativi: risolvo

– nuovamente il problema escludendo dalla rosa dei

titoli componenti la frontiera efficiente quelli risultati

con pesi negativi

Ovviamente la nuova frontiera (composta da m titoli con

● m < n) non supera in alcun punto la frontiera costruita con

n titoli con implicazioni evidenti in termini di rapporto

rischio - rendimento.


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28

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214.00 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Econofisica
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica
SSD:
Università: Torino - Unito
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econofisica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Torino - Unito o del prof Anselmino Mauro.

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