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Università di Roma “La Sapienza”

Controllo dei Processi

Modellistica III

Prof. Leonardo Lanari

DIS – Università di Roma “La Sapienza”

Ultima modifica – March 24, 2009

Argomenti

• Alcuni sistemi interconnessi

• CSTR III – modello

• CSTR I – modello

• CSTR I – studio della linearizzazione

• CSTR I – Extinction & Ignition

• Reattore batch

• Esempio con ricircolo

Sistema non interagente: 3 serbatoi in serie

Sia il processo composto da tre serbatoi nella configurazione in cascata rappresentata in

figura. La temperatura di ogni serbatoio è costante e la superficie si trova a pressione

atmosferica. Si desidera studiare l’effetto del flusso f (t) in ingresso al primo serbatoio e

i

del flusso f (t) della pompa sul livello del liquido nel terzo serbatoio h (t).

o 3

f

i

f h

o 1 f

1 h

2 f

2 h f

3 3

Le valvole hanno un’apertura costante e il flusso attraverso di esse è dato dalla formula

s ∆P (t)

f (t) = C v G

f

con C coefficiente della valvola, ∆P (t) caduta di pressione e G costante.

v f

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Modellistica III 1

Sistema non interagente: 3 serbatoi in serie

La valvola scarica a pressione atmosferica e pertanto per la generica valvola

− −

∆P (t) = P (t) P = P + ρgh(t) P = ρgh(t)

u a a

d

con P (t) pressione a monte e P (t) pressione a valle della valvola, P pressione atmosferica,

u a

d

ρ densità del liquido, g accelerazione di gravità e h(t) livello del liquido nel serbatoio. Il

flusso attraverso la generica valvola è dato da

s s

∆P (t) ρgh(t) p

0

f (t) = C = C = C h(t)

v v v

G G

f f

Essendo la massa di liquido contenuta nel primo serbatoio (serbatoi cilindrici con area base

A ) pari a m (t) = ρA h (t), la conservazione della massa porta all’equazione

1 1 1

i dm (t) dh (t)

1 1 − −

= ρA = ρf (t) ρf (t) ρf (t)

o

1 1

i

dt dt

Per il secondo e il terzo serbatoio si ha

dh (t)

2 −

= ρf (t) ρf (t)

ρA 1 2

2 dt

dh (t)

3 −

ρA = ρf (t) ρf (t)

3 2 3

dt

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Modellistica III 2

Sistema non interagente: 3 serbatoi in serie

mentre le equazioni per le valvole sono

p p p

0 0 0

f (t) = C h (t), f (t) = C h (t), f (t) = C h (t)

1 1 2 2 3 3

v1 v2 v3

Si linearizzano le equazioni precedenti ∂f (t) 1

k 0 −1/2

¯

≈ −

f (t) f + C h (t) h̄ , C = = C ( h̄ ) , k = 1, ..., 3

k k k k k k k

vk

∂h (t) 2

ss

k

avendo definito le variazioni rispetto al punto di lavoro

¯ ¯ ¯

− − − −

H (t) = h (t) h̄ , F (t) = f (t) f , k = 1, ..., 3, F (t) = f (t) f , F (t) = f (t) f

o o o

i i i

k k k k k k

La matrice dinamica del sistema è data da

 C

− 0 0

1

A A 1 C

1 i k−1

C C

− 0 , τ = , i = 1, ..., 3 K = , K = , k = 2, 3

A = 1 1 

 1

i k

A A C C C

 2 1 1

i k

C C

0 2 3

A A

3 3

−1/τ

con autovalori λ = .

i i

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Modellistica III 3

Sistema non interagente: 3 serbatoi in serie

Si ottengono, trasformando secondo Laplace, le seguenti relazioni

K K

1 1

H (s) = F (s) F (s)

o

1 i

1 + τ s 1 + τ s

1 1

K k

H (s) = H (s), k = 2, 3

k k−1

1 + τ s

k

e cioè !

3 K

k

Y −

H (s) = (s) F (s)]

[F o

3 i

(1 + τ s)

k

k=1

serie di tre sistemi caratterizzati ognuno da un guadagno K e una costante di tempo τ .

k k

In molti testi di controllo dei processi una situazione rappresentata dalla relazione (sistemi

in serie) n

Y

G(s) = G (s)

i

i=1

viene definita come sistema non-interagente. In ambito controllistico si usa questa dizione

solo per sistemi MIMO.

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Modellistica III 4

Sistema non interagente: processi termici in serie

Siano i due processi termici rappresentati in figura. Nel primo serbatoio entra solo il liquido A

mentre nel secondo entra anche il liquido B. Si desidera studiare l’effetto della temperatura

dei due flussi in ingresso T (t) e T (t) sulla temperatura in uscita dal secondo serbatoio

1 3

T (t).

4 T

T ½ ½

3

1

f f f f

+

A B A B

V V

1 2 T

4

T

2

Hyp. flussi volumetrici f e f costanti, densità e calori specifici uguali nei due serbatoi e

A B

costanti ρ, C , serbatoi vicini e perdite di calore trascurabili.

p

Per i due serbatoi, h e h sono le entalpie specifiche, mentre u e u le energie interne. Si

1 2 1 2

ricorda che sia l’entalpia che l’energia interna assumono valori rispetto a una situazione di

riferimento. In tutti gli esempi fin qui riportati si è preso idealmente 0 K come temperatura

di riferimento.

Le due equazioni di conservazione della massa portano a V e V costanti.

1 2

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Modellistica III 5

Sistema non interagente: processi termici in serie

Le equazioni di conservazione dell’energia, per ogni serbatoio, sono

dT (t)

2 −

V ρC = f ρC T (t) f ρC T (t)

p p p

1 1 2

A A

dt

dT (t)

4 −

= f ρC T (t) + f ρC T (t) (f + f )ρC T (t)

V ρC p p p

p 2 3 4

2 A A A B

dt

Il sistema è già lineare ed è caratterizzato dalla matrice dinamica

!

f

− 0

A

V

A = 1 f +f

f −

A A B

V V

2 2

Trasformando le relazioni precedenti si ottiene

K K

1 2

T (s) = T (s) + T (s)

4 1 3

(1 + τ s)(1 + τ s) 1 + τ s

1 2 2

con f f V V

1 2

A B

K = , K = , τ = , τ =

1 2 1 2

f + f f + f f f + f

A B A B A A B

In conclusione si ha un sistema non interagente quando interconnettendo più sistemi la di-

namica del sistema interconnesso è data dall’unione delle dinamiche dei singoli sottosistemi.

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Modellistica III 6

Sistema interagente: serbatoi in serie con valvola

Sia il processo costituito da due serbatoi interconnessi come in figura.

f

i

f h

h 2

o 1 f f

1 2

In questo caso la caduta di pressione sulla prima valvola è data da

− − −

∆P (t) = P (t) P (t) = + ρgh (t)] + ρgh (t)] = ρg (t) h (t)]

[P [P [h

u a a

1 2 1 2

d

e dipende sia dall’altezza del liquido nel primo serbatoio h che dall’altezza h . I flussi f e

1 2 1

f assumono quindi l’espressione

2 s

s −

∆P (t) ρg (t) h (t)]

[h 1 2 p

0 −

= C = C h (t) h (t)

f (t) = C v1

1 v1 1 2

v1

G G

f f

p

0

f (t) = C h (t)

2 2

v2

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Modellistica III 7

Sistema interagente: serbatoi in serie con valvola

La funzione f (t) è una funzione non lineare sia di h (t) che di h (t). Rispetto al punto di

1 1 2

lavoro la linearizzazione porta a

¯

≈ − − −

f (t) f + C h (t) h̄ C h (t) h̄

1 1 4 1 1 4 2 2

con ∂f (t) 1

∂f (t) 1

1 0 −1/2

− C ( h̄ h̄ )

= =

C = 1 2

4 v1

∂h (t) ∂h (t) 2

ss ss

1 2

mentre per f (t) si ha

2 1

∂f (t)

2 0 −1/2

¯

≈ − = C ( h̄ ) ,

f (t) f + C h (t) h̄ , C = 2

2 2 2 2 2 2 v2

∂h (t) 2

ss

2

Le equazioni di conservazione della massa sono identiche al caso considerato precedente-

mente. Il sistema lineare finale è dato da

C C 1

4 4

− −

Ḣ (t) = H (t) + H (t) + (t) F (t)]

[F o

1 1 2 i

A A A

1 1 1

C C + C

2 4

4 −

H (t) H (t)

Ḣ (t) = 1 2

2 A A

2 2

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Modellistica III 8

Sistema interagente: serbatoi in serie con valvola

Definendo le seguenti grandezze

1 C A A

4 1 2

K = , K = , τ = , τ =

4 5 1 2

C C + C C C + C

4 4 2 4 2 4

si può ottenere la seguente relazione in s K

K K 5

4 5 −

(s) F (s)] + H (s)

H (s) = [F o 2

2 i

(1 + τ s)(1 + τ s) (1 + τ s)(1 + τ s)

4 5 4 5

a cui corrisponde lo schema a blocchi

F (s)

o

F H H

-

(s) (s) (s)

1 K

i 1 2

+ 5

K ¿

1 s

4 1

+ ¿ s

+

4

+ + 5

La funzione di trasferimento di interesse è infine data dalla

K K

4 5

1−K −

H (s) = (s) F (s)]

5 [F o

2 i

τ +τ

τ τ 2

s + s +1

4 5

4 5

1−K 1−K

5 5

Si noti come, anche se apparentemente il sistema fisico è connesso in serie, il sistema

risultante non lo è.

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Modellistica III 9

CSTR con capacità termica delle pareti

Un modello più realistico del CSTR tiene in conto anche della capacità termica delle pareti

del serbatoio. In effetti, si è implicitamente finora ipotizzato che una variazione della

temperatura del liquido di raffreddamento si traducesse in un trasferimento istantaneo di

calore tra il serbatoio e il jacket. ◦

T (t) temperatura parete, C

m ◦

T (t), T (t) temperatura in ingresso e in uscita jacket, C

T a

ai

(t)

i

f 3

ρ densità acqua raffreddamento nel jacket, kg/m

f a

i a

T (t)

f V volume acqua nella camicia di raffreddamento

a a

a k

T (t) A B

ai H , H entalpie acqua in ingresso/uscita jacket, J/kg

a

ai

T (t)

T (t) f 3

m f , f flusso volumetrico in ingresso/uscita reattore m /s

i

L’equazione di bilanciamento del componente A rimane inalterata. Il contributo delle

pareti a temperatura uniforme T porta a dover modificare l’equazione di conservazione

m

dell’energia del serbatoio in

dT (t) −E/RT

2

− − − −

ρV C = ρC (f T (t) f T (t)) λV (C (t)) k e h A (T (t) T (t))

p p m

0

i i i i

A

dt

con h coefficiente di trasferimento del calore e A area dello scambio per la parete interna.

i i

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Modellistica III 10

CSTR con capacità termica delle pareti

Per le pareti la conservazione dell’energia si esprime con

dT (t)

m − − −

ρ V C = h A (T (t) T (t)) h A (T (t) T (t))

m m vm m o o m a

i i

dt

dove h e A indicano rispettivamente il coefficiente di trasferimento del calore e area dello

o o

scambio per la parete esterna, V volume parete, ρ densità parete e C calore specifico

m m vm

a volume costante della parete. Infine per l’acqua di raffreddamento si ha la seguente

espressione della conservazione dell’energia

dT (t)

a − −

= f ρ C (T (t) T (t)) + h A (T (t) T (t))

ρ V C a a pa a o o m a

a a pa ai

dt

Linearizzando e definendo le opportune costanti, si ottengono le seguenti relazioni in s

1 −

C (s) = (K C (s) + K f (s) K T (s))

1 2 3

A Ai

1 + τ s

1

1 −

T (s) = (K f (s) + K T (s) K C (s) + K T (s))

m

11 12 13 14

i A

1 + τ s

4

1

T (s) = (K T (s) + K T (s))

m a

15 16

1 + τ s

5

1 (K f (s) + K T (s) + K T (s))

T (s) =

a a m

17 18 19

ai

1 + τ s

6

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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Controllo dei processi del Prof. Leonardo Lanari, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: sistemi interconnessi; sistema non interagente; sistema interagente; CSTR con capacità termica delle pareti; CSTR instabile; batch reactor; sistemi con ricircolo.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controllo dei processi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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