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Infine, si presentava un dettagliato preventivo di spesa e di tempi: il finanziamento

richiesto ammontava a 2000 sterline, nessun compenso era richiesto per il suo lavoro,

due anni era il tempo necessario per realizzare l’impianto sperimentale. In allegato

seguiva un’Appendice contenente una prima formulazione, con fondamentali ed

interessanti considerazioni, della legge di trasferimento ("Law of Comparison"):

“…Then we can deduce from the diagram the resistance will be experienced at any

n

velocity, by a model of (n) times the dimension, by reading off the velocities as ( )

3

n

times and the corresponding resistance as ( ) times as great as those expressed by

the original scales”.

Questa legge era stata già esposta da Ferdinand Reech nel 1844, professore alla “Ecole

d’application du Génie Marittime” di Lorient, Francia, nel suo testo didattico “Cours de

Meccanique d’aprés la nature généralement flexible et elastique des corps”, Paris, 1852,

come caso particolare della più generale “Legge della Similitudine Meccanica”, già

enunciata da I. Newton nel 1686.

Il testo del memorandum di Froude è riportato in [9].

Nel 1869, alla sessione della British Association for the Advancement of Science, il

Comitato della progettazione navale raccomandava di eseguire prove sperimentali al

vero in mare per ottenere dati utili allo studio ed alla previsione della resistenza al moto

delle navi; invitava, altresì, l’Ammiragliato ad organizzare le esperienze.

Froude, pur non contrario a tale procedura, era tuttavia convinto e fiducioso della

affidabilità e delle potenzialità delle esperienze su modelli e presentò, nella medesima

sessione dell’Associazione, una comunicazione, “Mr. Froude’s Explanation”, [10], nella

quale, tra l’altro, per manifestare il suo dissenso a quella decisione scriveva:

“..I thus find myself somewhat abruptly placed in a position in which I must ask

permission to present, as part of our proceedings, a supplementary report explaining

the reasons which oblige me to dissent from the recommendations to which I refer.”

Nel seguito della nota erano illustrati i risultati ottenuti dalle esperienze eseguite sulle

carene Swan e Raven e riportate, in forme più rigorose e precise, alcune considerazioni

e concetti, compresa la legge di trasferimento, già scritte nelle precedenti relazioni

inviate all’Ammiragliato, a sostegno della sua convinzione della maggiore utilità delle

prove su modelli rispetto a quelle al vero.

Con lettera del 1 Febbraio 1870, l’Ammiragliato comunicava a Froude l’approvazione

del suo progetto di costruzione di una vasca navale e l’assegnazione del finanziamento

di 2000 sterline alle condizioni e nelle forme stabilite nel memorandum inviato nel

1868. 7

S. MIRANDA, Elementi di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Luglio 2006

L’impianto sperimentale fu costruito a Torquay, su un terreno preso in affitto nei pressi

della casa di Froude. Tra molta diffidenza e critiche pungenti, i lavori iniziarono nel

Giugno del 1870 e nel marzo del 1872 l’impianto era completamente operativo.

Il bacino di 278×36×10 piedi fu riempito di acqua il 21 Marzo del 1871. Fu attrezzato

con un carro e annessa strumentazione di misura (carro dinamometrico) per il rimorchio

dei modelli; una macchina a vapore a due cilindri ne consentiva la traslazione ad una

velocità massima di 1000 piedi al minuto. Le prove di calibrazione del carro iniziarono

il 22 Maggio 1871; quelle per definire la procedura sperimentale, il tipo e le dimensioni

delle molle dei dinamometri di resistenza durarono sei mesi. Le prime esperienze di

rimorchio furono eseguite il 3 Marzo del 1872 sul modello di una carena modificata del

Greyhound; le prime autopropulsioni iniziarono il 15 Agosto 1873 su un modello della

corvetta Encounter.

Froude, come era stato convenuto, nei due anni previsti per la costruzione

dell’impianto, fornì gratuitamente il suo servizio di progettista, sia realizzando anche

molti strumenti di misura, sia come sperimentatore nella definizione e messa a punto

delle procedure sperimentali.

Le attività si svilupparono intensamente sotto la sua direzione fino alla fine del 1878,

dopo, per motivi di salute, partì per un viaggio in Sud Africa; morì a Città del Capo il 4

Maggio 1879.

Fu sostituito nella direzione della vasca dal figlio Robert Edmund, che vi rimase fino al

3 Febbraio 1886, quando, scaduto il contratto di locazione del suolo, l’impianto fu

smantellato e uno nuovo fu realizzato a Haslar.

Un’egregia e viva descrizione storica dell’impianto di Torquay e del ruolo di William

Froude, delle attività svolte nei quattordici anni di vita è data da R. W. L. Gawn in un

articolo, pubblicato nelle Transactions I.N.A. del 1941, corredato con molte ed

interessanti immagini e figure [11].

Il ruolo di William Froude è stato fondamentale in generale per l’Architettura Navale; i

tanti contributi dati evidenziano la genialità della sua mente. D. W. Taylor scriveva:

“Froude was far ahead of his time, not only as a pioneer of the rolling of ships and

propulsion and resistance but as a genius, who with a model Tank which was very

crude compared with those of to-day, established methods and quantitative coefficients

which served the naval architects for some 50 years”.

Nei paragrafi che seguono vengono descritte le esperienze eseguite sul Greyhound ed

esaminato il contenuto delle memorie “The fundamental Principles Which Govern the

Behaviour of Fluids, with Special Reference to the Resistance of Ships” (1875) e “The

Fundamentals Principles of the Resistance of Ships” (1876).

8

S. MIRANDA, Elementi di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Luglio 2006

3. LE ESPERIENZE SULLA CORVETTA “GREYHOUND”

Nei mesi di Agosto e Settembre del 1871, al largo di Portsmouth furono eseguite le

prove in mare della corvetta “Greyhound”, fissate dai Lord Commissioners

dell’Ammiragliato Inglese su richiesta del Committee on Designs of Ships for War.

W. Froude e G. P. Bidder, membri del comitato, erano stati nominati responsabili

dell’esecuzione delle prove. Il lavoro fu svolto in larga parte da Froude, in quanto

ulteriori impegni non consentirono a Mr. Bidder di prestare un’adeguata collaborazione.

I risultati furono consegnati all’Ammiragliato il 31 Marzo 1873; di essi Froude pubblicò

un articolo sulle Transactions I.N.A. del 1874 [12].

Scopo dell’indagine era determinare la resistenza al moto di una nave, di forme note, al

variare della velocità e in diverse condizioni di carico e di assetto, allo scopo di

confrontare i risultati con quelli delle prove eseguite su altre navi, di indagare sul

comportamento dell’apparato di propulsione e del propulsore ed, infine, di valutare

opportuni coefficienti correttivi da applicare ad una formula data da Rankine per la

previsione della resistenza al moto di una nave.

Una dettagliata descrizione delle prove in mare è riportata in [12]; di esse ci si limiterà a

dire che la Greyhound, lunga 172.5 piedi con un dislocamento di 1157 tons, fu

opportunamente rimorchiata dalla nave “Active”, di 3078 tons.

Froude eseguì anche misure di resistenza al moto in vasca sul modello della nave in

scala 1:16, nelle medesime condizioni di dislocamento e assetto; le velocità della nave e

del modello erano nel rapporto della radice quadrata della scala.

Confrontando gli andamenti delle curve di resistenza, Froude scriveva [12, pag. 245]:

“….there is a great resemblance in character between the curve of resistance of the

model and of the ship”.

Prima di procedere al calcolo delle resistenza della nave, Froude fece alcune interessanti

considerazioni che, nella sostanza, modificavano la legge di trasferimento,

precedentemente enunciata, nella forma oggi nota come Metodo di Froude.

In particolare, dopo aver richiamato il concetto di velocità corrispondenti, nella

memoria si precisa [12, pag. 245] che la sola resistenza d’onda deve essere trasferita

alla nave secondo il cubo del rapporto geometrico di scala:

“….These waves are undoubtedly originated by the differences of hydrodynamic

pressure inherent in the system of stream line motion which accompanies the ship; and,

according to theory, when the originating form are similar, and travel at speeds

9

S. MIRANDA, Elementi di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Luglio 2006

proportional to the square roots of their respective dimensions, the resulting forces,

being as the squares of the speeds, will be such as to create wave configurations

precisely similar in every respect. ……………This being so, it follows that the

resistance caused to these forms respectively by the development of the waves, would be

proportionate to the cubes of the dimensions of the forms, and would therefore strictly

follow the law of comparison already quoted. A confirmation of this proposition of the

similarity of the waves caused by similar forms travelling at corresponding speed, was

incidentally afforded by the experiments made by me for the Admiralty, in July 1872, on

the form proposed by Mr. Ramus, in which two similar models of greatly different

dimensions were tried out at various speeds.”

In queste considerazioni, che vanno lette ricordando anche il contenuto dell’Appendice

al Memorandum inviato a Sir Reed, la resistenza al moto è suddivisa nelle tre classiche

componenti di attrito, di vortici e di onda; riguardo a quest’ultima e alla formazione

ondosa viene chiaramente precisato il significato fisico di velocità corrispondenti.

Continuando nella lettura, si precisa la legge di trasferimento, applicabile rigorosamente

alla sola resistenza d’onda.

Successivamente si procede all’analisi della resistenza di attrito ed al suo calcolo con le

formule della lastra piana.

“The law of comparison then, would be absolutely correct if the elementary resistance

due to the wave-making, to surface-friction, and to the formation of dead-water eddies,

constituted the entire resistance, and if, as has been generally believed, it were strictly

true of the latter two elements alike that the resistance varies as the squares of the

speed and as the area of the surface on which it acts. With reference to dead-water

eddies, indeed, this double proposition may be confidently accepted; but the

experiments on surface friction, of which a report has been sent in by me to the

Admiralty, show that, in regard to this latter element at least, the proposition does not

express the exact truth. In fact, in dealing with surface having so great a disparity in

length and speed as those of a model and of a ship, a very tangible correction is

necessary; but it is one of easy application, and the data afforded by the friction-

experiments are so definite that there is practically no room for error in its application,

given the nature of the surface of the ship.”

Le esperienze sulle resistenza di attrito, alle quali si fa riferimento, sono quelle sulle

lastre piane, riportate in [15, 16]; di esse si darà informazione in seguito.

Nella parte successiva della memoria, sono riportati il trasferimento dei valori della

resistenza del modello alla nave e il confronto con i valori rilevati a mare.

10

S. MIRANDA, Elementi di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Luglio 2006

A tale scopo, i valori delle resistenze utilizzati sono le medie di quelli relativi ai vari

assetti. I risultati furono rappresentati in apposita figura che si riporta di seguito.

I risultati di queste prove sono i fondamenti del metodo di Froude: la definizione del

concetto di lastra piana equivalente per le resistenze di attrito della nave, calcolate per il

modello e la nave con le formule ricavate dalle sperimentazioni eseguite in vasca; il

trasferimento alla nave, con il cubo della scala, della differenza tra la resistenze totale e

di attrito del modello.

Nei paragrafi successivi, Froude corregge i risultati per tenere conto della differenza

delle densità tra acqua dolce e acqua di mare e mette a confronto le curve di resistenza

della nave ottenute a mare e in vasca. Il grafico è di seguito riportato. Come si osserva,

la resistenza a mare risultò essere superiore a quella ricavata dal modello, con differenze

percentuali che vanno dal 35% alle velocità più basse al 9% alle più alte.

Diverse e interessanti furono le motivazioni date da Froude a giustificazione di questi

scarti; certamente lo stato delle superfici delle carene nave e modello era diverso: il

modello aveva la superficie liscia e verniciata, quella della nave era coperta di lastre di

rame, con lunga permanenza a mare. Un altro importante fattore che, in seguito, fu

evidenziato in una successiva pubblicazione, era la profondità del fondale. Quello della

vasca aveva, rispetto al modello, le caratteristiche assimilabili alla profondità infinita;

quelle svolte a mare erano proprie dell’avanzamento in basso fondale. Pertanto, eseguite

in vasca esperienze su un fondale rialzato, corrispondente a condizioni più prossime a

quelle del mare, il confronto migliorò sensibilmente.

Il risultato ancora più importante fu, tuttavia, evidenziare l’influenza del fondale sulla

resistenza al moto e l’enunciazione degli elementi fondamentali della resistenza in

basso fondale.

La conclusione generale del lavoro svolto si può, infine, compendiare nelle parole finali

di Froude:

“The experiments with the ship, when compared with those tried with her model,

substantially verify the law of comparison which has been propound by me as

governing the relation between the resistance of ships and their models”.

11

S. MIRANDA, Elementi di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Luglio 2006

Figura tratta dalla memoria [12] 13

S. MIRANDA, Elementi di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Luglio 2006

25000 Esperienze sulla corvetta Greyhound: Resistenza della nave a mare confrontata con quella

dedotta dal modello

20000 valori mare

(libbre) valori vasca

15000

nave

della

resistenza 10000

5000

0

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

velocità della nave (piedi al minuto)

13 14

S. MIRANDA, Elementi di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Luglio 2006

4. I PRINCIPI FONDAMENTALI DELLA RESISTENZA DELLE

NAVI

I fondamenti teorici della resistenza al moto erano già stati delineati da

Froude nel memorandum inviato all’Ammiragliato nel 1868. Nelle

pubblicazioni del 1875 e 1876 [13, 14], approfittando anche dei risultati

ottenuti da eminenti studiosi, i concetti e i principi alla base del suo

metodo furono perfezionati ed esposti con la semplicità e la modestia,

tipiche degli uomini geniali.

In particolare, in entrambe egli riportava in una nota a margine: Ringraziamenti a

“I cannot pretend to frame a list of many eminent mathematicians who Rankine, Thomson e

originated or perfected the stream-line theory; but I must name, from Stokes

amongst them, Professor Rankine, Sir William Thomson, and Professor

Stokes, in order to express my personal indebtedness to them for

information and explanations, to which chiefly (however imperfectly

utilized) I owe such elementary knowledge of the subject as alone I

possess.”

Nei due lavori su referenziati, sono presentati i fondamenti teorici della

fluidodinamica, allora nota, a giustificazione della suddivisione della

resistenza nelle tre componenti di attrito, di vortici e di onda.

La chiarezza di esposizione e dei concetti obbligano, ancora una volta, a

riportare direttamente il testo dei lavori di Froude, essendo inutili e

superflui i tentativi di traduzione e di commento.

Con riferimento alla memoria “The Fundamental Principles of the

Resistance of Ships” [14, pag. 305], si riporta: Il corpo immerso:

“Since then a frictionless fluid would offer no resistance to a submerged La resistenza di

body moving through it, we have next to consider what are the real attrito superficiale

causes of the resistance which such a body experiences when moving

through water.

The difference between the behaviour of water and that of frictionless

fluid is twofold, as follows:

First, the particles of water, unlike those of a frictionless fluid, exert a

drag or frictional resistance upon the surface of the body as they glide

along it. This action is commonly called surface-friction or skill-friction,

and its amount in any given case can be calculated from experimental

data. 15

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001 Analogia con la

The resistance due to surface-friction of a body such as that which we have lastra piana di

been considering is practically the same of a plane surface of the same uguali lunghezza

e area

length and area, moving at the same speed edgeways through the water.

The second difference between the behaviour of water, and that of the Differenti

imaginary frictionless fluid surrounding the moving submerged body, is that distribuzioni delle

pressioni e velocità

the mutual frictional resistance experienced by the particles of water in sul corpo per il

moving past one another, somewhat hinders the necessity streamline fluido ideale e per

quello viscoso; la

motion, alters their nice adjustment of pressures and velocities, defeats the formazione dei

vortici

balance of forward and backward forces acting against the surface of the

body, and thus induced resistance. ………………..In such a case, the

stream-lines, instead of closing in round the stern, as shown in the figures,

form a swirl or eddy, ……………….., and thus a very great resistance may

result. ……………

I call this source of resistance “eddy-making resistance”, and as I have La resistenza

said, it will be imperceptible in forms of fairly easy shape, …………. dei vortici in

aggiunta a

I have hitherto, throughout the whole of this reasoning, been dealing with quella di attrito

submerged bodies only…………….But when we come to the case of a ship, superficiale

or any other body travelling at or indeed near the surface, we find a new

cause of resistance introduced: a cause, the consideration of which is often

of most vital importance in the design of the forms of ships, and which Il corpo

renders the question of the form of least resistance for a ship, entirely galleggiante: la

different from that of the form of least resistance for a submerged body. Nave

This new cause of resistance, like the eddy-making resistance, operates by

altering the stream-line motions and defeating their balance of forward and

backward forces. It arises as follows:

Imagine a ship travelling at the surface of the water, and first suppose the

surface of the water to be covered with a sheet of rigid ice, and the ship cut

off level with her water-line, so as to travel beneath the ice, floating,

however, exactly in the same position as before ….As the ship travels along,

the stream-line motions will be the same as for a submerged body, of which

the may be regarded as the lower half; and the ship will move without

resistance, except that due the two causes I have just spoken of, namely

surface friction and eddy-making resistance. The stream-line motions being

the same in character as those we have been considering, we shall still have

at each end an excess of pressure, and along the sides a defect of pressure,

which will tend the one to force up the sheet of ice and the other to suck it

down. 15

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001

If now we remove the ice, the water will obviously rise in level at each end, Le onde generate

dalla nave con creste

in order that excess of hydrostatic head may afford the necessary reaction e cavi in accordo alla

legge di Bernoulli

against the excess of pressure, and the water will sink by the sides, in order

that defect of hydrodynamic head may afford reaction against the defect of

pressure.

The hills and valley which thus commence to be formed in the water are, in

a sense, waves, and though originating in the stream-line forces of the body,

yet when originated, they come under the dominion of the ordinary laws of

wave-motion, and to a large extent behave as independent action they

modify the stream-line forces which originated them, and alter the pressures

which are acting upon the surface of the ship.

…………………………………………………………………………………………

…………….

It is worth remark that this cause of resistance, “wave-genesis” o “wave- La resistenza

making resistance”, as it has been termed, would be equally a cause of d’onda diversa non

nulla anche in

resistance in a frictionless fluid, and it is for this reason than in proving to presenza del fluido

you just now that a body would experience no resistance in moving through ideale

a frictionless fluid, I limited the case to that a submerged body.

………………………………………

Having arrived at this point, I think will be useful briefly to review the Sintesi

several cases of motion through fluid, in order to trace where the several

causes of resistance we have dealt with, come into operation.

Case I – A plane moving edgeways through frictionless fluid. Here there Lastra piana in un

fluido non viscoso

will be no resistance.

Case II – A plane moving edgeways through frictional fluid. Here there Lastra piana in

fluido viscoso

will be resistance due to surface friction..

Case III – A submerged body moving through frictionless fluid. The Corpo immerso in

fluido non

un

inertia of the fluid undergoing stream line motion, causes excess of pressure viscoso

at the two ends, and defect of pressure along the middle. The forward and

backward pressures balance one another, and therefore cause no

resistance.

Case IV – A submerged body moving through frictional fluid.. Here there Corpo immerso in un

fluido viscoso

is resistance due to surface friction.. Also, if the body is abrupt enough to

cause eddies, part of the excess of pressure at the tail-end will be converted

by the friction of the particles of fluid into defect of pressure, and so will

destroy the balance between the forward and backward pressures, thus

causing eddy-making resistance. 16

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001

Case V - A submerged body moving through frictionless fluid, but at or

near the surface. The direct pressures on the surface of the body, are Corpo sulla

altered by the operation of the wave system which has been created, thus libera di

superficie

fluido non

un

destroying the balance between the forward and backward forces, and viscoso

introducing “wave-making resistance”.

Case VI – A submerged body moving through frictional fluid, at or near Corpo sulla

the surface. Here, surface-friction, eddy-making resistance, and wave- superficie libera di

.making resistance will be act in combination, and will together make up the un fluido viscoso

total resistance”.

Dopo l’esposizione dei fondamenti della resistenza, nelle memorie si

riportano alcune interessanti considerazioni di tipo quantitativo e

progettuale, sulla base di risultati di esperienze in vasca su modelli.

La resistenza dei vortici è valutata in circa l’otto per cento di quella di

attrito della nave; quest’ultima alla basse velocità è l’ottanta, novanta per

cento della resistenza totale, e può scendere fino al quaranta per cento alle

alte velocità.

Fondamentale è la definizione, per una data forma di carena, della velocità

oltre la quale la curva di resistenza cambia andamento con un forte aumento

della pendenza per effetto del notevole incremento della resistenza d’onda;

in queste condizioni la nave sta creando un onda di lunghezza uguale quasi

a quella della nave stessa; da questa si fanno seguire altre considerazioni

sulla relazione tra la lunghezza, forme e la velocità di progetto di una nave.

Ancora, viene rilevata l’influenza delle forme sulla resistenza d’onda,

evidenziando che allungando i corpi di entrata e di uscita di una carena si

può ridurre tale componente della resistenza, evitando corpi cilindrici ed

aumentando l’area della sezione maestra per conseguire il voluto

dislocamento.

In ultimo è da ricordare l’affermazione che navi molto lunghe e strette sono

adatte alle alte velocità, in quanto presentano ridotta resistenza d’onda; ma è

da tenere presente che l’aumento della lunghezza porta ad una maggiore

superficie bagnata e, pertanto, ad una maggiore resistenza di attrito,

evidenziando, in tal modo, uno dei problemi progettuali ancora oggi attuale

e di fondamentale importanza. 17

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001

5. LA RESISTENZA DELLA LASTRA PIANA: LE ESPERIENZE DI FROUDE

Presso la vasca di Torquay, W. Froude eseguì esperienze di rimorchio su lastre piane di

lunghezza variabile da 1 a 50 piedi. Tutte avevano larghezza di 19 pollici e spessore di

3/16 di pollice. Le velocità di prova erano comprese tra i 100 e 650 piedi al minuto per

le lastre più lunghe e tra 400 e 850 piedi al minuto per quelle più corte. Per evitare la

formazione di onde, le lastre furono immerse ad un profondità di un pollice e mezzo e

avevano i bordi di entrata ed uscita opportunamente affilati. Furono inoltre provati

diversi tipi di finitura superficiale per valutarne l'influenza sulla resistenza.

Il lavoro svolto fu raccolto in due memorie presentate nel 1872 e 1874 alla British

Association for the Advancement of Science [15, 16].

I risultati ottenuti furono rappresentati in due gruppi di grafici, dei quali il primo dava le

curve di resistenza in funzione della velocità con parametro la lunghezza, per il secondo

la variabile indipendente era la lunghezza e la velocità il parametro.

Le prime curve erano approssimabili a parabole con la concavità rivolta verso l'alto;

analogo risultato fu ottenuto per le curve del secondo gruppo, ma con la concavità era

verso il basso.

Nel primo caso l'esponente della curva presentava valori non costanti, ma sempre

inferiori di poco a due; nel secondo la resistenza presentava un andamento non lineare

con la lunghezza a velocità costante. Quest'ultima osservazione portò ad una

conclusione molto importante, contraria a quanto all'epoca si riteneva e già sottolineata

da Froude: la resistenza per unità di superficie era decrescente con la lunghezza della

lastra. Questa conclusione e le altre interessanti e geniali osservazioni contenute nelle

memorie, fanno intendere che Froude era molto vicino alla soluzione del calcolo della

resistenza di attrito e ai concetti di strato limite e di regimi di moto laminare e

turbolento.

L'intenso lavoro sperimentale e di analisi dei risultati portò alla formulazione della

legge di attrito: = n

R f S V

F

dove

RF = la resistenza in libbre

S = la superficie bagnata in piedi quadri

V = la velocità in nodi

f e n = parametri dati in funzione della lunghezza della lastra e del tipo e della

rugosità della superficie 15

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001

La difficoltà principale incontrata, fu, comunque, l'estensione dei risultati ottenuti a

lunghezze pari a quelle delle navi, ben maggiori dei cinquanta piedi delle lastre più

lunghe.

La difficoltà principale incontrata, fu, comunque, l'estensione dei risultati ottenuti a

lunghezze pari a quelle delle navi, ben maggiori dei cinquanta piedi delle lastre più

lunghe.

La soluzione data da Froude non fu unica, né molto chiara; le ipotesi essenziali

consistevano nel ritenere costanti la resistenza di attrito dei primi cinquanta piedi a

prescindere dalla lunghezza e quella per unità di superficie oltre i cinquanta piedi.

Si noti infine che una nuova analisi e presentazione dei risultati fu data da la figlio

Robert Edmund nel 1888.

Un'interessante analisi e discussione delle esperienze e dei risultati di Froude fu

eseguita dal Payne e riportata in [17].

Di seguito si riporta la formula adottata dalla Conferenza dei Sovrintendenti delle

Vasche Navali tenuta a Parigi nel 1935: = 1

.

825

R f S V

F

dove il coefficiente f , relativo all'acqua di mare, era dato dalle formule:

. 0

. 258

0 053

= + = +

f 0

. 00871 ; f 0

.

1392

+ +

8

. 8 L 2 . 68 L

relative alle unità di misura inglesi ed internazionali rispettivamente. In apposite tabelle

erano riportai i valori di f per l'acqua dolce.

16

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001

6. IL METODO DI FROUDE

Si voglia riprodurre su modello in vasca la nave avanzante di moto traslatorio uniforme,

con il piano diametrale costantemente verticale e velocità orizzontale e ad esso

complanare. Il liquido, inizialmente stagnante, si supponga incomprimibile,

orizzontalmente indefinito, di profondità illimitata. Si suppongano, infine, assenti

fenomeni di cavitazione, di distacco del fluido e di rottura di onda.

Indicati con i pedici M ed S le grandezze relative rispettivamente al modello e alla

λ = L L

nave, sia il rapporto geometrico di scala.

S M

La condizione di completa similitudine dinamica dei moti fluidi intorno alle carene del

modello e della nave richiede l'uguaglianza dei numeri di Froude e Reynolds, dal che ne

segue quella dei coefficienti di resistenza specifica:

= = ⎫

F F F

NM NS N ⎪

⎪ ( ) ( ) ( )

⇔ = =

⎬ C F ,

R C F , R C F , R (1)

TM NM NM TS NS NS T N N

= = ⎭

R R R

NM NS N ν = µ ρ

Dalle relazioni (1), supposto che la viscosità cinematica assuma lo stesso

valore per il modello e la nave, conseguono i seguenti rapporti di scala tra le velocità:

= = ⇔ = λ

F F F V V

NM NS N M S (2)

= = ⇔ = λ

R R R V V

NM NS N M S

Ne segue che le condizioni di similitudine dinamica sono completamente soddisfatte

λ

unicamente quando = 1, vale a dire il modello deve essere uguale alla nave.

17

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001

Si supponga allora di poter scrivere: = +

C ( F ,

R ) C ( F ,

R ) C ( F ,

R ) (3)

T N N W N N V N N

C e C

dove sono rispettivamente i coefficienti di resistenza di onda e viscosa,

W V

entrambi funzioni dei numeri di Froude e di Reynolds.

Se si considerano gli effetti viscosi confinati nella sottile regione dello strato limite

intorno alla carena e si ritiene trascurabile la loro influenza sul campo di pressione del

sistema ondoso generato in superficie, si può con approssimazione scrivere:

≅ +

C ( F ,

R ) C ( F ) C ( R ) (4)

T n N W n V N

dove si è ritenuto la resistenza di onda funzione del solo numero di Froude, e quella

viscosa funzione del solo numero di Reynolds. R di una

Si supponga ancora che la resistenza viscosa della carena sia uguale a quella F

lastra piana di pari lunghezza e superficie bagnata della carena e, pertanto, calcolabile

C

attraverso il corrispondente coefficiente di resistenza specifica di attrito , funzione

F

unicamente del numero di Reynolds.

R

Detta allora resistenza residua l'aliquota di resistenza ottenuta sottraendo da quella

R C

R

totale la resistenza di attrito , calcolata come sopra detto, si indichi con il

F R

F

relativo coefficiente specifico. Questo coefficiente è certamente funzione sia di che

N

R

di in quanto contiene in sé l'aliquota della resistenza viscosa dovuta alla forma del

N

corpo, detta anche resistenza viscosa di pressione.

Si può, pertanto, scrivere: = −

C ( F ,

R ) C ( F ,

R ) C ( R ) (5)

R N N T N N F N

Ritenendo infine accettabile l'ipotesi che la resistenza residua sia indipendente dal

numero di Reynolds, si può scrivere :

≅ +

C ( F ,

R ) C ( F ) C ( R ) (6)

T N N R N F N

18

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001

Se il liquido fosse anche non viscoso, la resistenza al moto di avanzamento della carena

sarebbe unicamente quella di onda: R

R

= ⇔ = W

T

C ( F ) C ( F ) (7)

T N W N ρ ρ

2 2

1 2 S

V 1 2 S

V

dove S è una superficie, convenzionalmente assunta uguale a quella bagnata da fermo

della carena.

Sperimentando su modello a numero di Froude costante, vale a dire con le velocità nel

= λ

V V

rapporto , dall'uguaglianza dei coefficienti di resistenza specifica, si

S M

trae: = = ⇔ = ⇔

F F F C ( F ) C ( F )

NS NM N WS N WM N (8)

R R

⇔ = ⇒ = γ λ

3

WS WM R R

WS S WM

ρ ρ

2 2

1 2 S V 1 2 S V

S S S M M M

γ il rapporto tra le densità dell'acqua di mare e della vasca navale, .

essendo S

La (8) esprime la legge di trasferimento delle forze di origine gravitazionale, in

particolare della resistenza di onda.

Si noti ancora che, essendo: ∆ = γ λ

3

S S

∆ M 19

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001

dalla precedente relazione si ricava: R R

=

WS WM

∆ ∆

S M

vale a dire che la resistenza d’onda per dislocamento unitario è costante ed uguale per il

modello e la nave.

Se si suppone pertanto di potere separare e ritenere indipendenti le componenti di onda

e viscosa della resistenza totale, come espresso dalla relazione (4), e si ritiene altresì

accettabile la relazione (6 ), si può scrivere: ( ) ( )

= +

C ( F , R ) C F C R

TM N NM RM NM FM NM (9)

( ) ( )

= +

C ( F , R ) C F C R

TS N NS RS NS FS NS

Sperimentando su modello a valori costanti del numero di Froude, si può ritenere:

= = ⇒ = =

F F F C ( F ) C ( F ) C ( F ) (10)

NM NS N RM NM RS NS R N

Ne segue che il coefficiente totale di resistenza specifica della nave è dato dalla

relazione: = + =

C ( F , R ) C ( F ) C ( R )

TS N NS R N FS NS (11)

= − +

C ( F , R ) C ( R ) C ( R )

TM N NM FM NM FS NS

Pertanto, misurata la resistenza totale incontrata dal modello, calcolate quelle di attrito,

della nave e del modello, con le formule della lastra piana, la (11) consente il calcolo

della resistenza totale al moto della nave (vedi figura).

20

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001 25

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001

Si noti ancora che la relazione (11) esprime il rispetto parziale delle condizioni di

similitudine dinamica (similitudine dinamica parziale), non essendo possibile, come

segue dalle (2), realizzare una completa similitudine dinamica tra i due campi di moto.

I differenti valori assunti dal numero di Reynolds, relativi al modello e alla nave,

comportano problemi di effetto scala nel trasferimento vasca-mare dei dati rilevati su

modello.

In forma dimensionale le stesse relazioni si scrivono:

µ ρ = µ ρ +

R ( L V , g , , ) R ( L , V , , ) R ( L , V , g )

TM M , M M M FM M M M M RM M M

µ ρ = µ ρ +

R ( L , V , g , , ) R ( L , V , , ) R ( L , V , g )

TS S S S S FS S S S S RS S S

Operando secondo le ipotesi di Froude, vale a dire in modo tale che

= λ ⇔ =

V V F F , si ammette il trasferimento alla nave della sola

S M NM NS γ λ

3

resistenza residua del modello nel rapporto :

S ( )

= γ λ = γ λ −

3 3

R R R R

RS S RM S TM FM

Ne seguono le relazioni: ∆ R R

γ λ = ⇒ =

3 S RS RM (12)

S ∆ ∆ ∆

M S M

= + = γ λ + =

3

R R R R R

TS RS FS S RM FS

⎡ ⎤

⎛ ⎞

R

⎜ ⎟

= γ λ − + = γ λ − −

3 3 ⎢ ⎥

FS

(

R R ) R R R

⎜ ⎟

S TM FM FS S TM FM γ λ

3

⎢ ⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦

S

26

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001

dove posto: R 1 ( )

= − = ρ − − ∆

2

FS

F R S V C C C

D FM M M M FM FS F

γ λ

3 2

S

si ottiene: ( )

= γ λ −

3

R R F (12’)

TS S TM D

La relazione (12) indica che il trasferimento alla nave secondo le ipotesi di Froude

equivale all’ipotesi di uguaglianza tra il modello e la nave della resistenza residua per

unità di dislocamento.

Per quanto riguarda la relazione (12’), la quantità positiva è detta deduzione di

F

D

attrito. Essa è un’ipotetica forza che, applicata al modello nel senso del moto, definisce

= −

R R F

la resistenza ideale , misurata sul modello, trasferibile direttamente

i TM D

γ λ

3

alla nave nel rapporto di scala . Nelle tradizionali procedure sperimentali per la

S

determinazione della resistenza a rimorchio della nave, si opera senza l’azione della

forza , tenendo conto algebricamente di essa secondo la relazione (12’).

F

D λ

In conclusione, costruito nella scala il modello geometricamente simile alla nave,

portato lo stesso nelle condizioni simili di carico e di assetto, sicché riesca, ad esempio,

per i dislocamenti e le immersioni:

∆ T

= γ λ = λ

3

S S ;

;

∆ S T

M M

= λ

V V /

si porta il modello alla velocità e si misura il valore R . Dal

TM

M S

calcolo analitico della R e R con le formule della lastra piana equivalente,

FM FS

mediante la (12’) è possibile calcolare il valore R della resistenza totale a rimorchio

TS

della nave. 27

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001

7. LE FORMULE PER IL CALCOLO DELLA RESISTENZA DI ATTRITO

DELLA LASTRA PIANA

L’applicazione della formula di Froude per il calcolo della resistenza di attrito di due

distinte lastre, diverse in lunghezza, ma caratterizzate da uguale valore del numero di

C

Reynolds, e si calcolano i rispettivi coefficienti specifici , si ottengono valori

F

differenti, circostanza che appare, oggi, una palese incongruenza della formula.

Occorre, allora, ricordare il particolare carattere sperimentale della formula ricavata e la

impossibile conoscenza da parte di Froude delle caratteristiche dei fenomeni viscosi

evidenziate da O. Reynolds (1842-1913) che, probabilmente, stava sviluppando i suoi

studi quando Froude eseguiva nel 1872 le esperienze in vasca.

G.S. Baker fu il primo nel campo navale ad introdurre nel 1915 il numero di Reynolds

nel calcolo della resistenza di attrito. Oggi questo calcolo viene eseguito attraverso il

coefficiente CF dato da diverse formule unicamente funzioni del numero di Reynods.

Alcune di esse sono di seguito riportate.

• Formula di Schlichting: 0 .

455

= < 9

; R 10 ;

C ( )

F N

2

. 58

log R

10 N V L

=

R N ν

dove R è numero di Reynolds e si suppone la lastra in regime turbolento su tutta la

N

lunghezza L. Nel caso che il flusso non sia turbolento su tutta la lastra, può applicarsi la

seguente:

• Formula di Prandtl-Schlichting: 0 .

455 A

= −

C ( )

F 2

. 58 R

log R N

10 N

28

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre 2001


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Architettura Navale del Prof. Salvatore Miranda, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: la resistenza al moto, modelli sperimentali e metodo di Froude; esperienze sulla corvetta Greyhound; resistenza della lastra piatta; rappresentazione del metodo di Froude e validazione sperimentale.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria navale
SSD:
A.A.: 2006-2007

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Architettura Navale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Miranda Salvatore.

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