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Modulo I – Concetti di base

( )

( ) ≤ λ ≤

− = − λ − (2.6.1)

& & & &

e e e 0 1

p p 1 p p

− −

t t 1 t t 1

dove è il tasso di inflazione al tempo dato dalla differenza prima logaritmica

&

p t

t = ∆ = − (2.6.2)

&

p ln p ln p ln p −

t t t t 1

approssimativamente uguale, come si è visto nel paragrafo 2.2, alla variazione

− e

percentuale del livello dei prezzi tra e ; e è il tasso di inflazione atteso

&

t 1

p t p

t t

+

per il tempo , formulato nel tempo .

t 1 t

L’equazione (2.6.1) indica che l’operatore che esprime l’opinione nel tempo t

e

confronta la sua previsione , fatta nel tempo precedente, con il valore effettivo

&

p −

t 1

+ >

e e

e formula per il tempo una attesa maggiore di se , ed una

& & & & & e

t 1

p p p p p

− −

t t t 1 t t 1

minore nel caso contrario. È per questo comportamento che la (2.6.1) costituisce

− e

uno schema di (di previsione, pari allo scarto )

apprendimento dall’errore & &

11 p p −

t t 1

ovvero di attese adattive, in quanto le aspettative si adattano all’andamento del

tasso di inflazione effettivo, sia pure con un certo ritardo.

λ = λ = − e

Se l’adattamento è inesistente; se è invece , cioè il valore

& &

1 0 p p −

t t 1

atteso è uguale all’ultimo dato effettivo disponibile e l’adattamento è immediato.

e

L’equazione (2.6.1) può essere risolta rispetto a , ottenendosi

&

p t

( )

= λ + − λ (2.6.3)

& & &

e e

p p 1 p

t t 1 t

che può essere riscritta iterativamente nel tempo

( )

= λ + − λ

e e

& & &

p p 1 p

− − −

t 1 t 2 t 1

( )

= λ + − λ

& & &

e e

p p 1 p

− − −

t 2 t 3 t 2

...

Sostituendo successivamente questi valori nella (2.6.3) si ha

( ) ( )

= λ + λ − λ + − λ =

& & & &

e 2 e

p p 1 p 1 p

− −

t t 2 t 1 t (2.6.4)

( ) ( ) ( ) ( )

= λ + λ − λ + λ − λ + − λ = = − λ λ

& & & & &

3 e 2 j

p 1 p 1 p 1 p ... 1 p

− − − −

t 3 t 2 t 1 t t j

=

j 0

dove la variabile attesa è funzione soltanto di tutti i valori passati del tasso di

λ

inflazione secondo lo schema di decadimento geometrico di ragione . Questa

relazione mette bene in evidenza come l’attesa di inflazione sia da un

generata

modello contenente soltanto i tassi di inflazione presente e passati. In questo senso

In lingua inglese: Tale schema di apprendimento è utilizzato anche

error-learning model.

11

in altre situazioni. 2-30

Modulo I – Concetti di base

il (2.6.4), e cioè il (2.6.1), è un modello generatore di una variabile non osservabile,

l’inflazione attesa appunto, in funzione di variabili osservate, cioè il valore

dell’inflazione sperimentato storicamente.

– L’equazione (2.6.1), o l’equivalente (2.6.4), è

Osservazione 2.12

definitoria per il tasso di inflazione atteso, secondo la tassonomia del

paragrafo 2.2. La relazione (2.6.4) rappresenta uno schema a ritardi

distribuiti infiniti, già utilizzato dalla funzione del consumo (2.1.7) e in

quella dello stock di capitale.

L’operatore di ritardo L

Alla relazione (2.6.4) si arriva più direttamente se si fa uso dell’operatore di ritardo

che, elevato all’esponente ed applicato alla generica variabile , la ritarda di

s

L z

unità temporali

s =

s (2.6.5)

L z z −

t t s

Utilizzando tale operatore, la (2.6.3) diventa, considerando che, per semplicità,

=

1

si usa porre ,

L L ( )

− λ = − λ

& & &

e e

p L p 1 p

t t t

cioè ( ) ( )

− λ = − λ

& &

e

1 L p 1 p

t t

da cui, adoperando la somma di infiniti termini di una progressione geometrica di

λ

ragione ,

L ∞

1 ∑

= λ j j (2.6.6)

L

( )

− λ

1 L =

j 0

si ottiene di nuovo la (2.6.4)

− λ ∞

( )

1 ∑

= = − λ λ

& & &

e j (2.6.7)

p p 1 p

( ) −

− λ

t t t j

1 L =

j 0

In realtà, lo sviluppo in serie di potenze (2.6.6) è comunemente utilizzato, e

dimostrato, quando la ragione della progressione è pari ad una costante, ma la sua

validità nel caso in cui sia un operatore viene dimostrata nell’algebra degli

L =

0

operatori. Come è d’uso in algebra, si pone ; valgono inoltre le proprietà

L 1

( )

+ = +

s s s

aL bL a b L

+

=

s v s v

L L L

con e costanti arbitrarie.

a b 2-31

Modulo I – Concetti di base

Da quanto illustrato segue che nelle varie operazioni è da considerarsi come

L

una costante; esso sussiste diversamente soltanto se opera su di una variabile con

indice temporale , poiché se opera su di un eleme nto invariabile nel tempo

t

svanisce. Così, se è una costante, si ha per ogni

a s

=

s (2.6.8)

L a a

e inoltre (2.6.9)

s s

L = L 1 = 1

relazione di uso molto frequente. ∆

L’operatore “differenza prima” , già utilizzato nella (2.2.9), è legato ad L

dall’uguaglianza ∆ = − (2.6.10)

1 L

Inoltre, si ha ( )

∆ = − = − +

2 2 2 (2.6.11)

1 L 1 2 L L

e più in generale ( )

∆ = − =

s s

1 L ...

Una fattorizzazione molto utile è la seguente

( )

( ) ( ) −

∆ = − = − + + + +

s

s 2 s 1

1 L 1 L 1 L L ... L

che mette in luce come la differenza -esima sia uguale al prodotto della differenza

s −

prima per un polinomio in di grado con coefficienti tutti uguali all’unità.

s 1

L 2-32

Modulo I – Concetti di base

2.7 La causalità nelle relazioni economiche

La causalità in un modello di domanda e offerta

Quando si associano tra di loro delle variabili economiche in un processo di

specificazione nasce il problema costituito dalla determinazione delle relazioni di

causa ed effetto. Se consideriamo la prima delle (2.5.4), che possiamo scrivere nella

forma generale seguente (non necessariamente lineare)

( )

=

d (2.7.1)

q f p

1

appare implicito che variazioni di prezzo causino variazioni della quantità di merce

domandata nell’unità di tempo. Così, se un monopolista fissa il prezzo ed osserva

quanto il mercato domanda, vale la (2.7.1) e si può ritenere che la direzione della

causalità vada dal prezzo alla quantità domandata. Ma se il monopolista fissa la

quantità di merce offerta ed aspetta quale prezzo risulterà nel mercato, si può

porre ( )

= s (2.7.2)

p f q

2

ritenendosi in tal modo che la direzione della causalità vada dalla quantità offerta

al prezzo .

12

Da questi esempi risulta che possiamo arguire che la direzione della causalità

sia determinata dall’argomentazione economica e che la formulazione matematica

ne sia soltanto una rappresentazione.

Sempre dal lato dell’offerta, se consideriamo la seconda delle (2.5.4) scritta nella

forma funzionale ( )

=

s (2.7.3)

q f p

3

appare implicito che la direzione della causalità vada dal prezzo alla quantità

offerta, ma se consideriamo un modello di equilibrio

( )

 =

d

q f p

1

 ( ) (2.7.4)

s =

 q f p

3

 =

d s

 q q

 d s

notiamo che le tre variabili , e sono determinate simultaneamente, per

q q p

cui non appare lecito dire che una causi l’altra.

Il concetto di causalità delineato, che è basato sui rapporti che sussistono tra variazioni

12

di variabili, è simile a quello formulato dal Wold (1954), sul quale torneremo tra breve. 2-33

Modulo I – Concetti di base

Causalità e curva di Phillips

Nelle considerazioni svolte al punto precedente alcune equazioni prese

singolarmente rispecchiano l’esistenza di relazioni causali nelle ipotesi economiche,

mentre il modello di mercato in equilibrio (2.7.4) non sembra poter essere

interpretato in senso causale. Argomentazioni simili possono essere proposte in

relazione alla curva di Phillips (1958) che il Lipsey (1960) linearizzò (nei parametri)

con la formulazione seguente

13 ( ) (2.7.5)

k w

∑ − −

= α + α + α ∆ + α + α − + α + α

& & & &

i e t 1

w u u p p p ln t

t 0 1 t 2 t 3 t 4 t t 5 6

p

= −

i 1 t 1

dove = salari nominali,

w

t = prezzi al consumo,

p t

e = prezzi al consumo attese,

p t = disoccupazione,

u t

= tempo

t

ed inoltre il punto sulle variabili denota una differenza prima logaritmica, come

nella (2.6.2), e una differenza prima semplice. L’equazione (2.7.5) è dinamica nel

senso descritto nel paragrafo 2.2 e contiene una tendenza lineare crescente

α + α

rappresentata dal polinomio nel tempo : .

t t

0 6

La specificazione (2.7.5) di Lipsey presuppone che sussista un nesso causale

teorico con direzione da a , mentre la rielaborazione della curva di Phillips

&

u w

t t

fatta da Lucas e Rapping (1969) che partono dalla relazione

  (2.7.6)

0

w w p

 

= β + β − + β

t t 1 t

u ln ln ln

 

t 0 1 2

0 0

 

p p p

− −

t t 1 t 1

dove lo zero in apice indica il valore permanente della variabile, implica la

causazione inversa, dato . Lucas e Rapping suppongono, infatti, che i valori

p t

permanenti per i salari ed i prezzi derivino da schemi adattivi del tipo (2.6.7) con lo

λ

stesso parametro , per cui − λ

1

∆ = ∆

0

ln p ln p

− λ

t t

1 L

Per la precisione, anche se la prima linearizzazione della curva di Phillips va attribuita a

13

Lipsey (1960), l’inserimento del salario reale ritardato è dovuto all’opera di Sargan (1964).

2-34

Modulo I – Concetti di base

− λ

1

∆ = ∆

0

ln w ln w

− λ

t t

1 L

dalle quali si trae − λ

( ) ( )

1

=

0 0

ln p / w ln p / w

− λ

t t t t

1 L

Sostituendo nella (2.7.6) si ottiene ( )

β − λ β

( ) ( )

1

= β + β + + ∆

1 2

u ln w / p ln p / w ln p

− −

− λ − λ

t 0 1 t t t 1 t 1 t

1 L 1 L

ed ancora, tenendo conto della (2.6.8),

( ) ( ) ( )

∆ = β − λ − − λ + β + β − β (2.7.7)

& &

u 1 1 u w p

t 0 t 1 1 t 2 1 t

dove viene rappresentata la causazione da a .

&

w u

t t

In effetti, da un punto di vista econometrico non è possibile scegliere tra le due

direzioni di causalità, vale a dire tra i due modelli (2.7.5) e (2.7.7), sulla base delle

singole equazioni soltanto: occorre aggiungere a queste ulteriori equazioni che

spieghino le altre variabili ivi contenute.

Ma, più in generale, Desai (1975) ha ritenuto che la curva di Phillips consista

nel luogo dei punti di equilibrio della coppia di variabili tasso di variazione dei

salari e disoccupazione, per cui se questa argomentazione fosse valida non si

avrebbe alcuna relazione di causalità tra di esse.

Da queste indicazioni preliminari si può già dedurre come il concetto di

causalità nelle relazioni economiche non sia facilmente definibile; ed infatti

illustreremo nel prosieguo alcune impostazioni differenti che al riguardo sono state

formulate. Risulta, tuttavia, già sufficientemente chiaro che non si manifestano

relazioni di causalità nelle situazioni di equilibrio, mentre è possibile individuarne

in quelle di disequilibrio.

L’impostazione di D. Hume

Fatte queste esemplificazioni, per esporre molto sinteticamente alcune

interpretazioni del concetto di causalità in economia è conveniente risalire a

14

David Hume , il quale parte dal presupposto che ciò che è possibile conoscere

15

tramite i sensi è contingente e particolare, e quindi è impossibile costruire una

Più estesamente esposte in Alemanno e Carlucci (1983).

14 Si veda D. Hume (1739 e 1777); in particolare, nel "Treatise" il libro I, parte III, sez. XIV,

15

e nell’"Enquiry" le sezioni IV e VII. Da questo sono tratti i passi dello Hume che seguono.

2-35

Modulo I – Concetti di base

affermazione circa una relazione causale tra due eventi: “A un fatto ne segue un

altro, ma non possiamo mai osservare un nesso tra di essi. Essi sembrano

ma mai collegati”. Questa posizione scettica viene in gran parte superata

congiunti,

dallo stesso Hume quando fornisce una giustificazione dell’uso delle relazioni

causali basata (i) sulla del nesso e (ii) sulla a tale

ripetizione consuetudine

regolarità:

“Perfino dopo un esempio o un esperimento in cui abbiamo osservato un

particolare evento seguirne un altro non siamo autorizzati a formulare una regola

generale o a dire in anticipo cosa accadrà in casi simili, essendo giustamente

considerata temerità imperdonabile giudicare l’intero corso della natura da un

singolo esperimento, per quanto accurato e sicuro. Ma quando una particolare

specie di eventi è sempre stata congiunta con un’altra, in tutti gli esempi, non ci

facciamo ulteriori scrupoli nel prevedere l’una all’apparire dell’altra, e

nell’utilizzare quel ragionamento che solo può darci sicurezza su questioni di fatto e

di esistenza. Così chiamiamo l’uno ‘causa’ e l’altro ‘effetto’”.

Si noti la sequenzialità temporale tra gli eventi che caratterizza la definizione

di causalità dello Hume e che era presente soltanto in modo implicito nelle

relazioni di domanda e di offerta considerate sopra. Un secondo carattere della

definizione è costituito dalla soggettività delle valutazioni di causa e di effetto che

sono supposte di pertinenza dell’osservatore.

La causalità secondo G.H. Orcutt

Sostanzialmente oggettivista è, al contrario, l’impostazione di G.H. Orcutt (1952

a,b), il quale in due dei lavori che danno inizio agli studi moderni della causalità di

economia fornisce una sintetica interpretazione concettuale di nesso causale ed una

sua definizione operativa.

L’Orcutt parte dalla necessità del decisore politico di governare l’economia in

modo da indirizzarla lungo il sentiero di sviluppo desiderato.

Il decisore “deve essere in grado di osservare le discrepanze tra l’attuale livello

delle variabili di interesse ed il livello desiderato di queste variabili. Quindi, se

deve portare a compimento qualche cosa, ha la necessità di avere a sua disposizione

strumenti per mezzo dei quali modificare il corso effettivo delle variabili” .

16

Questi concetti di governo dell’economia venivano utilizzati nell’epoca

pionieristica della politica economica quantitativa e dell’econometria, in tempi nei

quali si ponevano e si risolvevano alcuni problemi di fondo relativi ai sistemi di

Si veda Orcutt (1952 a).

16 2-36

Modulo I – Concetti di base

equazioni e si differenziavano i concetti di variabile endogena ed esogena, di

e .

variabile obiettivo strumentale

17

Arrivato al punto in cui si suppone che sia necessario fornire al decisore politico

un insieme di relazioni che permettono di controllare determinate variabili

endogene per mezzo delle esogene strumentali, l’Orcutt si trova di fronte alla

necessità teorica di definire concettualmente il rapporto tra esogene controllabili ed

endogene governate, il nesso, cioè, tra causa ed effetto economici.

Questo argomento è affrontato nel secondo lavoro del 1952 (b), nel quale il nesso

causale è definito come una relazione tra eventi asimmetrica: “Se è vero l’evento A,

allora è vero l’evento B”. Ma questa affermazione non implica che dobbiamo

considerare la possibilità che sussista anche la relazione inversa, con causalità da

B ad A. La definizione di causalità è soltanto “unidirezionale” (asimmetrica) e “per

esprimere una relazione non direzionale in termini di relazioni causali occorrono

almeno due relazioni causali”.

L’implicazione causale tra A e B non deve essere intesa in senso meccanico,

automatico: se A causa B, non necessariamente dobbiamo ritenere che B non possa

variare senza che anche A sia cambiato; infatti “quando diciamo che A è una causa

di B, intendiamo spesso dire che se A varia, B sarà diverso in modo specifico da ciò

che se A non fosse variato. Non escludiamo, comunque, la possibilità

sarebbe stato

di una variazione di entità sconosciuta di B anche in assenza di variazioni di A”.

Ignorato nella definizione teorica iniziale, il tempo è in seguito considerato

dall’Orcutt come elemento fondamentale per l’utilizzazione operativa del concetto

di nesso causale. Al fine di porre le variabili nella loro corretta posizione

nell’intelaiatura delle relazioni, non si può fare a meno di ricorrere al loro

ordinamento temporale.

L’impostazione di H. Simon

La caratterizzazione dell’esogenità e dell’endogenità delle var iabili è utilizzata

anche da Herbert Simon (1953) per la formalizzazione di una interpretazione della

causalità vicina a quella dell’Orcutt ma più rigorosa. La relazione causale è un ente

astratto, simmetrico, indipendente in linea di massima dalla cronologia temporale,

rappresentato da un modello analitico: “gli ordinamenti causali sono

semplicemente delle proprietà del modello dello scienziato, proprietà che sono

soggette a variare quando il modello è alterato per adattarsi a nuove

osservazioni...”.

La locuzione "variabile esogena controllabile" è stata coniata da J. Marschack (1950) e

17

quella di "variabile strumentale" da J. Tinbergen (1952). 2-37

Modulo I – Concetti di base

Suo obiettivo è, dunque, quello di dare delle regole attraverso le quali sia

possibile ordinare causalmente le variabili di un modello e non del mondo reale che

tale modello vuol rappresentare.

Un suo esempio è chiarificatore: supponiamo che il prezzo di un certo tipo di

grano dipenda linearmente dalla quantità di raccolto e che questa sia

y

y 2

3

funzione dell’andamento delle condizioni meteorologiche . Tale insieme di

y

1

relazioni causali può essere rappresentato dal sistema di equazioni lineari

β

 = γ

y

11 1 1

 β + β = γ

 (2.7.8)

y y

21 1 22 2 2

 β + β = γ

 y y

32 2 33 3 3 γ

β = =

che è risolvibile se sono conosciuti i parametri e , . Dalla

i 1

, 2 , 3 j 1

, 2 , 3

i

ij

prima equazione si ottiene , che non è funzione delle altre due variabili;

y

1

sostituendola nella seconda equazione si può risolvere questa rispetto ad , ed

y 2

infine, inserendo nella terza equazione il valore trovato per , si ottiene .

y y

3

2

Sussiste allora nelle tre equazioni un ordinamento di “antecedenza” che fa

precedere la prima rispetto alle altre due e la seconda rispetto alla terza; esiste,

inoltre, un ordinamento causale tra le variabili, per il quale la causa la e

y y

1 2

questa la . Tale ordinamento si fonda su di una causalità asimmetrica e non fa

y

3

uso del tempo.

In realtà il Simon non nega aprioristicamente la possibilità dell’ordine

cronologico e nella seconda parte del saggio del 1953 ammette: “Non c’è connessione

necessaria tra l’asimmetria di questa relazione (tra certe variabili) e l’asimmetria

temporale, sebbene un’analisi della struttura causale dei sistemi dinamici in

econometria ed in fisica dimostrerà che le relazioni ritardate possono essere

generalmente interpretate come relazioni causali”.

La definizione di causalità del Simon è restrittiva, in quanto necessita di un

modello rappresentativo per poter esplicitarsi, ed incontra difficoltà qualora si

voglia passare dalla formulazione teorica alle applicazioni.

18

Una di queste difficoltà è dovuta al fatto che, nel caso di modelli di sistemi economici,

18

spesso ad un insieme di osservazioni campionarie non corrisponde un solo insieme di valori

dei parametri ma più insiemi diversi. Segue da questo fatto, che rappresenta il problema

econometrico dell’identificazione, che, dato un modello, non sempre ai dati empirici

corrisponde un solo sistema di relazioni causali tra le variabili. Le relazioni tra il significato

razionale della causalità ed il problema dell’identificazione sono trattate nel sesto e nel

settimo paragrafo del lavoro del 1953. Successivamente il Simon (1955) riconosce che

operativamente la causalità da lui definita è discernibile soltanto se il modello su cui si

basa è sovraidentificato. 2-38

Modulo I – Concetti di base

La causalità secondo H. Wold

Un’altra impostazione del concetto di causalità è dovuto allo svedese (norvegese di

nascita) Wold (1954) che lo interpreta in termini di esperimento controllato: “Una o

più variabili sono sotto il controllo dello sperimentatore, il quale, per dei valori di

quest’ultime opportunamente scelti, osserva i valori di una o più variabili diverse

alle cui variazioni è interessato. Se l’esperimento rivela che una variabile osservata

cambia sistematicamente al variare delle variabili controllate, allora questa

relazione è un tipico caso di nesso causale”.

L’impostazione è dichiaratamente oggettivistica in quanto “replicando

l’esperimento, la relazione causale può essere verificata da altri sperimentatori”;

tale relazione è sostanzialmente asimmetrica e nell’esperimento la variazione

controllata può avvenire sia in modo deterministico che stocastico, cioè in presenza

di disturbi aleatori. Se, infine, in certe situazioni, e qui risiede il punto

maggiormente sottoposto a critiche, non è possibile effettuare materialmente

l’esperimento controllato, si ricorre ad un esperimento fittizio.

Lo stesso Wold, però, si rende conto delle difficoltà pratiche di utilizzare in

modo generale la nozione di controllo ed ammette che “relazioni causali e causalità

sono concetti teorici, non empirici”.

E sorge da questa ammissione una dicotomia del suo pensiero, suddiviso in

modo patente tra definizione astratta della causalità e impostazione operativa. Su

questo secondo tema ritorneremo nel paragrafo 3.3. 2-39

Modulo I – Concetti di base

2.8 Linearizzazione di modelli non lineari rispetto alle

variabili

Le relazioni analitiche esposte in precedenza ci permettono di definire in maniera

sistematica alcuni caratteri delle equazioni econometriche. Innanzitutto queste

possono rappresentare modelli come la funzione del consumo (2.1.1), che è

semplici

del tipo = α + β (2.8.1)

y x

con una sola variabile esogena, oppure come la seconda delle (2.2.9) che

multipli

fornisce una funzione degli investimenti in dipendenza di due esplicative, il tasso di

interesse ed il reddito. Ambedue queste equazioni sono lineari, rispetto sia alle

variabili che ai parametri, ma sovente una specificazione accurata della realtà

economica produce relazioni non lineari, non facilmente analizzabili appunto a

causa della loro non linearità. In questi casi è talvolta possibile linearizzare le

equazioni con opportuni procedimenti, di cui diamo nel seguito alcune indicazioni.

La non linearità rispetto alle variabili può essere eliminata con opportune

trasformazioni: se nella (2.8.1) l’esogena comparisse elevata anche alla seconda ed

alla terza potenza si avrebbe

= α + β + γ + ε (2.8.2)

2 3

y x x x

= =

2 3

ma basterebbero le sostituzioni , , per ottenere l’equazione lineare

z x z x

1 2

nelle variabili = α + β + γ + ε

y x z z

1 2 β

Analogamente, se si ponesse la propensione marginale al consumo nella

(2.1.1) funzione lineare del tempo β = α + α t

0 1

si otterrebbe una equazione del consumo non lineare nelle variabili (a causa del

prodotto )

t y t ( )

= α + α + α

c t y

t 0 1 t

=

ma con la sostituzione si ritroverebbe la linearità

z ty

t t = α + α + α

c y z

t 0 t 1 t

α

con che rappresenterebbe il termine correttivo, rispetto al reddito, derivato

z

1 t

dalla non costanza della propensione marginale al consumo. 2-40

Modulo I – Concetti di base

La tendenza temporale come curva polinomiale deterministica

Un’equazione del tipo (2.8.2) è frequentemente utilizzata per rappresentare la

tendenza temporale mediante una curva polinomiale di ordine nella variabile t

p

= α + α + α + + α (2.8.3)

2 p

y t t ... t

t 0 1 2 p =

I valori di più usuali sono uno e due; per si ha una tendenza parabolica,

p 2

p =

mentre se viene rappresentata una tendenza lineare, come nella curva di

p 1

Phillips (2.7.5).

È interessante notare che operando una differenza prima su di una variabile

che contiene una tendenza lineare, questa viene eliminata. Analogo risultato viene

∆ 2

conseguito operando con una differenza su di una tendenza parabolica, e così

∆ p

via con differenze su polinomi di grado . A titolo di esempio vediamo che nel

p

caso lineare si ha = α + α

y t (2.8.4)

t 0 1

[ ]

( ) ( )

∆ = α + α − α + α − = α

y t t 1

t 0 1 0 1 1

ed in quello parabolico = α + α + α 2

y t t

t 0 1 2 (2.8.5)

( )

∆ = α + α −

y 2

t 1

t 1 2 [ ]

( ) { ( ( ) ) }

∆ = ∆∆ = α + α − − α + α − − = α (2.8.6)

2 y y 2 t 1 2 t 1 1 2

t t 1 2 1 2 2

2.13 – Si lascia al lettore la verifica che il risultato (2.8.6)

Osservazione

può essere ottenuto sfruttando l’operatore di ritardo come indicato

L

nella (2.6.11) ( )

( )( )

∆ = − − = − + = α

2 2

y 1 L 1 L y 1 2 L L y 2

t t t 2

Semplici forme di equazioni non lineari nelle variabili

Una forma semplificata della cur va di Phillips (2.7.5) può essere scritta nel modo

( )

k

∑ − i

= α + α 1 (2.8.7)

&

w u

t 0 1 t

=

i 1

nel quale la non linearità rispetto alle variabili riguarda la presenza del reciproco

− −

1 1

e le potenze dell’esplicativa , già rilevate nella (2.8.2). Effettuando nella

u u

t t

= = =

i

(2.8.7) le sostituzioni e , , si ottiene l’equazione lineare

&

y w u x i 1

, 2

,..., k

t t i

nelle variabili = α + α + + α

y x ... x

0 1 1 k k 2-41

Modulo I – Concetti di base

=

Se nella (2.8.7) si pone si ottiene la forma più semplice della curva di

k 1

Phillips 1

= α + α

& (2.8.8)

w

t 0 1 u t

che lega il tasso di variazione percentuale dei salari con l’inverso della

= =

disoccupazione; ponendo e si ottiene il modello reciproco

&

y w x u

t t

1

= α + α (2.8.9)

y 0 1 x

= =

D’altro canto ponendo e si ha il modello reciproco logaritmico

y w / w x u

t t 1 t

1

= α + α (2.8.10)

ln y 0 1 x −

=

= 1

mentre con le posizioni e si arriva al semilogaritmico

x u

y w / w −

t t 1 t

= α + α (2.8.11)

ln y x

0 1

Il sentiero di equilibrio di lungo periodo in forma continua

L’equazione (2.8.11) è utile per rappresentare lo “steady state” nel tempo continuo;

=

infatti se poniamo in essa , otteniamo

t x = α + α (2.8.12)

ln y t

0 1

cioè ( )

= α + α (2.8.13)

y exp t

0 1

( )

α =

dove rappresenta il tasso istantaneo di crescita di al tempo .

dy / dt / y t

y

1 t t

=

Per si ottiene

t 0 = α

y exp

0 0

per cui la (2.8.13) diventa ( )

= ⋅ α

y y exp t

t 0 1 γ >

che rappresenta l’analogo nel tempo continuo della (2.2.6) dove costituisce il

0

saggio di crescita costante di per unità di tempo. Per trovare la relazione

y t

α

γ

esistente tra ed basta prendere il logaritmo naturale della (2.2.6)

1 ( )

= + + γ (2.8.14)

ln y ln y t ln 1

t 0

e confrontando questa con la (2.8.12) si ottiene 2-42

Modulo I – Concetti di base

( )

α = + γ (2.8.15)

ln 1

1

α γ

che permette di calcolare in funzione di un qualsiasi .

1

Il modello nei logaritmi delle variabili

La funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas (2.4.5) costituisce un esempio di

modello non lineare nelle variabili che è anche non lineare nei parametri.

Prendendo i logaritmi naturali dei due membri dell’equazione si ottiene

= γ + α + β (2.8.16)

ln x ln ln l ln k

α

γ β

che è ora lineare nei parametri , , , e nei delle variabili; per

logaritmi

ln β α

questo motivo è detto Poiché è , i rendimenti di scala sono

log-lineare. = 1 -

costanti ed effettuando la sostituzione si ottiene

x l

= γ + α

ln ln ln

k k

passando così da un modello log-lineare con due variabili esplicative ad un altro,

( )

anch’esso log-lineare, nell’unica esplicativa .

ln l / k

Anche l’equazione della domanda di moneta (2.2.7) è log-lineare; il tasso di

interesse non è logaritmizzato poiché è costituito di per sé da una percentuale,

come già osservato.

Riparametrizzazioni β α

Si noti che l’imposizione del vincolo ci permette di esprimere la (2.8.16) in

= 1 -

un modo equivalente dal punto di vista teorico, ma differente dal punto di vista

β

empirico, in particolare perché il parametro viene eliminato. Una trasformazione

di questo genere, in virtù della quale un’equazione econometrica viene espressa in

funzione di un diverso insieme di parametri, pur mantenendo le sue proprietà

economiche, viene detta riparametrizzazione.

La trasformazione delle variabili di Box -Cox

I modelli esposti nei punti precedenti possono essere considerati come casi

particolari dell’equazione = α + β (2.8.17)

* *

y x

dove  

δ δ

− −

y 1 x 1

1 2

δ ≠ δ ≠

 

0 0

= δ = δ

1 2

;

* *

 

y x

1 2

 

δ = δ =

 

ln y 0 ln x 0

1 2 2-43

Modulo I – Concetti di base δ

sono trasformazioni dette di Box-Cox . In queste il parametro può assumere un

19 δ δ

valore reale qualsiasi, ma è bene ricordare che nel contesto econometrico e

1 2

devono assumere valori tali che alla (2.8.17) si possa dare un’interpretazione

economica. – Questa interpretazione non è necessaria quando si è

Osservazione 2.14 δ

δ

interessati alla sola previsione; in questo caso e possono assumere

1 2

valori qualsiasi.

Analizziamo ora, per ciascuno dei modelli precedenti, gli andamenti della

η

propensione marginale , della propensione media e dell’elasticità

dy / dx y / x

( )

=

della funzione che può essere considerata come il rapporto delle due

y f x

propensioni. Questi carat teri sono riassunti nella tavola 2.1.

Propensione Elasticità

Modello marginale media (puntuale)

dy x

dy y η = dx y

dx x

lineare: β x

= α + β β α + β

y x / x α + β x

reciproco: β

1 − β α + β

= α + β 2 2

/ x / x / x

y α + β

x

x

semilogaritmico: ( ) ( )

1 β

β ⋅ α + β

= α + β α + β x

exp x

ln y x exp x

x

reciproco logaritmico: β    

1 1 1 1

= α + β − β

− α + β α + β

   

ln y / x

exp exp

   

2

x x x x x

log-lineare: ( )

( ) β

β

− β −

β ⋅ α α

= α + β 1 1

x exp x exp

ln y ln x

Tavola 2.1 - Propensione marginale, propensione media ed elasticità nei modelli ottenuti

sfruttando la trasformazione di Box-Cox.

Si vedano Box e Cox (1964). Il caso della trasformazione logaritmica, in realtà, non è

19 δ ≠

differente da quello che si ha per , poiché è ottenibile applicando il primo teorema di

0

δ →

de l’Hôpital con .

0 2-44

Modulo I – Concetti di base

Il modello lineare δ = δ =

È ottenuto dalla (2.8.17) per . La propensione marginale è costante

1

1 2

mentre quella media e l’elasticità variano in funzione di . La propensione media è

x

α β

crescente o decrescente a seconda del segno di e tende a al crescere di ; la

x α

convergenza è tanto più veloce quanto più piccolo è il valore assoluto di .

→ ∞

L’elasticità tende all’unità per e la convergenza è tanto più veloce quanto

x

α

più piccolo è il valore assoluto di rispetto alla .

x

α

2.15 - Nel caso di trascurabile rispetto ai valori assunti

Osservazione

dalla il modello lineare può essere considerato con elasticità

x

approssimativamente uguale a +1.

Il modello reciproco

δ = δ = −

È ottenuto per e . Ambedue le propensioni e l’elasticità dipendono da

1 1

1 2 →

β η →

e sono funzioni della . Per le propensioni tendono all’infinito ed ;

x x 0 1

→ ∞ η

per sia le prime che tendono a zero.

x

Il modello semilogaritmico

δ = δ =

È ottenuto per e . Come nel modello precedente ambedue le

0 1

1 2 →

β

propensioni e l’elasticità dipendono da e sono funzioni della . Per la

x x 0

( )

β ⋅ α

propensione marginale tende alla costante , quella media all’infinito ed

exp

→ ∞

η→0. Per la propensione marginale tende all’infinito, quella media a zero e

x β

l’elasticità tende all’infinito positivo o negativo a seconda del segno di .

Come si è già osservato, se in questo modello la variabile esplicativa è una

x

β

tendenza lineare il coefficiente rappresenta il saggio istantaneo di crescita della

t β

(si veda la (2.8.13). Viceversa, se è una variabile economica, il del modello

x

y

semilogaritmico rappresenta la di a . L’elasticità, a sua volta, è

semielasticità y x βx

variabile in funzione del livello della e si ottiene dal prodotto , come si verifica

x

direttamente (si veda la tavola 2.1).

Il modello log-lineare α

δ = δ = β

È ottenuto per . Ambedue le propensioni dipendono sia da che da e

0

1 2 β = < β <

sono funzioni della . Se , esse sono costanti rispetto alla ; se ,

x x

1 0 1

→ ∞

decrescono tendendo a zero per , mentre crescono tendendo all’infinito per

x → ∞

→ β >

. Per le propensioni crescono tendendo all’infinito per e

x

x 0 1 →

decrescono tendendo a zero per .

x 0

β

L’elasticità è pari alla costante . 2-45

Modulo I – Concetti di base

2.9 Analisi dimensionale

Dimensioni fondamentali

Se si considera la relazione = α + β β < (2.9.1)

s

p q 0

cui si trova di fronte un monopolista, con prezzo nel mercato e quantità di

p q

beni che egli ritiene di poter vendere nel mercato per ogni unità di tempo, non

soltanto la quantità nel membro a destra deve essere uguale a quella del membro a

α + β

sinistra, ma, di più, poiché a sinistra c’è un prezzo, anche la quantità deve,

s

q

nella sua consistere in un prezzo.

essenza,

In altre parole, i due membri dell’equazione (2.9.1) devono avere la stessa

dimensione, che definiamo come l’essenza di una quantità. Da questa

primitiva

caratterizzazione deriva che una dimensione è costituita da un insieme di quantità

[ ]

addizionabili, come i tempi, che formano una dimensione indicata con , come le

T

[ ] [ ]

quantità monetarie, che formano la dimensione , le risorse e le

M R

[ ]

soddisfazioni .

S [ ] [ ] [ ] [ ]

Chiamiamo le quattro dimensioni , , ed elencate,

fondamentali T M R S

in quanto è possibile esprimere tutte le altre in funzione di queste.

Naturalmente queste quattro dimensioni hanno una validità molto generale che

in alcuni casi può risultare eccessiva: è allora opportuno restringere il loro livello di

generalità ampliandone il numero; ad esempio, considerando più tipi di moneta o di

risorse .

20

Per le dimensioni valgono le proprietà additiva e moltiplicativa; cioè se le

[ ]

quantità e hanno la stessa dimensione , e diciamo che

a b X [ ]

[ ]

∈ ∈

,

a X b X

allora [ ]

± ∈ (2.9.2)

a b X

Inoltre se [ ]

c Y

valgono anche le

La restrizione delle dimensioni fondamentali alle quattro indicate è, dunque, soggettiva.

20 2-46

Modulo I – Concetti di base

[ ]

[ ] −

∈ ∈

, (2.9.3)

1

ac XY a / c XY

[ ] [ ] [ ]

In questo caso, se ed sono dimensioni fondamentali, le dimensioni di

[ ] X Y XY

1

e di sono dette .

derivate

ac a / c

XY

Utilizzando queste definizioni torniamo a considerare l’equazione (2.9.1): il

prezzo è ovviamente una quantità monetaria divisa per una quantità reale

[ ]

∈ 1 s

(risorsa), per cui , mentre la quantità offerta ha le dimensioni di una

[ ]

p MR q

s 1

risorsa divisa per un tempo, . Segue quindi che

q RT [ ]

[ ] dp −

∈ β = ∈ 2

1 e

a MR MR T

s

dq

β

affinché il prodotto abbia le dimensioni di un prezzo e l’equazione (2.9.1) sia

s

q

dimensionalmente esatta. Infatti si ha

[ ] [ ] [ ][ ]

− − − −

= +

1 1 2 1

MR MR MR T RT

[ ] [ ] [ ]

− − −

= +

1 1 1

MR MR MR

[ ] [ ]

− −

=

1 1

MR MR

avendo fatto uso delle (2.9.2) e (2.9.3).

Consideriamo ora, come altro esempio, l’elasticità della domanda rispetto al

prezzo d

dq p

η = ⋅ d

dp q

Si ha che [ ]

d 1

dq RT

[ ]

∈ −

1

dp MR

e d’altro canto è [ ][ ]

− −

d 1 1

p / q MR / RT

per cui [ ] [ ]

− −

1 1 [ ]

RT MR

η ∈ =

[ ] [ ] 1

− −

1 1

MR RT

cioè l’elasticità della domanda rispetto al prezzo, come del resto ogni altra

elasticità, è Per una quantità adimensionale si scrive appunto

senza dimensioni. [ ]

a 1 2-47

Modulo I – Concetti di base

Variabili di stock e variabili di flusso

Un tasso di interesse ha le dimensioni di una moneta ricevuta in un lasso di tempo,

divisa per il capitale che è ancora una quantità monetaria, per cui

[ ] [ ]

− (2.9.4)

1

MT −

∈ = 1

r T

[ ]

M

In altre parole, la dimensione del tasso d’interesse è quella dell’inverso di un

tempo.

Questo esempio permette di osservare una caratteristica che distingue le

da quelle (o le prime hanno una dimensione

variabili di flusso di stock di fondo):

[ ]

1

che incorpora , mentre la dimensione delle seconde è da questa indipendente.

T

Analoga distinzione vale per le che possono essere anch’esse di stock o di

costanti,

flusso. Il tasso di interesse, come si vede dalla (2.9.4), ha la dimensione di una

variabile di flusso divisa per una di stock.

La soddisfazione [ ]

La dimensione fondamentale è connessa alla soddisfazione che deriva dal

S

possedere un bene o dall’usufruire di un certo servizio. L’utilità ad essa associata

u

ha la dimensione della soddisfazione stessa ottenuta in un intervallo temporale

determinato, per cui si ha [ ]

∈ 1

u ST

che mostra chiaramente come l’utilità sia un flusso.

Supponiamo ora di considerare un consumatore che possa consumare soltanto

due beni e , che facciamo corrispondere dimensionalmente a due risorse

c c

1 2

diverse, ed . Valgono allora le dimensioni

R R

1 2 [ ] [ ]

− −

∈ ∈

1 1

,

c R T c R T

1 1 2 2

e se la funzione di utilità del consumatore è

( )

=

u f c , c

1 2

è possibile stabilire la dimensione dell’utilità marginale rispetto ai due beni

[ ] [ ]

∂ 1

f ST −

∈ =

[ ] 1

SR

∂ 1

1

c R T

1 1

[ ] [ ]

∂ 1

f ST −

∈ =

[ ] 1

SR

∂ 2

1

c R T

2 2

nonché quella del saggio marginale sostituzione 2-48

Modulo I – Concetti di base

[ ]

− [ ]

∂ ∂ 1

f / c SR −

∈ =

[ ] 1

1 1 R R

∂ ∂ 1 2

1

f / c SR

2 2

che è indipendente dalla soddisfazione. Da queste relazioni segue che l’utilità

[ ]

marginale dipende dalla misurabilità dell’utilità (attraverso ), mentre il saggio

S

marginale di sostituzione è da questa indipendente.

Verifiche dimensionali delle equazioni

Tramite l’analisi dimensionale è possibile controllare la corretta specificazione di

una equazione, non nel senso delle caratteristiche delle variabili come effettuato

nel paragrafo 2.2 bensì in quello dei contenuti dimensionali. Vediamo alcuni

esempi di questa verifica.

Nell’equazione di scambio di Irving Fischer

= (2.9.5)

mv pb

indica lo stock di moneta, la sua velocità di circolazione, è il livello dei

m v p

prezzi e è il flusso di beni e servizi in un dato periodo di tempo.

b [ ]

I beni e servizi hanno la dimensione di una risorsa per cui le transazioni

[ ] b

R

− 1

hanno la dimensione derivata ; il livello dei prezzi ha, come già visto, le

[ ] RT [ ]

− 1

dimensioni ed ovviamente . Per quanto riguarda la velocità di

m M

MR

circolazione, questa indica il numero medio di volte, in un dato periodo di tempo, in

cui la moneta cambia di mano, per cui le sue dimensioni sono un numero puro

[ ]

∈ 1

diviso per un tempo, . Si ha quindi

v T

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] − − − − −

⋅ = ⋅ =

1 1 1 1 1

cioè

M T MR RT MT MT

e quindi l’equazione (2.9.5) è dimensionalmente esatta.

[ ]

Si osservi che nella dimensione “risorse” si pongono beni e servizi non

R

omogenei tra di loro nel senso che sono misurati con unità diverse. È evidente, ad

esempio, che non si possono sommare tra di loro automobili e cavolfiori. In realtà

nell’analisi dimensionale, che è utilizzata per verificare la corretta specificazione

delle equazioni, non si effettuano addizioni in senso fisico o monetario, ma

semplicemente si sommano di variabili e costanti a omogenei. Quindi se la

tipi tipi

[ ]

risorsa, “automobili” ha le dimensioni ed anche il cavolfiore ha per convenzione

R

la stessa dimensione, queste due risorse sono sommabili .

dimensionalmente 21

Naturalmente se si è riluttanti ad accettare questi concetti è sempre possibile far ricorso

21

ad un “numerario”, che può essere una o una di o un bene

misura monetaria utilità

qualsiasi scelto come unità di misura. 2-49

Modulo I – Concetti di base

Per illustrare un secondo esempio di verifica della corretta specificazione di una

β =

equazione, poniamo nella (2.9.1) ottenendosi

1 = α + s

p q

[ ] [ ] [ ]

− − α

∈ ∈ α ∈

1 s 1 s

e poiché , ed , risulta evidente che e non

1

p MR q RT q

MR

possono essere addizionati perché dimensionalmente non omogenei. Manca un

[ ]

β ∈

β β

s

fattore che moltiplica tale che ; segue che questo fattore deve

s 1

[ ][ ] [ ]

q q MR

− − −

=

1 1 2

avere la dimensione .

MR / RT MR T

– L’analisi dimensionale indica semplicemente che

Osservazione 2.16

manca nell’equazione e che questo qualcosa deve avere una

qualcosa

data dimensione; è compito dell’analisi economica determinare che cosa

manca. – L’esattezza dimensionale degli elementi di una

Osservazione 2.17

equazione costituisce soltanto una condizione necessaria per la corretta

specificazione dell’equazione stessa, che pertanto può essere mal

specificata per altre ragioni. 2-50

Modulo I – Concetti di base

2.10 Esercizi

2.1 - Si determini la forma ridotta del modello (2.3.4) e se ne calcolino i

moltiplicatori per il consumo e per il reddito rispetto alla spesa pubblica.

∆ ∆

3 4

2.2 - Si sviluppino le differenze e come nella (2.6.11).

2.3 - Effettuare la verifica descritta nell’osservazione 2.3.

2.4 - Si determini la forma ridotta del modello costituito dalle (2.4.2), (2.1.4) e dalla

= + +

y c i g

e si calcoli il moltiplicatore per il reddito rispetto alla spesa pubblica.

2.5 - Nel modello dell’esercizio 2.4 si supponga che le autorità di governo scelgano il

reddito come variabile obiettivo e ne impongano di conseguenza un valore

y

desiderato. Sotto l’ipotesi che anche il valore di sia stabilito esogenamente, si

v

determini il valore della spesa pubblica necessario per raggiungere l’obiettivo

g

fissato.

2.6 - Si analizzi il modello formato dalle (2.1.4) e (2.4.2), nonché dalle ulteriori tre

equazioni = γ + δ

i y

= η + θ

z y

= + + + −

y c i g x z

dove sono le importazioni, sono le esportazioni e nella relazione di bilancio è

x

z

introdotto l’equilibrio della bilancia dei pagamenti. Le variabili e sono

x g

α > δ > < ε < < θ <

< β <

considerate esogene ed è , , , , .

0 0 0 1 0 1

0 1 2-51

Modulo I – Concetti di base

2.11 Riferimenti bibliografici

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Economica, 25, 2-52


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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta i modelli econometrici e la loro costruzione, come sviluppati nel corso di econometria dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico vengono trattati i temi dell'Analisi economica e analisi econometrica, Il processo di specificazione, Tassonomia delle equazioni, Forma strutturale e forma ridotta delle equazioni, Variabili teoriche e variabili osservabili, La causalità nelle relazioni economiche, Linearizzazione di modelli non lineari rispetto alle variabili.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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