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Modulo X – Modelli VAR

1.6. L’ortogonalizzazione dei residui

Anche il Sims (1980), ovviamente, volendo analizzare gli impulsi agenti sulle varie

variabili in un determinato modello, si trovò di fronte al problema delle alterazioni

indotte dalle correlazioni tra i residui al tempo zero. E volendo semplificare al

massimo la struttura della matrice , la ipotizzò diagonale, azzerando cioè tutte

Σ u

le correlazioni tra i residui al ritardo zero. corrisponde anch’essa ad una

Si noti che la diagonalizzazione di Σ u

strutturalizzazione del modello VAR, seppur molto semplice.

Analizziamo la procedura seguita dal Sims (1980) per effettuare la simulazione

dinamica. La successione infinita delle matrici Ψ = (1.6.1)

con

Ψ

{ ... }

Ψ Ψ Ψ I k

0 1 2 0 funzione di risposta

nel modello vettoriale a somma mobile infinita (1.4.3) è detta

agli impulsi del sistema costituito dal modello VAR( ) e quanto indicato nel

p

paragrafo precedente ne motiva il nome: tale successione definisce gli effetti sulle

variabili endogene di impulsi unitari generati tempi prima. Inoltre, è possibile

h

misurare l’effetto di un impulso nel lungo periodo semplicemente sommando le

risposte relative al primo, secondo, …, -esimo, … periodo successivo

l

all’applicazione dell’impulso.

Si è detto nel paragrafo precedente che la procedura di simulazione dinamica

produce risultati alterati quando sussistono legami istantanei tra le variabili,

misurati dalla matrice di dispersione . Sims (1980) eliminò questo problema

Σ u

trasformando il modello a somma mobile infinita (1.4.3) in un altro equivalente nel

ortogonali

quale, tuttavia, i residui erano (stocasticamente) (incorrelati). In un

sistema di questo tipo, l’impulso unitario di una variabile su di un’altra può essere

analizzato senza l’interferenza causata dai legami istantanei tra le variabili per

fattorizzazione di Choleski

effetto della correlazione tra i residui ricorrendo alla con

la quale si esprime una matrice simmetrica e definita positiva,nel nostro caso la

, come prodotto tra una particolare matrice triangolare (che senza perdere

Σ P P

u

in generalità possiamo supporre inferiore) con elementi diagonali tutti positivi e

P

la sua trasposta ~ ~ ′ ′ ′ ′

− −

= = = ⋅ ⋅ (1.6.2)

1 1

E u u Σ P P P D D D P D

( ) ( ) ( )

t t u

dove è una matrice diagonale i cui elementi nonnulli sono uguali agli elementi

D −1

− =

1

diagonali di . Ne deriva che la matrice è triangolare inferiore con gli

P P D

A 0

elementi diagonali pari a uno. ) (1.1.5) per ed otteniamo

Premoltiplichiamo ora il modello VAR(

p A

0

= + + +

A y A A y A A y A u

0 t 0 1 t−1 0 p t−p 0 t Pagina 1-13

Modulo X – Modelli VAR

cioè = + + + (1.6.3)

A y A A y A A y ε

0 t 0 1 t−1 0 p t−p t

dove si è posto =

A u ε

0 t t

Il modello (1.6.3) ha due caratteristiche essenziali. In primo luogo è

( ) ( )

~ ~ ∀

= ⋅ =

E E t

ε A u 0

t t

0 ′

( )

( ) ( ) ( )

~ ~ ~ ~

′ ′ ′ ′

− −

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ∀

1 1

E E t

ε ε A u u A D P P P D P D D

t t t t

0 0

che è una matrice diagonale con elementi nonnulli tutti positivi; quindi i residui del

modello (1.6.3) sono incorrelati tra di loro e le loro varianze sono pari ai quadrati

degli elementi diagonali di .

P

che moltiplica è una matrice triangolare inferiore per

In secondo luogo, la A y

0 t

ricorsivo

cui il modello (1.6.3) è , e la variabile non ha impatto istantaneo su se

y y

r k

> . In altre parole, non è regredita su alcuna altra variabile allo stesso tempo,

r k y y

1 2

lo è soltanto su , su e , e così via.

y y y y

1 3 2 1

Ovviamente la ricorsività del modello e l’ordinamento delle variabili sono

stabiliti dal costruttore del modello sulla base di ipotesi economiche e quindi il

Sims (1980) fu costretto a far uso di un po’ di teoria economica, pur asserendo di

volerla limitare il più possibile. Si osservi che questa è la seconda volta che il Sims

usa una teoria economica; la prima ha riguardato l’ortogonalizzazione dei residui.

Al fine di limitare il ricorso ad ipotesi economiche nel caso

dell’ortogonalizzazione dei residui è necessario mostrare che la simulazione

dinamica, cioè l’analisi delle risposte all’impulso, non dipende dall’ordinamento

delle variabili. Ma poiché gli ordinamenti possibili sono , tale indipendenza può

k

!

essere verificata agevolmente soltanto per piccolo.

k

Può essere di interesse ricordare che i modelli ricorsivi furono utilizzati da H.

per dare una definizione di causalità in economia.

Wold 10

Esempio – Supponendo che la matrice di dispersione dei residui al tempo zero

del modello (1.1.7) sia  

.

2 . 66 0 . 04 0 05

 

= . . .

0 04 0 35 0 03

Σ  

u  

. . .

0 05 0 03 0 27

 

Lo stesso che sviluppò (nel caso univariato) la (1.4.2).

10 Pagina 1-14

Modulo X – Modelli VAR

il metodo di Choleski applicato a tale matrice delle varianze e covarianze produce

la seguente matrice triangolare inferiore

 

1 . 63 0 0

 

=

P . .

0 02 0 59 0

 

 

. . .

0 03 0 05 0 52

 

La matrice , essendo diagonale con gli elementi nonnulli pari alla diagonale

D

principale di , sarà

P  

1 . 63 0 0

 

=

D 0 0 . 59 0

 

 

0 0 0 . 52

 

per cui è  

1 0 0

 

− =

1 .

0 01 1 0

P D  

 

. .

0 02 0 08 1

 

che, in base alla (1.6.2), permette di ottenere la rappresentazione ricorsiva del

modello (1.1.7) − −

       

M

M

1 0 0 0

. 82 0

. 08 0

. 49 −

1

t

t

       

− ⋅ = − ⋅ +

Y

Y

.

0 01 1 0 0

. 09 1

. 22 0

. 04

       

1

t

t

       

− − − − P

P .

.

0

. 02 0 08 1 0

. 03 0 09 1

. 57

       

1

t

t ε

     

M

0

. 10 0

. 13 0

. 52 − 1

2 t

t

     

+ − − − ⋅ + ε

Y

0

. 04 0

. 38 0

. 01

     

− 2

2 t

t

     

− ε

P

0

. 03 0

. 01 0

. 60

     

− 3

2 t

t

con ordinamento delle variabili

M Y P

→ →

t t t

stabilito a priori. ∇

Utilizzando la matrice definita dalla (1.6.2) è possibile riscrivere la (1.4.3)

P

nella forma Pagina 1-15

Modulo X – Modelli VAR

−1 −1 −1

+ + + =

=

y P P u P P u P P u ...

Ψ Ψ

t t t−1 t−2

1 2 (1.6.4)

Θ + + +

= Θ Θ

w w w ...

t t−1 t−2

0 1 2

dove Θ = = ∞

i

Ψ P 0, 1, …,

i i ~

Θ = e gli elementi del vettore sono incorrelati in quanto

P w

0 t ′ ′

( ) ( )

 

( )

~ ~ ~ ~

′ ′ =

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

- - - -

1 1 1 1

E w w E P u u P P Σ P I (1.6.5)

 

t t t t u k residui

Dunque la rappresentazione (1.6.4) è a somma mobile infinita con

Θ =

ortogonali ; gli elementi di misurano le risposte immediate su di impulsi

P y

t

0 moltiplicatori d’impatto

unitari e sono perciò chiamati . Analogamente sono

Θ moltiplicatori ad interim

, chiamati . Gli elementi

interpretabili gli elementi di i

Θ = Θ shock

misurano le risposte totali su di unitari e

della matrice somma y

t

i

=

i 0

moltiplicatori totali

sono quindi detti . Pagina 1-16

Modulo X – Modelli VAR

1.7. Il modello VAR(1)

Illustriamo analiticamente alcune delle nozioni proposte nei paragrafi precedenti

con il più semplice dei modelli VAR: quello di ordine uno. Questo studio presenta

anche un particolare vantaggio: poiché ogni modello VAR di ordine può essere

p

trasformato in uno equivalente di ordine uno, è didatticamente conveniente

studiare le proprietà di un modello VAR( ) sulla base di quelle di un VAR(1), che

p

sono di più facile determinazione. Consideriamo, dunque, quest’ultimo.

= nella (1.1.5) otteniamo il modello VAR(1)

Se poniamo p 1 = + (1.7.1)

y A y u

t 1 t−1 t

sul quale possiamo ritenere valide le ipotesi deboli (1.5.1) sui residui. Il modello

(1.7.1) può essere scritto nella forma 12

= + + = + +

y A A y u u A y A u u

( )

t 1 1 t−2 t−1 t t−2 1 t−1 t

e iterando la sostituzione volte si ottiene

j j

+

= +

j i

1

y A y A u

− − −

t t j

1 1 1 t i (1.7.2)

=

i 0 generato (da

Questa relazione può essere interpretata nel senso di considerare y

t

− −1 = ∞

un modello VAR(1)) a partire dal tempo . Passando al limite per si ha che

t j j

j

∑ ∑

=

i i

lim A u A u

− −

1 1

t i t i

→ ∞

j = =

0 0

i

i λ di ha modulo minore di uno

esiste finito, se e soltanto se ogni autovalore A

1

λ (1.7.3)

< 1

Inoltre è

11 + =

j 1

lim A y 0

− −

t j

1 1

→ ∞

j

per cui, alla fine, si ottiene ∞

= i

y A u −

1

t t i (1.7.4)

= 0

i +

→ ∞ j 1

j A

Al limite per la convergenza a zero di è rapida, per cui possiamo

11 1

+

j 1

A

considerare nullo, al limite, il termine .

1 Pagina 1-17

Modulo X – Modelli VAR

cioè, il modello VAR(1) dato dalla (1.7.1) viene trasformato in un altro, sempre

vettoriale, a somma mobile infinita. La (1.7.4) può essere ottenuta anche in un

altro modo, dato che la (1.7.1) può essere scritta nella forma

1

=

y u

t t

I A L

k 1 ( )

utilizzando l’operatore . Considerando che può essere inteso come la

L 1 / I A L

k 1

somma degli infiniti termini di una progressione geometrica di ragione A L

1

12 2

= + + +

y (I A L A L …) u

t k 1 t

si ottiene di nuovo la (1.7.4).

Le condizioni di stabilità per un modello VAR(1) sono tratte immediatamente

da quanto riportato nel paragrafo 1.2: affinché il modello (1.7.1) sia stabile occorre

e basta che le radici dell’equazione

z i I − = (1.7.5)

A z 0

k 1

cadano tutte al di fuori del cerchio unitario complesso, cioè

z  1

>

i

dove ora le due barre verticali denotano il modulo del numero (complesso) .

z i

Si può dimostrare che queste condizioni di stabilità equivalgono ad essere gli

tutti in modulo inferiori ad 1; considerando la (1.7.3) si

autovalori della matrice A

1

può affermare che se un modello VAR(1) è stabile allora vale la sua

rappresentazione a somma mobile infinita, e viceversa. Pagina 1-18

Modulo X – Modelli VAR

1.8. Un esempio di modello VAR(1)

Esemplifichiamo alcuni dei concetti esposti in precedenza, e in particolare

l’ortogonalizzazione dei residui ottenuta con la fattorizzazione di Choleski, con il

=

seguente modello VAR(1) con . Il vettore è costituito dalle differenze prime

k 3 y

t

dei logaritmi del PIL reale degli USA, del Giappone e dell’Italia , relativamente al

12

periodo temporale compreso tra il secondo trimestre del 1982 e il secondo del 2002

(ultima osservazione disponibile contenuta nel CD-Rom dell’OECD utilizzato).

L’andamento nel tempo dei tre tassi di crescita del prodotto reale, , e ,

USA JAP ITA

è illustrato nella seguente figura

Figura 1.2 Tassi di crescita trimestrali del PIL reale degli USA, del Giappone e dell’Italia.

Valori percentuali.

La matrice ottenuta dai dati è

A

1

In questo esempio, analogamente al modello (1.1.7), è presente una parte deterministica,

12

costituita ora solamente da un vettore di costanti. Pagina 1-19

Modulo X – Modelli VAR

   

0.34 0.44 0.08 0.15

   

= + +

y y u

0.36 0.04 0.01 0.41 (1.8.1)

    −

t t 1 t

   

0.27 0.17 0.13 0.02

   

per il quale l’equazione (1.7.4) è

 

   

1 0 0 0.44 0.08 0.15

 

   

− =

det 0 1 0 0.04 0.01 0.41 z 0

 

   

 

   

0 0 1 0.17 0.13 0.02

   

 

con soluzioni = = =

, ,

z 1.87 z 4.64 z 6.71

1 2 3

Queste sono tutte maggiori dell’unità in modulo, e quindi il modello (1.8.1) è

stabile.

Se al modello (1.7.1) viene tolta la parte deterministica e si riduce ad uno

l’ordine del processo autoregressivo, si ottiene un nuovo sistema

 

0 . 93 0 . 05 0 . 05

 

= − +

y 0 . 04 0 . 97 0 . 05 y u (1.8.2)

  −

t t 1 t

 

0 . 00 0 . 01 0 . 98

 

è tale per cui le soluzioni della (1.7.4) risultano ora

La matrice A

1 = = =

, , .

z 0.9998 z 1.02 z 1.11

1 2 3

Il modello (1.8.2), dunque, non è stabile.

Consideriamo ora nuovamente il modello (1.8.1). Supponiamo che la matrice di

dispersione dei residui al ritardo zero sia

 

0.34 0.07 0.03

 

= − 0.07 0.90 0.01

Σ (1.8.3)

 

u  

0.03 0.01 0.31

 

per cui, scomponendola con la fattorizzazione di Choleski (1.6.1) otteniamo le

matrici  

0.58 0 0

 

= −

0.12 0.94 0

P  

 

0.05 0.02 0.55

  Pagina 1-20

Modulo X – Modelli VAR -1

     

0.58 0 0 0.58 0 0 1 0 0

     

− = − ⋅ = −

1 0.12 0.94 0 0 0.94 0 0.21 1 0

PD      

     

0.05 0.02 0.55 0 0 0.55 0 .

08 0 .

02 1

     

per mezzo delle quali si raggiunge la forma ricorsiva (1.6.3)

       

1 0 0 0.34 0 44 0 08 0 15 1 0 0

. . .

       

= +

. . . . .

y y u

0 21 1 0 0.43 + 0 13 0 03 0 44 0 21 1 0

       

1

t t t

       

− − − −

. . . . . . .

0 09 0 02 1 0.23 0 13 0 12 0 00 0 09 0 02 1

       

nella quale i residui sono ortogonali. Pagina 1-21

Modulo X – Modelli VAR

p

1.9. Il modello VAR( )

Le condizioni di stabilità di un modello VAR( ) possono essere ricondotte a quelle

p

di un modello VAR(1) scrivendo il primo nella forma del secondo. Infatti, a partire

dalla (1.1.5), possiamo porre:

= + + + + +

y A y A y A y A y

... u

− − − + −

t t t p t p p t p

1 1 2 2 1 t

=

y y

− −

t t

1 1

=

y y

− −

t t

2 2

... =

y y

− + − +

t p t p

1 1

cioè, in termini matriciali,

   

y y

   

A A A A

... u

− 1

t

t 1 2 1

p p t

   

   

   

   

y y

I 0 ... 0 0 0

− 2

1 t

t k

   

    (1.9.1)

   

   

= + +

y y

0 I ... 0 0 0

− 3

2 t

t k

   

   

   

   

...

... ... ... ... ... ... ...

   

   

   

   

y y

0 0 ... I 0 0

 

 

   

− +

1 t p

t p k

o ancora = + (1.9.2)

ξ F ξ v

−1

t t t

= = sono vettori di ordine , e

dove ξ [y y … y ]′ e v [u 0 … 0]′ p×k

t t−1 t−p+1 t t

t  

A A ... A A

p p

1 2 1

 

 

I 0 ... 0 0

k

 

 

=

F 0 I ... 0 0

k

 

 

... ... ... ... ...

 

 

0 0 ... I 0

 

k .

è una matrice quadrata (di sottomatrici) di ordine p×k ) corrispondono a quelle del

Allora, le condizioni di stabilità del modello VAR(

p

modello VAR(1) (1.9.2), che sono date nel paragrafo 1.7: occorre e basta che le

soluzioni dell’equazione

z i I − =

Fz 0

pk

cioè Pagina 1-22

Modulo X – Modelli VAR

2 p

I − − + −  = (1.9.3)

A z A z … A z 0

k 1 2 p

giacciano tutte fuori del cerchio unitario nel campo complesso. Il che è equivalente

siano in modulo inferiori

a richiedere che tutti gli autovalori della matrice F

all’unità, come notato nel paragrafo 1.7. ) generico può essere

Come il modello VAR(1) anche il modello VAR( p

rappresentato mediante una somma mobile infinita, VMA(∞). Illustriamo questa

rappresentazione duale che ci sarà utile nell’analisi del paragrafo seguente.

Consideriamo dapprima il fatto che possiamo risalire dal modello VAR(1) (1.9.2) a

quello VAR( ) (1.1.5) mediante la trasformazione lineare

p = (1.9.4)

y J ξ

t t

= è una matrice di ordine . Consideriamo poi che il modello

dove J [I 0 … 0] (k×kp)

k

VAR(1) (1.9.2) è equivalente alla somma infinita (1.7.3)

= i

ξ F v −

t t i

=

i 0

e moltiplichiamo a sinistra per i due membri di questa equazione. Otteniamo, in

J

virtù della (1.9.4),

∞ ∞ ∞ ∞

∑ ∑ ∑ ∑

= = = = =

i i

J ξ y J F v J F J J v Ψ J v Ψ u

− − − −

t t t i t i i t i i t i

= = = =

0 0 0 0

i i i i (1.9.5)

′ 0 =

= i

dove si è posto , per cui

Ψ J F J , F I pk

i ′ = =

0

J F J I Ψ

k 0

e si è considerato che ′

   

I I 0 ... 0

k k

   

0 0 0 ... 0

[ ]

   

′ = = =

J J v I 0 ... 0 v v v

   

t k t t t

... ... ... ... ...

   

0 0 0 ... 0

   

Esempio – In base alla (1.9.2), il modello VAR di ordine due (1.1.7) composto da

=

variabili, è riscrivibile nel modello VAR(1) formato da variabili

3 6

k= p×k Pagina 1-23

Modulo X – Modelli VAR

− −

     

7

.

77 0

.

00 0

.

82 0

.

08 0 49 0

.

10 0

. 13 0 52

. .

     

− − −

165 .

19 0

.

03 0 10 1 22 0 05 0 04 0 38 0

.

00

. . . . .

     

     

− − −

2

.

40 0

.

00 0 01 0 01 1 56 0 03 0 02 0 59

. . . . . .

= + ⋅ + +

ξ ξ v

t

     

t t t

0 0 1 0 0 0 0 0

     

     

0 0 0 1 0 0 0 0

     

     

0 0 0 0 1 0 0 0

     

×

La matrice nell’esempio proposto è di ordine , ed è costituita da quattro

F (6 6)

blocchi formati dalle matrici e del modello (1.1.7), da una matrice identità e

A A

1 2 ×

da una matrice di zeri, tutte di ordine . Il processo è stabile poiché le radici

(3 3) ξ t

 − =

dell’equazione I F 0

z

pk

= = = = = =

, , , , ,

1.02 1.13 1.48 1.48 1.83 8.37

z z z z z z

1 2 3 4 5 6

giacciono tutte al di fuori del cerchio unitario complesso. Pagina 1-24

Modulo X – Modelli VAR

1.10. Analisi delle risposte all’impulso

Si è già anticipato nel paragrafo 1.5 una delle utilizzazioni più correnti dei modelli

VAR: l’analisi degli effetti (le risposte) sulle variabili del modello di un impulso

unitario imposto sul residuo di una variabile un numero di tempi prima di

j h

quello corrente.

In effetti i modelli VAR, pur essendo simultanei, vanno interpretati in modo

marcatamente differente dai sistemi di equazioni simultanee tradizionali. Non sono

rappresentativi, in quanto incapaci di rappresentare nei dettagli i fenomeni

economici. Non sono decisionali, in quanto non suggeriscono al decisore quali

politiche economiche attuare. Essi sono soltanto in grado di indicare quali effetti

shock

sono in grado di produrre, su di un numero limitato di variabili, derivanti

dall’alterazione di determinate variabili.

Segue allora, come nota il Sims (1980), che è poco utile effettuare uno studio

sulla significatività dei parametri stimati per un modello VAR; i segni dei

parametri relativi a ritardi successivi sono generalmente oscillanti, e quindi poco

interessanti di per sé. Ciò che viceversa è molto utile è visualizzare il

comportamento nel tempo delle risposte all’impulso, che appunto sono funzioni del

tempo.

Nei modelli VAR tutte le variabili sono considerate endogene, a differenza di

quanto avviene solitamente nei sistemi di equazioni simultanee tradizionali. Ma

non è vero che siano modelli ateorici: tutt’altro. Si è visto che per distinguere gli

effetti di un impulso singolo su di una singola variabile è necessario

ortogonalizzare i residui: questa operazione è lecita soltanto sulla base di una

teoria economica.

Sempre l’ortogonalizzazione implica la ricorsività del modello VAR che a sua

volta implica che venga imposto un ordinamento alle variabili. Ed anche questa

operazione può essere fatta soltanto sulla base di una teoria economica.

A titolo di esempio illustriamo le funzioni di risposta all’impulso associate al

modello (1.1.7), nel quale si ipotizza che la moneta sia la variabile più

“controllabile” dalle autorità di governo e che la scelte di politica monetaria si

riflettono sul reddito e sul livello dei prezzi.

L’insieme delle risposte delle variabili , e , rispettivamente ad impulsi

M Y P

prodotti sui residui della moneta, del reddito e dei prezzi, sono riportati nella

Figura 1.3 Pagina 1-25

Modulo X – Modelli VAR

R

i s p

o

s t a a d un impulso pari ad una deviazione standard

R i s p o s t a d i M a d u n i m p u l s o s u M Ris p os t a d i M a d u n im p u lso s u Y Ris p os t a d i M a d u n i m p u l s o s u P

2.0 2.0 2.0

1.6 1.6 1.6

1.2 1.2 1.2

0.8 0.8 0.8

0.4 0.4 0.4

0.0 0.0 0.0

-0.4 -0.4 -0.4

-0.8

-0.8 -0.8

10 15 20 10 15 20 10 15 20

5 5 5

R i s p o

s t a d i Y a d u n i m p u ls o s u M Ris pos t a d i Y a d u n im p u lso s u Y Ris p ost a d i Y a d u n i m p u l s o s u P

0.8 0.8 0.8

0.4 0.4 0.4

0.0 0.0 0.0

-0.4

-0.4 -0.4

10 15 20 10 15 20 10 15 20

5 5 5

R i s p o s t a d i P a d u n i m p u ls o s u M Ris p os t a d i P a d u n im pu ls o s u Y Risp os t a d i P a d u n i m p u l s o s u P

1.6 1.6 1.6

1.2 1.2 1.2

0.8 0.8 0.8

0.4 0.4 0.4

0.0 0.0 0.0

-0.4 -0.4 -0.4

-0.8

-0.8 -0.8

10 15 20 10 15 20 10 15 20

5 5 5

Figura 1.3 – Funzioni delle risposte agli impulsi (linea continua) ed intervalli di confidenza

(linee tratteggiate) calcolati a seguito di uno shock strutturale di intensità pari ad una

deviazione standard. Valori espressi in termini percentuali, relativamente ad un orizzonte

di ventiquattro trimestri.

Si osservi che la Figura 1.3 riporta le nove funzioni associate agli impulsi

prodotti sui residui di tutte e tre le variabili. In realtà interessano soltanto i tre

riportati sulla prima colonna, associati ad un impulso prodotto sull’unica variabile

che può essere, in un certo qual modo, “controllabile”.

I valori sull’asse delle ascisse dei grafici in Figura 1.3 indicano gli effetti sulle

shock

variabili, espressi in termini percentuali, di uno di intensità pari ad una

deviazione standard. Limitando il commento alle risposte di , e ad un impulso

M Y P

shock

sulla moneta, si osserva come gli monetari siano non persistenti e abbiano

effetti sul reddito reale solo nel brevissimo periodo. La risposta dei prezzi ad una

espansione monetaria non è immediata. La risposta inflazionistica si sviluppa con

Pagina 1-26

Modulo X – Modelli VAR

un certo ritardo, annullando gli effetti espansivi della politica monetaria dopo circa

otto trimestri. Pagina 1-27

Modulo X – Modelli VAR

1.11. Stazionarietà del secondo ordine

Le condizioni di stabilità di un modello VAR hanno un corrispondente stocastico

che risulta molto utile per determinarne le proprietà e le stime dei parametri. Per

definire tale corrispondente è innanzitutto necessario considerare l’equazione alle

~ come processo aleatorio vettoriale,

differenze (1.1.5) come stocastica e quindi y t

definito nel tempo discreto. Tale processo aleatorio, che indichiamo come tale con

{ }

~ stazionario del secondo ordine

è detto se valgono, per ogni , le due condizioni

y t

13

t ( )

~ 14

= (1.11.1)

y 0

E t

( ) ( )

~ ~ ′

⋅ = = ± ± 2, (1.11.2)

y y Γ 0

, 1

, ...

E τ τ

t t τ y

{ }

~ è stazionario del secondo ordine quando i suoi

In altre parole il processo y t

momenti primi e secondi non dipendono dal tempo. In particolare, le matrici di

~ ~ τ

, riferite ai vettori aleatori e distanti tra di loro unità

dispersione Γ y y

(τ ) − τ

y t t τ .

temporali, dipendono unicamente dal ritardo di calcolo

sono quelle di correlazione al ritardo

Più utili delle matrici di dispersione Γ (τ )

y ~

τ , , che riportano le correlazioni tra gli elementi di (e quindi anche le

P y

(τ )

y t

τ

autocorrelazioni) al ritardo . Si ha che

( ) ( )

− −

= ⋅ ⋅ = ± ± 2, (1.11.3)

1 1

τ τ τ

P D Γ D 0

, 1

, ...

y y

è la matrice di dispersione data dalla (1.11.2) che contiene sulla

dove Γ (τ )

y { }

~

τ

diagonale principale le autocorrelazioni di ritardo degli elementi di e fuori di

y t

τ

essa le loro correlazioni incrociate, ancora calcolate con ritardo ; è la matrice

D

diagonale ( )

 

γ 0 0 ... 0

11

 

( )

γ

0 0 ... 0

 

= 22

D  

... ... ... ...

 

( )

γ

0 0 ... 0

 

 

nn

che serve a dividere ciascun elemento della matrice di dispersione per il

Γ

(i,j) (τ )

y

( ) ( ) ~

γ ⋅ γ degli scarti quadratici medi degli elementi e di .

prodotto y

i j

0 0

ii jj t

in senso debole in covarianza

O o . Nel prosieguo la stazionarietà sarà sempre considerata

13

di questo tipo e quindi non la specificheremo. µ

y

Si ricordi che è definito come scarto dal proprio valor medio. Se questo è la

14 t

( )

~ =

y µ

E .

condizione è t Pagina 1-28

Modulo X – Modelli VAR

Esempio – La matrice di dispersione al ritardo zero delle variabili relative al

modello (1.1.7) sia  

4191

. 96 886 . 03 3871 . 04

 

( ) =

Γ 0 886 . 03 192 . 42 813 . 07

 

y  

3871

. 04 813

. 07 3597 . 86

 

per cui  

64 . 74 0 0

 

=

D 0 13 . 87 0

 

 

0 0 60 . 00

 

τ = 0

Applicando la (1.11.3), per , si ottiene la matrice delle correlazioni a ritardo

zero − −

1 1

 64

.

74 0 0

4191

.

96 886

.

03 3871

.

04

64

.

74 0 0 

( ) =

=

P 0 13

.

87 0

886

.

03 192

.

42 813

.

07

0 0 13

.

87 0 

y 

 0 0 60

.

00

3871

.

04 813

.

07 3597

.

86

0 0 60

.

00 

 

 . .

1 0 98 0 99 

= . .

0 98 1 0 97 

 

 . .

0 99 0 97 1

 ∇

Si noti che ( ) ( )

′ = − ∀ (1.11.4)

Γ Γ

τ τ t

y y +τ

possa essere sostituito con ,

poiché la condizione (1.11.2) implica che il tempo t t

per cui ′

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

~ ~ ~ ~ ~ ~

′ ′ ′ ′

= = = = −

Γ y y y y y y Γ

τ E E E τ

− + +

y t t τ t τ t t t τ y

e trasponendo si ottiene la (1.11.4). Da questa si può ricavare che

( ) ( )

′ = (1.11.5)

Γ Γ

0 0

y y

Le condizioni di stabilità del modello VAR(1) riportate nel paragrafo 1.7, così come

{ }

~

), sono sempre soddisfatte se è stazionario.

le analoghe per i modelli VAR( y

p t Pagina 1-29

Modulo X – Modelli VAR

Vale anche il viceversa ma con alcune eccezioni: queste sono talmente poco

rilevanti che di fatto è generalizzato l’uso di considerare equivalenti i due concetti

di stabilità (matematico) e stazionarietà (probabilistico). Pagina 1-30


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto, tratto dal corso di lezioni di econometria tenute dal professor Francesco Carlucci, analizza i modelli autoregressivi vettoriali. Nello specifico i temi trattati sono: Le critiche del Sims ai modelli simultanei strutturali, Relazioni del modello VAR, Le ipotesi stocastiche deboli sui residui e la simulazione dinamica, Le equazioni di Yule-Walker per i processi VAR.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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