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Modellazione elementi a fluido

Materiale didattico per il corso di Dinamica di Sistemi Aerospaziali del Prof. Pierangelo Masarati, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: modellazione elementi a
fluido
; il bilancio dell'energia meccanica; le applicazioni pratiche, il colpo d'ariete; flusso stazionario da una piccola apertura; molla - smorzatore a fluido;... Vedi di più

Esame di Dinamica di Sistemi Aerospaziali docente Prof. P. Masarati

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9-4 CAPITOLO 9. MODELLAZIONE ELEMENTI A FLUIDO

che si possano definire una pressione ed una velocità mediamente uniformi nella stessa. Senza dilungarci

ricordiamo che tale condizione è praticamente soddisfatta per correnti turbolente su tutta la sezione,

al di fuori, al più, di uno strato genericamente sottile vicino alla parete fisica che contiene il volume di

controllo. In sostanza, nella sezione il flusso è dominato dalle forze d’inerzia, mentre gli sforzi viscosi

si evidenziano solo in prossimità della parete del tubo, quando la velocità diminuisce fino ad annullarsi

per soddisfare la condizione di adesione del fluido alla parete. Si noti che si è preferito parlare di

distribuzione di velocità nella sezione, evitando ogni riferimento improprio ad un possibile strato limite

di parete, essendo tale estensione del concetto di strato limite inappropriata, anche se spesso usata in

letteratura. Come detto, l’esistenza di moti stabilmente turbolenti dipende essenzialmente dal prevalere

delle forze d’inerzia sulle forze viscose, condizione come noto sintetizzata da un numero di Reynolds

medio sulla sezione sufficientemente elevato. Nel caso di flussi prevalentemente monodimensionali, tale

numero di è definito da:

Reynolds D u

ρD u i

i = , (9.9)

Re = µ ν

essendo D una dimensione caratterizzante la sezione di riferimento, spesso definita per una generica

i

sezione col termine di diametro idraulico equivalente, o semplicemente diametro idraulico, dato da:

4A (9.10)

D =

i P

dove A è l’area della sezione e P è il suo perimetro. Chiaramente, per tubi a sezione circolare, D altro

i

non è che il diametro reale del tubo. Con tale definizione si può approssimativamente ritenere che il

flusso sia sicuramente turbolento per Re > 4000 e laminare per Re < 2000, mentre per valori compresi

fra 2000 e 4000 si ha una condizione di flusso misto, detto di transizione. In generale, la transizione

presenta una isteresi, nel senso che, in assenza di perturbazioni, per numeri di in crescita

Reynolds

da valori inferiori a 2000, il flusso tende a rimanere significativamente laminare ben dentro l’intervallo

critico, e, viceversa, in diminuizione da valori maggiori di 4000, il flusso tende a permanere turbolento.

La condizione Re > 4000 è generalmente soddisfatta, e sarà assunta come vera nella maggior parte della

nostra trattazione, salvo quando verranno specificamente evidenziati flussi meglio approssimabili come

laminari. Si ricorda che la viscosità dipende sia dalla pressione che dalla temperatura. In particolare la

viscosità dei liquidi diminuisce significativamente all’aumentare della temperatura, aumentando invece,

ma con minore sensitività, all’aumentare della pressione. Per i gas si hanno invece aumenti di viscosità

sia all’aumentare della pressione che della temperatura. Si ricordano alcuni valori tipici di orientamento

o −6

per la viscosità cinematica alla pressione atmosferica, e per temperature attorno ai 20 C: acqua 10 , olı̂

−6 −5 2

qualche decina di 10 , aria 1.5 10 m /s. Nella pratica ingegneristica il termine “Energia dissipata”

viene denominato genericamente come “perdite d’attrito”, o anche “perdite di carico”, con riferimento

al termine energetico associato ad un salto di pressione che eguaglia le perdite stesse. Tale dicitura

richiama la semplice ed intuitiva constatazione che per vincere la resistenza d’attrito del fluido bisogna

applicare una pressione. Tali perdite vengono generalmente suddivise in perdite distribuite lungo tratti

di tubazione di sezione a caratteristiche costruttive sensibilmente costanti e perdite concentrate, collegate

ad esempio a:

• brusche variazioni di sezione,

• intersezioni di tubazioni,

• brusche curve,

• raccordi.

Le perdite d’attrito distribuite su una tubazione di lunghezza L, diametro idraulico D e percorsa da un

i

fluido alla velocità media u sono generalmente espresse tramite la relazione:

2

ρu

L (9.11)

Energia dissipata = f D 2

i 9-5

con f = f (Re) (9.12)

funzione dimensionale determinata sperimentalmente. Le perdite concentrate hanno un’analoga espres-

sione: 2

ρu

Energia dissipata = K (9.13)

2

dove K è ancora una volta determinato sperimentalmente. Qualora l’elemento di concentrazione della

perdita coinvolga una variazione di sezione, K è generalmente espresso assumendo per u la velocità più

elevata. È opportuno ricordare che tale convenzione non ha nulla di arbitrario, in quanto la perdita

concentrata coinvolge un volume equivalente di controllo abbastanza limitato, per il quale è sempre

possibile scrivere la relazione di continuità in termini volumetrici

(Au) = (Au) . (9.14)

entrante uscente

Comunque è opportuno verificare attentamente la convenzione utilizzata per definire K ogni volta che se

ne reperiscono i valori in letteratura e/o su manuali. Può essere utile ricordare l’estensione del bilancio

dell’energia meccanica testè illustrato al caso in cui il volume di controllo non sia un semplice tratto

di condotta, ma contenga anche macchine utilizzatrici/operatrici, che scambino potenza con l’esterno.

Scriviamo pertanto il:

Bilancio globale generalizzato dell’energia meccanica:

2entrante 2uscente

p

p u u

uscita

ingresso = (ρAu)

(ρAu) + + gz + + gz

ingresso uscita

uscente

entrante ρ 2 ρ 2

ingresso uscita

+ Potenza dissipata + Potenza esterna

dove il termine “Potenza esterna” si riferisce alla potenza totale scambiata con l’esterno, positiva in uscita,

mentre il termine “Potenza dissipata” indica la potenza totale dissipata all’interno. Come abbiamo

detto precedentemente, l’energia dissipata si trasforma in calore che è parzialmente smaltito lungo il

circuito idraulico, principalmente per conduzione verso componenti con esso a contatto e convezione

verso l’ambiente che lo circonda. Come già detto, noi riterremo che, anche in assenza di un significativo

smaltimento termico distribuito, le variazioni di temperatura non siano generalmente tali da causare

significativi effetti sul flusso. In tale asserzione si ritiene implicitamente che il fluido elaborato sia

continuamente rinnovato, in quanto è chiaro che, qualora la stessa massa fluida fosse continuamente

ricircolata in un impianto chiuso che non è in grado di smaltire naturalmente il calore accumulato sotto

forma di energia interna lungo il percorso, la temperatura continuerebbe a salire invalidando l’assunto.

Poiché questo è proprio ciò che avviene negli impianti a fluido di potenza, tali impianti sono sempre

dotati di un sistema di raffreddamento, concentrato in uno o più radiatori, che ha il compito di smaltire

l’energia termica accumulata dal fluido a causa dell’attrito. Ecco allora che a questo punto possiamo

chiarire cosa intendevamo quando abbiamo detto che il bilancio dell’energia ci avrebbe permesso di trarre

opportune conclusioni sullo smaltimento dell’accumulo dell’energia dissipata per attrito sotto forma di

energia interna. Infatti se E è l’energia totale dissipata per unità di massa e Q è la portata di massa

t

elaborata nel circuito idraulico, la variazione media di temperatura del fluido sarà

E t

∆T = , (9.15)

c p

mentre la potenza termica totale generata, e quindi da smaltire per mantenere la temperatura del fluido

in limiti accettabili, sarà

P = QE . (9.16)

t t

Tali valori permettono il dimensionamento di massima del sistema di raffreddamento del fluido.

9-6 CAPITOLO 9. MODELLAZIONE ELEMENTI A FLUIDO

l’equazione di stato di un fluido è una generica relazione del tipo:

Equazione di stato:

ρ = ρ (p, T ) (9.17)

Per flussi idraulici e pneumatici approssimabili come incomprimibili è spesso necessario poter valutare

alcuni effetti causati dalla comprimibilità sul bilancio di massa del fluido attorno alla condizione nominale

di funzionamento. Infatti si ricorda che in tale bilancio interviene il termine

d (ρV ) , (9.18)

dt

per il quale il volume V funge da fattore di amplificazione delle variazioni di densità ρ, variazioni che

invece abbiamo ritenuto inessenziali e tali da non influenzare significativamente il bilancio energetico

meccanico. Limitandosi a flussi poco comprimibili e con limitate variazioni di temperatura, è spesso

accettabile utilizzare un approssimazione linearizzata dell’equazione di stato ottenuta con uno sviluppo

attorno ad una densità media nota di riferimento ρ :

0

∂ρ

∂ρ ∆p + ∆T

ρ = ρ +

0 ∂p ∂T

T p !

1 ∂ρ ∂ρ

1

1 +

ρ ∆p + ∆T (9.19)

0 ρ ∂p ρ ∂T

0 0

T p

1

Chiaramente, in condizioni normali , la densità aumenta all’aumentare della pressione, (∂ρ/∂p) > 0,

T

mentre diminuisce all’aumentare della temperatura, (∂ρ/∂T ) < 0. Tenendo conto delle condizioni

p

precedenti, si definiscono allora due significative grandezze caratterizzanti i fluidi:

• il modulo di comprimibilità volumetrica (isotermico)

∂p , (9.20)

β = ρ 0 ∂ρ T

detto anche in inglese, e

bulk modulus

• il coefficiente di dilatazione volumetrica isobarico

1 ∂ρ

− , (9.21)

α = ρ ∂T

0 p

per cui la formula espressa dall’equazione 9.19 si scrive:

1 −

ρ = ρ ∆p α∆T (9.22)

1 +

0 β

Spesso è utile riferire β e α ad un generico volume di riferimento V , invece che ad una densità. Essendo,

0

a parità di massa, il volume inversamente proporzionale alla densità, si avrà:

1

ρ = (9.23)

V

e quindi dV

dρ = , (9.24)

2

V

per cui

∂p

−V ,

β = 0 ∂V T

1 ∂V

α = .

V ∂T

0 p

1 Vi sono notevoli eccezioni nel comportamento di alcuni fluidi, che spesso si verificano in prossimità di un cambiamento

c

di stato. Ad esempio, l’acqua ha (∂ρ/∂T ) > 0 tra 0 e 4 a pressione atmosferica.

p 9-7

Avendo assunto trascurabili gli effetti termici sulla dinamica del fluido, β sarà una caratteristica della

massima importanza nella determinazione della dinamica dei sistemi a fluido ogniqualvolta non potremo

ritenere il fluido perfettamente incomprimibile, in quanto ne caratterizzerà la relativa rigidezza. Si noti

che è anche possibile la definizione di un coefficiente di comprimibilità adiabatica β , collegabile a β

a

tramite la relazione:

c p β. (9.25)

β =

a c v

Essendo c p (9.26)

γ = c v

significativamente approssimabile a uno per i liquidi, per essi la distinzione fra i due moduli è solitamente

inessenziale. Per i gas, invece, la differenza può essere significativa; si ricordi che c /c vale all incirca 1.4

p v

per gas perfetti biatomici, e l’utilizzo del modulo adiabatico meglio approssima la realtà, in quanto per i

gas l’ipotesi di adiabaticità, ovvero scambio di calore nullo, è più appropriata. Per un gas, approssimato

come perfetto, ricordando la definizione di β e la relativa equazione di stato,

p = ρRT, (9.27)

si constata facilmente che β = p e quindi

c p

β = p = γp. (9.28)

a c v

Nel prosieguo, salvo diversa ed esplicita menzione, noi utilizzeremo sempre il simbolo β, sottintendendo

allo stesso β nel caso di gas. Si può quindi avere un’idea immediata dell’ordine di grandezza della

a o

comprimibilità di un gas, mentre per i liquidi si ricordano i valori approssimativi a 20 C: per gli olı̂

utilizzati nei circuiti idraulici 1.5 Gpa (15000 bar), e per l’acqua 2.1 Gpa (21000 bar). La comprimibilità

volumetrica generalmente diminuisce con l’aumentare della temperatura, con variazioni che dipendono

o

÷

da liquido a liquido; l’acqua, ad esempio, non presenta significative variazioni nell’intervallo 20 100 C,

mentre gli olı̂ idraulici possono subire una diminuizione di circa il 25%. È importante rilevare che nelle

reali condizioni operative, per quanto si ponga attenzione ad evitare l’inclusione e la formazione di gas,

una certa percentuale di inclusione di gas non disciolto è sempre presente. Tale inclusione può influenzare

significativamente la rigidezza del fluido, esperienza spesso drammaticamente avvertita quando il calore

sviluppato dall’eccessivo riscaldamento dei freni di un autoveicolo si trasmette al fluido del circuito

frenante che evapora parzialmente, facendo sı̀ che la pressione esercitata sul pedale del freno produca un

effetto frenante estremamente limitato, poiché frenando non si fa altro che comprimere le bolle di vapore

sviluppatesi in seno al liquido (fading). Infatti, il vapore ed il liquido agiscono come due elementi elastici

in serie, per i quali, come ben sappiamo, si sommano le relative flessibilità (inverso delle rigidezze), per

cui se una è preponderante sull’altra diventa praticamente la sola responsabile della cedevolezza globale

del sistema idromeccanico. Può essere utile evidenziare tale concetto nel nostro caso. Supponiamo che

in un volume complessivo V ci sia una parte V di liquido e una parte V di gas; sarà evidentemente

t l g

V = V + V e ∆V = ∆V + ∆V . Chiamando β il modulo relativo a tutto il volume, dalla sua definizione

t l g t l g

in termini volumetrici potremo scrivere la precedente relazione delle variazioni volumetriche nella forma:

V V V

t l g

∆p = ∆p + ∆p, (9.29)

β β β

l g

da cui proseguendo:

V V V V

t t g g

∆p = ∆p + ∆p, (9.30)

β β β

l g

per arrivare a:

1 V 1 1

1 g −

= + (9.31)

β β V β β

l t g l

9-8 CAPITOLO 9. MODELLAZIONE ELEMENTI A FLUIDO

spesso più semplicemente approssimabile con

1 V 1

1 g

' + , (9.32)

β β V β

l t g

essendo β β . Da tale formula si vede come per un’inclusione volumetrica di gas dell’1%, ovvero

l g ≡

per V /V = 0.01, alla pressione media operativa atmosferica, β 1 bar, un fluido idraulico con

g t g

β = 15000 bar abbia una rigidezza volumetrica effettiva di sole 100 bar, mentre alla pressione media

l

operativa di 150 bar si abbia un valore “solo” dimezzato. Questa è certamente una delle ragioni che ben

evidenzia l’opportunità dell’utilizzo di circuiti idraulici di potenza operanti a pressioni relativamente alte.

Ad ulteriore complemento si rileva che l’inclusione di aria nei circuiti idraulici operanti alla pressione

atmosferica può raggiungere valori ben maggiori dell’1%, mentre ad alte pressioni medie operative l’aria

tende a dissolversi nel liquido con minore degrado della rigidezza volumetrica dello stesso. Pur senza

dilungarci oltre, notiamo che un’ulteriore diminuzione della rigidezza apparente del fluido può imputarsi

anche alla deformabilità strutturale degli elementi che lo contengono. Può inoltre essere interessante

rimarcare, dal punto di vista fisico, che le formule di composizione della comprimibilità sopra riportate

sono analoghe a quelle ottenibili quando si combinino in serie due elementi deformabili di rigidezza

generalizzata k e k , per i quali la rigidezza equivalente complessiva è data dalla relazione

1 2

1 1

1 = + . (9.33)

k k k

1 2

Si rammenta anche che per la combinazione in parallelo vale invece la:

k = k + k . (9.34)

1 2

Abbiamo già richiamato come la distinzione fra flussi comprimibili e non sia associata al numero di

Mach M e quindi alla velocità di propagazione del suono nel fluido. Può essere ora utile ricordare che

la velocità del suono altro non è che la velocità di propagazione delle piccole perturbazioni di campo nel

mezzo, approssimato come non dissipativo, ed è data da

s

s !

∂p β a . (9.35)

=

c = ∂ρ ρ

adiabatico

Come già ricordato, per i liquidi la distinzione fra comprimibilità isotermica e adiabatica è inessenziale,

mentre per i gas è necessario usare β . Si ricorda che per i gas perfetti si ha la nota:

a

p

c = γRT . (9.36)

Riprendendo il bilancio di massa: d (ρV )

− , (9.37)

(ρAu) (ρAu) =

entrante uscente dt

dopo aver condotto buona parte della presentazione precedente sulla base dell’ipotesi di flusso incompri-

mibile parrebbe naturale riscrivere la stessa in termini puramente volumetrici, e cioè:

dV

(Au) (Au) = , (9.38)

entrante uscente dt

essendo quindi ogni effetto instazionario attribuibile alla sola variabilità del volume di controllo, come nel

caso di un cilindro con pistone mobile o di una valvola con elemento di chiusura scorrevole. Ricordando

l’equazione di stato linearizzata

∆p

1 + (9.39)

ρ = ρ 0 β

e trascurando le dilatazioni termiche, è infatti facilmente verificabile che per i liquidi ∆p/β rimane

nell’ordine di soli alcuni punti percentuali anche per variazioni di alcune centinaia di bar, mentre per

9-9

9.1. ESEMPI DI APPLICAZIONE DEI CONCETTI RICHIAMATI

i gas, essendo ∆p/β dell’ordine di ∆p/p l’effetto è sostanzialmente dipendente dalla pressione media

operativa, ma può comunque rimanere adeguatamente contenuto in presenza di una pressurizzazione

media adeguata. È comunque utile esplicitare tali considerazioni eseguendo alcuni passaggi. Sostituendo

allora l’equazione di stato linearizzata nel bilancio di massa abbiamo:

V d∆p

dV

− + ρ , (9.40)

(ρAu) (ρAu) = ρ 0

entrante uscente dt β dt

che, assumendo ∆p/β sufficientemente minore di uno, permette di confondere ρ con ρ e quindi di

0

semplificare ρ e riscrivere la stessa in termini puramente volumetrici:

d∆p

dV V

(Au) (Au) + . (9.41)

=

entrante uscente dt β dt

Tale formula mostra come, anche per flussi ben approssimabili come incomprimibili, in presenza di

relativamente elevate variazioni temporali di pressione e/o volumi non piccoli si possano introdurre

eccessive approssimazioni trascurando il termine

d∆p

V . (9.42)

β dt

La differenza essenziale fra liquidi e gas è allora legata alla pressione di riferimento implicita nell’equa-

zione di stato linearizzata. Infatti, come già detto, per i liquidi tale equazione può fornire una buona

approssimazione anche per variazioni di pressione di centinaia di bar e si può quindi scrivere anche as-

sumendo come pressione di riferimento la pressione nulla, e quindi direttamente in termini di pressione

assoluta: dp

V

dV

− + (9.43)

(Au) (Au) =

entrante uscente dt β dt

e non di variazione ∆p. È anche opportuno ricordare che la pressione non può essere minore di zero,

corrispondendo infatti la pressione nulla al vuoto assoluto. Una banale constatazione da cui consegue

l’impossibilità di aspirare un liquido alla pressione atmosferica ad un altezza di più di 100000/ (ρg) metri,

circa 10 m nel caso dell’acqua. Di fatto, a causa delle perdite di carico e della necessità di garantire

una portata adeguata, il fluido deve pervenire a destinazione con una velocità, e quindi energia cinetica,

adeguata, tale altezza è in pratica assai inferiore al limite sopra riportato. Inoltre, all’abbassarsi della

pressione a livelli significativamente inferiori alla pressione atmosferica, il fluido libera ogni gas in esso

disciolto e comincia a vaporizzare, diventando praticamente bifasico (gas-liquido); i gas disciolti e il suo

vapore formano bolle di varie dimensioni. Tale condizione è spesso fonte di varie forme di vibrazioni,

rumore e generazione di sollecitazioni dinamiche. Quando poi il liquido viene assoggettato a ricompres-

sione, si possono generare fenomeni di erosione dovuti a pressioni intense e fortemente localizzate, causate

dall’esplosione delle bolle, che sono spesso in grado di rompere i legami intermolecolari del materiale con

cui vengono a contatto durante l’esplosione stessa, formando cavità ed erosioni distruttive. Il termine

generalmente usato per tali situazioni è quello di cavitazione. Concludiamo ricordando la scrittura del

bilancio globale della quantità di moto per un flusso stazionario applicato ad un volume di controllo fisso:

Z ·

= ρU (U dS, (9.44)

F n)

S

essendo la risultante di tutte le forze applicate al volume di controllo, la velocità di efflusso e S

F U

la superficie che racchiude il volume di controllo. Formula che risulterà utile per determinare le forze

scambiate fra fluido e parti meccaniche, sia fisse che mobili.

9.1 Esempi di applicazione dei concetti richiamati

9.1.1 Colpo d’ariete

Perfino nelle normali condotte domestiche dell’acqua potabile è a volte possibile avvertire un colpo

metallico proveniente dalle tubazioni quando si chiude bruscamente un rubinetto ben aperto. Tale

9-10 CAPITOLO 9. MODELLAZIONE ELEMENTI A FLUIDO

“botto” è associato alla sovrapressione che si genera a causa della comprimibilità dell’acqua. Non ci

addentreremo qui in uno studio dettagliato del fenomeno, ma solo in un’analisi semplificata, in grado di

fornire però alcune utili indicazioni pratiche. Supponiamo allora che si sia stabilito un flusso stazionario

avente velocità media u in una tubazione di lunghezza L e area A; a tale flusso sarà associata un’energia

cinetica 1 2

ρLAu . (9.45)

T = 2

In conseguenza di una chiusura istantanea della condotta, il flusso viene improvvisamente bloccato al-

l’uscita, e comincerà a comprimersi, propagando, alla velocità del suono c e in senso retrogrado al flusso,

una sovrapressione che si accompagna ad un annullamento della sua velocità. Dopo un tempo L/c,

tutto il fluido avrà velocità nulla e, trascurando gli effetti gravitazionali, tutta l’energia cinetica si sarà

trasformata ed accumulata in energia elastica, che sarà data da:

Z

E = p dV . (9.46)

V

Il principio di conservazione della massa, applicato alla tubazione, ci dice che

V dp

dV + = 0, (9.47)

dt β dt

o anche V

− dp, (9.48)

dV = β

che, sostituita nell’integrale precedente, permette di scrivere

LA

1 2

E = p . (9.49)

2 β

Eguagliando le due energie, si ricava la variazione di pressione massima conseguente ad una soppressione

istantanea del flusso:

s β u = ρcu (9.50)

∆p = ρ

ci ρ

che, va rilevato, non dipende dalla pressione già esistente nella condotta. È facile constatare che già con

un modesto flusso d’acqua, con velocità di circa un metro al secondo, si può instaurare una sovrapressione

di una decina di bar. Naturalmente, una chiusura istantanea del rubinetto di casa non è ipotizzabile

ma, come abbiamo già detto, zero non vuol mai dire zero di per sé, ma qualcosa di piccolo rispetto ad

una grandezza di riferimento. È allora evidente che la rapidità di chiusura non è un valore assoluto, ma

va collegata ad un tempo caratteristico legato al propagarsi della perturbazione ipotizzata. Tale tempo

può, riferendosi ad una compressione e riespansione completa, assumersi dato da

L

T = 2 , (9.51)

c c

ragion per cui, per evitare sovrapressioni eccessive, sarà opportuno effettuare le manovre di chiusura

in tempi molto maggiori di tale quantità. Tale condizione si può facilmente soddisfare in occasione

di manovre di chiusura programmabili a priori, ma può imporre un vincolo inaccettabile in tutte le

operazioni di regolazione, sia di normale funzionamento che di emergenza, nelle quali è richiesta una certa

prontezza, ragion per cui è spesso opportuno provvedere con opportuni accorgimenti di progetto, su cui

non è opportuno qui dilungarsi. Chiaramente, l’esempio “domestico” viene fatto solo per immediatezza

intuitiva. Per un esempio più significativo basti pensare alle lunghe condotte in pressione che alimentano

le turbine idrauliche e agli impianti a fluido che contengono componenti di regolazione con banda passante

avente frequenze dell’ordine di 1/T . Il grafico di figura 9.1 permette una valutazione approssimata della

c

variazione di pressione massima ∆p che si sviluppa in una condotta in cui il fluido scorre alla pressione

max

p e la chiusura avviene con legge lineare su un tempo T . I simboli utilizzati sono:

0 2L T

∆p ic , T = , N = (9.52)

K = c

2p c T

0 c


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Dinamica di Sistemi Aerospaziali del Prof. Pierangelo Masarati, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: modellazione elementi a
fluido
; il bilancio dell'energia meccanica; le applicazioni pratiche, il colpo d'ariete; flusso stazionario da una piccola apertura; molla - smorzatore a fluido; attuatore idraulico lineare.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

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