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Appunti di Misure Meccaniche & Termiche (canale A-L)

corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica (ordinamento ex270/04)

Facoltà di Ingegneria - Università degli studi di Roma “La Sapienza”

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δ

2

d x d δ

+ + =

m c k 0

2 dt

dt δ

2

d d

δ δ

+ + + =

m u c k

( ) 0

2 dt

dt δ δ

2 2

d d d u

δ ω ω ω

+ + = − = − − =

2 2

m c k m m U sen t m u t

( ) ( )

o

2 2

dt

dt dt u(t)

. Ci

si riconosce come la forzante di questo trasduttore è proporzionale allo spostamento relativo

sistema dinamico del 2° ordine con una forzante “particolare”. La

si ritrova di fronte ad un

soluzione di questo sistema, però, è del tutto analoga alla soluzione trovata per gli strumenti del 2°

ordine con forzante sinusoidale semplice già studiati nella lezione dedicata alla rapidità:

1

F

=

X o

0 k 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

ω ω

2 ξ

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− + 2

1 4

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ω ω

2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n n ω

= 2

F m U vale quindi

nel caso del trasduttore sismico, l’ampiezza della forzante risulta: o o

ω ω ω

2 2 2

F m U U U

= = =

o o o o δ

per l’ampiezza dell’uscita si ottiene quindi la relazione:

0

ω 2

k k k m

/ n

ω 2 1

δ = ⋅ risposta in frequenza dello spostamento relativo !

U ω

o o 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

ω ω

2

n ⎜ ⎟ ξ ⎜ ⎟

− + 2

1 4

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ω

ω 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n

n Si ricorda che l’ampiezza indicata

soluzione

sopra è l’ampiezza della ( )

δ δ ω ϕ

= +

particolare t sen t

( ) o

che verifica l’equazione dinamica

del trasduttore rappresentativa del

m

moto della massa .

risposta in frequenza

Le curve di

normalizzate del guadagno e della

fase per questo particolare

strumento del 2° ordine, sono

riportate a lato nella figura 15.6.

ω ω

>>

Si riconosce che per il

n

δ ≅

o 1 tende ad uno e

guadagno U o ϕ ≅ − °

180 .

lo sfasamento è

Considerando le implicazioni sul

funzionamento del trasduttore,

avere un “guadagno unitario” e

Figura 15.6

A.A. 2009/10 LEZ #15 – pag. 4

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“opposizione di fase”, significa che quando l’oscillazione della macchina u(t) è in un punto di

massimo lo spostamento relativo della massa sismica δ(t) è in un punto di minimo e viceversa. In

definitiva, rispetto al sistema di riferimento assoluto, la massa m interna al trasduttore è ferma.

Nelle condizioni indicate, viene realizzato il punto fisso di riferimento che coincide con la massa

sismica m. ω ω

>>

Si faccia attenzione al fatto che dire significa dire che, per poter utilizzare il trasduttore

n k

ω = piccola, ovvero k →

sismico in un campo di frequenze realmente utili, deve essere n m

piccola ed m → grande. Nella pratica, le due ipotesi non si realizzano “contemporaneamente” con

facilità in quanto, è tecnicamente complicato sostenere una massa grande all’interno del trasduttore

con una molla soffice. Inoltre, dal punto di vista strettamente misuristico, avere una massa m grande

che si aggiunge alla massa M della macchina, provoca una modifica nei modi di vibrare della

macchina stessa, ovvero produce un errore d’inserzione che, nella gran parte delle applicazioni, non

è tollerabile.

Dalle considerazioni appena esposte discende che un trasduttore sismico così fatto può essere

utilizzato per la misura degli spostamenti della vibrazione solo in casi particolari. Un trasduttore

rappresentato bene dallo schema matematico fin qui studiato, prende il nome di .

vibrometro

Nella pratica, l’ideale sarebbe avere a disposizione un trasduttore con massa m → piccola e

k

ω =

rigidezza k → elevata, ma questa soluzione comporta sempre una pulsazione naturale n m

ω ω

<<

elevata. Occorre cambiare metodo: si deve misurare la vibrazione nella regione in cui e,

n

poiché in tale regione l’amplificazione è molto bassa e non è neppure costante, si deve rinunciare ad

utilizzare un trasduttore che abbia una risposta in frequenza come quella del vibrometro.

Quanto appena detto, significa anche che si è costretti a rinunciare alla misura degli spostamenti u(t)

u (t ) .

e si deve passare alla misura delle accelerazioni

u (t ) δ(t) questo trasduttore è un !

accelerometro

ACCEL

U

ω ω ω =

= − ⋅ =

2 2

o

U

risulta per le ampiezze: ovvero che,

Infatti, essendo: u (

t ) U sen t U U ω

0 o o o 2

inserita nella relazione della risposta in frequenza del vibrometro, che esprime l’ampiezza

dell’uscita in funzione della frequenza, da luogo alla relazione seguente:

ω ω

2 2

U

1 1

δ = ⋅ = ⋅ ⋅

o

U ω ω ω

o o 2 2 2

2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

ω ω ω ω

2 2

n n

ξ ξ

− + − +

2 2

1 4 1 4

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ω ω ω ω

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n n n n

Con un trasduttore concettualmente costruito con gli stessi elementi meccanici del vibrometro (m, c,

k), ma utilizzato per misurare “l’accelerazione della vibrazione”, si ottiene un guadagno:

δ 1 1

= = ⋅ che è la risposta in frequenza dell’accelerometro.

o

G ω 2

U 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

ω ω

2

o n ξ

− + 2

1 4

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ω ω

2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n n

A.A. 2009/10 LEZ #15 – pag. 5

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A questo punto, se si è interessati a conoscere gli spostamenti della vibrazione, occorre aggiungere

in uscita all’accelerometro uno stadio che esegua la doppia integrazione analogica del segnale:

∫∫ δ

u (t ) (

t) dt

δ(t) u(t)

ACCL

La curva di risposta in frequenza per un accelerometro tipico è riportata sotto nella figura 15.7. Si

riconosce facilmente come la banda passante, sia posizionata ora alla sinistra della frequenza

naturale ω .

n Figura 15.7

Sul grafico e dalla funzione che esprime il guadagno si osserva che, all’aumentare di ω aumenta

n

δ o

l’estensione della banda passante ma diminuisce il guadagno , ovvero a parità di ampiezza

U o

dell’accelerazione in ingresso, diminuisce l’ampiezza del segnale in uscita dal trasduttore. In altri

diminuzione della sensibilità

termini, questa circostanza corrisponde ad una dell’accelerometro. In

generale, non è tecnicamente facile rilevare con una massa sismica di pochi grammi una vibrazione

δ

ad alta frequenza, quindi con ampiezze molto piccole.

o

Un tale compito viene assolto egregiamente dagli Alcuni esempi reali

accelerometri piezoelettrici.

(spaccati) di accelerometri piezoelettrici sono riportati sotto nella figura 15.8.

A.A. 2009/10 LEZ #15 – pag. 6

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Figura 15.8

Come evidenziato sopra nella figura 15.8, l’elemento fondamentale degli accelerometri

cristallo di quarzo piezoelettrico

piezoelettrici è il , riportato invece qui sotto nella figura 15.9 :

Figura 15.9

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Il quarzo cristallizza nel sistema esagonale e, per essere utilizzato come trasduttore attivo, deve

x

essere tagliato secondo la direzione , come mostrato in figura 15.9. Se il cristallo piezoelettrico

F y x

viene caricato con una forza sulle facce ortogonali all’asse , sulle facce ortogonali ad

Q

compaiono delle cariche e viceversa. Tali cariche permangono fino a che dura l’applicazione del

F

carico . Questo fenomeno si verifica solo per alcuni cristalli di quarzo e prende il nome di

z

. Si tenga presente che, se si carica il cristallo lungo l’asse (asse ottico), non

piezoelettricità

compaiono cariche da nessuna parte. = ⋅

x y Q k F

Le cariche sulle facce sono proporzionali alla forza applicata sulle facce : ij

costante piezoelettrica

Per la forma schiacciata assunta dal cristallo tagliato, quando è elettricamente carico, esso può

S

ε ε = ⋅

= Q C V

C

anche essere assimilato ad un condensatore con capacità: per la carica vale: .

0 r d

x del cristallo può essere scritta come:

La differenza di potenziale che si rileva sulle facce

⋅ ⋅

k F k my dk m

Q ij ij ij

= = = = ⋅

V y curva di graduazione

che è la del trasduttore

ε ε ε ε ε ε

C S d S d S

/ /

0 0 0

r r r piezoelettrico !

m

avendo indicato con la massa sismica che, negli accelerometri piezoelettrici illustrati nella figura

=

F m

y

precedente, carica meccanicamente il cristallo con la forza d’inerzia . Gli accelerometri

trasduttori attivi .

piezoelettrici risultano quindi essere

m precarico

Si osservi che la massa sismica è “addossata” al cristallo piezoelettrico con un che

consente di ottenere un segnale anche per accelerazioni negative. Nelle fasi del moto in cui il

tirato

trasduttore è verso il basso, la presenza di un precarico fa in modo che la massa possa

scaricare tale precarico dal cristallo piezoelettrico, dando luogo ad una variazione di segnale che

altrimenti sarebbe assente.

k

La costante elastica del trasduttore è costituita dalla rigidezza meccanica del cristallo stesso

2 c

(E=900000kg/cm ) mentre lo smorzamento viscoso è fornito ancora dallo smorzamento interno

del cristallo piezoelettrico. 10

Si consideri infine che l’impedenza di uscita del cristallo di quarzo è dell’ordine dei 10 Ω. Si tratta

cioè di un “pessimo generatore di tensione”. Più che di generatore di tensione, sarebbe corretto

parlare di generatore di cariche elettriche. In sostanza, si deve riuscire a leggere con uno strumento

V

opportuno la differenza di potenziale in uscita dall’accelerometro senza permettere alle poche

y

cariche generate sulle facce del cristallo di disperdersi. L’errore che si commette sulla misura di

perdono per strada , lungo il collegamento con gli stadi

è proporzionale alle cariche che si

successivi della catena di misura. Se non si dispone di amplificatori particolari, con impedenza di

12 V

ingresso dell’ordine di almeno 10 Ω, non si riesce a leggere alcun segnale in uscita dal

trasduttore, specialmente per vibrazioni a frequenza bassa (vedi seguito).

cristallo piezoelettrico – amplificatore

Il collegamento elettrico non può che essere effettuato per

mezzo di cavetti e potrebbe essere rappresentato con lo schema riportato nella figura 15.10

seguente:

A.A. 2009/10 LEZ #15 – pag. 8


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica (LATINA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Misure meccaniche e termiche e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Del Prete Zaccaria.

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