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Metodi HGPT

Materiale didattico per il corso di Ingegneria del nocciolo del Prof. Augusto Gandini, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: metodi perturbativi generalizzati su base euristica (HGPT); la funzione importanza; applicazione di metodi HGPT a problemi di controllo.

Esame di Ingegneria del nocciolo docente Prof. A. Gandini

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Dove H* è ottenuta mediante reversione dell'operatore H. Possiamo quindi scrivere,

ricordando la relazione di reciprocità (17.2),

*,s

Q = << f >> (17.16)

j j

L'espressione perturbativa può essere quindi scritta, al primo ordine,

J J

∂ ∂

∑ ∑

Q m

δ = δ + δ << >>

*

Q p p f , (17.17)

j j

∂ ∂

p p

j j

= =

j 1 j 1

con s data dalla (17.11). Il primo termine al secondo membro corrisponde al

j

cosiddetto termine diretto, mentre il secondo termine al termine indiretto, che tiene

conto dell'effetto della variazione della densità f sulla risposta.

Può capitare, in certe circostanze, che uno o più componenti (per esempio, f ) del

2

vettore f non dipendano da una data coordinata spazio-temporale (per esempio, x).

Consistentemente con l'interpretazione delle componenti di f come (pseudo)-densità,

e senza alterazione dei termini del problema, questa, o queste variabili possono essere

interpretate inoltre come valori integrali (per esempio, medie rispetto ad x) e quindi

sostituite con espressioni in cui compaiono operatori del tipo

< ⋅ > ≡< ⋅ > , (17.18)

x

V

x ~

< ⋅ >

(o semplicemente ), applicati a variabili [per esempio, ], tali che,

f ( x )

2

nell'esempio considerato,

~

< >

f ( x ) ~

= ≡< >

2

f f , (17.19)

2 2 x

V

x ~

< >

(o semplicemente il valore integrale ). Le variabili così estese saranno

f ( x )

2

quindi funzione di tutte le coordinate in cui è generalmente definito il campo

vettoriale f. Di esse interessa solo la quantità integrale, non essendo di esse richiesta

alcun'altra specificazione.

Questa regola viene chiamata "complementazione della dipendenza dalle coordinate".

Il suo uso è alle volte richiesto nella metodologia HGPT per ottenere gli operatori

corretti che governano la funzione importanza.

7

Applicazione dei metodi HGPT a problemi di controllo

In generale, durante la vita del reattore, viene considerato un metodo quasistatico in

cui i processi di evoluzione dei nuclidi, a breve termine (ore, o giorni) per quanto

riguarda gli studi degli effetti dovuti all'avvelenamento da xeno, a lungo termine

(mesi, o anni) per quanto riguarda l'evoluzione del combustibile, sono considerati

lenti rispetto alla vita media dei neutroni, sicché la derivata del flusso rispetto al

tempo è posta eguale a zero. In tutti questi casi è introdotta una variabile (intensiva,

cioè dipendente solo dal tempo) di controllo (per esempio, la densità media del boro

solubile nel refrigerante) in modo da conservare la storia fissata della potenza

complessiva.

Ci limiteremo quindi a considerare sistemi nello stato critico stazionario. Per questi

sono di interesse rapporti di funzionali del tipo:

+

< >

h n

Q ,

1 1

R = (17.20)

+

< >

Q h n

,

2 2

+ +

dove e sono funzioni date del posto, mentre n(r) è la densità neutronica

h (

r ) h (

r )

1 2

governata dall'equazione

B(ρ|p)n = 0 (B = A + F) (17.21)

Il vettore p rappresenta i parametri p (j=1,2,...,J) che definiscono il sistema,

j

ρ

mentre è una variabile intensiva di controllo, tale da mantenere costante la potenza

W. Ciò si traduce nella condizione

< s ,n> - W = 0 , (17.22)

f il vettore delle sezioni d'urto macroscopiche di fissione moltiplicate per le

essendo s f

unità di energia per fissione.

Seguendo la procedura definita precedentemente, in particolare la regola della

~

ρ ρ,

complementazione delle coordinate, sicché < > sostituisce possiamo considerare

il campo esteso 8

n

~

ρ , (17.23)

f = ~

y

governato dall'equazione

~

ρ

B

( )

n

= < > −

m(f|p) s , n W = 0 . (17.24)

f +

< >

h , n

~

< > − 1

y +

< >

h n

,

2

Ponendo + +

h h

1 2

+ , (17.25)

g = Q Q

1 2

~

ρ ρ,

> in luogo di le funzioni derivate

e < n / j

~

= ρ

f (17.26)

/ j / j

~

y / j

risultano soddisfare l'equazione ∂

B

B n

< ⋅ > n ∂

B n 0 / j p

ρ j

~

< ⋅ > ρ

s , ( ) 0 0 0 = 0 . (17.27)

+

f / j

+

− < ⋅ > < ⋅ >

R g , ( ) 0 ~ 0

y / j

Essendo retta dall'operatore B, cioè dallo stesso operatore che regge la densità n, il

termine di sorgente dell'equazione che governa la funzione derivata n , affinchè

/j

questa abbia soluzioni finite, deve essere vuoto del modo fondamentale, vale a dire,

deve soddisfare la condizione: 9

 

∂ ∂

B B

 

< φ + ρ >=

* n , (17.28)

, 0

 

/ j

∂ ∂

ρ

p

 

j

da cui si ha che ∂

B

< φ >

* , n

p j

ρ = − . (17.29)

/ j B

φ

< >

* , n

ρ

La funzione importanza, così come l'abbiamo definita, è una funzione che dipende

generalmente dal tempo, anche se la funzione reale può risultare, come nel caso

considerato, stazionaria. Nel derivare la funzione relativa all'importanza con le regole

di reversione già considerate, occorrerà ripristinare l'operatore di derivazione rispetto

al tempo nell'equazione (17.27), per conformità con il caso generale. Inoltre, la

risposta (17.20) dovrà porsi nella forma (17.1) per poter ottenere le sorgenti corrette

+

< >

h , n

~

< >= 1

della funzione importanza. Essendo y , potremo scrivere

+

< >

h , n

1 n

t

∫ F ~

~

= < >

δ − ≡<< δ − ρ >>

0 (17.30)

Q y ( t t ' ) dt 0 ( t t ' )

t ~

o y

essendo t' un tempo entro l'intervallo (t ,t ) in cui il sistema viene considerato.

o F

Il funzionale Q associato alla funzione derivata sarà

j n / j

t

∫ F ~

~

= < >

δ − ≡<< δ − ρ >>

Q y ( t t ' ) dt 0 0 ( t t ' )

j / j / j

t ~

o y / j

Usando le regole di reversione degli operatori, la funzione importanza

*

n

~

ρ *

*

f = (17.31)

~ *

y 10

obbedirà l'equazione

∂ +

+ < ⋅ > − < ⋅ >

s g

( B

) R *

∂ 0

n

t f

∂ *

B ~

ρ

< ⋅ > *

n +

( ) 0 0 0 = 0. (17.32)

ρ δ −

( t t ' )

~ *

y

< ⋅ >

0 0 ~ *)

Dalla terza equazione (relativa a y si ha:

<~ δ(t-t')

*>

y = - (17.33)

ρ

*) *

sicché la prima equazione (relativa a n può essere scritta, ponendo in luogo di

~

ρ *>,

< ∂ *

n

− = δ(t-t') ρ

B* * + *

n + Rg + s (17.34)

f

t

Integrando rispetto al tempo tra t e t'+ε, e ricordando che, per la definizione di

o

importanza, n*(t'+ε)=0, se definiamo la funzione

+ ε

∫ t '

ψ =

*t *

n dt

o t o

si ottiene + ε

∫ t '

+ ρ

= ψ +

* * *t *

+ s dt (17.35)

n ( t ) B R g

o f

o t o

Assumendo che t sia asintoticamente distante da t', n*(t ) tenderà a zero. Infatti, il

o o

contributo di una particella inserita in tempi negativi molto distanti da t' non influisce

(2)

sulla forma del flusso n(t') [o della corrispondente funzione derivata n (t')] e darà

/j

2 In realtà la funzione derivata n , ottenuta dalla soluzione della (17.27), è data dalla somma delle

/j

soluzione della parte omogenea, cioè n, più una soluzione particolare, associata al termine di

sorgente. Una particella inserita a tempi negativi asintoticamente lontani da t' influirà solo sulla

δn δn

componente omogenea, quindi le variazioni e saranno identiche, ed eguali ad an, a essendo

/j

un coefficiente scalare. 11 (3)

quindi un contributo nullo alla quantità y (o alla sua derivata y ) . Ricordando il

/j

=

*

significato di importanza risulterà quindi .

n ( t ) 0

o

Se definiamo la funzione

+ ε

∫ t '

=

ψ * *

lim n dt , (17.36)

→ −∞

t t

o o

essa soddisferà l'equazione

+ ε

∫ t '

oo

+

ψ + + ρ =

* * *

B R dt 0

g s . (17.37)

f t o *

ψ +

Moltiplicando a sinistra per n, integrando, ricordando che <n,B *> = <n,Rg >=0, e

che s ed n sono quantità positive, si ottiene,

f + ε

oo

∫ t ' ρ =

* .

dt 0

t o ψ

L'equazione che regge * sarà, in definitiva,

+

ψ + =

* * g (17.38)

B R 0

L'espressione perturbativa relativa ad R si può quindi scrivere [cfr. (17.17)],

δR ψ

+

= R<δg ,n>+ <ψ

*,δBn> . (17.39)

La soluzione generale della (17.34) è data dalla somma della soluzione della

equazione omogenea corrispondente più una soluzione particolare, cioè

3 Ciò si deduce ricordando l'espressione di y , data dalla (17.25), per cui l'introduzione di una

/j

particella a tempi negativi asintoticamente distanti da t produce una variazione, a essendo una

o

costante, + +

 

h h

 

+

δ ≡ δ = < > ≡ < − > =

1 2

a n g a n

Q y , , 0 .

 

= =

+ +

j / j = < > < >

t t t t

t t  

o o

n

, h n

, h

o 1 2

12


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Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ingegneria del nocciolo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Gandini Augusto.

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