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IL CALCOLO DEL RENDIMENTO - VALORE ATTUALE NETTO

L’aggregazione di dati disomogenei è risolvibile in generale con la scelta e l’utilizzo di una

serie di opportuni coefficienti di ponderazione che dovranno:

essere decrescenti nel tempo

dipendere da una grandezza che misuri sinteticamente la perdita di valore del numerario

utilizzato (euro correnti, euro costanti, euro di conto, una mercetipo, ecc.)

a

Un peso di questo tipo è lo sconto finanziario :

t

t

è il tempo (compreso fra 0 e n, l’orizzonte del progetto)

-t

a =(1+i) i

è il saggio di interesse di riferimento

t a

è il coefficiente con cui occorre scontare il valore finanziario

t

futuro per ottenere il valore attuale

L’idea è che se si può disporre di un capitale solo al tempo t=n e non oggi (t=0), il costo-opportunità è

misurato dall’interesse composto che si sarebbe potuto percepire investendo lo stesso capitale da oggi fino

al periodo n-esimo

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 27

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO - VALORE ATTUALE NETTO

montante (M) capitale (K)

Poiché il valore del di questo è:

t

M=K(1+i)

l’operazione inversa, l’attualizzazione sarà: M

=

K ( ) t

+

1 r

valore attuale

che è il di un montante percepito al tempo t

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 28

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO - VALORE ATTUALE NETTO

Considerato un flusso discreto di valori, chiamiamo S i saldi netti delle entrate o delle

uscite

Avremo quindi una successione di a con t che assume tutti i valori interi da 0 a n, dove n

t

è l’orizzonte finale del progetto

Chiamiamo VAN, valore attuale netto, l’operatore-somma degli S ....S ponderati con gli

VAN 0 n

....a :

sconti a 0 n

n n n

S S

S

∑ ∑ ∑

0 n

1

VAN(S)= a S = + +...+ VAN(S)= a E a U

t t t t

t t 0 1 n

(1+i) (1+i) (1+i) t=0 t=0

t=0

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 29

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO - VALORE ATTUALE NETTO

Il VAN(S) è il montante attualizzato di tutti i flussi netti generati dall’investimento stesso,

espressi in un’unica cifra, con la stessa unità di misura (numerario) impiegata nel sistema

di conti da cui sono ottenuti i flussi

se VAN(S) > 0, ciò vuol dire che la somma degli S (alcuni negativi, altri positivi) resta

positiva dopo la ponderazione, l’investimento produce un beneficio netto e in linea di

massima è consigliabile

Ricordiamo che:

spesso gli S sono negativi nei primi esercizi e positivi nei successivi, quando cominciano a

manifestarsi pienamente i ritorni dell’investimento

dato che gli a sono funzione decrescente del tempo e di i, il peso degli esborsi netti iniziali sarà tanto

t

maggiore quanto più essi saranno concentrati all’inizio della successione o quanto maggiore sarà i

la scelta di un orizzonte breve, ad esempio inferiore a dieci anni, rischia di tagliar fuori una serie di

ritorni ancora consistenti.

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 30

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO - VALORE ATTUALE NETTO

VAN

+ Il grafico mostra come il VAN sia funzione di i

(t=n sarà fissato all’inizio, decidendo l’orizzonte del progetto).

i

Inoltre, VAN(S) è una funzione degli E e degli U. Per cui se ad essi vengono applicate

trasformazioni lineari, il VAN(S) risulterà modificato nella stessa misura:

VAN [α (S + S )] = VAN (α S ) + VAN (α S )

0 1 0 1

Possiamo quindi confrontare due progetti applicando l’operazione differenza ai rispettivi

flussi e ottenendo un VAN incrementale, identico a quello che si avrebbe facendo la

differenza fra i due VAN rispettivi calcolati separatamente. .

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 31

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO - VALORE ATTUALE NETTO

Tre coppie di progetti a confronto:

VAN

VAN VAN

(2)

(1) (3)

+

+ +

(C)

(B) (F)

(D)

(A) (E)

i’ i

i i

i’

Il VAN del progetto “F”

I termini di VAN il progetto Il VAN di “C” è superiore domina quello del progetto

“B” domina il progetto “A” per aquello del progetto “D” fino “E” fino al tasso i’. Al di là di

qualunque tasso di interesse al tasso i’, sebbene per tale esso diventa preferibile il

valore del tasso di interesse

i. progetto “. A parità di tasso

entrambi i progetti avrebbero utilizzato la diversa pendenza

VAN negativo ed andrebbero delle curve è funzione di S e t

scartati

Questi diagrammi mostrano l’effetto sul VAN di variazioni del tasso di interesse con cui è calcolato lo

sconto nel tempo, dato un orizzonte temporale

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 32

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO - VALORE ATTUALE NETTO

RIEPILOGANDO

Il VAN dipende dal tasso r: in generale VAN(r) è una funzione decrescente di r; il

livello di r al quale si conduce la valutazione può riflettere l’interesse

sociale/economico del progetto in questione

ad esempio la realizzazione di interventi ambientali piuttosto che lo svolgimento

di progetti di ricerca possono ricevere consistenti finanziamenti sia in conto

capitale sia con tassi agevolati, rendendo così appropriato il calcolo del VAN

con un tasso r inferiore a quello di riferimento sul mercato dei capitali

Quando si valutano diversi progetti con l’obiettivo di realizzarne solamente uno, la

regola di decisione prevede che si debba scegliere quello con VAN maggiore

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 33

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO - VALORE ATTUALE NETTO

...RIEPILOGANDO

Quando si valutano progetti con durate temporali differenti, il VAN dovrebbe essere

utilizzato con cautela

se consideriamo, infatti, due ipotetici progetti A e B che mostrano il medesimo

VAN, ma il primo con una durata di 5 anni e il secondo di 15, è evidente che

quello con una vita più lunga deve essere considerato più rischioso, poiché è

più probabile che avvenimenti non previsti possano modificare i valori attesi dei

cash flow

in questo caso il tasso di sconto utilizzato dovrebbe riflettere, come si vedrà

successivamente il differente livello di rischio

È opportuno porre attenzione anche quando si confrontano progetti che presentano un

investimento iniziale molto diverso (ESISTENZA DI VINCOLI DI CAPITALE)

In questo caso il VAN deve essere usato congiuntamente ad altri indicatori (ad

esempio il PB) per avere indicazioni sia sulla capacità del progetto di “creare

valore” sia sulla liquidità generata

In alternativa si può generare l’indice PI che evidenzia il FC

0

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 34

VALORE ATTUALE NETTO – FLUSSI DI CASSA CERTI

=

VAN V

{ M Tracking Portfolio

144

424

44

3

valore dei flussi di cassa futuri prezzo di mercato

(certi) di un portafogliodi attivita finanziarie

in grado di replicare la struttura

dei flussi di cassa dell'investimento

Nel caso di investimenti con flussi di cassa certi il valore attuale dei flussi di cassa futuri può

essere determinato utilizzando i tassi risk-free con l’unico accorgimento di tenere conto della

struttura per scadenza dei tassi esistente sul mercato al momento della valutazione

Cfr. Consiglio A., (2011), Matematica Finanziaria, Palermo

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 35

VALORE ATTUALE NETTO – FLUSSI DI CASSA RISCHIOSI

quando i flussi di cassa futuri di un progetto di investimento non possono essere individuati

con certezza al momento della valutazione la formula del VAN può essere riscritta come

segue: ( )

T E S

+ t v

VAN = S ( ) −

+

t t v t

(1+i t,v r )

= +

v 1 t riskpremium

Dove:

E (S )= valore atteso al tempo t del flusso di cassa che si riceverà al tempo v

t v

i(t, v) = tasso di interesse spot in t per uno ZCB con scadenza in v

R = premio per il rischio appropriato

riskpremium

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 36

VALORE ATTUALE NETTO – PROGETTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI

Nel caso di scelta fra più progetti mutualmente esclusivi, tutti con VAN positivi, adottare un

progetto a scapito di un altro significa rinunciare ai flussi di cassa dei progetti alternativi

L’azienda, o il singolo investitore, dovrà quindi valutare i flussi di cassa incrementali (ICF)

dati dalla differenza tra i flussi di cassa del progetto in esame e quelli della migliore alternativa

a cui si rinuncia

Grazie alla proprietà dell’additività, il VAN dei rispettivi ICF è uguale alla differenza tra i VAN

dei due progetti

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 37

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO – TASSO INTERNO DI RENDIMENTO

Il tasso di rendimento interno (TRI), è quel particolare valore di i che annulla

il VAN di un investimento:

VAN N CF

n ∑

S =

∑ = t 0

t

VAN(S)= 0 ( )

( ) t

+ + t

1 TRI 1 IRR

t=0 t=0

+ In questa figura, il TRI corrisponde al punto sull’asse delle ascisse

attraversato dalla funzione dei VAN. Oltre quel particolare valore di

i i, il VAN diviene negativo, i saldi negativi iniziali pesano di più della

somma dei saldi positivi finali.

Il TRI è il massimo valore che i può assumere senza trasformare l’investimento in una

perdita netta rispetto ad un impiego alternativo dei fondi

Quindi: per ogni TRI inferiore ad un valore prefissato di i, il progetto non è conveniente.

conveniente

Il tasso di rendimento interno (TRI) è altrimenti detto tasso intern di rendimento (TIR) o anche (in inglese) internal rate

of return (IRR)

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 38

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO – TASSO INTERNO DI RENDIMENTO

VAN n S

∑ =

t

VAN(S)= 0

( ) t

+ TRI

1

t=0

+ i

Per utilizzare il TIR come criterio per valutare se un progetto di investimento

crea valore è necessario confrontare il TRI del progetto ad un tasso di

riferimento (HURDLE RATE)

Se i flussi di cassa futuri del progetto sono certi, il tasso di riferimento sarà un

tasso che riflette soltanto la struttura per scadenza dei flussi di cassa

Nel caso di investimenti rischiosi, l’hurdle rate deve anche contenere un premio

per il rischio

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 39

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO – TASSO INTERNO DI RENDIMENTO

VAN = S

0 t

t

Il calcolo del TIR per N>2 non è un’operazione

banale se eseguita senza un elaboratore ( )

VAN i i

+ 1 2 1

*

TRI = i +

1 VAN VAN

1 2

VAN

1

Una grossolana approssimazione del calcolo del Retta interpolante

TIR, per N>2, è rappresentata da +

VAN VAN

1 2 o

TRI

un’interpolazione lineare sulla base della scelta Area dell'errore ’

TRI

e i , con r < r , per i quali VAN(i )

di due tassi i i i

1 2 1 2 1 1 2

*

TRI

VAN

maggiore di 0 e VAN(i ) minore di 0 e risolvendo 2

2

si ha: Approssimazioni lineari della funzione del VAN

ed interpolazioni del TRI

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 40

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO – TASSO INTERNO DI RENDIMENTO

Il primo problema relativo all’utilizzazione del TIR consiste nel fatto che la regola da

seguire dipende dalla struttura dei flussi di cassa

Attenzione particolare nell’uso del TIR deve il TIR che, in generale, non può essere calcolato

essere posta nel caso di soluzioni multiple per quei progetti che non presentino almeno un

dell’equazione, la cui interpretazione finanziaria saldo netto negativo all’inizio della successione

può essere ingannevole Risulta evidente che un TIR pari a 250% non è

VAN ragionevolmente accettabile finanziariamente

sequenza di vari saldi

positivi e negativi Nella funzione TIR.COST (excel), per superare il

problema delle soluzioni multiple, si utilizza un

metodo iterativo che richiede una stima

10% “ragionevole“ di TIR come valore iniziale

TRI’ TRI’’’ 250% Il valore di TIR restituito sarà quella delle

soluzioni che più si avvicina al valore ipotizzato

i

150%

TRI’’

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 41

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO – TASSO INTERNO DI RENDIMENTO

Un’ulteriore errata interpretazione ottenuta

VAN struttura di flussi di dall’utilizzo dell’TIR è illustrata dall’esempio

cassa posticipata riportato nella figura a lato:

i due progetti, in base al TIR calcolato, avrebbero

TIR > r*

A il medesimo valore finanziario tuttavia

In realtà, il progetto A può essere interpretato

come un prestito con un interesse i* dal punto di

vista del soggetto che concede il prestito stesso

(operazione di INVESTIMENTO)

Il progetto B, invece, può essere interpretato

i* come un prestito con un interesse i* dal punto di

vista del soggetto prenditore dei fondi

i (operazione di FINANZIAMENTO)

I due progetti hanno, quindi, un significato

TIR < r* finanziario opposto, ma nonostante ciò,

presentano il medesimo TIR

struttura di flussi di Il VAN, invece, riconosce pianamente le

cassa anticipata

B differenze di valore tra il progetto A e B

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 42

VAN vs TIR: classificazione esclusiva di progetti

VAN e TIR hanno alla loro base scelte finanziarie differenti:

la regola di decisione basata sul VAN assume che il rendimento dei cash flow

del progetto sia pari al tasso di sconto r usato nel calcolo del VAN stesso

il metodo TIR non fa ipotesi sul valore del tasso bensì ne determina quel valore

che bilancia nel tempo i flussi finanziari in entrata e in uscita

il TIR non fornisce indicazioni sulla relazione tra il valore del progetto e la

variazione del tasso di sconto

nel caso di una valutazione in cui si sceglie di intraprendere un progetto

escludendo gli altri, la regola di decisione basata sul TIR può generare

alcune criticità interpretative

( è necessario considerare i cash flow incrementali)

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 43

VAN vs TIR: classificazione esclusiva di progetti

Se i progetti sono indipendenti, sia A che B VAN

dovrebbero essere accettati, sia utilizzando la

regola di decisione basata sul VAN (VAN>0), che

sul TIR (TIR>r*)

Se, invece, la scelta di un progetto esclude la

possibilità di realizzare l’altro, la valutazione +

basata sul VAN condurrebbe a privilegiare il (B)

progetto B, mentre quella effettuata con il TIR

individuerebbe come migliore il progetto A

La valutazione attuata con il VAN è funzione del

tasso di sconto r considerato, infatti, (cfr figura a (A)

lato) il progetto B è preferibile se r<14%, mentre

la scelta dovrebbe cadere sul progetto A per 20%

r>14% i

18%

10% 14%

La valutazione basata sul TIR, invece, è

indipendente da r

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 44

VAN vs TIR: classificazione esclusiva di progetti

Quindi, il criterio di valutazione basato sul TIR, una volta

Inizialmente si assuma che l’azienda usi usato correttamente (cioè su basi incrementali), porta

esclusivamente la valutazione basata sul TIR e l’azienda a preferire il progetto B, ma questo è proprio il

quindi pianifichi la realizzazione del progetto A progetto che presenta il VAN più alto e, quindi, che

Ora si considerino i cash flow (incrementali) del sarebbe stato scelto utilizzano la regola di decisione del

VAN

progetto (B-A). Questi cash flow sono calcolati

sottraendo ai flussi di cassa del progetto B i VAN

rispettivi flussi di cassa del progetto A +

Poiché TIR(B-A)=14%, il progetto (B-A) dovrebbe

essere accettato

Questo significherebbe che usando la regola di (B-A)

decisione basata sulla sola valutazione del TIR,

l’azienda dovrebbe realizzare il progetto A, ma

anche l’ipotetico progetto (B-A) 20%

I cash flow risultanti dalla realizzazione del i

progetto A e del progetto (B-A) sono equivalenti a 18%

10% 14%

quelli generati dal progetto B, infatti: A+(B-A)=B

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 45

VAN vs TIR: classificazione esclusiva di progetti

Dall’analisi dei cash flow incrementali, si può notare come la regola di decisione basata sul

incrementali

VAN è quella che meglio interpreterà la scala ottimale dell’investimento

La regola di decisione basata sul TIR, in effetti, porta a ritenere migliore un ritorno del

100% su dieci dollari, rispetto ad un ritorno del 10% su mille dollari

La maggior parte degli investitori, considerando un tasso di sconto r inferiore al 10%,

approfitterebbero di entrambe le occasioni, ma dovendo effettuare una scelta esclusiva, si

comporterebbero secondo la regola del VAN

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 46

VAN vs TIR: classificazione esclusiva di progetti

ESEMPIO

Un’ azienda si trova a dovere scegliere fra tre progetti di investimento descritti nella seguente

tabella (i dati sono espressi in migliaia)

Il progetto C ha un valore attuale netto (VAN) più elevato e,

quindi grazie all’additività del VAN, possiamo direttamente

concludere che rappresenta il miglior progetto per l’azienda. In

realtà l’azienda dovrebbe valutare i progetti in termini di flussi di

cassa incrementali di ogni progetto rispetto alla migliore

alternativa disponibile come nella seguente tabella:

L’unico progetto che in termini di flussi di cassa incrementali ha

un VAN positivo è il progetto C. Quindi selezionare il progetto

con il VAN più elevato, come fatto in precedenza, è equivalente

a selezionare l’unico progetto con VAN positivo quando i flussi

di cassa sono determinati in termini di flussi di cassa

differenziali rispetto alla migliore alternativa disponibile Cfr. Consiglio A., (2011), Matematica Finanziaria, Palermo

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 47

IL CALCOLO DEL RENDIMENTO – TASSO INTERNO DI RENDIMENTO

Il TRI è utilizzato anche per confrontare progetti non mutuamente esclusivi.

VAN Per esempio, in questa figura:

(3) il progetto E ha un TRI nettamente superiore a F

ma al di sotto del tasso i’, F ha un maggior VAN

+ (F) I progetti non mutuamente esclusivi sono accettabili se

(E) mostrano VAN > 0, oppure TRI > i

i

i’

Cosa fare se…

non vi sono limiti alla possibilità di reperire finanziamenti per i progetti: deve essere scelta

l’opzione che genera un maggiore VAN;

si è in condizioni di razionamento di capitale, come accade nel settore pubblico: si approva una

combinazione di progetti che assicuri il massimo VAN fino al punto in cui tutte le risorse finanziare

disponibili sono esaurite, o si ricorre a un indice del tipo VAN (S)/VAN (K ), dove K sono gli stanziamenti

in conto capitale.

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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Valutazione e finanziamento dei progetti del Prof. Alessandro Cataldo all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: il valore del denaro nel tempo e la relazione di Fisher; i metodi di capital budgeting e principali indici di valutazione; il calcolo del rendimento; il valore attuale netto (VAN) ed i flussi di cassa certi; i progetti mutuamente esclusivi ed il tasso interno di rendimento (TIR); la classificazione esclusiva dei progetti.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in analisi economica delle istituzioni internazionali
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Valutazione e finanziamento dei progetti e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Cataldo Alessandro.

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