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Meteorologia marittima, Dispensa di Navigazione

In questa dispensa a cura del professore G. Trossarelli si parla di meteorologia marittima. Nel particolare sono stati approfonditi i seguenti punti:
- Il moto ondoso;
- Lo studio del moto ondoso;
- Animazione onda stazionaria;
- Scala di Douglas;
- La teoria classica;
- La teoria di Airy;
- Onda solitaria (solitone);
- Proprietà delle onde solitarie;
- Energia... Vedi di più

Esame di Navigazione dal corso del docente Prof. G. Trossarelli

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ESTRATTO DOCUMENTO

La teoria classica

Le traiettorie ellittiche in bassi fondali hanno l'asse maggiore disposto nella direzione

di propagazione del moto ondoso; le orbite tendono ad appiattirsi mano a mano che si

riduce la profondità. Sulla battigia il moto delle particelle diventa praticamente

orizzontale e si ha la risacca.

In realtà esiste sempre un sia pur piccolo trasporto di materia (cioè una

corrente connessa al moto ondoso) e allora le traiettorie non sono più

linee chiuse bensì linee aperte che evolvono più o meno lontano dalla

loro posizione originaria .

Si genera così una ulteriore corrente dovuta al

moto ondoso che si somma alla corrente di pura

deriva di Ekman. La risultante di queste due

correnti ha una direzione sguardata di 30° rispetto

alla direzione del vento e non di 45° come nel

caso della sola corrente di Ekman.

2014 Meteorologia marittima per PAS 12

La teoria di Airy

Questa teoria è di fondamentale importanza in quanto descrive il comportamento dell'onda con

espressioni semplici. Queste espressioni, anche se non vengono sempre perfettamente verificate

nella realtà, si avvicinano però abbastanza bene, in molti casi, a descrivere il comportamento

del moto ondoso reale.

Ipotizzando le seguenti condizioni:

• altezza dell'onda piccola rispetto alla lunghezza d'onda e alla profondità (in pratica

H/λ<0,01),

• profondità uniforme, fondo liscio e impermeabile,

• fluido omogeneo, incomprimibile e non viscoso,

• si trascura la forza di Coriolis,

• si trascura la tensione superficiale,

• si assume che il movimento abbia carattere armonico e che pertanto il profilo dell'onda

abbia forma sinusoidale:  

x t

η π

= ⋅ −

 

a sen 2 λ

 

T λ

….. si ricava  

g z

π

= ⋅ ⋅

 

l'espressione della c tanh 2

π λ

 

velocità di fase 2

dell'onda che è pari a:

2014 Meteorologia marittima per PAS 13

La teoria di Airy

λ

⋅  

g z

π

= ⋅ ⋅

 

c tanh 2

π λ

 

2

dove: g = accelerazione di gravità

z = profondità

H = altezza dell'onda

λ = lunghezza d'onda

tanh = funzione tangente iperbolica [1] −

La funzione tangente iperbolica è : −

x x

[1] e e

=

tanh x −

+

x x

e e

se l'argomento x della funzione tende a zero allora la funzione tende all'argomento stesso;

se l'argomento x della funzione è maggiore di 1 allora la funzione tende a 1.

2014 Meteorologia marittima per PAS 14

La teoria di Airy λ

⋅  

g z

π

= ⋅ ⋅

 

c tanh 2

π λ

 

2

(onda lunga o bassi fondali) (onda corta o alti fondali)

z z

< >

λ)

0

, 05 0

, 5

(z < 1/20 λ

λ λ

= ⋅ ⋅

g

c g z =

c π

2

(da questa formula si ricava in maniera

assai semplice una stima della velocità

delle onde di tsunami, che sono molto

veloci: in un fondale di 4.000 metri

procedono a velocità di 200 m/sec,

2014 Meteorologia marittima per PAS 15

circa 400 nodi)

La teoria di Airy

Poiché l'onda di Airy è progressiva (per ipotesi) allora si ha anche che

λ

=

c T

λ λ

g

= =

c

e quindi, uguagliando e si ottengono

c π

T 2

le seguenti espressioni di utilizzo pratico che permettono di ricavare e c, in

alti fondali, una volta che sia noto il periodo:

λ

λ = ⋅

= ⋅ 2

2 5

,

12 T (in piedi)

1

,

56 T (in metri) oppure = ⋅

= ⋅ c 5

,

12 T (in piedi / sec)

c 1

,

56 T (in m / sec)

Il periodo, misurabile con un semplice contasecondi e facendo una media di

più osservazioni, é il parametro del moto ondoso più facile da determinare.

2014 Meteorologia marittima per PAS 16

La teoria di Airy

Dalla teoria si ricava inoltre l'espressione del raggio dell'orbita seguita dalle particelle

d'acqua, in alti fondali, in funzione della profondità

π

2

− z

λ

= ⋅ dove a = H/2 = ampiezza dell'onda in superficie

r a e d=diametro

λ

2014 Meteorologia marittima per PAS 17

2014 Meteorologia marittima per PAS 18

La teoria di Airy

Ad una profondità z = 0,5λ il diametro dell'orbita è ridotto, teoricamente,

b1 ⋅ 2

1

, 14 T

a 1/23 rispetto alla superficie, mentre alla profondità z = 0,73λ =

b2

il diametro dell'orbita è ridotto a 1/100.

La profondità zb è genericamente detta base delle onde, e sta ad indicare lo

spessore dello strato d'acqua interessato dal moto ondoso che quindi è

relativamente sottile: per un'onda lunga 100 metri si ha zb1 = 50 metri e zb2 = 73

metri.

Dal punto di vista operativo quindi un sommergibile deve immergersi alla quota

zb per non risentire più di un moto ondoso superficiale; inoltre tale profondità

indica lo spessore dello strato interessato dal rimescolamento termico quando è

presente il moto ondoso.

A questa profondità inoltre, in prossimità della costa, inizia a formarsi la torbidità

sul fondo.

2014 Meteorologia marittima per PAS 19

La teoria di Airy CONCLUSIONI

Nell'ipotesi di Airy il rapporto H/λ tra altezza e lunghezza d'onda è supposto

molto piccolo(< 0,01). Si tratta evidentemente di un caso che può interessare

solo le più piccole onde o le più appiattite, fuori del campo di azione del

vento; esso non è certo aderente a tutte le onde reali.

Si dice, a questo punto, che si tratta solo di una prima approssimazione del

moto ondoso. In effetti questa prima approssimazione non può descrivere

adeguatamente il movimento ondoso in bassi fondali né nel caso di forte

agitazione nel luogo dove spira il vento. In quest'ultimo caso anzi nessuno dei

modelli ondosi è sufficiente a descrivere il movimento, che è tanto complicato

da indurci ad accettare le rappresentazioni spettrali, che tengono conto

dell'insieme del movimento, senza preoccuparsi di definire la forma dell'onda.

Tuttavia questa semplice onda di prima approssimazione serve

moltissimo sia pure schematicamente, per studiare tanti fenomeni

collegati al movimento ondoso, quali i movimenti orbitali, il trasporto

dell'energia o la pressione esercitata dall'onda.

2014 Meteorologia marittima per PAS 20

Lo studio del moto ondoso – Altre teorie

L'approssimazione ottenuta dalla teoria di Airy, non è sufficiente a interpretare

l'onda reale in tutti i casi; esistono quindi altri modelli delle onde.

Esistono altre teorie, ben più complesse, dalle quali risulta che il profilo

dell’onda è trocoidale (teoria di Stokes, nella quale l'onda è ancora di piccola

altezza, ma non infinitesima). Questa onda risulta dall'addizione, all'onda

superficiale di Airy, di un termine avente periodo e lunghezza d'onda dimezzati e

un'ampiezza legata all'ampiezza dell'onda di Airy e alla sua lunghezza d'onda .

Livello medio

Trocoide

2014 Meteorologia marittima per PAS 21

Lo studio del moto ondoso – Onda solitaria (solitone)

Il fenomeno dei solitoni fu descritto per la prima volta da John Scott Russel

(1808-1882) che osservò un'onda solitaria risalire la corrente nell'Union Canal

per chilometri senza perdere energia, poi riprodusse il fenomeno in un

recipiente di onde e la chiamò "Onda di Traslazione". ( )

= +

c g z H

L’onda solitaria si muove con velocità

La velocità è dipendente dunque anche dall'altezza dell'onda (poiché l'onda

non è simmetrica rispetto al livello medio non ha senso parlare di

ampiezza).

2014 Meteorologia marittima per PAS 22

Proprietà delle onde solitarie

• Le onde sono stabili, e possono viaggiare per distanze molto grandi

(le onde “normali”, propagandosi, tendono a smorzarsi) e in bassi

fondali diventano più ripide,

• La velocità dipende anche dall’altezza delle onde,

• A differenza delle onde normali quelle solitarie non si sommano:

un’onda bassa (meno veloce) viene sorpassata da una più alta ma le

due non si combinano.

2014 Meteorologia marittima per PAS 23

Il profilo dell'onda è visibilmente legato alla profondità z del mare perché si tratta

(λ>>z).

di un'onda essenzialmente di mare basso

La lunghezza d'onda è idealmente infinita (la vera lunghezza d'onda perde di

significato perché questo tipo di onda è composta da un unico impulso).

Per questo l'onda solitaria rappresenta un fenomeno del tutto “singolare” in mare,

anche se, dal punto di vista fisico, rappresenta una particolare soluzione delle

complesse equazioni alle derivate parziali dell’idrodinamica (solitone).

Si trovano in realtà le onde solitarie, in talune manifestazioni particolari:

• quando un'onda di marea (tidal bore) risale un fiume, generando un fenomeno

che si indica col nome di mascaret (in Francia), italianizzato in mascaretto,

•onde provocate da terremoti/maremoti (tsunami).

2014 Meteorologia marittima per PAS 24

In alcune bocche di fiume l'alta

marea e' così alta e l'estuario così

lungo e poco profondo che l'onda

di marea entrando nell'estuario si

innalza e si rompe producendo un

mascaretto che risale lungo il

fiume. Questo accade nel Rio delle

Amazzoni in Sud America, nel

Severn in Europa e nello Tsientang

in Cina.

In taluni casi il mascaretto provoca

gravi danni se, col concorso di altre

cause l'onda assume eccezionali

ampiezze, (in Cina e nell'America

meridionale si sono osservate

altezze anche di 8 metri).

Nel Rio delle Amazzoni il Il Mascaret in un fiume

fenomeno si chiama pororoca.

2014 Meteorologia marittima per PAS 25

Il Mascaret in un canale

2014 Meteorologia marittima per PAS 26

Effetti distruttivi del Mascaret

2014 Meteorologia marittima per PAS 27

2014 Meteorologia marittima per PAS 28

= ⋅

c g z

2014 Meteorologia marittima per PAS 29

2014 Meteorologia marittima per PAS 30

Energia del moto ondoso

L'energia media per lunghezza d’onda (e per

unità di lunghezza ortogonale alla direzione

del movimento) è:

Energia = energia cinetica + energia potenziale 1 ρ λ

= ⋅ ⋅ ⋅

= 2

+ E g a

2

.. in considerazione

del fatto che nel moto

1 ρ λ

= ⋅ ⋅ ⋅

2 ondoso reale esistono

E g H

(ricordando che A=H/2 ) 8 onde di diversa

lunghezza

∞ ( )

1 λ λ

=

Energia media per ρ

= ⋅ ⋅ 2 E E d

E g H

0 8 0

unità di superficie

2014 Meteorologia marittima per PAS 31

Stabilità dell’onda

Secondo una teoria elaborata da Stokes e da Michell il rapporto H/λ non può variare comunque

H 1

>

in un'onda superficiale; quando l'onda si rompe.

λ 7

Il rapporto H/λ=1/7 rappresenta cioè un valore limite per l'onda trocoidale. Le onde più

violente, quelle di tempesta, hanno il rapporto H/λ compreso tra 1/10 e 1/35, le onde di medie

proporzioni hanno H/λ compreso tra 1/35 e 1/70 e rapporti ancora minori hanno le onde smorzate

che si propagano dopo o al di fuori dell'azione del vento.

Per l'onda limite l'angolo formato dalla cresta dell'onda è all'incirca di 120°.

Angoli più acuti non sono compatibili con la stabilità. Per rapporti H/λ molto piccoli (inferiori a

1/100) l'onda non ha più praticamente un profilo trocoidale e si riduce al profilo sinusoidale

studiato dalla teoria di Airy.

Il valore di 120° ed il rapporto limite H/λ=1/7 che vengono spiegati in maniera precisa per via

teorica (considerando la tensione superficiale al limite acqua-aria e l'opposizione causata da questa

azione alla deformazione della superficie libera) vengono effettivamente confermati dalle

osservazioni.

2014 Meteorologia marittima per PAS 32

Analisi statistica e previsione del moto ondoso

(in acque profonde)

2014 Meteorologia marittima per PAS 33

La forma della superficie marina sotto l'azione del vento può essere

considerata come il risultato della sovrapposizione di moltissime onde

sinusoidali o trocoidali aventi altezza, lunghezza, periodo e direzione non

perfettamente coincidenti tra di loro, anche se, generalmente, si individua un

valore medio di queste grandezze.

Se registrassimo l'altezza delle onde, H = H(t), in un punto fisso del mare

(mediante un ondametro) si otterrebbe la rappresentazione della variabile H

che è continua, aleatoria e finita, funzione del tempo (variabile stocastica).

Le figure sottostanti mostrano due esempi grafici di una registrazione di

altezza di onda nel caso di mare vivo e mare morto (ondogrammi). La

variabile H sarà però caratterizzata da una data frequenza f(Hi) detta densità

di probabilità: se è stato preso in considerazione un grande numero di onde,

tutte registrate nello stesso punto e nelle stesse condizioni è possibile

determinare il grafico della funzione densità di probabilità. Naturalmente

non si conosce l'espressione analitica di questa funzione.

2014 Meteorologia marittima per PAS 34

Mare vivo Mare morto

Analisi statistica

In ascissa vengono riportati i valori di H,

che variano tra un valore Hmin e Hmax ed curva cumulatrice

f % f (H)

in ordinata le relative frequenze. 9/10

In questa distribuzione di probabilità si

individuano alcuni valori che sono di grande

importanza nella valutazione pratica degli

effetti di un moto ondoso. Infatti descrivono 2/3

quantitativamente lo stato di agitazione e

permettono di esprimere una precisa 1/2

valutazione operativa.

H = altezza delle onde più frequenti (moda),

m

H

= altezza media prendendo in considerazione

tutte le onde,

H = altezza delle onde significative (valore

s medio dell'altezza calcolato sul 33% delle

onde più alte). Viene anche detta H ,

1/3

H = altezza media del decile più alto (valore

1/10 H in mt.

medio dell'altezza del 10% delle onde più H H

H H H H

min 1/3

m 1/10

alte). max

Range onde più alte

2014 Meteorologia marittima per PAS 35

Analisi statistica

Allo stesso modo per il periodo del moto ondoso è possibile ricavare l’analoga

curva di densità di probabilità, con valori di periodo minimo, massimo e medio.

È importante notare come ognuno di questi parametri descriva un diverso aspetto

del moto ondoso in questione; questi valori sono tra di loro collegati e conoscendone

uno è possibile ricavare anche gli altri tramite algoritmi empirici.

L'analisi delle registrazioni delle onde ha mostrato che vi è una certa corrispondenza

tra l'altezza significativa delle onde e l'altezza caratteristica. L'altezza caratteristica

corrisponde all'altezza media delle onde più alte e ben formate apprezzate

visivamente da un osservatore esperto in un arco di tempo di 10 minuti.

Tra altezza caratteristica e altezza significativa valgono le seguenti relazioni

empiriche (rispettivamente: Cartwright, Nordenstrom):

=

= 0 , 75

H 1

,

68 H

H 111

, H 1 3

1 3 c

c

per il periodo invece (rispettivamente: Cartwright, Nordenstrom):

= + = 0 , 96

T 0

,

37 T 5

,

19 T 0

,

82 T

c c

2014 Meteorologia marittima per PAS 36

Analisi statistica onde “anomale”

Numero 5% dei casi Valore più Valore 5% dei casi,

(valori più bassi) (valori più alti)

di onde N frequente medio

50 1.19 H 1.40 H 1.50 H 1.86 H

1/3 1/3 1/3 1/3

100 1.33 H 1.52H 1.61 H 1.94 H

1/3 1/3 1/3 1/3

200 1.45 H 1.63 H 1.72 H 2.03 H

1/3 1/3 1/3 1/3

500 1.60 H 1.76 H 1.84 H 2.14 H

1/3 1/3 1/3 1/3

1.000 1.70 H 1.86 H 1.93 H 2.22 H

1/3 1/3 1/3 1/3

Valore dell’onda più alta , in termini di altezza significativa,

per M campioni composti da N onde

(Probabilità statistica)

E = costante Tratto da H.O. 903, US Navy Oceanographic Office,

2014 Meteorologia marittima per PAS 37

Piattaforma petrolifera DRAPNER, mare del Nord, (al largo della Norvegia)

1 gennaio 1995

(è stata stimata una frequenza di 1 su 200.000)

(fonte wikipedia)

2014 Meteorologia marittima per PAS 38

Lo studio delle onde – Analisi spettrale

Le necessità pratiche di previsione del moto ondoso sono soddisfatte in maniera

adeguata dalla statistica: vi sono infatti diverse relazioni, ricavate dall'esperienza,

che collegano l'ampiezza (o l'energia) delle onde (non di una singola onda, ma

della reale agitazione ondosa composta da "tante" onde che costituiscono uno

spettro) con la velocità del vento, la sua durata ed il fetch.

limite limite in cui inizia

in cui il vento il vento sul mare

cessa

di agire sul mare vento

onde

che si smorzano lunghezza del fetch

2014 Meteorologia marittima per PAS 39

Lo spettro d’ampiezza del moto ondoso è costruito

immaginando di scomporre in tante onde singole

(ciascuna avrà un proprio periodo e ampiezza) una

registrazione effettiva di moto ondoso a regime e

poi mettendo su un grafico, in funzione del periodo,

i quadrati delle ampiezze di tutte le onde.

La proprietà principale dello spettro, è che l'energia

delle onde è proporzionale al quadrato dell'ampiezza

delle onde. 1 ρ λ

= ⋅ ⋅ ⋅

2

Infatti E g a

2

2014 Meteorologia marittima per PAS 41

Spettro d’ampiezza

Lo spettro del moto ondoso si presenta come in figura, dove si nota che all'aumentare

dell'intensità del vento le onde aumentano la propria energia e lo “spettro” si sposta verso

periodi più elevati (nelle onde di periodo più lungo, è concentrata la maggior parte

dell'energia).

2 2

[a(f)] [a(f)]

Intensità del vento Durata del vento

T f T f f

f

L’aumento dell’ampiezza è L’aumento dell’ampiezza è

limitato dalla durata e dal fetch limitato da intensità e fetch

Poiché l'energia totale di un'onda sinusoidale è: 1 ρ λ

= ⋅ ⋅ ⋅

2

E g a

2

la variabile E (area sotto il grafico dello spettro d’ampiezza) è una grandezza idonea a

descrivere lo stato del mare ed in particolare l'altezza delle onde.

2014 Meteorologia marittima per PAS 42

Spettro co-cumulativo di energia

2

[a(f)]

Dallo “spettro” di ampiezza del moto Integrando lo spettro

ondoso si ricava lo spettro co-cumulativo d’ampiezza si ottiene

l’energia totale

di energia (vedi figura):

• si prende lo spettro di

ampiezza corrispondente ad una certa

situazione di vento (durata, intensità, Nel punto C il moto

fetch) e si effettua l'integrazione di ondoso è pienamente

questo (grafico soprastante) partendo da sviluppato per le

destra nel grafico (cioè da frequenza + condizioni di intensità del

∞) vento per le quali è stato

ricavato lo spettro

• si rappresenta l'andamento

della funzione integrale nel grafico

sottostante (curva C.C.S.: spettro co-

cumulativo). 2,476

f =

max W (in nodi)

2014 Meteorologia marittima per PAS 43

Intorno a fmax si concentra il

Spettro co-cumulativo di energia massimo dell’energia E

2

[a(f)]

In corrispondenza della frequenza fb

(frequenza alla quale lo spettro di

ampiezza assume il massimo valore)

si ha il punto di flesso dello spettro

co-cumulativo e quindi il punto di

maggior pendenza della funzione.

Quando si usano gli spettri co-

cumulativi ci si limita ad utilizzarne

la cosiddetta parte significativa ed a

tagliarne la parte meno significativa

a destra (pari al 3%) e a sinistra (pari

al 5%). In pratica non si considera la

presenza delle frequenze (periodi)

più alte e più basse. 2,476

f =

max W (in nodi)

2014 Meteorologia marittima per PAS 44

Mare pienamente sviluppato

Fetch e durata del vento minime necessarie a generare un mare pienamente

sviluppato per varie velocità del vento

Vento Fetch Durata Vento Fetch Durata Vento Fetch Durata

(nodi) (miglia) (ore) (nodi) (miglia) (ore) (nodi) (miglia) (ore)

10 10 2.4 28 230 20 46 1.100 57

12 18 3.8 30 280 23 48 1.250 63

14 28 5.2 32 340 27 50 1.420 69

16 40 6.6 34 420 30 52 1.610 75

18 55 8.3 36 500 34 54 1.800 81

20 75 10 38 600 38 56 2.100 88

22 100 12 40 710 42 Queste condizioni si verificano

24 130 14 42 830 47 effettivamente nella fascia dei

roar forties, e roar fifthies

26 180 17 44 960 52 (latitutine 40° e 50° sud)

2014 Meteorologia marittima per PAS 45

Spettro co-cumulativo di energia (10-20 nodi di vento)

I grafici che seguono contengono gli spettri co-cumulativi in funzione delle limitazioni poste dalla

durata del vento e dal fetch, per venti tra 10-20 nodi, 20-36 nodi, 36-56 nodi.

In entrambi i grafici le linee evidenziate, in prima approssimazione, forniscono una indicazione

dell’energia sviluppata da un vento di una certa intensità per condizioni di mare non pienamente

sviluppato (cioè quando lo sviluppo è limitato da durata e/o fetch).

Mare pienamente sviluppato

2014 Meteorologia marittima per PAS 46

Spettro co-cumulativo di energia (20-36 nodi di vento)

2014 Meteorologia marittima per PAS 47

Spettro co-cumulativo di energia (36-56 nodi di vento)

2014 Meteorologia marittima per PAS 48

Analisi spettrale per moto ondoso pienamente sviluppato

(formule)

Nel caso di moto ondoso pienamente sviluppato (massima agitazione

raggiungibile su un certo fetch di F miglia e con vento W che soffia costantemente

per un tempo t>t ) la variabile E raggiunge il suo valore massimo dato da:

D 5

 

W

 

= ⋅

E 0

,

242  

max 10

dove W è in nodi ed E in piedi quadrati.

max

Potendo conoscere i valori di E si ricavano immediatamente i valori

max

caratteristici menzionati nelle slides precedenti:

= ⋅

H 1

, 41 E

m max

= ⋅

H 1

, 77 E max

= ⋅

H 2 , 83 E

1

/ 3 max (valori in piedi)

= ⋅

H 3

, 60 E

1

/ 10 max

I valori di E si possono anche ottenere dai grafici co-cumulativi riportati

prima. Nel caso che il pieno sviluppo del moto ondoso sia limitato dalla durata o

dal fetch si impiega il valore minore tra quelli ricavabili dai rispettivi grafici. I

H

grafici riportano in ordinata, a destra, anche l'altezza significativa. Per ricavare e

1 100

=

H 1

,

67 H

1 100 1 3

si può applicare la relazione:

2014 Meteorologia marittima per PAS 49


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Teemo92

PUBBLICATO

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questa dispensa a cura del professore G. Trossarelli si parla di meteorologia marittima. Nel particolare sono stati approfonditi i seguenti punti:
- Il moto ondoso;
- Lo studio del moto ondoso;
- Animazione onda stazionaria;
- Scala di Douglas;
- La teoria classica;
- La teoria di Airy;
- Onda solitaria (solitone);
- Proprietà delle onde solitarie;
- Energia del moto ondoso;
- Stabilità dell’onda;
- Analisi statistica e previsione del moto ondoso (in acque profonde);
- Lo studio delle onde – Analisi spettrale;
- Spettro d’ampiezza;
- Spettro co-cumulativo di energia;
- Mare pienamente sviluppato;
- Lunghezza d’onda nel mare completamente sviluppato;
- Previsione del moto ondoso in acque basse;
- I frangenti;
- La rifrazione;
- Lo stato del mare nella zona dei frangenti (surf area);
- Misura e stima del moto ondoso;
- Il grid.


DETTAGLI
Esame: Navigazione
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
Università: Pisa - Unipi
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Navigazione e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Pisa - Unipi o del prof Trossarelli Giorgio.

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