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2 m ( E V )

ψ ψ (2)

∇ + =

2 ( r ) ( r ) 0

2

h

Equazione temporale di Schrödinger

Schrödinger postula inoltre l’equazione temporale per la soluzione dipendente dal tempo:

Ψ 2

r t

( , ) h (3)

= − ∇ Ψ + Ψ

2

i V

h ∂

t m

2

ove dalla relazione di de Broglie E = hν

t

i E h

e ψ

h =

Ψ = con .

( r , t ) (r ) h π

2 11

Proprietà dell’equazione di Schrödinger

• Linearità: la combinazione lineare di due soluzioni dell’equazione è ancora soluzione.

• Omogeneità: se Ψ è soluzione, lo è anche αΨ.

• Linearità nel tempo.

hanno queste proprietà?

Quali conseguenze

Dalla linearità si ricava la validità del principio di sovrapposizione.

L’omogeneità permette la normalizzazione della funzione d’onda.

, essa può essere determinata a tutti

La linearità nel tempo dice che, nota la soluzione a un istante t o

gli istanti successivi.

A. Significato fisico delle soluzioni dell’equazione di Schrödinger

i ⋅ −

p r Et

( )

• Ψ =

( r , t ) e onda piana (un’onda piana non trasporta segnale ed è associata ad

h ω )

un’onda di dato impulso con velocità di fase k

• sovrapposizione di onde piane ω

i ∆

⋅ −

p r Et

( )

Ψ =

( r , t ) C A

( p ) e d p (pacchetto d’onde con velocità di gruppo )

h ∆

k

• Ψ , secondo de Broglie, è associata ad un oggetto esteso: un elettrone in movimento di

( r , t ) ω =

e impulso con E e collegate tra loro dalla relazione che lega

energia E = p k , p

h h

l’energia e l’impulso per una particella di massa m, è un pacchetto d’onde di materia.

B. Equazione di continuità

2

Ψ

Si può far vedere che soddisfa ad un’equazione (per potenziali reali):

di continuità

( r , t )

ρ

div + = 0

j ∂

t i h

2

ρ − Ψ ∇

Ψ − Ψ ∇

Ψ

Ψ

con = e = ( * *)

j

( r , t ) 2 m

Dimostrazione: Ψ*

A. Moltiplichiamo l’equazione temporale di Schrödinger per

Ψ 2

h (A)

Ψ = − Ψ ∇ Ψ + ΨΨ

2

i * * V *

h ∂

t 2 m

B. Prendiamo il complesso coniugato dell’equazione temporale di Schrödinger e lo

Ψ

moltiplichiamo per ∂

Ψ 2

* h

- (B)

Ψ = − Ψ ∇ Ψ + ΨΨ

2

i * V *

h ∂

t 2 m

C. Sottraiamo ora (B) ad (A)

∂ i i

h h

Ψ ∇ Ψ − Ψ

∇ Ψ − − Ψ ∇

Ψ − Ψ ∇

Ψ = −

2 2

(ΨΨ *) = ( * *) = div

[ ( * *)] div j

t 2 m 2 m

ρ

2

ρ = ΨΨ = Ψ

* si ottiene

Chiamando = - div j

t

Questa equazione è analoga alle equazioni di continuità già viste in idrodinamica e in ρ

elettromagnetismo. Tuttavia, questa analogia è fuorviante, poiché induce ad associare a il concetto

12

di densità di onde di materia e a interpretare dunque il suo integrale sul volume come materia estesa

associata all’elettrone, in contrasto con l’idea di un elettrone puntiforme.

L’insoddisfazione per l’interpretazione delle soluzioni dell’equazione di Schrödinger come onde di

materia apre la strada all’interpretazione delle soluzioni dell’equazione di Schrödinger secondo la

Scuola di Copenhagen, alla quale noi ci atterremo.

In parallelo, la situazione apparentemente contraddittoria di una materia fatta (intuitivamente e alla

percezione immediata) di corpuscoli, ma che rivela - nel dominio delle azioni dell’ordine di

grandezza della costante di Planck - una natura ondulatoria, mentre la radiazione fatta

(intuitivamente e alla percezione immediata) di onde rivela, nello stesso dominio di cui sopra, una

natura corpuscolare, i.e. il problema della natura ondulatoria-corpuscolare della materia e della

radiazione, trova la sua spiegazione in quello che R. Feynman definisce il cuore della meccanica

: se un esperimento permette di

quantistica, il principio di indeterminazione di Heisenberg

osservare un aspetto di un fenomeno fisico, esso impedisce di osservare al tempo stesso l’aspetto

complementare del fenomeno stesso; sono aspetti complementari

la posizione e l’impulso di una particella,

l’energia e l’intervallo di tempo della sua rivelazione,

il carattere ondulatorio-corpuscolare della materia e della radiazione!

(vedi, per un approfondimento, gli “esperimenti pensati” suggeriti da R.Feynman in “Lectures in

Physics” Vol. 3 Cap. 1-1, Feynman-Leighton-Sanders Ed. Addison Wesley Publishing Company e

da W. Heisenberg in “I principi fisici della teoria dei quanti” Ed. Boringhieri).

C. L’interpretazione della Scuola di Copenhagen

Ψ (funzione d’onda)

ampiezza di probabilità

( r , t ) rappresenta lo stato di un sistema fisico ad un dato istante

2

Ψ che la particella occupi la posizione ad un

distribuzione di probabilità r

( r , t ) dato istante (distribuzione dei risultati delle misure di posizione della

particella ad un dato istante)

2

Ψ dv che la particella occupi la posizione ad un

distribuzione di probabilità r

( r , t ) dato istante nel volume dv quando in esso si esegue una misura di posizione

3

2 [ ] −

∫ ⇒dimensione

Ψ Ψ

Ψ dv è la di di

norma N = L

( r , t ) ( r , t )

( r , t ) 2

V Ψ r t

( , )

Ψ =

r t

( , ) funzione d’onda normalizzata

N N 13

2

∫ Ψ dv = 1 la di trovare la particella nel volume v

certezza

r t

( , )

N

V

In questo modo il pacchetto d’onde diventa una nube di probabilità. 2

L

∈ ±∞

Ψ Ψ

L’interpretazione probabilistica della implica che ( ) (spazio delle funzioni a

r t r t

( , ) ( , ) )

quadrato integrabili), e che si tratti di funzioni in genere complesse ad un sol valore ( monodrome

ovunque continue e limitate.

Proprietà della norma

• la norma si conserva nel tempo

dimostrazione:

∂ i h

2 = Ψ ∇ Ψ − Ψ

∇ Ψ

2 2

Ψ = -div j ( * *)

( r , t )

t 2 m

∇ ∇ Ψ = ∇

Ψ

2 2

=div grad . div

N.B. ( )

∂ ∂ 

 i h

2 ∫

∫ Ψ ∇

Ψ − Ψ ∇

Ψ

Ψ

Ψ dv = (NORMA di dv * div div *

) = =

r t

( , )

r t

( , ) 

∂ ∂

t t 2 m 

V v 

 

  Ψ Ψ 

i i d d *

h h

∫ ∫ ∫

=

Ψ ∇

Ψ ⋅ − Ψ ∇

Ψ ⋅ Ψ − Ψ

 

* ( n ) dS ( * n )

dS * dS

= 

 

  

2 m 2 m  

d n d n 

 

 S S S

Ψ

per v→∞ il valore di va calcolato su una superficie sferica all’∞.

2

L

∈ ±∞

Ψ (è a quadrato sommabile) e dunque

Se rappresenta uno stato di un sistema fisico, essa ( )

va all’∞ più rapidamente di 1/r.

Ψ

Per che va a zero più rapidamente di 1/r:

∂ Ψ )=0

(NORMA di r t

( , )

t 14

Richiami sulle proprietà delle Trasformate di Fourier

2

L

∈ ±∞

Ψ ( ) essa ammette trasformata e antitrasformata di Fourier:

Se la r t

( , ) trasformata (per t = 0) ⋅

+∞

3 r p

− − i

∫ ψ

π

ϕ = ( 2 ) d r ( r ) e

p

( ) 2

h h

− ∞

antitrasformata (per t = 0) ⋅

+∞

3 r p

− + i

π ϕ

ψ = ( 2 ) d p ( p ) e

r

( ) 2

h h

− ∞

ψ a meno di una funzione additiva quasi dappertutto nulla.

L’antitrasformata coincide con r

( )

1. Limitandosi al caso unidimensionale, l’equazione di Schrödinger diventa:

ψ −

2

d ( x ) 2 m ( E V ) ψ

+ =

( x ) 0

2 2

dx h

ove, sulla base delle proprietà delle trasformate di Fourier:

+∞ −

1 ipx

ϕ ψ e

=

( )

p dx x

( ) h

1

π − ∞

( 2 ) 2

h

e +∞

1 ipx

ψ ϕ e

=

(x ) dp p

( ) h

1

π − ∞

( 2 ) 2

h

+∞ +∞ d

∫ ∫

2

ϕ ψ ψ

2. p ( p ) dp = dx * ( x )( i ) ( x )

h dx

− ∞ − ∞

+∞ +∞ d

∫ ∫

2

ψ ϕ ϕ

+

x ( x ) dx = dp * ( p )( i ) ( p )

h dp

− ∞ − ∞

(Vedi Appendici B e D)

Più in generale:

+∞ +∞ d

∫ ∫

2

ϕ ψ ψ

g ( p ) ( p ) dp = dx * ( x ) g ( i ) ( x )

h dx

− ∞ − ∞

+∞ +∞ d

∫ ∫

2

ψ ϕ ϕ

+

g ( x ) ( x ) dx = dp * ( p ) g ( i ) ( p )

h dp

− ∞ − ∞

3.La norma si conserva nel passare dallo spazio delle configurazioni a quello degli impulsi

+∞ +∞

1 1

∫ ∫

2 2

ψ ϕ

( x ) dx = ( p ) dp

π π

2 2

h h

− ∞ − ∞

(conseguenze nel calcolo dei valori medi)

(Vedi Appendici B e C per la dimostrazione). 15

Valori medi

Le proprietà precedenti hanno delle conseguenze importanti per il calcolo dei valori medi delle

osservabili fisiche. ψ ψ 2

In generale, nel caso unidimensionale, conoscendo e quindi la distribuzione dei

x x

* ( ) ( )

N N

risultati delle misure di posizione (ad un dato istante) della particella si può definire il valore medio,

⟨ ⟩ , di una funzione arbitraria delle coordinate di posizione della particella, g(x), (a quell’istante);

cioè il valor medio delle misure di g(x) eseguite su un gran numero di sistemi equivalenti (tra loro

ψ .

indipendenti) che sono descritti dalla funzione d’onda o ampiezza di probabilità (x )

Esempio unidimensionale ψ

x x

valor medio di x rispetto a ( )

N

ψ N ∫

ψ ψ ψ ψ

x x x x

, x ( ) ) = * ( ) x ( ) dx

( ( )

N N N N ϕ p

valor medio di p nello spazio delle ( )

∫ ϕ 2

p p dp

( ) ∫ 2

ϕ

p p dp

= = ( )

p N

∫ ϕ 2

p dp

( ) ϕ ( p ) ψ x

valor medio di p nello spazio delle ( )

d

∫ ψ ψ

x i x dx

* ( )( ) ( )

h d

dx ∫ ψ ψ

p dx x i x

= = * ( )( ) ( )

h

N N

ψ

∫ 2 x

( ) dx

ψ x dx

( ) ⇓

p = p

ψ x

( ) ϕ ( p )

+∞ +∞ d

∫ ∫

2

ψ ϕ ψ

+

dp p i

x x dx p

( ) = * ( )( ) ( )

h

N dp

− ∞ − ∞

+∞ ψ x

( )

∫ 2

ψ ψ

x dx x

( ) = N ( ) =

N N

− ∞

Posso ora calcolare 2

∆ = −

2

x x x ψ ϕ

( ), ( )

x p

ψ ϕ

( ), ( )

x p 2

∆ = −

2

p p p ψ ϕ

( ), ( )

x p

ψ ϕ

( ), ( )

x p

∆ ∆

x e p sono le fluttuazioni statistiche del risultato delle misure di una osservabile(x o p)

ove ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

x o p )

attorno al suo valor medio ( 16

Relazioni di indeterminazione di Heisenberg. Una semplice

derivazione.

2

+∞ d

∫ λ ψ ψ

λ ≥ ∀λ λ

+

) = 0 , è reale

I( x ( x ) ( x ) dx

h dx

− ∞ ⇓ h

∆ ∆ ≥

x p 2 +∞ 2

d

∫ ψ ψ

dx *

λ 2

dx

I ( )

_ λ λ

λ − ∞ ≥

− −

= 2 2 2

= 0

x

I ( ) h h + ∞

+ ∞ ∫

∫ 2

2 ψ

ψ x dx

( )

x dx

( )

− ∞ − ∞

d

→ -i

p h dx

+∞ +∞ d

∫ ∫

2

ϕ ψ ψ

dx x i

p p dp x

( ) = * ( )( ) ( )

N.B. h dx

− ∞ − ∞

_ λ λ λ

− + ≥

2 2 2

I x p

= 0

( ) h ⇒ ≤ − ≤

2 2 2

x p

(poiché è una quantità definita positiva discriminante 0) 4 0

h

2

h

⇒ ≥

2 2

x p 4 2

h h

− − ≥ ⇒ ∆ ∆ ≥

2 2

x x p p

( )

ovvero ( ) x p 2

4

∆ ∆

Quando x e p vanno a 0, ossia le fluttuazioni si annullano, la posizione e l’impulso coincidono

con i loro valori medi.

Quali funzioni d’onda minimizzano le relazioni di indeterminazione?

h

∆ ∆

( x p = )

2 2

x

λ

d ψ ψ

λ ⇒ λ ψ = ⇒ =

x Ce

I( ) = 0 x (x) + ( ) 0 2

h h

dx

Minimizza il prodotto degli scarti quadratici medi: infatti la Trasformata di Fourier di una gaussiana

è ancora una gaussiana, con la proprietà che, al suo allargamento nello spazio delle coordinate,

corrisponde un suo restringimento in quello degli impulsi e viceversa.

λ λ

⇒ − +

2 2 2

x p = 0

h 17

λ

dI ( ) h

λ

⇒ =

= 0

λ

d 2

2 x

Normalizzazione della funzione d’onda che minimizza il prodotto degli scarti

− 2

x

ψ =

x C

Abbiamo trovato che ) . Imponiamo, quindi, la condizione di normalizzazione

( ) exp( 2

x

4

per ricavare C:

+∞ +∞ − 2 1

x

2

∫ ∫

2

ψ π ⇒

2 2

2 2

C

x dx C C

1 = ( ) = ) dx = =

exp( 2 x

2

x

4 π 2

x

2

− ∞ − ∞ − 2

1 x

ψ =

x

( ) )

exp(

N 2

x

4

π 2

x

2 18

Regole di quantizzazione e concetto di operatore

2

L ) è quella di

L’azione di un operatore su una funzione che appartiene ad un dato spazio (es.

mutare la funzione originaria in una ed una sola ben definita funzione appartenente allo stesso

spazio.

Il concetto di operatore

Ψ → Ψ

A ( r , t ) ' ( r , t ) ∂

2

L

∈ ±∞

Ψ Ψ

Sia che ( ) (es.: nel caso unidimensionale x, -i )

( r , t ) ' ( r , t ) h ∂

x

Operatori lineari λ λ λ λ

Ψ + Ψ Ψ + Ψ

) =

A ( A A

1 1 2 2 1 1 2 2

2

λ λ L ±∞

∈ Ψ Ψ ∈ allo spazio ( )

C

e e

1 2 1 2

moltiplicazione di A per una costante Ψ Ψ

= c (A )

(cA)

somma S di due operatori A e B Ψ Ψ Ψ

= A + B S è commutativo

S

prodotto P di due operatori A e B

Ψ Ψ Ψ

= A B = A (B )

P Ψ ≠ Ψ

) B (A ) P non è in genere commutativo

A (B

Il commutatore di A e B Ψ Ψ

= (AB - BA)

[A,B]

∂ ψ ψ Ψ

i

es. nel caso unidimensionale: [x,- ] = ovvero, lasciando cadere la il

i

h h

x

i ] = definisce l’algebra degli operatori

commutatore [x,- i

h h

x 19

Regole per la quantizzazione dell’equazione di Schrödinger

2

p

E = + V

m

2

∂ r

→ → − ∇ ≡ →

p i

i x

E p̂ x̂

h

h ∂

t

N.B. Il simbolo ^ su x e p indicherà sempre operatore x e operatore p e sarà usato, ove necessario,

per evitare confusione con le variabili x e p. d

→ −

ih

(nel caso unidimensionale) p x dx

Ψ 2

r t

( , ) h

= − ∇ Ψ + Ψ

2

i V

h ∂

t m

2

L’energia è una costante del moto e il sistema è in uno stato stazionario.

Assumendo t

i E

e ψ

h

Ψ =

( r , t ) (r )

con E costante, si ha 2

h ψ ψ ψ

− ∇ + =

2 r V r E r

( ) ( ) ( )

m

2

equazione di Schrödinger per gli stati stazionari

Si dice in tal caso che il sistema è in uno stato stazionario ovvero

ψ ψ

) = E ) (4)

H ( r ( r

E E

equazione agli autovalori

ψ

H è un operatore, E il suo autovalore, ) l’autofunzione (funzione propria)

( r

E

corrispondente all’autovalore E dell’operatore H

La soluzione del problema agli autovalori ψ

Condizioni di regolarità e al contorno per ) (compatibilità con l’interpretazione

( r

ψ ))

probabilistica di ( r <

sotto tali condizioni se E 0 stati legati (spettro discreto)

>

se E 0 stati del continuo (spettro continuo)

Se all’autovalore appartengono più autofunzioni si parla di autofunzioni o stati degeneri

Si passa, dunque, dalle variabili canoniche della meccanica classica a degli operatori che agiscono

in uno spazio ben preciso che verrà discusso nel capitolo seguente. 20

APPENDICE A

Dimostrazione del limite geometrico del principio di Huygens in forma differenziale.

r

ψ π

{ }

r = exp -2 i f(x,y,z) , andiamo a inserirlo nel principio di Huygens in forma

Avendo posto ( )

differenziale π 2

4

ψ ψ

∇ + =

2 r r

( ) ( ) 0

λ 2

ψ ψ ψ

∂ ∂ ∂

2 2 2

ψ

∇ = + + ψ

2

Essendo , calcoliamo la derivata prima e la derivata seconda di

∂ ∂ ∂

2 2 2

x y z

rispetto a x, estendendo poi il risultato alle altre due variabili.

ψ ∂

∂ f

π

= π

{ } i

exp -2 i f(x,y,z) ( 2 ) ∂

x x

ψ ∂ ∂

∂ 2

2 f f

π π

= π − + π

2 2

{ } { } i

i

exp -2 i f ( 2 ) ( ) exp -2 i f ( 2 )

∂ ∂

∂ 2 2

x

x x

Ossia   π

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2

f f f f f f 4

1 1 1

2

π π − π

− + − + −

2 2 2

{ } { }

-4 exp -2 i f = exp -2 i f

( ) ( ) ( )

 

π π π λ

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

2 2 2 2

x i y i z i

2 2 2

x y z

 

Facendo le opportune semplificazioni:

r 1

i

2

∇ = − ∇ +

2

f f

π λ 2

2 1 i

λ → ∞ − ∇ 2 f

Facendo tendere a zero, e dunque prevale sul termine .

π

λ 2

2 21


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Meccanica quantistica I del Prof. Mauro Anselmino, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: introduzione alla meccanica quantistica; equazione di Schrodingher, proprietà e significato fisico; trasformata di Fourier e le sue proprietà; la relazione di indeterminazione di Heisenberg; regole di quantizzazione.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica
SSD:
Università: Torino - Unito
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica quantistica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Torino - Unito o del prof Giovannini Alberto.

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