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8 R. B M V

ARBONI ECCANICA DELLE IBRAZIONI

Indicando con [ ] la derivazione rispetto al tempo le (3.2) scritte come:

( )

− + = ⇒ − + =

(3.3) F m a R 0 f m x r 0 ; ....

m m m m xm m m xm

indicano che durante il moto ed in ogni istante sono in equilibrio:

a)−le forze attive ;

F −massa

−m (= moltiplicata per l’accelerazione);

b)−le forze d’inerzia = a

.

c)−le reazioni vincolari R −m ) è indicata come .

La somma delle prime due ( F a forza perduta

−m

data alla ( ) deriva dalla seguente considerazione: l’identità

La dizione forza perduta F a

≡ −m

m + ( ), consente di considerare la forza attiva dovuta al contributo di due forze:

F a F a

−la che da sola sarebbe capace di imprimere il moto che ha effettivamente la

prima ma

particella se fosse libera;

−m

−la ) rappresenta la parte della forza attiva che va ai fini della

seconda ( F a perduta

variazione di velocità dovuta all’effetto dei soli vincoli. Infatti per la (3.2) la forza perduta

− = − .

uguaglia in ogni istante l’opposto della reazione vincolare: F a R

m

m m m m

Nel caso particolare della statica valgono ancora le (3.2) dando

all’accelerazione valore nullo. Le condizioni espresse dalla statica e dalla

dinamica, per un elemento soggetto a forze attive e vincoli di tipo

qualunque, possono allora essere elegantemente sintetizzate in un unico

enunciato: “

In ogni istante, in condizioni di quiete o di moto, le forze

”.

perdute equilibrano le corrispondenti reazioni vincolari

E’ questo il Principio di d’Alembert, in virtù del quale ogni problema

dinamico è ricondotto ad un problema di equilibrio.

L’enunciato, pur non aggiungendo nulla alle leggi ed alle equazioni da cui

è ricavato, viene indicato come “principio” per la sua validità generale e

capacità di sintesi.

Da tale principio derivano le due seguenti regole pratiche:

−“

1) Le equazioni della statica per un elemento soggetto a forze attive e

vincoli qualsiasi possono essere ricavate dalle corrispondenti equazioni

1 ”.

della dinamica ponendo a zero velocità ed accelerazioni

−“

2) Le equazioni della dinamica per un elemento soggetto a forze

posizionali e vincoli privi di attrito possono essere ricavate dalle

corrispondenti equazioni della statica sostituendo alla forza attiva la forza

”.

perduta (o, in maniera equivalente, aggiungendo la forza d’inerzia)

1 Si dimostra che le soluzioni delle equazioni della statica ricavate con tale regola sono tutte

e le sole posizioni di equilibrio dell’elemento sotto l’assegnato campo di forze e di vincoli.

− 9

R. B C A

ARBONI OSTRUZIONI EROSPAZIALI

Si evidenzia il fatto che mentre il passaggio dalle equazioni della dinamica

a quelle della statica non è soggetto a limitazioni, il passaggio dalle

equazioni della statica a quelle della dinamica è possibile in generale solo

1 2

e vincoli privi di attrito .

nel caso di forze posizionali

Utilizziamo il principio di d’Alembert per ricavare l’equazione della corda vibrante.

A tal fine basta scrivere l’equilibrio verticale di un elemento di corda sotto l’azione:

dx

−della tensione elastica:

∂ ∂ S

⎛ ∂

w w

⎜ ∂ ∂

(l) dx

S ⎛ ⎞

∂ w

x ⎜ ⎟

∂ ∂ dx

⎝ x

x ∂ ∂

⎝ ⎠

x x

S

−delle +

S dx

forze esterne: ∂

x

(m) qdx qdx

−della w

forza d’inerzia: S ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞

w w

∂ +

x ⎜ ⎟

dx S S dx

∂ ∂ ∂

⎝ ⎠

∂ x x x

2 w

− w

(n) dx

∂ 2

t

Sommando i tre contributi si ha la (h) del precedente paragrafo. Ancora più immediata è

la scrittura dell’equilibrio dinamico partendo da quello statico con le regole di d’Alembert.

4. Vibrazione armonica

Il moto di un sistema ad un grado di libertà è detto se espresso da

armonico

una funzione del tipo:

= ω + ω

(4.1) x c cos t c sen t

1 2

ω,c

con ,c , costanti di cui la prima ed almeno una delle altre due non nulle.

1 2

Poiché le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π, cioè:

ω ω ω ω

t = cos( t+2π) = cos (t+2π/ )

cos ,c , la

si ha x(t)=x(t+2π/ω). Pertanto, indipendentemente dal valore di c

1 2

(4.1) riassume lo stesso valore dopo un tempo T indicato come :

periodo

π

2

=

(4.2) T ω

1 Nella statica è sufficiente conoscere la forza attiva nel particolare istante di quiete ma

questo non significa in generale conoscere la legge con cui la forza dipende dai parametri

del moto ed in particolare dalla velocità, …

2 In presenza di attrito le reazioni esplicate dal vincolo seguono leggi diverse a seconda che

il corpo risulti in quiete o in moto. −

10 R. B M V

ARBONI ECCANICA DELLE IBRAZIONI

L’inverso del periodo è detta :

frequenza f

ω

1

= =

(4.3) f π

T 2 θ

, legate alle precedenti c ,c dalle:

Se si introducono due nuove costanti a 1 2

= θ = − θ

c a cos ; c a sen

(4.4) 1 2

la vibrazione armonica (4.1) può essere anche scritta:

= θ ω − θ ω = ω + θ

(4.5) x a(cos cos t sen sen t) a cos( t )

ωt+θ θ

è l’ , la all’istante t e la costante , che si ottiene

dove, a ampiezza fase

. Tali grandezze sono correlate alle c ,c dalle:

per t=0, la fase iniziale 1 2

= + θ = −

2 22

(4.6) a c c ; arctan(

c / c )

1 2 1 ω

La (4.5) può essere interpretata come il moto, a velocità angolare

costante, di un punto P su una circonferenza di raggio P

. Pertanto la frequenza indica il numero di giri per

a R=a ωt a senωt

unità di tempo del punto mobile sulla circonferenza. a cosωt x

il cui

Una unità di misura della frequenza è l’

hertz

valore unitario corrisponde al moto di un punto che

compie un giro in un secondo; quindi il numero di

indica il numero di giri compiuti ogni secondo.

hertz

5. Rappresentazione complessa di una vibrazione armonica

L’oscillazione armonica: θ

ω

(5.1) x = a cos ( t + )

è una quantità reale con un preciso significato fisico che può avere la

:

seguente rappresentazione complessa

[ ]

ω + θ

= = ω + θ + ω + θ

j ( t )

(5.2) X ae a cos( t ) j sen( t )

nel senso che la grandezza fisica (5.1) è data dalla parte reale della

rappresentazione (5.2): θ

ω

t + )

(5.3) x = Re(X) = a cos (

Risulta conveniente porre:

ω

= j t

(5.4) X Ae − 11

R. B C A

ARBONI OSTRUZIONI EROSPAZIALI

jθ è l’ampiezza complessa. La convenienza della posizione (5.4)

dove A=ae

risiede, tra l’altro, nella facilità con cui si rappresentano le derivate della

(5.1) e nella composizione di moti armonici.

Infatti derivando la (5.1) e poiché anche la derivata è una quantità reale:

⎡ ⎤

π

π ω +θ+

dx j( t )

= − ω ω + θ = ω ω + θ + = ω

⎢ ⎥

2

(5.5) a sen( t ) a cos( t ) Re a e

⎣ ⎦

dt 2

jπ/2

ovvero, ricordando che j=e , si ha:

⎡ ⎤

π [ ]

( ) [ ]

dx j θ ω ω

= ω = ω = ω

j j t j t

⎢ ⎥

2

(5.6) Re e ae e Re j Ae Re j X

dt ⎣ ⎦

La (5.6) si ottiene molto più semplicemente, ricordando la posizione (5.4),

operando direttamente sulla (5.4): [ ]

⎡ [ ]

dx dX ω

= = ω = ω

j t

Re Re j Ae Re j X

⎢ ⎥

⎣ ⎦

dt dt

in altri termini, se la rappresentazione complessa dell’oscillazione x è la X

data dalla (5.4), la rappresentazione complessa di dx/dt è data dalla:

dX = ω

(5.7) j X

dt

Dalla (5.5) si ha che la derivata temporale di x ha ampiezza (ωa) e fase

(θ+π/2), pertanto nel piano complesso (diagramma di Argand), dove

l’ascissa è la parte reale e l’ordinata la componente complessa, la (5.4) giace

sull’ascissa mentre la sua derivata (5.7) sull’ordinata. Possiamo quindi dire

che la derivata di un moto armonico è in quadratura con il moto stesso.

La derivata seconda della (5.4):

Im(X) X

2

d X ω

= −ω 2 j t

(5.8) Ae

2

dt 0

X

è invece in opposizione di fase, perché opposta ad

ω

2

X con ampiezza amplificata di .

12 R. B M V

ARBONI ECCANICA DELLE IBRAZIONI

6. Sistema elastico non dissipativo ad un grado di libertà

Il più semplice e classico sistema elastico è quello composto da una massa

M ed una molla di rigidezza assiale

K, indicato in figura.

La molla, sotto il carico statico x 0 Kx

K 0

W=Mg, raggiunge la posizione di +x)

K(x 0

equilibrio x , data dall’equazione:

0 a)

x

= W

(6.1) Kx W=Mg

0 b)

W

Se al sistema in equilibrio viene −

W M w

applicata una forza F (t) e/o si

0

assegna uno spostamento e/o una velocità iniziale, la massa inizia a

muoversi con conseguente presenza della forza d’inerzia.

Indicando con x lo spostamento dalla posizione di equilibrio x , si ha:

0

x (t)

) = W M + F

(6.2) K(x + x 0

0

La (6.2), ricordando la (6.1) si scrive:

(t)

(6.3) M x + Kx = F

0

equazione questa che, una volta assegnate le condizioni iniziali, governa il

moto della massa rispetto alla posizione iniziale di equilibrio.

Indicando con: F ( t )

K

ω = =

2 0

(6.4) ; F

( t )

M M

la (6.3) si scrive: ω

2 F

( t )

x =

(6.5) x +

a cui vanno associate le condizioni iniziali ovvero al tempo t=0:

= =

x ( 0

) x ; x ( 0

) v

(6.6) 0 0

Si dice che il sistema compie:

− vibrazioni libere se F(t)=0;

− ≠

vibrazioni forzate se F(t) 0.

− 13

R. B C A

ARBONI OSTRUZIONI EROSPAZIALI

6.1. Vibrazioni libere di sistema non dissipativo

Il moto è governato dall’equazione differenziale:

ω

2 x = 0

(6.1.1) x +

il cui integrale generale: ω ω

cos t + c sen t

(6.1.2) x = c

1 2

può anche essere scritto: θ

ω

t+ )

(6.1.2’) x = a cos(

Assegnando le condizioni iniziali (6.6), si ricavano le costanti di

θ

,c oppure :

integrazione c a,

1 2 v

= = 0

(6.1.3) c x ; c ω

1 0 2

2

v c x v

= + θ = − = = −

2 0 2 0 0

(6.1.4) a x ; arctan arccos arcsen

ω ω

0 2 c a a

1

da cui è evidente che le condizioni iniziali governano l’ampiezza e la fase

ω

ma non influenzano la pulsazione che è una caratteristica del sistema.

In altre parole in assenza di una forza esterna, F(t)=0, il moto è armonico e

ω

caratterizzato da un parametro, la pulsazione o il periodo T o la frequenza

f, che dipende solo dalle caratteristiche M,K del sistema e da altre quantità,

ampiezza e fase, che invece dipendono dalle condizioni iniziali.

Applicando il principio di Hamilton, imporre:

2 2

t t t

∫ ∫ ∫ M

x Kx

= − = + =

T U ) dt staz ionario

(a) Ldt ( ) dt ( 2 2

0 0 0

equivale a scrivere l’equazione di Eulero, ovvero l’equazione di equilibrio:

∂ ∂

d L L

− = ⇒ + =

(b) 0 M x Kx 0

∂ ∂

dt x x :

Moltiplicando l’equazione differenziale (b) per x

⎡ ⎤

2 d

Kx

d 1 = ⇒ + =

− = ⇒ +

T U

2

⎢ ⎥

(d) ( ) 0

0

M

x

M

x x Kx

x 0 ⎢ ⎥ dt

2

dt 2

⎣ ⎦

Pertanto durante il moto è costante l’energia totale si mantiene costante:

2

1 Kx

= + = + =

T U 2

(e) H M x cos t

2 2

14 R. B M V

ARBONI ECCANICA DELLE IBRAZIONI

Il grafico seguente riporta le oscillazioni libere di un sistema massa-molla

con due diversi valori del rapporto K/M (quindi a frequenza diversa) ma

⇒ θ

stesse condizioni iniziali x =1,v =0 ( a=1, =0):

0 0 −1

ω π

f =10Hz, (T =0,1sec ; =20 sec );

Caso a) 1 1 1 −1

ω π

f =50Hz, (T =0,02sec ; =100 sec ).

Caso b) 2 2 2

T 1

1,0

x(t)

0,6 T 2

0,4

0,2 t

0,0

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

-0,2

-0,4

-0,6 Caso b) Caso a)

f =50Hz

-0,8 2 f =10Hz

1

-1,0

6.2. Vibrazioni forzate di sistema non dissipativo

Nel caso di forzante sinusoidale, l’equazione del moto risulta: P

+ = Ω ⇒ + ω = Ω =

2 0

(6.2.1) M x Kx P sen t x x P sen t ; P

0 M

ω≠Ω , si scrive:

il cui integrale generale, per

[ ] P

= ω + ω + Ω

x ( t ) c cos t c sen t sen t

(6.2.2) ω − Ω

1 2 2 2

− 15

R. B C A

ARBONI OSTRUZIONI EROSPAZIALI ω

Nella (6.2.2) il termine in [ ] descrive un’oscillazione a frequenza . Le

costanti c ,c si determinano imponendo le condizioni iniziali (6.6):

1 2 Ω

v P

= = −

0

(6.2.3) c x ; c ω

ω ω − Ω

1 0 2 2 2

Il restante termine della (6.2.2), corrispondente all’integrale particolare

della (6.2.1) è l’oscillazione stazionaria che si può scrivere:

P K

P

= Ω = Ω

0

(6.2.4) x ( t ) sen t sen t

ω − Ω ω − Ω ω

p 2 2 2

[

1 ( ) ] [

1 ( ) ]

il cui valore massimo x si ha per sen t=1. Se indichiamo con x =P /K lo

M St 0

spostamento statico dovuto all’applicazione 10 x

8

di P , si definisce fattore di amplificazione il M

0 x

6 St Ω

4

rapporto: ω

2

0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

x 1 -2

=

M

(6.2.5) -4

− Ω ω 2

x [

1 ( ) ] -6

St -8

-10

Ω ω

Quando / <1, la forza ed il moto sono in

Ω ω

fase e tale fattore è positivo; quando / >1, la forza ed il moto sono in

opposizione di fase e tale fattore è negativo.

Ω ω

Per / =1 si ha la risonanza e la (6.2.4) è data dalla formula approssimata:

Pt

≅ − ω

x ( t ) cos t

(6.2.6) ω

p 2

per cui, in condizioni di risonanza, per valori del tempo sufficientemente

lunghi, le vibrazioni del 0,002

sistema sono armoniche di 0,001

ω Caso a)

frequenza con ampiezza =10Hz

f 1

crescente linearmente con 0,001 Caso b)

=50Hz

F 2

il tempo ed un ritardo di

π 0,000

fase di /2. 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14

Il grafico riporta i due -0,001

casi prima esaminati in

condizioni di risonanza. -0,001

-0,002

16 R. B M V

ARBONI ECCANICA DELLE IBRAZIONI

7. Vibrazioni di un sistema dissipativo

Il sistema massa-molla esaminato non tiene conto della realtà dei fenomeni

fisici nella quale la presenza di effetti smorzanti invalida il principio di

conservazione dell’energia. Nella pratica quindi le oscillazioni non si

perpetuano, ma la loro ampiezza decresce fino a smorzarsi per effetto della

dissipazione. In questa sede ci si limita ad un semplice modello di

smorzatore “viscoso” che esplica una forza proporzionale alla velocità.

7.1. Vibrazioni libere di un sistema dissipativo

Se nel sistema massa molla è presente uno smorzamento viscoso, si ha:

+ + =

Mx 2hx Kx 0

che con le posizioni: h K

ε= ω =

2

;

M M

si scrive: + ε + ω =

2

(7.1.1) x 2 x x 0

cui vanno associate le condizioni iniziali:

= =

x ( 0

) x ; x ( 0

) v

(7.1.2) 0 0

Ponendo nella (7.1.1):

= pt

x e

si ha: + ε + ω = ⇒ = − ε ± ε − ω

2 2 2 2

(7.1.3) p 2 p 0 p 1 2

, ε

Il moto è diverso a seconda del valore del parametro di smorzamento :

− ε ω

Se = lo . L’integrale generale della (7.1.1)

1) smorzamento è detto critico

risulta: [ ]

− ε

= +

t

(7.1.4) x ( t ) e c c t

1 2

− 17

R. B C A

ARBONI OSTRUZIONI EROSPAZIALI

ε=ω

Infatti per la (7.1.3) da due radici coincidenti p =p =−ε cui corrisponde una soluzione

1 2

−ε t

x =c e . Una seconda soluzione si può ricercare con il metodo di variazione dei parametri

1 1 −ε t

che consiste nell’assumere la soluzione nella forma x =c(x)e e determinare c(x) in modo

2

da soddisfare la (7.1.1): − ε − ε − ε

= ⇒ = − ε ⇒ = − ε + ε

t t 2 t

x c ( x ) e x ( c c ) e x ( c 2 c c ) e

2 2 2 −ε

ε=ω: = ⇒ = +

t

che sostituite nella (7.1.1) e ricordando che quindi x =c te

c 0 c c c t 2 2

1 2

Imponendo le condizioni (7.1.2):

[ ]

− ε

= + + ε

t

(7.1.5) x ( t ) e x ( v x ) t

0 0 0

−t

t

per la quale, poiché l’esponenziale e (e ) è un infinito (infinitesimo) di

ε>0):

ordine superiore rispetto a qualsiasi potenza di t, si ha (risultando

=

(7.1.6) lim x ( t ) 0

→ ∞

t

ε=ω ε

Il valore di è il ed il rapporto:

coefficiente critico di smorzamento cr

ε

ζ =

(7.1.7) ε cr ζ

è la dello smorzamento critico. Normalmente viene espresso in

frazione .

termini percentuali e prende il nome di percentuale di smorzamento

Il grafico seguente riporta il valore della (7.1.5) nei due casi di sistema

massa-molla prima esaminati in assenza di smorzamento [x =1,v =0 (⇒

0 0

ε=ω ζ=1.

a=1,θ=0): f =10Hz; f =50Hz] quando cioè

Caso a) Caso b)

1 2

1,0 ζ=1

Smorzamento critico

x(t)

0,8 f=10Hz

0,6

0,4 f=50Hz

0,2

0,0 t

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

18 R. B M V

ARBONI ECCANICA DELLE IBRAZIONI

−A ζ<1 ζ>1

seconda poi che o il sistema è sottosmorzato o

2)

sovrasmorzato.

−Il ε<ω ζ<1).

sistema è detto se (ovvero

2a) sotto-smorzato

ε −ω

2 2

Risultando <0 dalle (7.1.3,7) si ha:

= − ε ± Ω Ω = ω − ε = ω − ζ >

2 2 2

(7.1.8) p j dove 1 0

1

, 2

per cui la soluzione risulta: [ ] [ ]

− ε Ω − Ω − ε

= + = Ω + Ω =

t j t j t t

x ( t ) e c e c e e C cos t C sen t

1 2 1 2

(7.1.9) [ ]

( )

− ε

= Ω + θ

t

Ae cos t

ε>0, 1 .

Per la soluzione (7.1.9) descrive un moto oscillatorio smorzato

Infatti vale senz’altro la (7.1.6) e ponendo, in similitudine con la (4.2):

π

2

~ =

(7.1.10) T Ω

risulta:

−ε −ε

+ = + =

t t

(7.1.11) x(t T) e x(t) ; x(t T) e x(t)

inoltre, dalla (7.1.9): [ ]

( ) ( )

− ε

= − ε Ω + θ + Ω Ω + θ

t

(7.1.12) x ( t ) Ae cos t sen t

che si annulla per tutti i valori di t che soddisfano l’equazione:

ε

( )

Ω + θ = −

(7.1.13) tan t Ω risultando armonico assume valori

Quindi il moto del sistema pur non ~

massimi e minimi ad intervalli regolari di tempo uguali a =2π/Ω e si

T

~ ~

/2; per questa ragione è indicato come pseudoperiodo.

annulla ogni T T

Imponendo le condizioni (7.1.2): + ε

⎡ ⎤

v x

− ε

= Ω + Ω

t 0 0

(7.1.14) x ( t ) e x cos t sen t

⎢ ⎥

0

⎣ ⎦

ε<0

1 Se la soluzione (8.1.9) invece che oscillatoria smorzata risulterebbe oscillatoria

amplificata. In questi casi per analogia diremo che il sistema presenta uno “smorzamento”

negativo. − 19

R. B C A

ARBONI OSTRUZIONI EROSPAZIALI

I grafici seguenti riportano la (7.1.14), per i due casi prima esaminati

ζ<1.

[x =1,v =0: f =10Hz; f =50Hz] per vari valori di

Caso a) Caso b)

0 0 1 2

1,0 ζ=0,5 f=10Hz ζ=0,

x(t)

x(t) 5

0,5 0,5 t

t 0,0

0,0 0,02 0,04 0,06

0,1 0,2 0,3 ζ=0,25

ζ=0,25 -0,5

-0,5 ζ=0,05

ζ=0,05 -1,0

-1,0 −Il ε>ω ζ>1).

sistema è detto se (ovvero

2b) sovra-smorzato

ε −ω

2 2

Risultando >0 dalle (7.1.3,7) si ha:

= − ε ± Ω Ω = ε − ω = ω ζ − >

2 2 2

(7.1.15) p dove 1 0

1

, 2

per cui l’integrale generale si scrive:

[ ] [ ]

− ε Ω − Ω − ε

= + = Ω + Ω

t t t t

(7.1.16) x ( t ) e c e c e e C cosh t C senh t

1 2 1 2

ε>Ω,

e, poiché è evidente che vale ancora la (7.1.6).

Imponendo le condizioni (7.1.2), la (7.1.16) si scrive:

+ ε

⎡ ⎤

v x

−ε

= Ω + Ω

t 0 0

(7.1.17) x(t) e x cosh t senh t

⎢ ⎥

0

⎣ ⎦

funzione che si annulla al massimo una volta.

Il grafico seguente riporta il valore della (7.1.16), per i due sistemi in

ζ>1.

esame, con differenti valori di

1,0 f=10Hz

x(t)

0,8 ζ=1,05 ζ=1,25 ζ=1,5

0,6 f=50Hz

0,4

0,2

0,0 t

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Costruzioni aerospaziali del Prof. Renato Barboni, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: fondamenti di meccanica delle vibrazioni; principio di Hamilton; principio di d'Alembert; vibrazione armonica; rappresentazione complessa di una vibrazione armonica; sistema elastico non dissipativo ad un grado di libertà; vibrazioni di un sistema dissipativo; vibrazioni forzate; proprietà di ortogonalità degli autovettori; vibrazioni libere della trave appoggiata.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Costruzioni aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Barboni Renato.

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Stabilità di travi e piastre
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Teoria della piastra
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Stabilità dei sistemi elastici
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