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46 CAPITOLO 6. AERODINAMICA DEL VELIVOLO

migliore comprensione dei fenomeni che generano la resistenza.

6.4.1 Resistenza di Attrito

Come si é detto la resistenza d’attrito é la conseguenza diretta degli effetti

della viscositá dell’aria ed é legata alle azioni tangenziali scambiate fra fluido

e superficie. Il coefficiente di attrito dipende principalmente dal numero di

Reynolds, nonché dal numero di Mach e dalla rugositá della superficie.

Nel caso della lastra piana parallela alla corrente imperturbata, sono noti i

risultati che forniscono, in forma esplicita, i coefficienti di resistenza di attrito

C , riferito alla superficie bagnata, in funzione del numero di Reynolds nel

f

caso di flusso laminare e turbolento:

1.328

C = F lusso Laminare (Blasius) (6.23)

f Re

0.455 F lusso T urbolento (6.24)

C =

f 2.58 2 0.65

(log Re) (1 + 0.144M )

10

V lρ

dove Re = é il numero di Reynolds, mentre l é la lunghezza caratteris-

µ

tica. Per una fusoliera l é la lunghezza totale, mentre, per un’ala o un piano

di coda l é rappresentata dalla corda media aerodinamica.

Se la rugisitá della superficie é relativamente elevata, il coefficiente di attrito é

maggiore di quello indicato dalla (6.24). Gli effetti della rugositá della super-

ficie sono tenuti in conto, mediante il cosiddetto numero di Reynolds di cutoff,

calcolato nel modo seguente (Raymer) 1.053

Re = 39.21(l/k) (6.25)

cutof f

dove k, espresso nelle stesse unitá di l, rappresenta la rigositá della superficie.

Al di sotto del Re il coefficiente di resistenza di attrito segue la legge,

cutof f

(6.24), mentre per valori superiori del numero di Reynolds il coefficiente di

6.4. LA RESISTENZA 47

attrito si mantiene costante e pari al valore assunto per Re . I valori della

cutof f

rugisitá k, secondo i casi, sono riportati nella seguente tabella

 

Tipo di Superficie k (m)

 

 

 

−2

×

 

Vernice su alluminio 0.1 10

  (6.26)

 

−2

×

Vernice liscia 0.06 10

 

 

−2

×

Foglio di metallo 0.04 10

 

−2

×

Foglio di metallo levigato 0.015 10

Sebbene la stima del coefficiente di resistenza d’attrito, per una configurazione

arbitraria di aeromobile, richieda prove sperimentali in galleria o simulazioni

di fluidodinamica computazionale, i coefficienti di resistenza di attrito possono

essere stimati con sufficiente accuratezza tramite le (6.23) o (6.24) opportuna-

mente modificate per mezzo di coefficienti correttivi che dipendono del tipo di

geometria che si considera. É importante osservare che per corpi sottili come

profili alari o fusoliere, a paritá di superficie bagnata, il coefficiente di resistenza

di attrito é dato con ottima approssimazione da (6.23) o (6.24) valide per la

lastra piana ed é scarsamente dipendente dall’angolo di incidenza. Questa

importante proprietá dei corpi sottili e affusolati é pesantemente usata du-

rante le fasi preliminari di progetto del velivolo e consente un calcolo rapido e

relativamente accurato dell’aerodinamica dell’aeromobile.

Nel seguito sono riportati i coefficienti correttivi per ciascun tipo di compo-

nente il velivolo. Per ali piani di coda e montanti

t

t

0.6 4 0.18 0.28

+ 100( ) ] [1.34 M (cos Λ) ] (6.27)

F F = [1 + (x/c) c c

m

mentre per le fusoliere 60 f

F F = (1 + ) (6.28)

+

3

f 400

Per le gongole motrici si ha 0.35 (6.29)

FF = 1 + f

48 CAPITOLO 6. AERODINAMICA DEL VELIVOLO

dove l l

f = (6.30)

q

d (4/π)A max

dove d é il diametro dellla circonferenza equivalente alla sezione maestra del

fuso o della gondola motrice avente area A .

max

Tali espressioni semiempiriche sono il risultato di studi di fluidodinamica com-

putazionale ed esperienze condotte in galleria.

Cosi’ la resistenza d’attrito complessiva dell’aeromobile ćalcolata tramite la

relazione X

1 2 C (F F ) (6.31)

S

ρ V

D = f k

wetk

f k

2 k

Essendo S la superficie bagnata del k-mo componente. Quindi il coefficiente

wetk

di resistenza d’attrito del velivolo é X

D S

f wetk

C = = C (F F ) (6.32)

Df f k

k

2

1/2 ρ V S S

k

6.4.2 Resistenza di pressione

La resistenza di pressione, legata al parziale recupero di pressione a poppa

del velivolo, puó avere diverse origini. La causa comune a tutti i corpi é la

separazione della corrente nella parte posteriore della superficie. Nonostante

non ci sia un modo rapido e sufficientemente accurato per la determinazione

della resistenza di pressione, nel caso del velivolo, costituito da parti sottili e

affusolate, si puó considerare la resistenza di pressione come una percentuale

nota della resistenza di attrito.

Nel caso del velivolo inoltre essa puó essere dovuta alla presenza dell’impianto

di raffreddamento che costringe parte del flusso d’aria a transitare all’interno di

radiatori dove si verificano perdite di energia. Qualora siano note tali perdite

6.4. LA RESISTENZA 49

é possibile stimare la quota parte di resistenza dovuta all’impianto di raffred-

damento.

6.4.3 Resistenza indotta

La velocitá indotta dal sistema di vortici a valle dell’ala ha l’effetto di ruotare

la velocitá della corrente imperturbata dell’angolo di incidenza indotta in cor-

rispondenza dell’ala. Quindi la forza portante oltre a essere minore di quella

dell’ala con allungamento infinito, é anche inclinata all’indietro dello stesso

angolo di incidenza indotta rispetto alla normale alla velocitá imperturbata.

Allora la forza aerodinamica risultante ha una componente nella direzione del

moto e senso opposto alla velocitá che prende il nome di resistenza indotta.

Poiché la velocitá indotta é sempre piccola rispetto alla velocitá di volo, il co-

efficiente di resistenza indotta é dato dal prodotto del coefficiente di portanza

per l’angolo di incidenza indotta 2

C C

L L

C = C = (6.33)

Di L πA πA

Nel caso di ali con distribuzione non ellittica della portanza la formula soprari-

portata si modifica 2

C L

C (6.34)

=

Di πAe

dove e prende il nome di fattore di Oswald. Esso tiene conto sia dell’incremento

di resistenza indotta dovuto alla non ellitticitá della distribuzione di portanza,

sia delle caratteristiche di resistenza del profilo alare. Il fattore di Oswald é

tipicamente compreso fra 0.7 e 0.85. Esso puó calcolarsi con diversi metodi

quali quello di Glauert o quella di Weissinger. I valori di e ottenuti con le sud-

dette procedure sono maggiori di quelli effettivamente riscontrati sui velivoli.

Le equazioni seguenti forniscono una realistica stima del fattore di Oswald in

50 CAPITOLO 6. AERODINAMICA DEL VELIVOLO

funzione delle caratteristiche geometriche dell’ala

Per ali dritte si ha 0.68

− −

e = 1.78(1 0.045A ) 0.64 (6.35)

mentre per ali a freccia 0.68 0.15

− −

e = 4.61(1 0.045A )(cos Λ) 3.1 (6.36)

Nel caso di velivolo completo il fattore di Oswald dipende anche dal posizion-

amento dell’ala rispetto alla fusoliera assumendo valori sensibilmente minori

rispetto a quelli dati dalle precedenti formule.

6.4.4 La resistenza d’onda

A velocitá di volo relativamente elevate gli effetti della comprimibilitá del’aria

sono considerevoli. Sebbene la velocitá di volo possa essere minore di quella del

suono, in alcuni punti sulla superficie del velivolo si hanno velocitá superiori

a quelle del suono locali. Intorno all’aeromobile le regioni supersoniche hanno

estensione che dipende dal numero di Mach di volo e dall’angolo di incidenza.

6.4.5 I profili laminari

I profili laminari sono caratterizzari da una posizione dell’ascissa di spes-

sore massimo molto arretrata e da piccoli raggi osculatori al bordo d’entrata.

Ne segue che alle basse incidenze il gradiente di pressione negativo lungo la

corda facilita il deflusso della corrente in regime laminare con una conseguente

riduzione del coefficiente di resistenza di attrito. All’aumentare dell’angolo

di attacco l’avanzamento del punto di minima pressione causa un repentino

spostamento in avanti del punto di transizione che annulla il benefico effetto

dell’arretramento del punto di massimo spessore. Per questa ragione la polare

6.4. LA RESISTENZA 51

C

L profilo normale

superficie liscia

superficie scabra C

D

Figura 6.4:

del profilo laminare mostra una zona, detta ”sacca di laminaritá”, nella quale

la resistenza e sensibilmente piú bassa rispetto agli altri angoli di attacco (Vedi

Fig. 6.4). L’ampiezza della sacca di laminaritá aumenta all’aumentare dello

spessore relativo del profilo e diminuisce al crescere del numero di Reynolds.

Purtroppo per realizzare in pratica i benefici dei profili laminari si deve re-

alizzare l’ala con particolari accorgimenti: piccola rugositá ed ala esente da

ondulazione. La chiodatura deve essere realizzata con chiodi o rivetti a testa

svasata affogata nella lamiera, mentre le giunzioni delle lamiere devono essere

a ”filo” e non a semplice coprigiunto.

Se da un lato il profilo laminare é particolarmente efficiente nella sacca di

laminaritá, al di fuori presenta coefficienti di resistenza mediamente piú elevati

rispetto ai profili convenzionali e un minore coefficiente di portanza massimo.

Le caratteristiche di stallo sono mediamente peggiori di quelle dei profili nor-

mali poiché in corrispondenza dell’angolo di incidenza critico il coefficiente di

portanza subisce una repentina diminuzione.

Quindi a paritá di spessore relativo, il profilo laminare determina un aumento

delle prestazioni del velivolo dovuto al minore coefficiente di resistenza rispetto

al profilo convenzionale.

A paritá di resistenza aerodinamica l’impiego dei profili laminari consente spes-

52 CAPITOLO 6. AERODINAMICA DEL VELIVOLO

sori percentuali maggiori e quindi un maggiore spazio per gli alloggiamenti

all’interno dell’ala.

6.5 La polare del velivolo completo

In base a quanto illustrato nei paragrafi precedenti, l’equazione della polare

aerodinamica per un velivolo completo é scritta nella forma di Prandtl

2

C L (6.37)

+

C = C

D D0 πAe

dove il fattore di Oswald riassume tutte le caratteristiche riguardanti la re-

é il coefficiente di resistenza a portanza

sistenza indotta dell’ aeromobile, C D0

nulla sviluppata dall’intero aeromobile, mentre C e C sono, rispettivamente

D L

i coefficienti di resistenza e portanza prodotti dal velivolo completo. La (6.37)

rappresenta una parabola simmetrica con fuoco ubicato sull’asse dei C , qundi

D

é rigorosamente valida soltanto nel caso di velivolo con piano di simmetria

x , y . Inoltre la (6.37) non tiente conto né del fenomeno dello stallo, né

B B

delle possibili variazioni del fattore di Oswald prodotte da separazioni locali

del flusso dipendenti dall’angolo di incidenza. Questi effetti, non descritti

nella (6.37), causano sensibili cambiamenti nel diagramma polare rispetto alla

(6.37), specialmente agli alti angoli di attacco. Cionondimeno, al fine di cal-

colare le prestazioni, la (6.37) é una semplice formula che permette il calcolo

della resistenza del velivolo con ragionevole accuratezza.

Nei precedenti paragrafi si é visto che il fattore di Oswald per un’ala isolata

é funzione dalla geometria della pianta alare. Nel caso di velivolo completo il

fattore di Oswald dipende principalmente dal posizionamento dell’ala rispetto

alla fusoliera, mentre dipende meno sensibilmente dalla pianta alare. Si puó

6.5. LA POLARE DEL VELIVOLO COMPLETO 53

assumere con ragionevole criterio che 

 Raccordo ala-fusoliera e 

 

 

 

 ÷

Ala Bassa 0.6 0.7 (6.38)

 

 ÷

Ala Media 0.7 0.8 

 ÷

Ala Alta 0.75 0.85

Nella tabella, del tutto orientativa, si nota un aumento del fattore di Oswald

passando da configurazioni con ala bassa verso geometrie con ala alta. Questo

é causato dall’interferenza fra la fusoliera e lo strato limite del dorso dell’ala, il

quale nella maggior parte dei casi si trova in condizioni di flusso con gradiente

di pressione avverso. Lo strato limite dorsale di un’ala alta non é pratica-

mente perturbato dalla fusoliera, quindi ha un comportamento approssimabile

a quello di un’ ala isolata. Invece configurazioni di ali basse o medie vicino

alla radice, risentono maggiormente degli effetti della fusoliera a causa della

perturbazione provocata da quest’ultima sullo strato limite del dorso alare che

come si é detto é nelle condizioni di gradiente di pressione positivo. Il flusso

che ne deriva determina quindi una separazione in corrispondenza del rac-

cordo ala-fusoliera causando una piú drastica diminuzione della portanza alare

vicino la fusoliera per ali basse o medie e una relativamente piú attenuata per

le geometrie ad ala alta. In base allo schema di voricitá provocata dall’ala,

in corrispondenza del raccordo ala-fusoliera si avrá un conseguente e ulteriore

ripiegamento delle linee vorticose nella direzione della corrente locale determi-

nando un sensibile incremento della resistenza indotta espresso in termini di

diminuzione del fattore di Oswald.

Per quanto attiene il C , questo varia in funzione dei numeri di Mach e di

D 0

Reynolds e, in prima approssimazione, puó esere determinato come la somma

54 CAPITOLO 6. AERODINAMICA DEL VELIVOLO

dei coefficienti di resistenza degli elementi in cui idealmente é suddiviso l’aeromobile

X S wetk

C = C (F F ) (6.39)

D0 f k

k

S

k

é compreso fra 0.01, 0.05 a seconda delle appli-

L’insieme di valori per C D0

cazioni. Nella seguente tabella sono riportati i valori orientativi per diversi

tipi di velivolo. 

 Tipo C D0 

 

 

 

 ÷

Alianti 0.011 0.02 

 

 ÷

Velivoli a getto civili 0.015 0.025 

 (6.40)

 ÷

Velivoli motoelica civili 0.02 0.03 

 

 

 ÷

Velivoli a getto da combattimento 0.015 0.03 

 

 ÷

Velivoli dell’aviazione generale 0.017 0.035 

 ÷

Velivoli ultraleggeri 0.02 0.05

In definitiva si puó stabilire che, ai fini della determinazione delle prestazioni,

, e, A,

le caratteristiche aerodianmiche di un aeromobile sono riassunte da C D0

del velivolo completo.

nonché dal C Lmax

6.5.1 Assetti caratteristici del velivolo

Nei trasporti ha grande interesse conoscere peculiari condizioni di moto quali

1. Condizione di minima velocitá V min

2. Condizione di minima potenza richiesta Π min

3. Condizione di Spinta minima richiesta T min

4. Condizione di minimo del rapporto spinta/velocitá T /V min

poiché sono collegate a condizioni di ottimalitá per quanto riguarda l’efficienza

delle fasi di volo e il consumo di combustibile dipendentemente dal tipo di

propulsore. Queste condizioni sono studiate analizzando il volo rettilineo uni-

6.5. LA POLARE DEL VELIVOLO COMPLETO 55

forme a quota costante, per il quale le equazioni del moto sono le seguenti

T = D (6.41)

L = W

Mediante l’applicazioni delle (6.41), si dimostra che le sopra citate condizioni

si traducono in termini di grandezze aerodinamiche nel modo seguente:

• la condizione V corrisponde all’assetto C

min Lmax

• la condizione Π corrisponde all’assetto di (E C )

min L max

• la condizione T corrisponde all’assetto di E

min max √

• la condizione T /V corrisponde all’assetto di (E/ C )

L max

min

Per ottenere la prima condizione basta volare all’incidenza di stallo, mentre

per ottenere le restanti condizioni bisognerá massimizzare i relativi termini

sopraelencati. Analizziamo ora le differenti condizioni di volo:

Per ottenere il massimo di (E C ) , si consideri allora la funzione di C

L max L

3/2

C L

≡ (6.42)

f (C )

L C (C )

D L

il cui massimo si ha in corrispondenza dell’anullamento della derivata prima

1/2 3/2 dC

df C

3 C D

L

L

≡ − =0 (6.43)

2

dC 2 C C dC

L D L

D

Nell’ipotesi di validitá di andamento parabolico della polare si calcola l’assetto

di potenza minima q

C 3C

= πAe

LΠ D0 (6.44)

C = 4C

DΠ D0

a cui corrisponde un’efficienza aerodinamica a pari a

C 3C πAe

LΠ D0

≡ = (6.45)

E Π C 4C

DΠ D0

56 CAPITOLO 6. AERODINAMICA DEL VELIVOLO

C

L C

Lmax

1/2

(E C )

L max

E

max 1/2

(E /C )

L max C

0 D

Figura 6.5: Condizioni caratteristiche

Per quanto attiene la massima efficienza, si studia ora la funzione

C L

≡ (6.46)

f (C )

L C (C )

D L

il cui massimo é dato dalla soluzione della seguente equazione

df 1 C dC

L D

≡ − =0 (6.47)

2

dC C C dC

L D L

D

Risolvendo rispetto a C l’equazione cosi’ ottenuta, si ha l’assetto di massima

L

efficienza, i.e. q C

C = πAe

LE D0 (6.48)

C = 2C

D D

E 0

L’efficienza massima risulta quindi √ C πAe

C D0

LE

≡ = (6.49)

E max C 2C

DE D0

La formula precedente mostra che la massima efficienza dipende da C e

D0

s Ae

dal prodotto Ae. In particolare, E é una funzione crescente di , il

max C D0

che significa che avere elevati allungamento e fattore di Oswald nonché un

6.5. LA POLARE DEL VELIVOLO COMPLETO 57

relativamente basso determina elevate prestazioni in termini di efficienza

C D0

aerodinamica. √

Per quanto attiene l’assetto relativo a (E/ C ) , esso si trova ricercando i

L max

punti di estremo per la funzione 1/2

C L

f (C ) (6.50)

L C (C )

D L

che ammette un massimo per q C πAe/3

C = D

L 0

T /V (6.51)

C = 4/3C

DT D0

/V

L’efficienza corrispondente é data da √

C 3C πAe

LΠ D0

E = (6.52)

Π C 4C

DΠ D0

√ √

Le tre condizioni (E C C ) sono qui elencate nell’ordine

) , E e (E/ L max

L max max

dell’angolo di incidenza decrescente. A queste tre condizioni corrisponde un’efficienza

s Ae

che aumenta al crescere del parametro . Con riferimento alla Fig. 6.5,

C D0

l’assetto piú cabrato é quello dove si ha il C . Si noti che le due condizioni

Lmax

C ) e (E/ C ) si collocano sul diagramma polare prima e dopo

(E L max L max

la massima efficienza, rispettivamente e ad esse corrisponde la medesima effi-

cienza aerodinamica. La condizione di minima potenza rappresenta un assetto

relativamente cabrato per il quale si ha generalmente che

C < C (6.53)

LΠ Lmax

Tuttavia non é infrequente il caso di aeromobili che presentano elevati allunga-

mento e C , per il quale si ha

D0 C > C (6.54)

LΠ Lmax

58 CAPITOLO 6. AERODINAMICA DEL VELIVOLO

In questo caso l’assetto di minima potenza cosi calcolato non é realizzabile

poiché é stato ottenuto sotto l’ipotesi di polare parabolica. Nel caso in parola il

C di minima potenza sará comunque minore di C , ma sará collocato in un

L Lmax

tratto della polare che devia rispetto all’andamento parabolico e di conseguenza

non é identificabile attraverso un calcolo analitico.

Capitolo 7

Volo orizzontale rettilineo

Nell’ottica della determinazione delle prestazioni del velivolo ci occupiamo di

valutare le grandezze peculiari, quali la spinta e la potenza necessarie nelle con-

dizioni di volo orizzontale rettilineo. Si richiama che con il termine prestazioni

si intendono tutte le caratteristiche del velivolo deducibili attraverso la schema-

tizzazione di punto materiale. L’analisi delle prestazioni nel volo orizzontale

rettilineo fornisce varie grandezze quali la quota massima operativa, la velocitá

massima in funzione della quota, la velocitá di stallo, ecc.

7.1 Velocitá, spinta e potenza necessarie

Si consideri un aeromobile in moto rettilineo uniforme a quota costante. Le

equazioni del moto corrispondenti a tale condizione si ottengono, effettuando

il bilancio delle forze lungo le direzioni coordinate, come caso particolare delle

(4.11). In tal caso γ = 0, si suppone che T = T , T = T = 0 e che β =0 cosi

x y z

da avere una devianza nulla. Allora si ha che ϕ deve essere necessariamente

nullo. Ne segue che le equazioni del moto si scrivono come

T = D (7.1)

L = W

La prima equazione di (7.1), ottenuta attraverso il bilancio delle forze lungo la

direzione x , fornisce la spinta richiesta mentre la seconda, imposta dal bilancio

v 59

60 CAPITOLO 7. VOLO ORIZZONTALE RETTILINEO

L

v

x T D

w W

z w

Figura 7.1: Volo rettilineo uniforme a quota costante

delle forze lungo z , esprime la condizione di sostentamento aerodinamico.

v

Dalla seconda delle (7.1) si calcola la velocitá necessaria:

s 2 W/S (7.2)

V = ρ C L

La (7.2) é una semplice ma importante equazione che mostra come la velocitá

di volo aumenti al crescere del carico alare W/S e come V sia una funzione

crescente della quota tramite la densitá atmosferica. Inoltre la dipendenza di

V dal coefficiente di portanza fa vedere come le basse velocitá di volo siano

raggiunte in corrispondenza degli alti valori del C e quindi dell’angolo di in-

L

cidenza. In particolare si ha la velocitá minima di sostentamento (velocitá di

stallo) quando C raggiunge il suo valore massimo. Nell’ottica della condotta

L

dell’aeromobile, la (7.2) fornisce una tecnica di pilotaggio, detta tecnica canon-

ica, secondo la quale la velocitá é controllata attraverso l’angolo di incidenza,

funzione a sua volta dell’angolo dell’equilibratore.

Si é visto che a spinta necessaria coincide con la resistenza calcolata nelle

7.1. VELOCITÁ, SPINTA E POTENZA NECESSARIE 61

generiche condizioni di volo: ≡

T D (7.3)

n

La spinta necessaria si puó esprimere tenendo conto di entrambe le (7.1), in-

troducendo l’efficienza aerodinamica W (7.4)

T =

n E

oppure la si puó utilmente scrivere in funzione della velocitá di volo tenendo

presente l’espressione della polare parabolica del velivolo Infatti

1 1

2 2 2

T = ρ V S C = ρ V S (C + kC ) (7.5)

n D D0 L

2 2

quindi ricavando il C dalla seconda delle (7.1) come

L 2W/S (7.6)

C =

L 2

ρV

la spinta necessaria si scrive 2

1 1

2 k W B

2 2

T = ρSC V + A V + (7.7)

n D0 2 2

2 ρ S V V

in cui le quantitá A e B risultano implicitamente definite. Una grandezza utile

ai fini del calcolo delle prestazioni é la spinta unitaria T /W , espressa, per

n

mezzo della (7.7 ) come

1 2 k W/S 1 b

1

T 2 2

= ρ C V + a V + (7.8)

D0 2 2

W 2 W/S ρ V V

La spinta necessaria é quindi data dalla somma di due termini, il primo dei

quali é parabolico crescente con la velocitá ed é causato dalla resistenza paras-

sita del velivolo, mentre il secondo, decrescente con la velocitá, é espresso

da una iperbole cubica che rappresenta il contributo della resistenza indotta.

Dalla 7.8, la spinta unitaria dipende dal carico alare e dalla quota (tramite la

62 CAPITOLO 7. VOLO ORIZZONTALE RETTILINEO

ρ). Il secondo termine risulta rilevante alle basse velocitá poiché, in accordo

con la 7.2, la resistenza indotta fa sentire la sua influenza a elevati C .

L

L’analisi delle equazioni (7.7) o (7.8) mostra che la spinta necessaria presenta

un minimo in corrispondenza di assegnati velocitá di volo e angolo di attacco.

In base all’equazione (7.4) e in accordo con quanto visto nel capitolo 5, tale

condizione corrisponde all’assetto di efficienza massima. Quindi la condizione

di spinta minima puó essere calcolata attraverso la minimizzazione delle fun-

zioni date da (7.7) o (7.8) oppure, attraverso la (7.4), assumendo E = E .

max

La velocitá necessaria di spinta minima V si calcola attraverso la (7.2)

E

v

s u

u

2W/S 2W/S

t √

V = = (7.9)

E ρC ρ πAeC

LE D0

Tale risultato puó anche essere ottenuto considerando la spinta necessaria in

relazione alla velocitá. Si parte dall’equazione (7.7) e, per ottenere la spinta

minima, si studia l’andamento analitico della (7.7). Il minimo della spinta si

dT =0, i.e.

ha per dV dT B

= 2AV 2 = 0 (7.10)

3

dV V

Esplicitando rispetto a V e tenuto conto delle espressioni di A e B si ha

v

u

u 2W/S

t √ (7.11)

V = ρ πAeC D0

che é evidentemente lo stesso risultato ottenuto con la prima procedura.

Ora passiamo al calcolo della potenza necessaria. Questa é per definizione la

potenza occorrente per vincere la forza aerodinamica nelle condizioni generiche

di volo e si ottiene come il prodotto fra la spinta necessaria e la velocitá di volo

W

Π = T V = V (7.12)

n n E

o in alternativa B

3

Π = AV + (7.13)

V

7.1. VELOCITÁ, SPINTA E POTENZA NECESSARIE 63

z

T T

T T

min min

V V

E

Figura 7.2: Curve di spinta necessaria

Si osservi la 7.13. Essa e’ una funzione della velocitá che contiene due addendi,

il primo dei quali, rappresentato da una parabola cubica, fornisce la potenza

occorrente per vincere entrambe le resistenze di attrito e di profilo, mentre il

secondo addendo, rappresentato da un iperbole equilatera, dá la potenza spesa

per vincere la resistenza indotta. La potenza necessaria ammette un minimo

in corrispondenza di un prefissato assetto che come si é mostrato nel capitolo

C . In alternativa la condizione

5 corrisponde al massimo del termine E L

di potenza minima si puó ottenere tramite uno studio analitico della (7.13).

Si é visto che questa condizione si raggiunge per valori relativamente elevati

dell’angolo di incidenza e puó verificarsi nella zona nonlineare della legge C =

L

C (α). Ammettendo che esso sia contenuto entro la zona lineare, i coefficienti

L

di portanza e di resistenza corrispondenti sono quelli giá ottenuti nel capitolo

5.

L’analisi delle spinte e delle potenze necessarie mostra che ad ogni quota cor-

risponde una differente curva di spinta o potenza necessarie, mentre sarebbe

auspicabile disporre di un’unica legge che riassuma gli andamenti di tutte le

curve al variare della quota. A tale scopo, anziché considerare la velocitá di

64 CAPITOLO 7. VOLO ORIZZONTALE RETTILINEO

C’’

C’

C

z Π

Π A’’ e

A’

A B’’

B’

B V V

e

Figura 7.3: Curve di potenza necessaria

volo V (velocitá vera), si prenda la cosiddetta velocitá equivalente definita

come quella velocitá ottenuta al livello del mare che riproduce la stessa pres-

sione dinamica corrispondente alla quota e velocita di volo, i.e.

1

1 2 2

ρV = ρ V (7.14)

0 e

2 2

da cui V = V δ. Inoltre si introduca la potenza equivalente definita come

e

Π = Π δ. Stanti tali definizioni, se si riporta T e Π in funzione della velocitá

e e

equivalente si ottengono due singole curve dalle quali si puó ricavare, rispetti-

vamente, spinta e potenza disponibile per qualsiasi quota. Le curve riportate

nella Fig. 7.2, a sinistra, mostrano l’andamento della spinta necessaria in fun-

zione della velocitá a differenti quote. Sebbene la velocitá necessaria aumenti

con la quota, la spinta corrispondente rimane inalterata. A destra é illustrato

l’andamento della spinta necessaria in funzione della velocitá equivalente. E’

un’unica legge che riassume tutte le precedenti e che coincide con la T = T (V )

al livello del mare.

La potenza necessaria (vedi Fig. 7.3 a sinistra) aumenta con la quota in

proporzione alla velocitá di volo ed i punti corrispondenti ai medesimi angoli

7.1. VELOCITÁ, SPINTA E POTENZA NECESSARIE 65

C Π

B

Lmax A C C’

C

L B’ A’

V

C V

stall

D −

Figura 7.4: Corrispondenza fra i punti della polare e i punti sul piano Π V

di incidenza, indicati con A, A’, A” ecc., sono allineati lungo rette uscenti

dall’origine. La Fig. 7.3, a destra, mostra la legge di variazione della potenza

equivalente in funzione di V , coincidente con la Π = Π(V ) al livello del mare.

e

Le curve di spinta o potenza necessaria dipendono dalle caratteristiche aerodi-

namiche del velivolo, in particolare dalla sua polare. Le curve qui ottenute sono

conseguenza del fatto che l’espressione della polare é di tipo parabolico e non

comprende il fenomeno dello stallo. Se si tiene conto del fenomeno dello stallo,

la polare aerodinamica del velivolo presenta un massimo in corrispondenza di

C = C (Vedi Fig. 7.4) e la relativa zona di raccordo fra le alte e le basse

L Lmax

incidenze. La linea continua della polare é relativa all’andamento effettivo dei

coefficienti aerodinamici, mentre la linea punteggiata rappresenta l’andamento

parabolico esteso agli angoli di incidenza maggiori di quelli di stallo. Ció

significa che si puó ottenere il medesimo coefficiente di portanza per due dis-

tinti angoli di incidenza come indicato dai punti A e C. Conseguentemente le

curve di spinta e potenza necessarie si modificano rispetto al caso analitico ed

ammettono, per le basse velocitá, due valori della spinta (o potenza) rappre-

sentati dai punti A’ e C’, corrispondenti di A e C. Cosı́ la linea punteggiata nel

grafico delle potenze necessarie corrisponde alla legge parabolico della polare

estesa ad angoli d’attacco maggiori dei quelli di stallo. Le leggi di spinta e

66 CAPITOLO 7. VOLO ORIZZONTALE RETTILINEO

(b)

(a) T

C

D *s

M

*i

M C

L M *i *s

V M a M a

Figura 7.5: Influenza del numero di Mach sulla spinta necessaria

potenza cosi’ ottenute sono calcolate avendo trascurato l’effetto del numero

di Mach sulla polare. Tale approssimazione é lecita qualora si considerino

velocitá opportunamente basse cosi che gli effetti della compressibilitá non si

manifestino. Nel caso di velivoli da trasporto a getto o di velivoli da combat-

timento, le velocitá che si raggiungono determinano effetti di compressibilitá

della corrente che possono causare elevate variazioni dei coefficienti aerodinam-

ici. Tali variazioni, tradotte in leggi di spinta e potenza necessarie, modificano

significativamente i diagrammi visti in precedenza alle elevate velocitá di volo.

Infatti se il numero di Mach di volo supera quello critico, significa che c’e’

un punto sulla superficie dell’aeromobile cui compete una velocitá dell’aria

superiore a quella locale del suono. Ció determina aumenti di C differenti

D

a seconda dell’angolo di incidenza cosi’ come é illustrato nella figura 7.5(a).

Oltre il numero di Mach critico superiore il C decresce con legge pressoché

D

monotona. Per quanto attiene gli effetti della viscositá, nel capitolo 5 si é

visto che il numero di Reynolds, oltre un determinato valore, influenza assai

modestamente il C , a causa della rugositá e della finitura superficiale delle

D 0

superfici dell’aeromobile.

7.1. VELOCITÁ, SPINTA E POTENZA NECESSARIE 67

Ne segue che la spinta necessaria (Fig. 7.5 (b)), per velocitá inferiori al numero

di Mach critico inferiore, mostra un andamento identico a quello precedente-

mente illustrato, mentre per valori compresi fra il numero di Mach critico

inferiore e superiore presenta un significativo aumento. Per numeri di Mach di

volo superiori al numero di Mach critico superiore si ha un incremento pres-

soché monotono della spinta con la velocitá.

Si tenga presente che gli effetti della compressibilitá si manifestano anche sulla

portanza. Quando la corrente supera la velocitá del suono locale, nella zona

posteriore del corpo, la pressione deve necessariamente aumentare attraverso

opportuni processi di compressione del fluido. Questi processi, che si mani-

festano con la comparsa di onde d’urto sulla superficie dell’ala, sono sede di

repentini aumenti di pressione nella direzione del flusso e tendono a distaccare

lo strato limite dalla superficie dell’ala. Cosi’ l’eventuale distacco della cor-

rente provoca una considerevole diminuzione del coefficiente di portanza (stallo

d’urto).

7.1.1 Velocitá massima propulsiva

Uno dei parametri che definisce le prestazioni di un aeromobile nel volo livellato

é la velocitá massima propulsiva V che si ottiene nelle condizioni di massimo

max

grado di ammissione. Le equazioni del moto corrispondenti sono quelle viste

nel paragrafo precedente T = D (7.15)

L = W

Dunque la V si ottiene come intersezione della curve T (V ) e T (V ). La

max n

seconda delle 7.15 fornisce il coefficiente di portanza relativo alla V , che é

max

2W

C = (7.16)

L 2

ρSV max

68 CAPITOLO 7. VOLO ORIZZONTALE RETTILINEO

Poiché la velocitá é massima, il C é il minimo necessario alla sostentazione,

L

allora fintanto che la quota é opportunamente limitata, la resistenza indotta é

'

piccola rispetto a quella parassita cosi’ da avere C C .

D D0

E’ opportuno ora distinguere i diversi tipi di propulsione.

Nel caso ci si riferisca al motore a getto, come é noto la spinta é praticamente

costante con la velocitá, mentre diminuisce all’aumentare di h secondo la legge

T (h) = T ψ(h) (7.17)

0

essendo T la spinta al suolo e ψ un fattore di riduzione che assume valori

0

prossimi alla densitá relativa δ. Si ha

s s s

2T 2T 2T ψ

0

'

V = = (7.18)

max ρSC ρSC ρ δSC

D D0 0 D0

Ora, in base a quanto detto, il termine ψ δ, dunque con buona approssi-

mazione entrambi i termini tendono a compensarsi. Pertanto aldisotto di una

certa quota (diciamo h̄) la velocitá massima si mantiene circa costante, men-

tre aldisopra di h̄, il coefficiente di resistenza indotta non é piú trascurabile

rispetto a C a causa dell’elevato coefficiente di portanza necessario. Ne segue

D0

una sensibile riduzione della V con la quota.

max

Per la motoelica a giri costanti, la potenza disponibile é circa costante con la

velocitá, mentre varia con la quota con una legge

Π (h) = Π ψ(h) (7.19)

m m0

essendo h e Π (h ) la quota di ristabilimento del motore e la corrispondente

n m n

potenza, mentre ψ(h) rappresenta il fattore di riduzione di potenza con la

quota. Nel caso di motore aspirato ψ diminuisce all’aumentare di h similmente

a δ, mentre nel caso di motore con ristabilimento in quota ψ é circa costante

7.1. VELOCITÁ, SPINTA E POTENZA NECESSARIE 69

per h < h , mentre diminuisce aldisopra di h . Nel caso di motoelica ci si

n n

riferisce alle potenze, allora la velocitá massima é data da:

s

s ψη

2Π η 2Π

m m0

3 3

'

V = (7.20)

max ρSC ρ δSC

D 0 D0

A partire dal suolo, per un motoelica aspirato la velocitá massima é circa

costante con la quota a causa della compensazione di Ψ con δ, mentre aldiso-

' non é piú verificata,

pra di una assegnata quota l’approssimazione C C

D D0

cosi’ la resistenza indotta aumenta e la V diminuisce. Nel motore con rista-

max

bilimento in quota, si ha un sensibile aumento della V con la quota fino alla

max

quota di ristabilimento, aldisopra della quale la V diminuisce significativa-

max

mente.

Per la motoelica a passo fisso il calcolo della V é complicato dal fatto che

max

il regime del motore e quindi la potenza disponibile variano con la velocitá.

7.1.2 Quota di tangenza

Uno dei parametri che definisce le prestazioni di un aeromobile nel volo livel-

lato é la quota di tangenza teorica h . Essa é la massima quota operativa

t

dell’aeromobile ed é definita dalla condizione di tangenza della curva di spinte

(potenze) necessarie con la curva delle spinte (potenze) disponibili a gradi di

ammissione unitario. Allora le equazioni del moto corrispondenti sono quelle

viste nel paragrafo precedente. Anche in tal caso bisogna distinguere il sistema

di propulsione impiegato.

Nel caso del motore a getto, essendo la spinta costante con la velocitá, la quota

di tangenza si ottiene alla massima efficienza, i.e. √

q πAeC D0

≡ ≡

≡ πAeC , C C = 2C , E E =

C C = D D D D max

L L 0 E 0

E 2C D0 (7.21)

70 CAPITOLO 7. VOLO ORIZZONTALE RETTILINEO

La condizione che definisce la quota di tangenza é quindi

W

≡ (7.22)

ψ(h ) = T

T T t nmin

d d0 E max

Si ha allora W

ψ(h ) = (7.23)

t E T

max d0

dove ψ(h) decresce all’aumentare di h. Ne segue che la quota di tangenza

dipende da fatti aerodinamici e propulsivi. h cresce con il rapporto spinta-

t

peso al livello del mare e all’aumentare dell’efficienza massima. Allora, sia

allungamento alare che fattore di Oswald giocano un ruolo importante nella

determinazione della quota di tangenza, in particolare h é una funzione cres-

t

cente del prodotto Ae, mentre diminuisce all’aumentare di C .

D0

Per la motoelica a giri costanti la quota di tangenza si ottiene alla minima

potenza necessaria, poiché la potenza disponibile é circa costante con la ve-

locitá. In tali condizioni si ha √

q 3πAeC D0

≡ ≡

3πAeC , C C

C C = 4C

= , E E =

D0 D DΠ

L LΠ D0 Π 4C D0 (7.24)

per cui la quota di tangenza é data dalla relazione

Π nmin 0

≡ (7.25)

Π η Π ψ(h )η = q

m d0 t δ(h )

t

che esplicitata rispetto a h t q Π n min0

≡ (7.26)

ψ(h ) δ(h ) g(h ) =

t t t Π η

m0

Dove g é una funzione decrescente della quota. In entrambi i casi di motore

s Ae

aspirato e con ristabilimento in quota, h aumenta con , con la potenza

t C D0

al suolo e con il rendimento dell’elica, e nel caso particolare di motore con

ristabilimento in quota h aumenta anche con la quota di ristabilimento.

t

Capitolo 8

Volo in salita

Una fase relativamente importante nella valutazione delle prestazioni del ve-

livolo é la fase di salita.

Nel caso dei velivoli da trasporto subsonici e dell’aviazione generale, da un

punto di vista operativo, questa fase é realizzata mantenendo l’angolo di inci-

denza prefissato e la traiettoria che ne consegue é sensibilmente rettilinea.

Questa condotta é legata al fatto che il pilota, durante la fase di salita,

mantiene la manetta e l’angolo dell’equilibratore in una posizione assegnata

cosi’ da avere un angolo d’attacco costante.

Nei velivoli da trasporto a getto le modalitá di salita possono essere differenti

dipendentemente da velocitá e quota di volo. Se si vuole che il numero di Mach

si mantenga, entro certi limiti, costante é pari al numero di Mach di progetto,

si hanno salite effettuate a numero di Mach costante.

Pertanto al fine di valutare le differenze esistenti fra le varie modalitá di ese-

cuzione della fase di salita saranno considerati i seguenti programmi di volo

• salita a velocitá costante

• salita a angolo di attacco (velocitá equivalente) costante

• salita a Mach costante 71

72 CAPITOLO 8. VOLO IN SALITA

x L

w T D

v W γ

z w Figura 8.1: Fase di salita

8.1 Salita a velocitá costante

Nella presente analisi si considera un aeromobile che esegua una traiettoria in

salita rettilinea a velocitá costante. Le equazioni del moto corrispondenti a

tale condizione si ottengono dal il bilancio delle forze lungo le due direzioni x v

e z , come caso particolare delle (4.11). γ é assegnato ed é maggiore di zero

v

e, anche in tal caso, si suppone che T = T , T = T = 0 e che la velocitá

x y z

di volo sia giacente nel piano di simmetria del velivolo cosi da avere β = 0 e

conseguentemente una devianza nulla, nonché ϕ =0

− −

T D W sin γ = 0 (8.1)

−L + W cos γ = 0

La prima delle (8.1), ottenuta attraverso il bilancio delle forze lungo la direzione

x , fornisce la spinta occorrente al volo mentre la seconda, imposta dal bilancio

v

delle forze lungo z , esprime la condizione di sostentamento aerodinamico in

v

salita. Dalla seconda delle (8.1) si ricava la velocitá necessaria:

s 2 W/S cos γ (8.2)

V = ρ C L

8.1. SALITA A VELOCITÁ COSTANTE 73

L’espressione cosi’ calcolata differisce dalla (7.1) per la presenza del termine

cos γ ed esprime gli stessi fatti evidenziati nel caso di volo rettilineo a quota

costante. E’ opportuno rilevare che, nelle applicazioni dell’aviazione generale

e civile, il valore dell’angolo di rampa é relativamente modesto nel senso che

difficilmente supera i 15 . Come vedremo questa limitazione é legata alle carat-

teristiche del propulsore impiegato unitamente al peso dell’aeromobile. Fanno

eccezione alcuni velivoli da caccia a getto, i quali hanno un rapporto spinta-

peso relativamente elevato che consente loro traiettorie anche verticali.

Nel seguito della trattazione, salvo avviso contrario, ci riferiremo ai velivoli

≈ 6

per i quali é lecito approssimare cos γ 1 essendo γ = 0.

Inoltre si osservi che nel moto ascensionale la quota varia col tempo e con essa

la densitá ρ. Ne consegue una legge di velocitá che, nel caso di volo ad angolo

1

di attacco costante, varia come . Pertanto entrambe le (8.1) costituiscono

ρ

una approssimazione del volo in salita. Si puó dire che esse sono ottenute con-

siderando in modo approssimato la traiettoria di salita come una successione

di stati di equilibrio.

Calcoliamo la spinta necessaria al volo in salita tenendo presente l’espressione

della polare parabolica nonché l’espressione del coefficiente di portanza ricav-

abile dalla seconda delle (8.1) 2 1

2 k W

1 2 2

ρSC V + cos γ

T = D0

n 2

2 ρS V (8.3)

2

B sin γ

B

2

2

≡ ≡ −

A V + cos γ T n0

2 2

V W V

Quindi la spinta per unitá di peso é data da 2

b B sin γ

T

T n0

2 2 (8.4)

= a V + cos γ

2 2

W V W W V

con A, B, a e b precedentemente definiti. Per la potenza e la potenza unitaria

74 CAPITOLO 8. VOLO IN SALITA

si ha, rispettivamente 2

B sin γ

2

3 ≡ −

Π = A V + cos γ Π B

n 0

V V (8.5)

2

b Π B

Π sin γ

n0

3 2 ≡ −

= a V + cos γ+

W V W W V

L’analisi delle equazioni soprescritte mostra che spinta a potenza necessarie

differiscono dalle corripondenti grandezze nel volo orizzontale per l’aggiunta

2 ≈

dei termini contenenti sin γ. L’ipotesi per cui cos γ 1 consente di affermare

che spinta e potenza necessarie in salita sono uguali alle relative grandezze nel

volo orizzontale.

Definiamo ora il rateo di salita RC (rate of climb) come la componente verticale

della velocitá di volo (velocitá ascensionale), i.e.

RC V sin γ (8.6)

dove sin γ prende il nome di gradiente di salita.

Gradiente e rateo di salita RC sono esprimibili per mezzo delle equazioni del

moto nel modo seguente −

T T n

sin γ = W (8.7)

Π Π

d n

RC = W

L’ultima delle 8.7 puó anche essere dedotta dal teorema di conservazione

dell’energia meccanica in cui si suppone che la fase di salita sia compiuta

a velocitá costante.

La (8.7) mostra che il rateo di salita é proporzionale all’eccesso di potenza

Π Π che a sua volta dipende dal grado di ammissione e dalle condizioni di

d n

volo in atto. La (8.7) é una importante relazione che definisce le prestazioni di

salita dell’aromobile. Inoltre la (8.7) unitamente alla 8.2 fornisce la cosiddetta

tecnica di pilotaggio canonica secondo la quale la velocitá di volo é controllata

8.2. SALITA AD ANGOLO DI ATTACCO (VELOCITÁ EQUIVALENTE) COSTANTE75

tramite l’angolo di incidenza (equilibratore), mentre la l’angolo di rampa o il

rateo salita salita mediante il grado di ammissione δ .

T

8.2 Salita ad angolo di attacco (velocitá equiv-

alente) costante

L’analisi precedente ha dimostrato che l’ipotesi V = cost potrebbe, in alcuni

casi, non essere adeguata per lo studio della fase di salita poiché contrasta con

l’ipotesi operativa di angolo di attacco costante al variare della quota.

Allo scopo di tenere conto delle variazioni della velocitá dovute alla quota, é

necessario considerare, nelle equazioni del moto, i termini di accelerazione

dV

− −

T D W sin γ = m dt (8.8)

L W cos γ = mV dt

Se si analizza una fase di salita rettilinea (γ =cost), le equazioni del moto si

esprimono come segue dV

− −

T D W sin γ = m dt (8.9)

L W cos γ = 0

Allora si ottiene la (8.2), che in forma differenziale assume la forma

dρ dV dC

dW L

= +2 + (8.10)

W ρ V C L

Trascurando le possibili variazioni del peso prodotte dal consumo di com-

bustibile e ricordando che la manovra é eseguita mantenendo costante l’angolo

di incidenza si perviene alla relazione

dV 1 dρ 1 d ln ρ

− ≡−

= dh (8.11)

V 2 ρ 2 dh

che esprime le variazioni della velocitá di volo con la quota.

1 d ln ρ

dV −

= V (8.12)

dh 2 dh

76 CAPITOLO 8. VOLO IN SALITA

Poiché la densitá dell’aria diminuisce con la quota, la velocitá necessaria au-

menta con di h mentre la velocitá equivalente, stante la sua definizione, rimane

costante. Si puó quindi scrivere la prima delle 8.9 nella forma seguente

1 dV dh

T D = W (sin γ + ) (8.13)

g dh dt

Introducendo la (8.12) nella (8.13) si ha 2

V d ln ρ

− − ) (8.14)

T D = W sin γ(1 2g dh

e in termini di potenze 2

V d ln ρ

− −

Π D V = W RC(1 ) (8.15)

2g dh

Rispetto alle espressioni ottenute nel caso di salita a velocitá costante nelle

(8.14) e (8.15) compaiono i termini correttivi che tengono conto delle variazioni

di velocitá legate all’ipotesi α =cost. Questi termini rendono spinta e potenza

necessarie maggiori rispetto al caso di volo rettilineo orizzontale poiché nel

2

V d ln ρ

corso della salita il velivolo accelera. Inoltre il termine aumenta la

2g dh

sua influenza sulle prestazioni al crescere della velocitá di volo. Ne consegue

che le prestazioni di salita, espresse in termini di angolo di rampa e rateo di

salita, risulteranno minori rispetto al volo orizzontale. Infatti

2 d ln ρ

V

− )

sin γ = sin γ /(1

0 2g dh (8.16)

2

V d ln ρ

RC = RC /(1 )

0 2g dh

Il termine correttivo si puó stimare se si conosce la legge della densitá con

la quota. Se ci si riferisce ad un modello di atmosfera nel quale la ρ ha un

andamento esponenziale h

h

− −

) = ln ρ

ln ρ = ln(ρ e (8.17)

h 0 0

0 h 0

8.3. SALITA A MACH COSTANTE 77

dove h é dell’ordine dei 10000 m poiché questo é l’ordine di grandezza della

0

quota media dell’atmosfera. Il gradiente di densitá é quindi

1

d ln ρ −

= (8.18)

dh h 0

che sostituito nelle espressioni di spinta e potenza fornisce le seguenti formule

2

V

− ) (8.19)

T D = +W sin γ(1 + 2gh 0

2

V

− ) (8.20)

Π D V = W RC(1 + 2gh 0 '

Per fare un esempio numerico, si consideri un aeromobile in salita a 300 kts

2

V e pari a circa 0.13 ció significa che, in termini di angolo

155 m/s. Allora 2gh 0

di rampa e rateo di salita, le prestazioni di salita valutate con il programma di

volo a velocitá costante sono sovrastimate del 13 % rispetto al caso di salita

con angolo di incidenza costante.

8.3 Salita a Mach costante

La salita a numero di Mach costante é un programma di volo seguito dai velivoli

da trasporto a getto.

Anziché considerare le equazioni del moto, la presente analisi é condotta at-

traverso la (4.21) che esprime le variazioni di energia meccanica del velivolo

dH

in funzione dell’eccesso di potenza. Nella (4.21) compare il termine che

dt

fornisce il contributo di quota e velocitá all’energia totale del sistema.

dH dh V dV

= + (8.21)

dt dt g dt

V

Se durante il volo il numero di Mach M = si mantiene costante, tenuto

a

√ kRΘ, durante la salita la velocitá di

conto che la velocitá del suono é a =

volo cambia seguendo la legge di variazione della temperatura dell’aria.

dV da 1 dΘ

= = (8.22)

V a 2 Θ

78 CAPITOLO 8. VOLO IN SALITA

dalla quale si ricava V dΘ

dV = (8.23)

dh 2Θ dh

Si puó esprimere l’accelerazione dell’aeromobile attraverso le variazioni di ve-

locitá imposte dal cambio di quota

dV V

dV dh dΘ

= = RC (8.24)

dt dh dt 2Θ dh

Allora la potenza richiesta per questa fase di volo si scrive

2 dΘ

dH V

Π = Π + W = Π + W RC (1 + ) (8.25)

n n

dt 2gΘ dh

e se si tiene conto dell’espressione della velocitá del suono si ha

kR dΘ 2

Π = Π + W RC (1 + M ) (8.26)

n 2g dh

La spinta in salita si ottiene dividendo la potenza per la velocitá. Per cui

kR 2

M ) (8.27)

T = D + W sin γ (1 + 2g dh

dove la quantitá entro la parentesi costituisce il termine correttivo rispetto al

programma di salita a V = cost. dΘ < 0, spinta e

Le (8.26) e (8.27) mostrano che nella troposfera, essendo dh

potenza richiesta sono minori di quelle calcolate con il programma di volo a

velocitá costante. Alle basse velocitá, dove M < 0.3 il termine correttivo,

proporzionale al quadrato del numero di Mach, ha una trascurabile influenza,

mentre nel caso di volo supersonico (vedi ad es. il Concorde e velivoli da

caccia), puó avere una considerevole influenza sulle prestazioni di salita.

Nel caso di un velivolo supersonico in salita nella troposfera a M = 1.8, con-

dΘ −1

−2 −1

2

' −0.0065

siderato che k = 1.4, R 287 m s K , = K m , allora

dh

kR 2 '

M 0.43, valore, quest’ultimo tutt’altro che trascurabile rispetto

2g dh

all’unitá.

8.4. LE PRESTAZIONI DI SALITA 79

8.4 Le prestazioni di salita

Le caratteristiche del volo in salita rivestono somma importanza poiché con-

tribuiscono a fornire il quadro generale delle prestazioni dell’aeromobile. Le

grandezze importanti ai fini della valutazione delle prestazioni di salita sono il

rateo di salita RC e l’angolo di rampa γ in relazione alla velocitá di volo. Si

fa riferimento a fasi di salita a velocitá costante per le quali valgono le

− −

Π (V, h, δ ) Π (V, h) T (V, h, δ ) T (V, h)

d T n d T n

RC = , sin γ = (8.28)

W W

Nel caso di salita a velocitá equivalente costante o a numero di Mach costante le

precedenti relazioni saranno modificate con gli opportuni fattori di correzione

definiti nel relativo paragrafo. Le (8.28) sono due espressioni equivalenti che

mostrano come RC e sin γ siano funzioni proporzionali, rispettivamente, agli

eccessi di potenza e di spinta che a loro volta dipendono dalla velocitá. In base

alle (8.28) si possono tracciare i diagrammi del rateo di salita e dell’angolo

di rampa in funzione della velocitá. Tali diagrammi possono essere tracciati

a partire dai diagrammi della spinta (potenza) utile e della spinta (potenza)

necessaria. Allo scopo di analizzare le prestazioni di salita, é opportuno dis-

tinguere i diversi tipi di propulsione e tenere conto che sia potenza equiva-

lente che spinta necessaria, a paritá di velocitá equivalente, non variano con

la quota. Per la motoelica a giri costanti, la potenza disponibile, oltre una

certa velocitá si mantiene praticamente costante. Aumentando la quota, se

il motore non é adattato, la potenza disponibile diminuisce a fronte di una

potenza necessaria equivalente costante. Ne segue una sensibile diminuzione

del rateo di salita e dell’angolo di rampa al crescere della quota. Il rateo di

salita massimo (salita rapida) si ha per la minima potenza necessaria, mentre

−T

l’angolo di rampa risulta massimo quando é massimo l’eccesso di spinta T .

d n

80 CAPITOLO 8. VOLO IN SALITA

Ora, l’andamento della spinta disponibile della motoelica a giri costanti é, con

buona approssimazione, un’iperbole equilatera, mentre la spinta necessaria a

bassa velocitá é limitata dal fenomeno dello stallo, pertanto il massimo gradi-

ente di salita (massimo γ, salita ripida) si ha per angoli di incidenza prossimi

allo stallo. Se il motore é adattato in quota si ha comunque un decadimento

delle prestazioni in termini di RC e γ ma di minore entitá rispetto al motore

aspirato. Infatti al di sotto della quota di ristabilimento si puó ritenere che, a

paritá di cose, la potenza disponibile sia costante, mentre la potenza necessaria

cresce all’aumentare della quota.

Nella motoelica a passo fisso occorre tenere conto dell’andamento della potenza

disponibile. In tal caso il rateo di salita massimo, in generale, non si ottiene alla

minima potenza necessaria, mentre la salita ripida si ha per angoli d’attacco

prossimi allo stallo.

Per il velivolo con motore a getto la spinta disponibile é praticamente costante

con la velocitá, cosi’ la potenza disponibile rappresenta una retta uscente

dall’origine. Pertanto la salita ripida (γ ) corrisponde alla massima effi-

max

cienza aerodinamica, mentre il massimo rateo di salita si calcola misurando

la distanza (in termini di potenza) fra retta parallela alla retta delle potenze

disponibili e tangente alla curva delle potenze necessarie e la retta delle potenze

disponibili. Allora la velocitá di volo di massimo RC é quindi maggiore della

velocitá di massima efficienza.

Capitolo 9

Volo in manovra

Con il termine manovra si intende una generica fase di volo nella quale l’aeromobile

cambia il proprio stato di moto da un assegnato valore iniziale a uno finale.

A causa di tali variazioni, sul velivolo agiscono forze di inerzia che causano

rilevanti sollecitazioni, di natura strutturale per la struttura dell’aeromobile e

fisica per il pilota e l’eventuale equipaggio.

9.1 Fattore di carico

Per analizzare le generiche manovre del velivolo é utile introdurre il concetto

di fattore di carico.

La risultante delle forze di massa agenti sull’aeromobile é data dalla somma

−ma.

vettoriale del peso mg e della forza d’inerzia Pertanto nel riferimento

solidale all’aeromobile, un corpo di peso W é soggetto al ”peso apparente”

W −

(g a) (9.1)

g

dove la quantitá − −

g a W F

n = (9.2)

g W

prende il nome doi fattore di carico ed esprime il rapporto fra il ”peso ap-

parente” e il peso effettivo. F é la risultente delle forze esterne data dalla

81

82 CAPITOLO 9. VOLO IN MANOVRA

somma della spinta propulsiva T, del peso W, e della forza aerodinamica

≡ −(D,

F S, L). Il fattore di carico é quindi una quantitá vettoriale definita

per mezzo delle sue proiezioni sugli assi coordinati.

Nel riferimento vento le componenti del fattore di carico sono

− S L

D T , n = , n = (9.3)

n = y z

x W W W

Queste formule esprimono le tre componenti del fattore di carico in relazione

alle forze agenti sul velivolo. Riveste somma importanza la componente n ,

z

spesso indicata con n, che é usata per riassumere la caratteristica principale

della manovra.

9.2 Velocitá, spinta e potenza necessarie in

manovra

Nel corso di una manovra il fattore di carico n é in genere diverso dall’unitá

z

e sia la spinta sia la potenza richiesta cambiano significativamente dipenden-

temente dalle condizioni della manovra stessa.

Allo scopo di valutare gli effetti della manovra, si consideri un aeromobile che

dV 6 6

esegua una manovra con = 0, n = 1. Il sistema di equazioni che descrive

z

dt

il moto dell’aeromobile nel caso particolare si scrive

W dV

− −

T D W sin γ = g dt (9.4)

L = W n z

nel quale la prima equazione é la stessa della prima delle (4.11), mentre la

seconda riassume la condizione di volo sostentato e sostituisce le restanti due

equazioni della dinamica. Dalla seconda delle (9.4) si ricava la velocitá neces-

saria in manovra s √

2W/S n z n (9.5)

= V

V = z

0

ρC L

9.2. VELOCITÁ, SPINTA E POTENZA NECESSARIE IN MANOVRA 83

dove V indica la velocitá necessaria in volo livellato. La (9.5) mostra le stesse

0

peculiaritá essenziali dell’equazione (7.2), valida nel caso di volo orizzontale,

in piú essa stabilisce come, a paritá di C , la velocitá necessaria aumenti con

L

il fattore di carico e che la velocitá di stallo, ottenuta in corrispondenza di

C , non assume un unico valore ma un insieme di valori dipendenti dal

Lmax

fattore di carico.

Per quanto riguarda la spinta necessaria, essa si calcola tenendo conto dell’effetto

del fattore di carico attraverso la seconda delle 9.4.

1 B B B

2 2 2 2 2

≡ ≡ −

T D = ρV SC = AV + n AV + + (n 1) (9.6)

n D z z

2 2 2

2 V V V

nella quale la somma dei primi due addendi é la spinta necessaria al volo

rettilineo T alla medesima velocitá, mentre l’ultimo termine, che si manifesta

0

come una variazione della resistenza indotta, fornisce gli effetti della manovra.

Allora si puó affermare che la spinta richiesta é

B 2 −

(n 1) (9.7)

T = T + z

0 2

V

La potenza necessaria in manovra si ottiene come prodotto della corrispondente

spinta necessaria per la velocitá. B 2 −

Π = Π + (n 1) (9.8)

0 z

V 2 −

Sia nella (9.7) che nella (9.8), entrambi i termini contenenti n 1 sono in

z

genere tutt’altro che trascurabili e incidono pesantemente sulla domanda di

spinta e potenza durante la manovra. Se poi si considera che la manovre

B 2 −

(n 1) risulta ulte-

possono essere effettuate in quota, allora il termine z

2

V

riormente incrementato a causa della riduzione della densitá atmosferica. Gli

84 CAPITOLO 9. VOLO IN MANOVRA

incrementi di spinta e potenza necessri in manovra sono allora

B 2 −

(n 1)

∆T = z

n 2

V (9.9)

B 2 −

∆Π = (n 1)

n z

V

Oltre a dipendere dal fattore di carico normale, queste due grandezze sono fun-

zione delle caratteristiche del velivolo per mezzo della quantitá B, qui richia-

mata. 2

2W

1

B = (9.10)

πAe ρS

Evidentemente le caratteristiche di manovra di un aeromobile sono tanto migliori

quanto piú piccoli sono i termini di spinta e potenza richiesti. Pertanto un ele-

vato valore del prodotto Ae incide positivamente sulle prestazioni di manovra,

mentre un elevato carico alare causa sensibili incrementi di spinta e potenza

necessari. Inoltre, la quota, che interviene nelle espressioni mediante ρ, gioca

un ruolo che incide negativamente sulle prestazioni di manovra del velivolo.

Se invece si ragiona a paritá di angolo di attacco la spinta e la potenza nec-

essarie sono legate alle rispettive grandezze nel volo rettilineo mediante le

relazioni T = T n

n n0 z (9.11)

3/2

Π = Π n

n n0 z

quindi i relativi incrementi di spinta e potenza necessari sono

∆T = T (n 1)

n n0 z (9.12)

3/2 −

∆Π = Π (n 1)

n n0 z

Per queste relazioni, ottenute a parita di α, si deve tenere conto che la ve-

√ −

n

locitá necessaria in manovra é cresciuta della quantitá 1 rispetto al volo

z

rettilineo. Tali equazioni riassumo i medesimi fatti giá esposti nel caso delle

9.9.

9.3. EQUAZIONE DELLE PRESTAZIONI 85

9.3 Equazione delle prestazioni

Nel presente paragrafo si determina un’equazione che riassume tutte le carat-

tristiche di moto dell’aeromobile poiché é ottenuta come conseguenza globale

delle equazioni del moto. Tale equazione é una forma particolare del teorema

di conservazione dell’energia meccanica che permette di esprimere l’eccesso di

potenza nel volo orizzontale in relazione a grandezze che esprimono lo stato di

moto del velivolo, i.e. 2 2 −

− 1 B

dV n 1

Π Π n 0 z

= RC + + (9.13)

W 2g dt W V

Tale equazione, essendo una conseguenza delle equazioni del moto, é soddis-

fatta in ogni condizione e stabilisce che il supero di potenza Π Π puó es-

n0

sere impiegato per aumentare alcuni o tutti i termini che compaiono a secondo

membro. Si puó affermare che un eccesso di potenza é impiegato per salire

(primo addendo) e/o accelerare (secondo addendo), e/o manovrare (terzo ad-

dendo).

9.4 Il Diagramma di Manovra

Il diagramma di manovra é usato al fine di valutare le sollecitazioni a cui é

soggetto un aeromobile nel corso della sua vita operativa. Tale diagramma é

impiegato per numerosi scopi quali, la fase di progetto preliminare del velivolo,

le prove di volo o per definire i margini d’impiego dell’aeromobile.

Il diagramma riporta, in funzione della velocitá equivalente V , il fattore di

e

carico calcolato nelle varie condizioni di volo e definisce tre diversi tipi di

vincolo di impiego dell’aeromobile. Questi sono:

• Limite aerodinamico: é dovuto ai valori massimo e minimo del C che il

L

86 CAPITOLO 9. VOLO IN MANOVRA

velivolo riesce a sviluppare i volo

• Limite strutturale: é imposto dalle sollecitazioni massime ammissibili

per la struttura.

• Limite propulsivo: é legato ai valori finiti della spinta e della potenza

disponibili.

Per quanto riguarda la prima limitazione, il limite aerodinamico stabilisce che

é possibile volare solo per C < C < C . Allo fine di riportare sul

Lmin L Lmax

diagramma n V tale limitazione, si consideri il fattore di carico normale n ,

z

dato dalla relazione 2

1/2ρ V SC

L 0 e L

= (9.14)

n =

z W W

che fornisce il legame fra n e V . Se si considera un volo all’incidenza di stallo,

z

la 9.14 descrive una parabola uscente dall’origine (curva OA di Fig. 9.1),

ottenuta come il luogo di tutte le velocitá di stallo al variare di n .

z

2

1/2ρ V SC

0 e Lmax

n = (9.15)

z W

Per gli stalli ad angoli di incidenza negativi, é possibile definire una velocitá

di stallo sostituendo nella (9.14), in luogo di C , C .

L L min

2

1/2ρ V SC

0 e L min

n = (9.16)

z W

Sul grafico n V la (9.16) descrive una parabola con concavitá volta verso

il basso come indicato in Fig. 9.1 dal ramo OE (curva a punto). Ambedue

le (9.15) e (9.16) impongono la limitazione C (C , C ) sui valori

L Lmin Lmax

raggiungibili del fattore di carico nel corso di una manovra. La condizione

espressa dalla (9.16) si puó ottenere, qualora sia consentito, in volo rovescio, lo

9.4. IL DIAGRAMMA DI MANOVRA 87

stallo dell’aeromobile, oppure con una manovra di moto curvilineo a picchiare

(nose-down).

L’altro limite é legato alla robustezza strutturale dell’aeromobile. Il costrut-

tore, dipendentemente dal profilo di missione e compatibilmente con le norme,

prescrive i valori massimo e minimo del fattore di carico sopportabile dal ve-

livolo. Si tenga presente che a paritá di n e n , per le diverse velocitá

max min

di volo, benché la sollecitazione aerodinamica abbia la medesima risultante,

sollecita la struttura alare in modo diverso nelle varie condizioni di volo poiché

si hanno distribuzioni di carico differenti. Tale circostanza impone al proget-

tista di effettuare un’analisi dei carichi e la conseguente verifica strutturale alle

diverse velocitá. Sul grafico n V questa limitazione é rappresentata da due

rette orizzontali (tratti AB e DE) di ordinate n e n . Inoltre il costruttore

max min

deve fornire la cosiddetta velocitá massima ammissibile V . Essa rappresenta

ne

il limite massimo consentito per la velocitá che non deve essere superato per

nessun motivo. Per definizione la V é calcolata per n = 0. Esistono diversi

ne z

modi per conseguire questa situazione. Ove sia consentito, negli aeromobili

provvisti di aerofreni, la velocitá massima ammissibile coincide con la velocitá

−90

massima raggiunta in affondata (γ = ) (velocitá limite). Quest’ultimo

valore, ottenuto dal bilancio di peso e resistenza, é dato da

s 2W/S

V = (9.17)

lim ρC D0

dove C é il coefficiente di resistenza a portanza nulla calcolato nella con-

D0

figurazione di aerofreni estratti. Nel caso generale il costruttore fissa una ve-

locitá massima ammissibile compatibilmente con i requisiti di leggerezza della

struttura. É opportuno rilevare che, sebbene la velocitá massima ammissibile

sia conseguita per n = 0, le azioni portanti, pur avendo risultante nulla, sol-

z

88 CAPITOLO 9. VOLO IN MANOVRA

n limite propulsivo B

A

z limite strutturale

δ Τ

1 C

O V V

limite aerodinamico ne e

E D

Figura 9.1: Diagramma di manovra

lecitano la struttura alare con un momento aerodinamico torcente alla massima

velocitá consentita, pertanto questa condizione non é meno importante delle

6 −

altre nelle quali n = 1. Sul grafico n V questa limitazione rappresenta una

z

retta verticale cui corrisponde l’ascissa V (ramo BD).

ne

La regione del grafico n−V é inoltre delimitata dalle caratteristiche del propul-

sore impiegato. Cosi’ un’altra curva, ottenuta dal bilancio fra la spinta (o

potenza) disponibile e la spinta (o potenza) necessaria in manovra, limita i

valori dei fattori di carico T b

d 2 2

= aV + n (9.18)

z

2

W V

Esplicitando la (9.18) rispetto a n , si ottiene

z

s 2

V

T (h, V, δ )

d T 2

− aV ] (9.19)

n = [

z W b

che, nel caso di manovra eseguita a T = T , da la legge del fattore di carico

d

ammissibile compatibilmente con le caratteristiche del propulsore. La stessa

legge, in termini di potenza, si esprime attraverso la seguente relazione.

s Π (h, V, δ ) V

d T 3

[

n = aV ] (9.20)

z W b

9.4. IL DIAGRAMMA DI MANOVRA 89

Sebbene entrambe le (9.19) e (9.20) siano equivalenti, la (9.19) é applicabile al

caso di velivoli propulsi con motore a getto, per i quali la spinta disponibile é

sensibilmente costante con la velocitá di volo a paritá di ogni altra grandezza,

mentre la (9.20) é piú adatta alla motoelica a giri costanti poiché la potenza

disponibile, ad eccezione delle basse velocitá, é pressoché costante al variare

della velocitá a paritá di ogni altra grandezza.

Ambedue le (9.19) e (9.20) mostrano come il fattore di carico sia funzione

della velocitá, del grado di ammissione e della quota. In particolare, per quota

e velocitá assegnate, n aumenta con il grado di ammissione e raggiunge il

z

suo massimo relativo per δ = 1, mentre, a paritá di grado di ammissione e

T

velocitá equivalente, n diminuisce con la quota a causa della riduzione della

z

spinta o della potenza disponibili. A paritá di quota e manetta, n raggiunge un

z

massimo relativo per una certa velocitá il cui valore dipende dagli andamenti

delle leggi T = T (h, V, δ ); Π = Π (h, V, δ ) (9.21)

d d T d d T

La velocitá nel volo orizzontale uniforme si ottiene come intersezione della

curva descritta da (9.19) o (9.20) con la retta n = 1. Si osservano velocitá

z

crescenti all’aumentare del grado di ammissione, avendosi la velocitá massima

nel volo orizzontale, per una prefissata quota, a δ = 1.

T

I fattori di carico (9.19), (9.20) sono stati calcolati imponendo che la spinta

disponibile sia uguale a quella necessaria in manovra, pertanto sono relativi

alle cosiddette manovre sostenute, cioé quelle per le quali si ha il costante

supporto della spinta o della potenza propulsiva (T = T ).

d n 6

Nel caso di manovre non sostenute, o parzialmente sostenute (T = T ), si

d n

possono avere fattori di carico maggiori di (9.19) o (9.20). Queste manovre

90 CAPITOLO 9. VOLO IN MANOVRA

sono conseguentemente instazionarie poiché, a causa del mancato o parziale

supporto del propulsore, avvengono con diminuzione dell’energia meccanica

2

V

dell’aeromobile (h + ). Per esempio l’aliante in aria calma puó eseguire

2g

evoluzioni che non dipendono da limitazioni di natura propulsiva giacché é

sprovvisto di motore, peró in qualsiasi condizione di volo, e quindi in manovra,

la sua energia meccanica diminuisce con modalitá che dipendono dal tipo della

manovra stessa.

9.5. INVILUPPO DI VOLO 91

9.5 Inviluppo di volo

Si definisce inviluppo di volo il luogo dei punti, sul piano h−V , corrispondenti a

dV

condizioni di volo manovrato con = 0, δ = 1 e fattore di carico assegnato.

T

dt

Il diagramma cosi’ descritto riassume le prestazioni del velivolo in funzione

della quota per i vari fattori di carico. Le prestazioni di un velivolo dipendono

dall’aerodinamica dell’aeromobile e dalle caratteristiche del sistema propul-

sivo, quindi la spinta o la potenza disponibile unitamente alle caratteristiche

aerodinamiche, definiscono le prestazioni del velivolo. , impone, a seconda

Il limite aerodinamico, legato al fatto che C < C

L Lmax

della manovra, una velocitá minima di stallo

s 2W/Sn z (9.22)

V =

stall ρC Lmax

che aumenta al crescere di quota di volo e del fattore di carico come é indi-

cato dai rami AB del diagramma di Fig. 9.2. Il limite propulsivo impone

un valore minimo di velocitá, in genere differente dalla velocitá di stallo,

dato dall’intersezione della curva delle spinte necessarie con quella delle spinte

disponibili (ramo BC di Fig.9.2). Mentre la velocitá di stallo dipende dal

C , la velocitá minima propulsiva é funzione di entrambe le caratteristiche

Lmax

aerodinamiche e propulsive. Il tratto AB del diagramma corrisponde alle ve-

locitá di stallo mentre il ramo sovrastante, BC, é relativo ai limiti propulsivi.

É interessante osservare che per le quote al disotto del punto B la minima ve-

locitá possibile é quella di stallo, invece sopra tale quota la curva delle spinte

disponibili interseca quella delle spinte necessarie a velocitá sensibilmente supe-

riori a quella di stallo. Man mano che la quota aumenta tali velocitá crescono

fino al raggiungimento del punto C corrispondente alla quota di tangenza.

Il sistema propulsivo impone anche la limitazione sulle velocitá massime nel

92 CAPITOLO 9. VOLO IN MANOVRA

C quota di tangenza

n z

B D

h linea delle linea delle

velocita’ di stallo velocita’ massime

A E

V

Figura 9.2: Inviluppo di volo

volo in manovra. Queste si ottengono dall’intersezione della curva delle spinte

(potenze) necessarie con quella delle spinte (potenze) disponibili per i diversi

fattori di carico. Ne segue che la velocitá massima deve essere calcolata a par-

tire dalle (9.4). La prima delle (9.4), esplicitata rispetto alla velocitá, fornisce

la legge di variazione della velocitá massima con la quota

s s

2T /S 2Π /S

d d

3

'

V = (9.23)

max ρC ρC

D0 D0

Nel caso di volo orizzontale (n = 1), le (9.23) forniscono una buona approssi-

z

mazione della velocitá massima, mentre per il volo manovrato a elevato fattore

di carico possono essere meno accurate a causa della maggiore resistenza in-

dotta.

Le (9.23) stabiliscono le leggi di variazione della velocitá massima con la quota.

Per valutare l’andamento delle V con la quota, occorre distinguere il caso del

max

velivolo con motore a getto dalla motoelica. Nel caso di moto-elica a passo fisso

la determinazione della velocitá massima e della quota di tangenza risulta piú

complicata a poiché il regime del motore e quindi la potenza disponibile sono

fortemente variabili con la velocitá. In tal caso le prestazioni sono deducibili


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Meccanica del volo del Prof. Nicola De Divitiis, riguardante: elementi di meccanica di volo, schematizzazione di un velivolo, sistemi di riferimento, controlli fondamentali del velivolo, modello matematico del velivolo, analisi dell'atmosfera; geometria della superficie portante, portanza, resistenza; volo orizzontale rettilineo, volo in salita, volo in manovra.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica del volo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof De Divitiis Nicola.

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