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2.2 Conservazione della Massa ed Equazione di Continuità.

Assumeremo d’ora in poi che, in aggiunta alle ipotesi matematiche fatte, che sia definita su

{t} ×

∪ C una funzione differenziabile ρ = ρ(t, X), con la particolarità che ρ(t, X) > 0 ovun-

t

t∈R

que. Tale funzione sarà detta densità di massa. Diremo porzione materiale di continuo

ogni insieme V C che sia regolare. La massa della porzione V al tempo t è definita come

0 0 0

Z ρ(t, X)dµ(X) ,

M (V ) :=

t V

t F,

dove V C denota l’evoluzione di V secondo il flusso del continuo ossia

t t 0

{X(t, | ∈ }

V := X ) X V .

t 0 0 0

Il principio di conservazione della massa afferma che: In assenza di trasformazioni fisico-

chimiche all’interno del continuo, la massa di ogni porzione materiale di un continuo deve essere

1

costante nel tempo .

Nelle ipotesi di assenza di trasformazioni fisico chimiche, il principio di conservazione della massa

sarà equivalente a dire che per ogni insieme regolare V C ,

0 0

M (V ) = M (V ) .

t 0

∈ ⊂

In altre parole, per ogni t e per ogni insieme regolare V C vale l’equazione di

R 0 0

conservazione della massa in forma integrale:

Z

d ρ(t, X)dµ(X) = 0 . (17)

dt V

t

Benché la (17) abbia un significato evidente non è affatto comoda da impiegarsi nei calcoli per

cui è utile dedurre una forma differenziale che valga punto per punto e che sia equivalente alla

(17) stessa. Tale nuova equazione che andiamo a ricavare prende il nome di equazione di

continuità della massa.

Teorema 2.1. La validità dell’equazione di conservazione (17) per ogni porzione materiale di

C

∈ ∈

continuo V e per ogni tempo t è equivalente alla validità per ogni (t, X) dell’equazione

R

t

di continuità per ρ: D ρ(t, X) + ρ(t, X)divV(t, X) = 0 . (18)

Dt

1 Trasformazioni fisico-chimiche possono dar luogo ad un continuo di natura diversa sottraendo massa al

continuo iniziale. 17

Dimostrazione. Per quanto visto sopra l’equazione (17) equivale a

Z

d ρ(t, X(t, X ))| det J (X )|dµ(X ) = 0 .

0 t 0 0

dt V 0

Nelle ipotesi fatte, usando il teorema della convergenza dominata di Lebesgue, è facile provare

che è possibile passare la derivata sotto il segno di integrale (in (17) non è possibile perché t

2

compare anche nel dominio di integrazione). (17) equivale dunque a

Z ∂ ρ(t, X(t, X ))| det J (X )|dµ(X ) = 0 ,

0 t 0 0

∂t

V

0

ovvero

Z ∂| det J (X )|

∂ρ(t, X(t, X )) t 0

0 | det J (X )| + ρ(t, X(t, X )) dµ(X ) = 0 .

t 0 0 0

∂t ∂t

V 0

Per la Proposizione 1.1 possiamo omettere il segno di valore assoluto attorno al determinante

Jacobiano. Ciò è importante nel secondo addendo dell’integrale in cui si deriva una funzione

contenente un valore assoluto (che non è differenziabile nell’origine).

Z ∂ρ(t, X(t, X )) ∂ det J (X )

0 t 0

det J (X ) + ρ(t, X(t, X )) dµ(X ) = 0 .

t 0 0 0

∂t ∂t

V

0

Questa equazione deve valere per ogni scelta di V . Essendo l’integrando una funzione continua,

0

in base alla Proposizione 2.1, abbiamo provato che il principio di conservazione della massa

equivale a ∂ρ(t, X(t, X )) ∂ det J (X )

0 t 0

det J (t, X ) + ρ(t, X(t, X )) =0 ,

t 0 0

∂t ∂t

∈ ∈

per ogni t e X C . Dato che det J (X ) > 0 ed usando la definizione derivata materiale,

R 0 0 t 0

la stessa identità si riscrive

D 1 ∂ det J (X )

t 0

|

ρ(t, X) + ρ(t, X(t, X )) =0

0

X=X(t,X )

0

Dt det J (X ) ∂t

t 0

In base alla Proposizione 1.2 la stessa equazione si riscrive,

D |

ρ(t, X) + ρ(t, X)divV(t, X) = 0 .

X=X(t,X )

0

Dt ∈ 7→

Dato che questa equazione vale per ogni X C e che X X(t, X ) è biettiva essa può anche

0 0 0 0

∈ ∈

essere equivalentemente scritta, per ogni t e per ogni X C :

R t

D ρ(t, X) + ρ(t, X)divV(t, X) = 0 ,

Dt

2 Nella dimostrazione la derivata parziale indica una derivata totale rispetto alla completa dipendenza da t,

anche attraverso la funzione X(t, X ).

0 18

2.

che è la tesi.

Passiamo a considerare altri modi di enunciare la legge di conservazione della massa equivalen-

ti alla formulazione basata sull’equazione di continuità. Prima di tutto notiamo che, usando

l’espressione (12), la (18) si può riscrivere come,

∂ρ(t, X) ∇

+ ρ(t, X) + ρ(t, X)divV(t, X) = 0 .

V

∂t

Valendo in generale f + f divV = div(f V), otteniamo una forma equivalente dell’equazione

V

di continuità (18), ∂ρ(t, X) + div(ρ(t, X)V(t, X)) = 0 (19)

∂t

C.

per (t, X)

La (19) si presta ad una ulteriore formulazione del principio di conservazione della massa scritta

3

in forma integrale. Si consideri un volume geometrico aperto e regolare V tale da soddisfare

E

i requisiti di cui sotto. Supponiamo che ∂V sia una superficie chiusa e regolare, in modo tale da

poter applicare il teorema della divergenza. Se integriamo a t costante la (19) su V otteniamo

Z Z

∂ρ(t, X) dµ + div(ρ(t, X)V(t, X))dµ = 0 .

∂t

V V

Usando il teorema della divergenza otteniamo che l’identità di sopra equivale a

Z I

∂ρ(t, X) ·

dµ + (ρ(t, X)V(t, X)) n dΣ = 0 .

∂t

V ∂V C

Sopra n è il versore normale a ∂V orientato in modo uscente. Dato che è aperto per la

Proposizione 1.3, prendiamo V piccolo a sufficienza e > 0 anche, in modo che il cilindro aperto

C. R

7→

descritto da ]t−, t+[×V sia tutto contenuto in In tal caso la funzione di t, t ρ(t, X)dµ

V

è ben definita in ]t−, t+[ e possiamo portare l’operatore di derivata fuori dal segno di integrale

usando il teorema della convergenza dominata di Lebesgue. Otteniamo in tal modo:

Z I

d − ·

ρ(t, X)dµ = (ρ(t, X)V(t, X)) n dΣ . (20)

dt V ∂V

L’equazione di sopra dice che la variazione di massa per unità di tempo in un fissato vo-

lume geometrico V è pari al flusso entrante di massa nell’istante considerato.

Per concludere precisiamo come si scriva l’equazione di bilancio della massa in assenza di

conservazione. Semplicemente la (19) diventa:

∂ρ(t, X) + div(ρ(t, X)V(t, X)) = S(t, X) ,

∂t 19

dove la funzione S a secondo membro corrisponde ad una sorgente di massa (se S < 0 sempre,

si parla più propriamente di pozzo di massa). La corrispondente di (20) è allora

Z

I

Z

d ·

− S(t, X) dµ .

(ρ(t, X)V(t, X)) n dΣ +

ρ(t, X)dµ =

dt V

∂V

V

N.B. D’ora in poi considereremo solo continui in cui non avvengono trasformazioni fisico-

chimiche, per i quali è supposto valere il principio di conservazione della massa. Quindi, d’ora

in poi, l’equazione (17) sarà sempre tacitamente supposta valida.

2.3 Un lemma tecnico.

Ragionando in modo praticamente identico a quanto fatto nella dimostrazione del Teorema 2.1

si ottiene il seguente utile risultato tecnico.

Per enunciare il teorema abbiamo bisogno della nozione di integrale di un campo tensoriale su

una regione integrabile di uno spazio euclideo. Se T = T(X) è un campo tensoriale definito sul-

n

l’aperto A dello spazio euclideo (visto come varietà riemanniana), l’integrale di T sull’insieme

E

regolare V , Z

T := T(X) dµ(X) ,

V V n

è il tensore vettore nell’algebra tensoriale generata dallo spazio vettoriale V della struttura affine

n

di le cui componenti sulla base dello spazio tensoriale di T associata alla base ortonormale

E V

{e } ⊂

, . . . , e V sono date da

1 n Z

A A

T := T (X) dµ(X) ,

V V A

A n

essendo T (X) la componente generica del tensore T(X) (T ) in coordinate cartesiane

E

X

R

{e }

ortonormali generate dalla base , . . . , e e dalla scelta arbitraria di un’origine O.

1 n

Si verifica immediatamente che la definizione non dipende dalle dalla base ortonormale scelta.

Proposizione 2.2. Se il campo Ξ = Ξ(t, X) è differenziabile e definisce un campo tensoriale

differenziabile su C per ogni t allora (assumendo che valga l’equazione di contuinuità della

R,

t ⊂

densità di massa ρ) per ogni porzione materiale di continuo V C vale

0 0

Z Z

d D

ρ(t, X)Ξ(t, X) dµ = ρ(t, X) Ξ(t, X) dµ . (21)

dt Dt

V V

t t

Dimostrazione. Ripetendo la dimostrazione del Teorema 2.1 si ha la seguente identità

Z Z

d D |J

ρ(t, X)Ξ(t, X) dµ = (ρ(t, X)Ξ(t, X)) (X )|dµ(X )

t 0 0

dt Dt

V V X=X(t,X )

t 0 0

Z |J

+ [ρ(t, X)Ξ(t, X)divV(t, X)] (X )|dµ(X ) .

t 0 0

X=X(t,X )

0

V

0 20

In altre parole Z

Z Z

D

d ρ(t, X)Ξ(t, X) dµ = ρ(t, X)Ξ(t, X)divV(t, X)dµ

(ρ(t, X)Ξ(t, X)) dµ +

dt Dt

V

V V

t

t t

D’altra parte per computo diretto si ha

D D D

(ρ(t, X)Ξ(t, X)) = ρ(t, X) Ξ(t, X) + ρ(t, X) Ξ(t, X) .

Dt Dt Dt

Inserendo tale risultato nell’integrale ed usando l’equazione di continuità (18) segue la tesi im-

2

mediatamente.

Osservazione importante. Facciamo qualche commento sulla definizione di integrale di un campo

tensoriale su un volume. Perché possiamo integrare, ovvero, in senso intuitivo, sommare tensori,

come quelli punto per punto definiti dal campo ρΞ di sopra, applicati su punti diversi del

continuo? Tale possibilità è intrinsecamente legata al fatto che stiamo lavorando in uno spazio

3 3

affine . Se V è lo spazio dei vettori della struttura dello spazio affine (ossia le traslazioni o

E A 3 3

vettori liberi), possiamo definire l’algebra tensoriale (V ) generata da V . Come noto, per

R

3 3 3

∈ →

ogni P , c’è un isomorfismo naturale χ : T V che identifica i vettori dei due spazi.

E E

P P

Tale isomorfismo naturale semplicemente identifica le componenti dei vettori su una base in

3 3

V con le componenti dei vettori sulla base locale in T associata alle coordinate cartesiane

E

P

generate da tale base (indipendentemente dalla scelta dell’origine). Un analogo isomorfismo

∗ ∗ ∗

3 3

naturale si ottiene come χ : T (V ) usando le basi duali associate alle rispettive basi

E

P P

suddette. In tal modo, prendendo prodotti tensoriali di tali isomorfismi, si ottengono isomorfismi

A A

3 3

naturali tra spazi di tensori in (T ) e corrispondenti spazi di tensori in (V ). Per esempio

E

P

R R

∗ 3 3 3 3

⊗ → ⊗

⊗ T (V ) V . Ogni tensore Ξ(t, P ) che compare nelle formule di sopra

χ : T

χ E E

P

P P

P A 3

definisce un analogo tensore in (V ) indipendentemente dal punto P ed in tal modo tensori

R 3

definiti nello stesso istante, ma applicati su punti diversi di , si possono sommare e dar luogo

E

A 3

ad un tensore di (V ). Più in generale si possono definire gli integrali di campi tensoriali

R A 3

usati sopra, producendo tensori in (V ), approssimando l’integrale con somme di Cauchy.

R

Lasciamo i dettagli di questo discorso al lettore. È in ogni modo chiaro che la definizione alla

quale si perviene per questa via deve risultare equivalente a quella data prima in cui l’integrale

del campo tensoriale è definito in componenti integrandone le singole componenti in coordinate

cartesiane ortonormali.

2.4 Classificazione dei tipi di Flusso, Legge di Castelli.

Un flusso è detto solenoidale al tempo t quando vale, per il campo di velocità associato,

0 C

divV(t, X) = 0 per ogni (t, X) con t = t . (22)

0

Il significato fisico della condizione di solenoidalità, quando vale ad ogni t, è chiarito dal seguente

teorema. 21

Teorema 2.2. Le seguenti proposizioni sono equivalenti per un continuo.

(a) Il flusso è solenoidale per ogni t R.

(b) Il flusso preserva i volumi delle porzioni materiali di continuo, ovvero

Z

d dµ = 0 , (23)

dt V

t ⊂

denotando con V l’evoluzione secondo il flusso di un generico insieme regolare V C .

t 0 0

Se il continuo soddisfa anche il principio di conservazione della massa, (a) e (b) sono separata-

mente equivalenti alla seguente proposizione.

(c) La densità di massa è costante lungo le linee di corrente.

Dimostrazione. Ragionando esattamente come nella dimostrazione del teorema precedente, po-

∈ ∈

nendo ρ(t, X) = 1 per ogni t X C , si ha che la validità di (23) per ogni V è equivalente a

R, t 0

∈ ∈

(18) e quindi (19) con ρ(t, X) = 1 per ogni t X C . Questa è la prova che (a) e (b) sono

R, t

equivalenti. Riguardo all’equivalenza con (c), notiamo che l’enunciato (c) si scrive in formule

Dρ C

= 0 per ogni (t, X)

Dt

In questa forma, l’equivalenza di (c) con (a) è immediatamente provata da (18) tenendo conto

2

della positività di ρ.

Un flusso è detto incompressibile se e solo se vale ∈ ∈

ρ(t, X) = ρ costante per ogni t e X C . (24)

R

0 t

Dall’equazione di continuità (19) segue subito che un flusso incompressibile deve anche essere

solenoidale ad ogni istante. Il viceversa è falso.

Un continuo è detto incompressibile quando ammette solo flussi incompressibili. Per esempio

l’acqua in condizioni normali è un continuo incompressibile.

Si consideri un tubo di flusso al tempo t dato da una superficie regolare Γ. Se S è una sezione del

tubo di flusso, data a sua volta da una superficie regolare, la portata del flusso attraverso

S (all’istante t), Φ(S) è definita come Z ·

Φ (S) = V(t, X) n dΣ ,

Γ S

dove il versore n normale a S è orientato come V. La portata di massa attraverso S è invece

definita come Z ·

Ψ (S) := ρ(t, X)V(t, X) n dΣ .

Γ S

Vale la Legge di Castelli. 22

Teorema 2.3. Se un flusso è solenoidale all’istante t, dato un tubo di flusso regolare Γ, la

portata del flusso riferita a Γ non dipende dalla sezione S nell’istante considerato. Se il flusso

è ulteriormente incompressibile, lo stesso risultato sussiste per la portata di massa.

Dimostrazione. Si consideri il volume U racchiuso nel tubo di flusso Γ tra due sezioni consecutive

0 0

S e S . Indichiamo con Γ la superficie chiusa determinata da tali superfici. Usando il teorema

della divergenza nelle ipotesi di solenoidalità, divV = 0 per cui

Z

Z · divV dµ = 0 .

V n dΣ =

0 U

Γ

0

n è il versore normale a Γ uscente. Il primo integrale in realtà non riceve contributo dalla

superficie laterale del tubo di flusso in quanto, per costruzione n e V sono perpendicolari su

di essa. L’integrale di superficie rimanente si spezza in due integrali eseguiti sulle due porzioni

0

di superficie rimanenti, S ed S le sezioni del tubo di flusso. Tenendo conto della differente

orientazione di n su di esse rispetto a V,

Z ·

V n dΣ = 0 ,

0

Γ

significa proprio la tesi: 0

Φ (S) Φ (S ) = 0 .

Γ Γ

Se il flusso è incompressibile, Ψ (S) = ρ Φ (S) per ogni sezione, dove ρ è una costante, per

0 0

Γ Γ

2

cui la prova della tesi è immediata.

Per concludere, rivediamo i vari tipi di flusso che abbiamo incontrato fino ad ora riassumen-

done le caratteristiche specifiche.

Flusso stazionario.: ∂V C

(t, X) = 0 per ogni (t, X) .

∂t

Proprietà.: le linee di flusso coincidono con le linee di corrente.

Flusso irrotazionale.: ∈ ∈

rotV(t, X) = 0 per qualche t e ogni X C .

R t ∇φ

Proprietà.: (1) le circolazioni sono nulle localmente. (2) Localmente V(t, X) = (X).

t

Flusso solenoidale.: ∈ ∈

divV(t, X) = 0 per qualche t e ogni X C .

R t

Proprietà.: (1) Si conservano i volumi delle porzioni materiali di continuo. (2) Vale la legge di

Castelli. 23

Flusso incompressibile.: C

ρ(t, X) = ρ costante per ogni (t, X)

0

Proprietà.: (1) È solenoidale. (2) Vale la legge di Castelli anche per la portata di massa.

Esercizi 2.1. |

2.1.1. Provare che det J (X)| nella formula (16) non dipende dalle coordinate globali usate su

f

3 .

E

2.1.2. Provare che se il flusso di un continuo è tale che (1) la funzione densità di massa non

dipende dalla particella materiale di continuo e (2) il flusso è solenoidale allora il flusso è incom-

pressibile.

(Traccia per la soluzione. Dall’equazione di continuità (18) si ricava che nelle ipotesi di solenoi-

dalità Dρ/Dt = 0. Passando in rappresentazione Lagrangiana e assumendo l’ipotesi (1) segue

facilemente la tesi.)

2.1.3. Mostrare che se un flusso è contemporaneamente solenoidale e irrotazionale, allora il

∇φ

campo di velocità si può esprimere localmente ed al tempo considerato come V = (X) dove

t

φ è una funzione armonica (cioè ∆φ = 0 in C ). Cosa si può concludere riguardo alla analiticità

t t t

delle componenti cartesiane del campo V al tempo t?

24

3 Dinamica: il Tensore degli Sforzi di di Cauchy.

3.1 Impostazione generale della dinamica dei continui: gli sforzi.

Consideriamo una porzione materiale di continuo al tempo t, V . Facciamo l’ipotesi che ∂V sia

t t

una superficie regolare orientabile, in modo che sia ben definito il versore normale uscente n in

ogni punto. Le forze che agiscono su V si assumono di due tipi diversi: forze di massa e sforzi.

t C,

Le forze di massa sono individuate da una densità di forza definita su ossia un campo

vettoriale f = f (t, X) differenziabile tale che la forza di massa agente sulla porzione V (al

t

tempo t) è definita da Z

F := ρ(t, X) f (t, X) dµ(X) . (25)

V

t V t

Si osservi che [f ] = [F ]/[M ], per cui il campo f ha le dimensioni di una accelerazione.

Un tipico caso di forze di massa sono le forze gravitazionali. Se u = u(t, X) è il potenziale

gravitazionale in X al tempo t, la forza di gravità su V è data dalla densità di forza:

t

−∇u(t,

f (t, X) = X) . (26)

(Si noti che se u non dipende dal tempo ρ(t, X)u(X) coincide con la densità di energia potenzia-

le.) In questo schema rientrano anche le forze elettromagnetiche (forza di Lorentz) se si assume

che la densità di carica e quella di massa siano proporzionali secondo una costante che non

dipende da t e X e ciò corrisponde all’assumere, dal punto di vista fisico, di avere un unico tipo

di portatori di carica coincidenti con le stesse particelle (molecole) del continuo. Normalmente

le forze di volume sono forze esterne al sistema continuo, cioè la coppia azione-reazione non è

contenuta nel sistema continuo stesso. Tuttavia ci possono essere eccezioni come il caso di sopra

in cui tali forze hanno natura elettromagnetica e pertanto punti di continuo vicini esercitano

forze elettriche l’uno sull’altro (in tal caso, in presenza di campi di radiazione, non ha nemmeno

senso parlare di coppia azione-reazione).

Gli sforzi, detti anche stress, hanno una natura più complicata. Descrivono matematicamente

l’idea intuitiva che il resto del continuo agisca sulla porzione V attraverso forze superficiali

t

esercitate su ∂V . In termini matematici si procede come segue. Indipendentemente da V , si

t t

2

∈ ∈ ∈

assume che per ogni t X C e ogni versore n , esista un vettore S = S(t, X, n) detto

R, S

t ∈ ∈

sforzo o stress in X al tempo t, riferito al versore n, tale che, variando t X C ,

R, t

2

∈ 7→

n definisca una funzione differenziabile. (In particolare per t, n fissati X S(t, X, n) è

S

un campo vettoriale differenziabile su C ). Se V è stato scelto come detto sopra e n(X) è il

t t ∈

versore normale a ∂V uscente da V in ogni punto X ∂V , la forza superficiale agente sulla

t t t

porzione V (al tempo t) è definita da

t I

F = S(t, X, n(X)) dΣ(X) . (27)

∂V t ∂V t 25

2

Si osservi che [S] = [F ]/[L ], per cui il campo S ha le dimensioni di una pressione. ∈

Il principio di azione e reazione per gli sforzi è enunciato con la richiesta che, per ogni t R,

2

∈ ∈

X C , n , valga

S

t −n) −S(t,

S(t, X, = X, n) . (28)

Il significato fisico della richiesta matematica di sopra è il seguente. Supponiamo che n sia per-

pendicolare alla superficie “infinitesima” dΣ che appartiene sia alla frontiera di V che a quella di

t

0

V che quindi sono in contatto superficiale attraverso dΣ. Supponiamo ancora che n sia uscente

t 0 0

−n

da V (e quindi sarà uscente da V ). S(t, X, n)dΣ rappresenta la forza che V esercita su V

t t

t t

0

−n)dΣ

attraverso dΣ, mentre S(t, X, rappresenta la forza che V esercita su V attraverso dΣ.

t t

Tali forze, dal punto di vista fisico devono essere uguali e contrarie se si vuole usare (in realtà

estendere) lo schema concettuale della meccanica classica.

7→

La funzione (X, n) S(t, X, n) è detta stato tensionale del continuo al tempo t.

Osservazione importante. Come già notato nel caso generale, le definizioni (25) e (27) fanno uso

esplicitamente della struttura di spazio affine. Consideriamo la prima delle due per esempio.

Ogni vettore f (t, X) è applicato in un punto diverso e non avrebbe senso definire una somma (e

quindi l’integrale) di due di tali vettori essendo elementi di due spazi tangenti differenti. In realtà

tutti questi vettori si possono pensare come appartenenti allo spazio vettoriale tridimensionale

3 7→

V associato allo spazio affine. Cioè, dentro l’integrale in questione, la funzione X f (t, X) è in

3 3

7→ →

realtà pensata come X χ (f (t, X)), dove χ : T V è l’isomorfismo naturale tra spazi

E

X X X

3 3

vettoriali che mappa lo spazio tangente T in V . Infine l’integrale è eseguito componente

E

X

per componente rispetto ad una base di V (il risultato, per linearità, non dipende dalla base

3

3

scelta) e F è un vettore in V che non ha senso pensare in un particolare spazio tangente di

V t

3 : è quello che si dice un vettore libero.

E

3.2 Equazioni indefinite della dinamica.

Consideriamo un continuo caratterizzato dalla densità di massa ρ, il campo di forze di massa

f e per ogni t, lo stato tensionale S(t, X, n) che supponiamo soddisfare tutti i requisiti as-

segnati precedentemente. Ulteriori requisiti che connettono tutti questi ingredienti sono dati

dalle due equazioni indefinite della dinamica, dette anche equazioni cardinali della di-

namica. Il termine “indefinito” è riferito al fatto che tali equazioni sono scritte in termini

integro-differenziali. ∈

La prima equazione cardinale della dinamica dei continui richiede che per ogni t e per

R

ogni porzione materiale di continuo V C con frontiera data da una superficie regolare a

0 0 26

3 ⊂

tratti orientabile e tale che V C , valga:

0 0 I

Z

Z

d S(t, X, n(X)) dΣ(X) . (29)

ρ(t, X)f (t, X) dµ(X) +

ρ(t, X)V(t, X) dµ(X) =

dt ∂V

V

V t

t

t ⊂

Sopra n(X) è il versore uscente da V normale a ∂V nel punto X. La richiesta V C

t t 0 0

⊂ ⊂

equivalente a V C , deriva dal fatto che vogliamo che ∂V C per poter scrivere il secondo

t t t t

integrale di sopra.

L’interpretazione fisica della (29) è ovvia: afferma che la variazione della quantità di moto

per unità di tempo associata alla porzione V uguaglia la somma delle forze totali agenti su tale

0

porzione materiale di continuo. Si tratta della diretta generalizzazione ai sistemi continui della

prima equazione cardinale della dinamica per i sistemi di punti materiali.

La seconda equazione cardinale della dinamica dei continui richiede che, fissato un punto

3

∈ ∈ ⊂

O arbitrario, per ogni t e per ogni porzione materiale di continuo V C con

E R 0 0

frontiera data da una superficie regolare orientabile e tale che V C , valga:

0 0

Z Z

d − ∧ − ∧

ρ(t, X) (X O) V(t, X) dµ(X) = ρ(t, X) (X O) f (t, X) dµ(X)

dt V V

t t

I − ∧

+ (X O) S(t, X, n(X)) dΣ(X) . (30)

∂V t 3

Sopra X O è il vettore determinato dai punti O e X nello spazio affine , altrimenti indicato

E

ˆ

come OX.

L’interpretazione fisica della (30) è chiara: afferma che la variazione per unità di tempo del

I

momento angolare rispetto al polo O (fisso nel riferimento considerato) associato alla porzione

V uguaglia la somma dei momenti, rispetto allo stesso polo, delle forze totali agenti su tale

0

porzione materiale di continuo. Si tratta dalla diretta generalizzazione ai sistemi continui della

seconda equazione cardinale della dinamica per i sistemi di punti materiali.

Un continuo in generale interagisce con l’esterno ad esso anche con forze superficiali. Questo

significa che si dovrà tener conto, almeno in certi casi fisicamente rilevanti, di forze che agiscono

sul continuo attraverso la superficie ∂C , supposta regolare. Si osservi che a rigore i punti di

t

∂C non sono punti del continuo. Ulteriormente le funzioni considerate fino ad ora come ρ, V

t

e S non sono definite su ∂C . Ciò che accade al bordo del continuo può venire inglobato nella

t

teoria in due modi differenti. Si può postulare di assegnare (almeno in parte) il comportamen-

to del continuo sul bordo, come per esempio si fa studiando i liquidi viscosi assumendo che al

bordo dei canali in cui scorre il liquido il campo di velocità sia nullo e che la densità di massa

3 Cioè data dall’unione finita di porzioni chiuse superfici regolari Σ che si intersecano per mezzo delle sole

i

frontiere date da curve regolari a tratti e tali che, sulle intesezioni delle Σ esistono i limiti del vettore normale a

i

ciascuna Σ , ma in generale non coincidono se calcolati a partire da punti interni a differenti Σ . Un esempio di

i i

tale superficie regolare a tratti è banalmente la superficie di un cubo oppure di un tetraedro: la Σ sono le facce

i

piane di tali superfici e le frontiere di esse in cui si interscano sono gli spigoli.

27

sia una funzione da determinare che ammetta limite finito verso il bordo. Alternativamente si

può supporre che le equazioni (29) e (30) continuino a valere fino al bordo incluso assumendo

opportune ipotesi di regolarità dei limiti verso il bordo di tutte le funzioni coinvolte nelle leggi

di sopra (includendo i limiti delle necessarie derivate).

Cercheremo ora di trascrivere le equazioni indefinite date sopra in termini differenziali e

locali esattamente come abbiamo fatto per l’equazione della conservazione della massa che è

stata trascritta come equazione di continuità della densità di massa.

Facendo uso di (21) nel primo membro della prima equazione cardinale (29), essa viene

trascritta come

Z I

D −

ρ(t, X) S(t, X, n(X)) dΣ(X) . (31)

V(t, X) f (t, X) dµ(X) =

Dt

V ∂V

t t

Se fosse possibile esprimere il secondo membro come un integrale su V , per l’arbitrarietà di tale

t

volume, potremmo riformulare l’equazione in termini dei soli integrandi. Vedremo come fare ciò

tra poco dopo avere dimostrato il teorema di Cauchy. Per quanto riguarda la seconda equazione

cardinale, notiamo che

D ∂

− − ∇ − ∇ −

(X O) = (X O) + (X O) = (X O)

V V

Dt ∂t

e ancora notando che in coordinate cartesiane ortonormali centrate in O (ma il risultato non

dipende da tale scelta) ∇ −

(X O) = V(t, X) .

V(t,X) ∧

Facendo infine uso di (21) nel primo membro di (30) e notando che V V = 0, (30) si riduce

alla forma equivalente

Z D

− ∧ −

ρ(t, X) (X O) V(t, X) f (t, X) dµ(X) =

Dt

V

t I − ∧

(X O) S(t, X, n(X)) dΣ(X) . (32)

∂V t

Anche qui notiamo che se fosse possibile esprimere il secondo membro come un integrale su V ,

t

per l’arbitrarietà di tale volume, potremmo riformulare l’equazione in termini dei soli integrandi.

3.3 Il Tensore degli Sforzi di Cauchy.

Dimostriamo il teorema di Cauchy che prova che gli sforzi sono ottenibili da un tensore simme-

trico. Tramite tale campo tensoriale, le equazioni della dinamica si possono esprimere in modo

differenziale e locale. 28 F,

4

Teorema 3.1 (Teorema di Cauchy) . Si consideri un continuo con flusso densità di massa

k

ρ, densità di forze di massa f , e funzione degli sforzi S definiti da funzioni di classe C (C) con

2 5

≥ ∈

k 2 congiuntamente in tutte le variabili (incluso n per lo stato tensionale) . Si supponga

S

C

che su tutto sia soddisfatta l’equazione di continuità della densità di massa (18) unitamente

alle due equazioni cardinali (29), (30) ed al principio di azione e reazione (28).

ij ij

Sotto tali condizioni esiste un campo tensoriale σ = σ (t, X) la cui regolarità in t, X è la

C:

stessa di S(t, X, n) tale che, per ogni (t, X)

7→

(a) la funzione n S(t, X, n) si esprime come

i i j

S (t, X, n) = σ (t, X)n , (33)

j

(b) σ(t, X) è simmetrico cioé ij ji

σ (t, X) = σ (t, X) . (34)

Il tensore σ(t, X) è detto tensore degli sforzi di Cauchy. ∈

Dimostrazione di (a). Consideriamo un istante fissato arbitrariamente t e un punto fissato

R

arbitrariamente X C . Scegliamo un sistema di coordinate cartesiane ortonormali centrate in

t

X che d’ora in poi indicheremo con O. Consideriamo un versore n che possiamo sempre pen-

i

sare con componenti strettamente positive n , i = 1, 2, 3 rispetto agli assi detti, eventualmente

∈]0,

ruotando gli assi di riferimento. Consideriamo il segmento P () = O + n con h] e h > 0

{T }

costante e consideriamo la classe di tetraedri chiusi contenuti nell’ottante di coordi-

∈]0,h]

nate non negative rispetto ai tre assi coordinati e ottenuti intersecando i piani perpendicolari a

n con i piani coordinati. Scegliamo h piccolo a sufficienza, in modo che tali tetraedri siano tutti

sottoinsiemi di C . Sia Σ(n) la base di T relativa all’altezza O P () e si indichi con Σ(e ) la

t i

faccia di T perpendicolare al versore di base e .

i

Dalla prima equazione cardinale (31) (in cui abbiamo usato anche l’equazione di continuità) per

il volume materiale T abbiamo che

Z I

1 D 1

ρ(t, X) V(t, X) f (t, X) dµ(X) = S(t, X, n(X)) dΣ(X) (35)

Dt

Σ(n) Σ(n)

T ∂T

+

Σ indica l’area della superficie Σ. Ora calcoleremo il limite per 0 di

dove, d’ora in poi,

entrambi i membri. In tale limite il tetraedro T diventa il punto O. Consideriamo il primo

membro dell’identità di sopra. In riferimento alla componente j-esima. Vale

Z

Z

1 D 1 D

j j j j

− −

ρ(t, X) dµ .

ρ(t, X) V f dµ V f

Dt Dt

Σ(n) Σ(n) T

T

4 In realtà l’enunciato provato da Cauchy è la linearità di S in n, la nozione di tensore è successiva all’opera di

Cauchy.

5 Queste ipotesi di differenziabilità possono essere indebolite notevolmente, ma sarebbe più complicato enunciare

il teorema. Di fatto, leggendo la dimostrazione del teorema e tenendo conto delle equazioni che devono essere

soddisfatte dalle singole funzioni, si ricavano le ipotesi minimali.

29

Usando il teorema della media integrale (tenendo conto che gli integrandi sono continui e che il

dominio di integrazione è compatto e connesso), la disuguaglianza di sopra diventa:

Z D

1 D

µ(T )

j j j j

− −

ρ(t, X) ρ(t, X)

V f dµ V f

Dt Dt

Σ(n) Σ(n)

T

(t,X )

∈ (n)/3, per cui:

dove X T è un punto opportuno. Si noti che µ(T ) = Σ

Z

1 D

j j

− ≤

ρ(t, X) V f dµ K ,

t

Dt 3

Σ(n) T

essendo, a t fissato,

D j j

− ,

ρ(t, X) V f

K = sup

t Dt

X∈T

h +

che è finito nelle nostre ipotesi. Concludendo, nel limite per 0 , il primo membro di (35) si

annulla. Come conseguenza di (35) dovrà anche valere:

I

1

lim S(t, X, n(X)) dΣ(X) = 0 . (36)

+ Σ(n)

→0 ∂T

Ovvero, esplicitando l’integrale scritto sopra: 3 )

(Z Z

1 X −e

S(t, X, n) dΣ(X) + S(t, X, ) dΣ(X) = 0 .

lim i

+ Σ(n)

→0 Σ(n) Σ(e )

i

i=1

Considerando la componente j-esima ed usando nuovamente il teorema della media, otteniamo

che, per opportuni punti X Σ(n) e X

j, j,,i

Z

1 j j

S (t, X, n) dΣ(X) = S (t, X , n) ,

j,

Σ(n) Σ(n)

e Z

1 Σ(e )

i

j j

−e −e

S (t, X, ) dΣ(X) = S (t, X , ) .

i j,,i i

Σ(n) Σ(n)

Σ(e )

i 6

Con banali considerazioni geometriche si trova subito che

Σ(e )

i i

= n ,

Σ(n)

)

Σ(e

6

i

Si osservi che è il coseno dell’angolo tra la superficie Σ(e ) e la superficie Σ(n) normale a n. Se si

i

Σ(n)

considera il triangolo rettangolo di vertici O, O + n ed il punto che si trova su Σ(n) e sulla retta per O che ha

come versore la proiezione (normalizzata) di n sul piano normale a e , il coseno dell’angolo suddetto coincide con

i

il coseno direttore i-esimo del versore n in quanto i due angoli corrispondenti coincidono.

30

per cui (36) si può riscrivere, facendo uso di (28):

3

( )

X

j i j

lim S (t, X , n) n S (t, X , e ) = 0 .

j, j,,i i

+

→0 i=1

+

Dato che i tetraedri si riducono a O per 0 e che tutte le funzioni considerate sono continue

si conclude che 3

X i

S(t, O, n) = n S(t, O, e ) . (37)

i

i=1 ∈

Dato che il punto O era generico, torniamo ad indicarlo con X C . Se estendiamo la definizione

t

→ 6

della funzione n S(t, X, n) a vettori (non solo versori), ponendo S(t, X, 0) := 0 e, per v = 0,

i

|v|S(t,

S(t, X, v) := X, v/|v|), si verifica subito che, se u = u e , in virtù della (37)

i

3

X i

S(t, X, u) = u S(t, X, e ) . (38)

i

i=1

Dalla (38) otteniamo infine immediatamente che sussiste la relazione:

S(t, X, αu + βv) = αS(t, X, u) + βS(t, X, v) ,

3 3

∈ ∈ 7→

per ogni α, β e u, v T . Quindi u S(t, X, u) è un’ applicazione lineare da T

R E E

X X

3

in T ed è quindi descrivibile, per un noto teorema di calcolo tensoriale, da un tensore di

E

X ∗

3 3

T T . In rappresentazione astratta indiciale, in particolare:

E E

X X ji

j i

S (t, X, n) = σ (t, X)n . (39)

2

Si osservi che tenendo fisso n , l’identità di sopra mostra che il campo tensoriale individuato

S

dal tensore di Cauchy σ deve avere la stessa regolarità, in (t, X) di S(t, X, n). Abbiamo concluso

la dimostrazione del punto (a). La dimostrazione di (b) è basata sulla seconda equazione car-

dinale. La daremo tra poco dopo avere riscritto le equazioni cardinali usando σ e solo la parte

2

(a).

Commenti. 3 {e }

(1) Fissiamo un base per T , non necessariamente ortonormale. Da teoremi noti

E i i=1,2,3

X

di calcolo tensoriale, ∗i

hS(t, ie

S(t, X, e ) = X, e ), e i

k k

ossia ∗j

j hS(t, i

S (t, X, e ) = X, e ), e

k k

per cui usando (39) a primo membro

ji ∗j

i hS(t, i

σ (t, X)δ = X, e ), e

k

k 31

ossia jk ∗j

hS(t, i

σ (t, X) = X, e ), e . (40)

k

Se la base usata è ortonormale, tenendo conto dell’identificazione naturale tra spazio tangente

7

e cotangente individuata dal prodotto scalare, l’identità di sopra si scrive equivalentemente :

jk ·

σ (t, X) = (S(t, X, e )|e ) = S(t, X, e ) e . (41)

j j

k k

Tali identità sono utili nel calcolo effettivo del tensore degli sforzi.

∈ ∈

(2) Si fissino t e X C . Il tensore degli sforzi σ(t, X), è rappresentato da una matrice reale

R t i

simmetrica in una base ortonormale dello spazio tangente [σ] di elementi σ = σ . Tale matrice

ij j

3 t

si potrà quindi diagonalizzare in tramite una rotazione: R [σ]R = diag(λ , λ , λ ). In altre

R 1 2 3

3 3

parole, leggendo il risultato in T , esisteranno in T al tempo t, tre vettori mutuamente

E E

X X

ortogonali e normalizzati f , f , f (corrispondenti alla base ortonormale in cui la matrice di σ è

1 2 3

in forma diagonale) detti direzioni principali tali che (senza somma su i!)

σ(f ) = λ f .

i i i

Le forze di superficie relative ai piani normali a ciascun f sono quindi esercitate lungo la stessa

i

direzione normale. Si noti che le direzioni principali dipendono dal tempo t e dal posto X.

3.4 Le equazioni cardinali della dinamica dei continui in forma differenziale

locale.

Torniamo alle equazioni cardinali della dinamica (31) e (32) e trascriviamole in termini locali

facendo uso della parte (a) del teorema di Cauchy. La prima equazione si può riscrivere, usando

coordinate cartesiane ortonormali:

I

Z D i i i j

V (t, X) f (t, X) dµ(X) = σ (t, X)n dΣ(X) .

ρ(t, X) j

Dt ∂V

V t

t

Usando il teorema della divergenza (in coodinate cartesiane), l’identità di sopra si può riscrivere

Z Z

D ∂

i i ij

ρ(t, X) V (t, X) f (t, X) dµ(X) = σ (t, X) dµ(X) .

j

Dt ∂x

V V

t t

7 Si consideri uno spazio vettoriale reale di dimensione n, dotato di un prodotto scalare (definito positivo),

· · ·

(·|·), e sia e , , e una base ortonormale. Se f indica il vettore covariante ottenuto da e tramite l’isomorfismo

1 n i i

he i |e

naturale tra lo spazio vettoriale ed il suo duale dovuto al prodotto scalare, deve essere , f = (e ) = δ . Ma

i i

k k ik

∗1 ∗n

he i · · · · · ·

l’identità , f = δ definisce univocamente, come noto, la base duale e , , e associata a e , , e . In

i 1 n

k ik ∗i i i

|e |e

altre parole, per basi propriamente ortonormali risulta f = e . Di conseguenza (a|e ) = (a e ) = a (e ) =

i j i j i j

∗j ∗j

i he i ha, i.

a , e = e Ossia, in uno spazio vettoriale reale di dimensione n dotato di un prodotto scalare, per

i ∗j

ha, i,

un generico vettore controvariante a vale (a|e ) = e in riferimento ad una qualsiasi base ortonormale

j

· · ·

e , , e .

1 n 32

Per l’arbitrarietà di t e V , usando la Proposizione 2.1, l’identità di sopra equivale alla richiesta

t

C,

che per ogni (t, X) D ∂

1

i i ij

− −

V (t, X) f (t, X) σ (t, X) = 0 ,

j

Dt ρ(t, X) ∂x

dove abbiamo tenuto conto della positività di ρ. In coordinate arbitrarie ed indicando con Ξ,

j

la derivata covariante rispetto alla j-esima coordinata Ξ, l’identità di sopra diventa la prima

j

equazione cardinale dei continui in forma differenziale e locale:

D 1

i i ij

− −

V (t, X) f (t, X) σ , (t, X) = 0 . (42)

j

Dt ρ(t, X)

Passiamo ora a (32). Essa si riscrive, usando il tensore degli sforzi ed in coordinate cartesiane

ortonormali centrate in O:

Z I

D

j j kl

k k l

ρ(t, X) x x σ (t, X)n (X) dΣ(X) ,

V (t, X) f (t, X) dµ(X) =

ijk ijk

Dt

V ∂V

t t

dove abbiamo introdotto lo pseudotensore di Ricci che è costante in coordinate cartesiane

ijk

ortogonali. Usando un’altra volta il teorema della divergenza ed il fatto che le componenti

di sono costanti nelle coordinate dette, troviamo analogamente a quanto visto per la prima

equazione cardinale, che la validità dell’identità integrale trovata per ogni t e volume materiale

regolare con frontiera regolare equivale a

D 1 ∂

j k j k j kl

− −

x V x f (x σ ) = 0

ijk l

Dt ρ ∂x

ovvero:

1

D j kl j kl

k j k

j − − σ + x σ , ) = 0

V x f (δ

x l

ijk l

Dt ρ

ovvero: kl

D σ , 1

l

j k k kj

− −

x V f = σ .

ijk ijk

Dt ρ ρ

Si noti che assumendo la prima equazione cardinale nella forma (42), il primo membro risulta

essere nullo e la seconda equazione cardinale si riduce a:

kj

σ = 0 .

ijk

pqi

Moltiplicando per e ricordando che p q p q

pqi −

= δ δ δ δ ,

ijk j j

k k

l’identità trovata si riduce a p q p q kj

(δ δ δ δ )σ = 0 ,

j j

k k

33

C,

ossia, per ogni (t, X) vale la seconda equazione cardinale dei continui in forma differen-

ziale e locale: qp pq

σ (t, X) = σ (t, X) . (43)

La simmetria di un tensore non dipende dalle coordinate per cui quanto trovato vale in ogni

sistema di coordinate. Questo risultato, tra le altre cose, prova la seconda parte del Teorema

3.1. Si osservi che procedendo a ritroso, abbiamo subito che (43) implica la seconda equazione

cardinale (32) se si assume la prima equazione cardinale. In definitiva:

la coppia di equazioni differenziali locali (42) e (43) sono equivalenti alla coppia di equazioni

integrodifferenziali (29) e (30).

Osservazione. Le equazioni cardinali della dinamica scritte in termini differenziali e locali non

necessitano della struttura di spazio affine per avere senso, al contrario di quelle indefinite

(integrodifferenziali) come notato precedentemente. In effetti le (42) e (43) si prestano a ge-

neralizzazioni in ambiti lontani dalla fisica classica. In particolare nella teoria della relatività

generale in cui il tensore degli sforzi è sostituito dalla sua diretta generalizzazione data dal ten-

sore energia-impulso. In tal caso la struttura di spazio affine sulla varietà ambiente è impossibile

in base agli stessi principi della teoria relativistica generale.

3.5 Relazioni Costitutive per i continui meccanici.

Riassumendo tutto quanto visto in questo capitolo, un continuo generico è individuato da un

F {X ·)}

flusso differenziabile = (t, , una densità di massa differenziabile ρ, un campo diffe-

t t∈R ∈

renziabile di (densità di) forze di massa f un campo tensoriale degli sforzi σ. Per ogni t R,

X C devono essere verificate le seguenti equazioni in forma locale differenziale:

t

l’equazione di continuità: ∂ i

ρ(t, X) + ρ(t, X)V (t, X) , = 0 ;

i

∂t

la prima equazione cardinale della dinamica:

D 1

i i ij

− −

V (t, X) f (t, X) σ (t, X), = 0 ;

j

Dt ρ(t, X)

la seconda equazione cardinale della dinamica:

ij ji

σ (t, X) = σ (t, X) .

A tali condizioni bisogna aggiungere, come vincolo, la richiesta di positività della densità di

∈ ∈

massa per ogni t X C :

R, t ρ(t, X) > 0 ,

unitamente ad ulteriori condizioni valide al bordo del continuo di cui si è detto precedentemente.

34

Il problema della dinamica è quello di determinare il flusso del continuo, o più debolmente il

8

campo di velocità da cui, almeno localmente, si determina il flusso . In tale problema si consi-

derano funzioni assegnate, unitamente alle condizioni al contorno, le sole forze di massa f (nel

caso di continuo incompressibile sussiste l’ulteriore vincolo di densità costante il cui valore è

assegnato che deve essere soddisfatto dalle soluzioni trovate e sussiste sempre il vincolo di po-

sitività di ρ.) Le grandezze da determinarsi sono di conseguenza, per ogni tempo e punto, non

solo le 3 componenti del campo di velocità, ma anche la densità di massa e le 9 componenti del

tensore degli sforzi. In tutto 3 + 1 + 9 = 13 funzioni incognite. Le equazioni assegnate sopra

invece coinvolgono 1 + 3 + 3 = 7 equazioni indipendenti tra funzioni scalari. Di conseguenza

sono necessarie altre 13 7 = 6 equazioni al fine di produrre, almeno in linea di principio, un

sistema di equazioni differenziali deterministico.

Deve essere chiaro, d’altra parte che le equazioni scritte sopra valgono per ogni genere di con-

tinuo, per cui le equazioni che mancano specificheranno il tipo di continuo che si intende consi-

derare. Tali relazioni sono dette equazioni costitutive del continuo. Usualmente descrivono

delle relazioni funzionali (differenziali o integrodifferenziali) tra le 6 componenti indipendenti

del tensore degli sforzi e altri oggetti dinamici (i tensori di deformazione o di velocità di defor-

mazione del continuo stesso).

Noi abbiamo considerato solo continui meccanici e non termodinamici. In questo secondo caso

altre grandezze ed altre equazioni entrano in gioco. È chiaro che in tal caso i principi genen-

rali della termodinamica devono essere estesi a sistemi continui cosı̀ come abbiamo fatto per i

principi della dinamica.

3.6 Bilanci energetici e velocità di deformazione.

Consideriamo una porzione materiale di continuo V C data dal solito insieme aperto regolare

0 0 ∈

con frontiera regolare. L’energia cinetica di tale porzione al tempo t è definita come la

R

diretta generalizzazione al caso continuo della definizione data nel caso di insiemi discreti di

punti materiali: Z 1 2

T (V ) := ρ(t, X)V(t, X) dµ(X) . (44)

t 2

V

t

In meccanica dei sistemi discreti sussiste il cosiddetto “Teorema delle forze vive” che afferma

che la derivata temporale dell’energia cinetica del sistema uguaglia la potenza complessiva delle

forze che agiscono sul sistema (interne ed esterne). Per ottenere un teorema analogo, calcoliamo

la derivata temporale del primo membro facendo uso della Proposizione 2.2.

i

Z

dT (V ) 2 DV

t = ρV dµ .

i

dt 2 Dt

V

t

8 Una volta noto il campo di velocità in rappresentazione euleriana, V = V(t, X), si devono considerare

i 1 2 3

il sistema di equazioni differenziali dy /dt = V (t, y (t), y (t), y (t)), i = 1, 2, 3, che ammette soluzioni uniche

1 2 3

almeno localmente. Tali soluzioni, viste come funzioni di t e della condizione iniziale X = (X , X , X ) daranno

0 0 0 0

i i i i

luogo ad una trasformazione differenziabile (nelle nostre ipotesi di regolarità) y = y (t, X ) con X = y (0, X ).

0 0

0

i i

Il flusso è allora dato (localmente) dalla trasformazione X = y (t, X ), i = 1, 2, 3.

0

35

Facendo uso della prima equazione cardinale (42),

Z

dT (V )

t i ij

ρf V + σ , V dµ =

= i j i

dt V

t

Z Z Z

i ij ij

ρf V dµ σ V , dµ + σ V , dµ .

i i j i j

V V V

t t t

Usando il teorema della divergenza, l’ultimo integrale si riscrive

I ij

σ V n dΣ ,

i j

∂V t ij

mentre il secondo si riscrive, data la simmetria di σ ,

Z 1

ij (V , +V , ) dµ .

σ i j j i

2

V t

In definitiva troviamo l’equazione delle forze vive per i continui:

Z

dT (V ) (vol.) (sup.est.)

t ij

= Π + Π D (t, X)σ (t, X) dµ(X) , (45)

ij

V V

dt t t V t C,

dove abbiamo introdotto il campo tensoriale detto di velocità di deformazione, (t, X)

1

D (t, X) := (V , (t, X) + V , (t, X)) , (46)

ij i j j i

2

mentre Z

(vol.) i

Π ρ(t, X)f (t, X)V (t, X)dµ(X) ,

:= i

V

t V

t

e I

(sup.est.) ij

Π σ (t, X)n (X)V (t, X)dΣ(X) ,

:= j i

V

t ∂V t

sono rispettivamente la potenza dissipata dalla forze di massa nel volume V e la potenza

t

dissipata dalla forze esterne sulla superficie ∂V al tempo t.

t

L’integrale Z

(stress) ij

Π := D (t, X)σ (t, X) dµ(X) ,

ij

V t V t

rappresenta invece la potenza delle forze interne di stress dissipata nel volume V al

t

tempo t.

Esercizi 3.1.

3.1.1 Mostrare che (45) equivale all’equazione differenziale locale meno illuminante:

D ρ

T(t, i ij i

X) = ρf V + σ , V V V divV ,

i j i i

Dt 2

36

dove ρ

T(t, i

X) := V (t, X)V (t, X) ,

i

2

è la densità di energia cinetica.

La potenza dissipata dalle forze interne è nulla in particolare quando il tensore di velocità di

deformazione si annulla identicamente. In ogni caso la dissipazione di energia da parte delle forze

interne è dovuta al fatto che il volume di continuo considerato si deforma. È importante notare

che la deformazione non include i moti rigidi del continuo: se il flusso del continuo corrisponde

ad un moto rigido, anche in un solo istante, non si ha deformazione e non si ha dissipazione

di energia da parte delle forze interne di stress in quell’istante. Vale infatti il teorema seguenente.

Teorema 3.2. Se all’istante t l’atto di moto del continuo è rigido, ossia, per ogni X C e per

t

3 3

∈ ∈

qualche X e per vettori (costanti) ω, V V ,

E

0 0 ∧ −

V(t, X) = V + ω (X X ) ,

0 0

allora D (t, X) = 0 ,

ij

(stress)

∈ (t) = 0 per ogni porzione materiale di continuo

per ogni X C e di conseguenza Π

t V

regolare.

Dimostrazione. Nelle ipotesi fatte, usando coordinate cartesiane ortonormali centrate in X :

0

j k j

V , = 0 + ω X , = ω ,

i p p ijp

ijk

da cui j j

V , +V , = ω + ω = 0

i p p i ijp pji

2

per l’antisimmetria di .

3.7 Sistemi continui soggetti a forze di massa conservative.

Consideriamo l’equazione delle forze vive (45) nel caso in cui le forze di massa siano conservative,

3

−∇u,

ovvero f = dove la funzione differenziabile u = u(X) non dipende da t e definita su .

E

Introduciamo la densità di energia meccanica 2

V(t, X)

(t, X) := + u(X) , (47)

c 2

∈ ∈ ⊂

definita per t X C . Notiamo ancora che, se V C è una porzione materiale di continuo

R, t 0 0

regolare, vale Z Z

d Du

ρu dµ = ρ dµ .

dt Dt

V V

t t

37

Du ∂u

· ∇u

Ma = V in quanto l’altro addendo, , è nullo per definizione. Concludiamo che

Dt ∂t

Du −V ·

= f e quindi:

Dt Z

d (vol.)

−Π

ρu dµ = .

V

dt t

V t

Inserendo il risultato e la definizione di nella (45) otteniamo l’equazione di bilancio

c

energetico per i continui soggetti a forze conservative:

Z

Z

d (sup.est.) ij

− D (t, X)σ (t, X) dµ(X) . (48)

ρ(t, X) (t, X) dµ(X) = Π ij

c V

dt t V

V t

t

scrivibile in modo esplicito come: I

Z

d ij

σ (t, X)n (X)V (t, X)dΣ(X)

ρ(t, X) (t, X) dµ(X) = j i

c

dt ∂V

V t

t Z ij

− D (t, X)σ (t, X) dµ(X) . (49)

ij

V t

In tale formula si vede che, in generale la densità di energia meccanica non si conserva “inse-

guendo una porzione materiale di continuo”, ma è dissipata dalle forze di volume e dalle forze

interne del continuo. La (49) non è quindi un’equazione di conservazione o di continuità, ma

solo un’equazione di bilancio. Per ottenere una qualche forma di equazione di continuità (cioè di

conservazione) di qualche forma di energia, bisogna aggiungere a un contributo energetico che

c

dipende dalle forze interne del continuo, ma ciò non è sempre possibile. Ci sono casi particolari

in cui è invece possibile definire una energia totale conservata: il caso dei fluidi barotropici ed il

caso dei continui elastici. Non è invece mai possibile nel caso di presenza di forze viscose (fluidi

viscosi).

Al solito, usando il teorema della divergenza nel primo integrale a secondo membro, usando le

Proposizioni 2.1 e 2.2, una forma equivalente della (49) scritta in termini locali è:

D ij ij

ρ(t, X) (t, X) + σ (t, X)D (t, X) (σ (t, X)V (t, X)), = 0 , (50)

c ij i j

Dt

∈ ∈

per ogni t e X C .

R t

Per concludere diamo ancora una versione integrale della (49) usando un volume geometrico

fissato. Prima di tutto, usando l’equazione di continuità della massa è facile provare che (50)

equivale a ∂ ij ij

(ρ ) + div(ρ V) + σ D (σ V ), = 0 ,

c c ij i j

∂t 3

∈ ∈ ⊂

per ogni t e X C . Fissiamo ora un insieme regolare con frontiera regolare, V ,

R E

t

sufficientemente piccolo perchè abbia senso quanto segue. Integrando l’equazione trovata su V

ed usando il teorema della divergenza, si ha

Z I Z

∂ ij

− · −

ρ dµ = J (t, X) n dΣ D σ dµ ,

c c ij

∂t V ∂V V

38

dove n è al solito uscente e abbiamo introdotto il vettore di flusso di energia meccanica:

J := ρ(t, X) (t, X)V(t, X) σ(V(t, X)) .

c c

L’equazione trovata mostra che l’energia meccanica nel volume fisso V può variare sia a causa

del flusso di energia che entra/esce in tale volume, ma anche a causa di un termine di sorgente

dovuto alle forze interne al continuo stesso. 39

4 Elementi di Meccanica dei Fluidi.

4.1 Fluidi ideali o perfetti, legge di Pascal.

Un continuo è detto un fluido quando, in condizioni di equilibrio, (cioè quando il campo di

velocità è nullo e tutte le funzioni definite sul fluido indipendenti dal tempo) gli sforzi sono

2

∈ ∈

normali alle superfici corrispondenti. Ossia, per ogni X C = C e per ogni n ,

S

t 0

S(X, n) = s(X, n)n . ∈

Ulteriormente, è richiesto che lo sforzo sia sempre compressivo, ossia, per ogni X C = C e

t 0

2

per ogni n ,

S ≤

s(X, n) 0 .

Un fluido è detto ideale o perfetto, quando la relazione di sopra sussiste per qualsiasi tipo di

2

∈ ∈ ∈

flusso: per ogni X C , t n ,

R, S

t S(t, X, n) = s(t, X, n)n .

Si richiede ancora che lo sforzo sia compressivo.

Commento. Il fatto che lo sforzo sia compressivo significa che la densità di forza superficiale

che il resto del continuo esercita su una porzione materiale V attraverso la superficie di essa, è

t

sempre diretta verso l’interno di V stesso.

t

Il teorema di Cauchy ha una conseguenza immediata per i fluidi, il cosiddetto principio di

Pascal che assicura che la pressione non dipende dalla direzione n.

Teorema 4.1. Ogni fluido ha tensore degli sforzi all’equilibrio dato da

ij ij

−p(X)g

σ (X) = (X)

dove g è il tensore metrico. In particolare, in coordinate cartesiane ortonormali

ij ij

−p(X)δ

σ (X) = .

I fluidi ideali, indipendentemente dal flusso hanno un tensore degli sforzi della forma

ij ij

−p(t,

σ (t, X) = X)g (X) .

In particolare, in coordinate cartesiane ortonormali

ij ij

−p(t,

σ (t, X) = X)δ .

La funzione p, detta pressione non dipende da n ed è sempre non negativa in entrambi i casi.

40

Dimostrazione. Dimostriamo la tesi per il primo caso, la prova è la stessa nel secondo caso.

Fissiamo un punto X C e siano e , e , e delle direzioni principali per σ(p) (che danno luogo

t 1 2 3

ad una base ortonormale). Sarà allora vero che (dove non c’è la somma su i!),

ij ij

σ (X) = λ (X)δ

(i)

1

Scegliamo n = (e + e + e ). Dovrà essere

√ 1 2 3

3 σ(X)n = s(X, n)n ,

ovvero in componenti 1

1

√ √

λ (X) = s(X, n) ,

(i)

3 3

per i = 1, 2, 3. Ciò implica in particolare che, per il punto X, λ = λ = λ . Di conseguenza,

(1) (2) (3)

sarà ij ij

−p(X)δ

σ (X) = 2

−p ≤

dove 0 è il valore comune dei tre autovalori.

4.2 Fluidi barotropici.

Un fluido è detto barotropico quando all’equilibrio, soddisfa una relazione costitutiva del tipo:

ρ(X) = g(p(X)) ,

∞) → ∞)

dove g : [0, (0, è una funzione differenziabile nota. Un fluido ideale è detto barotro-

pico quando, per ogni flusso, soddisfa una relazione costitutiva del tipo:

ρ(t, X) = g(p(t, X)) ,

∞) → ∞)

dove g : [0, (0, è una funzione differenziabile nota indipendente dal flusso.

Si osservi che quindi un fluido barotropico è soggetto a 7 equazioni costitutive date dalle 6 re-

j j

−pδ

lazioni indipendenti in σ = più la relazione di barotropicità ρ = g(p). In realtà viene

i i

introdotta anche la nuova variabile p. In definitiva si hanno, riprendendo il discorso generale

fatto precedentemente sul numero di variabili e di equazioni in un continuo generico: 13 + 1 = 14

variabili e 7 + 7 = 14 equazioni di vario genere. In linea di pricipio il sistema determina il flusso

del fluido (o almeno il campo di velocità) una volta assegnate opportune condizioni al contorno.

D’ora in poi scriveremo semplicemente ρ = ρ(p) invece di ρ = g(p) ogni volta che ciò non provoca

fraintendimenti. Per i fluidi barotropici si introduce il potenziale barotropico:

0

p

Z dp

P(p) := , (51)

0

ρ(p )

p 0

41

essendo p un valore di pressione arbitrario (P è definito a meno di una costante arbitraria). La

0

dipendenza di ρ da p usata sopra è quella dovuta alla funzione g. Abbiamo scritto sopra ρ(p)

invece di g(p) per evitare notazioni complicate.

P(p)

7→

Si osservi che la funzione p è sicuramente invertibile con inversa differenziabile. Ciò è

0

una conseguenza del fatto che ρ(p ) > 0 per ipotesi per cui

dP −1

= (ρ(p)) > 0

dp

P(p)

7→

che implica che la funzione p sia crescente e quindi invertibile, con inversa differenziabile:

−1

dp dP > 0 .

=

dP dp

Una relazione utile è la seguente che segue subito dal primo teorema del calcolo

1

(P(p(t, X))) , = p(t, X), . (52)

i i

ρ(t, X)

Esempi 4.1.

4.1.1. Un esempio banale di fluido ideale barotropico è un fluido ideale incompressibile come

l’acqua in condizioni normali (trascurando l’evaporazione). In tal caso la funzione g è costante:

ρ = ρ . Il potenziale barotropico vale semplicemente (a meno di costanti)

0 p

P(p) .

= ρ

0

4.1.2. Un esempio meno banale è dato da un gas ideale in condizioni isoterme (tale situazione

si ha in condizioni opportune in meteorologia studiando porzioni ristrette di atmosfera). In tal

caso vale l’equazione dei gas perfetti: pV = KN T ,

dove T è la temperatura costante, K è la costante di Boltzmann e N è il numero di particelle.

La relazione equivale a p(t, X) = CT ρ(t, X) ,

dove, essendo C e T costanti, si ha una relazione di tipo barotropico. Il potenziale barotropico

vale, se p è una qualsiasi pressione di riferimento,

0 p

P(p) = CT ln .

p 0

4.1.3. Consideriamo un modello di gas più sofisticato che soddisfi l’equazione di Van der Waals

a temperatura fissata: a

p + (v b) = RT .

2

v 42

Sopra v è il volume specifico che è proporzionale a 1/ρ. Ridefinendo il significato delle costanti,

l’equazione di Van der Waals può essere riscritta:

1

2 −

p + aρ b = RT .

ρ

Le costanti a, b > 0 caratterizzano il tipo di gas, R è la costante dei gas perfetti e T la solita

temperatura assoluta che è supposta essere tenuta costante. È ben noto che se T è grande,

le curve p = p(v) (equivalente a p = p(ρ)) tendono ad assumere la forma caratteristica delle

isoterme dei gas perfetti: iperboli. In tal caso la relazione p = p(ρ) può essere invertita in

ρ = ρ(p) ed il gas può considerarsi un continuo barotropico. Quando la temperatura si abbassa

fino ad una temperatura detta critica, T , dipendente dal tipo di gas, la curva p = p(v) ammette

c

un punto di flesso a tangente orizzontale. Diminuendo ancora la temperatura, il punto di flesso

si separa in un minimo relativo, un flesso ed un massimo relativo (nell’ordine detto procedendo

da sinistra verso destra sull’asse v) che coesistono nella curva p = p(v). In tal caso compare

una banda sull’asse p, compresa tra il minimo relativo ed il massimo relativo suddetti, in cui

ad un valore di p sono attribuibili 3 valori di v e quindi di ρ. Per temperature minori di T

c

non ha quindi matematicamente senso il modello di fluido barotropico. Dal punto di vista

fisico la ragione è chiarissima. Temperature T < T corrispondono alla coesistenza di due fasi

c

del gas: quella gassosa e quella liquida. Il sistema fisico, può essere un miscuglio instabile in

cui le due fasi coesistono senza separarsi, ma la separazione avviene rapidamente in seguito

ad una perturbazione esterna (le gocce d’acqua che formano la pioggia coesistevano, prima

della separazione, nelle nuvole in forma di miscuglio instabile di acqua e vapore acqueo detto

“moisture”). Quindi sotto la temperatura critica non ha senso il modello di continuo usato

fino ad ora. Al più si potrebbe usare un modello costituito da due continui coesistenti con

possibilità di travaso di massa da uno all’altro (per cui l’equazione di continuità per ciascuno

dei due continui necessiterebbe di un termine di pozzo/sorgente dipendente dall’altro continuo).

4.3 Statica dei fluidi barotropici.

Riguardo alla statica dei fluidi barotropici abbiamo il seguente risultato.

Teorema 4.2. Condizione necessaria affinché il flusso di fluido barotropico sottoposto ad un

campo di forze di massa f = f (X), sia in equilibrio (ossia il campo di velocità sia nullo e

tutte i campi scalari e tensoriali definiti su di esso siano indipendenti dal tempo) è che f sia

conservativo, ossia sia il gradiente di un campo scalare.

In particolare vale 1

i i

f (X) = p(X), . (53)

ρ

In tal caso le superfici equipotenziali sono anche superfici isobare (ossia a pressione costante)

e isopicnotiche (ossia a densità costante). 43

Dimostrazione. La prima equazione cardinale (42), nell’ipotesi V = 0 identicamente, si scrive

1

i ij

f = σ , j .

ρ

Usando il Teorema 4.1, l’equazione si riscrive

1

i ij

f = pδ , j ,

ρ

ovvero 1

i i

f = p, .

ρ

P

Usando infine (52), dopo avere espresso in funzione di p, che non dipende da t per ipotesi, si

P

ha che la funzione che risolve il problema statico soddifa

P,

i i

= f .

Ma questa equazione ci dice anche che f è il gradiente di un campo scalare che non dipende da

t, ossia f è conservativa. Essendo le superfici equipotenziali normali a f esse devono coincidere

P P(p)

7→

con le superfici su cui è costante. Dato che, come visto, la funzione p è invertibile, le

superfici equipotenziali coincideranno con quelle a p costente. Infine dato che ρ = ρ(p) per la

2

barotropia, le superfici saranno anche a ρ costante.

Esercizi 4.1.

4.1.1 Considerare un fluido incompressibile all’equilibrio nel campo gravitazionale uniforme

−ge

g = . Ricavare la legge di Stevino

z −

p(x, y, z) = p ρ g z ,

0 0

dove z è la quota verticale, ρ la densità costante del fluido e p la pressione alla quota z = 0.

0 0

(Suggerimento. Usare l’equazione dell’equilibrio (53).)

4.1.2 Considerare un fluido compressibile dato da un gas ideale all’equilibrio nel campo gravi-

−ge

tazionale uniforme g = , tenuto alla temperatura costante T . Dimostrare che

z 0

gz

p(x, y, z) = p e ,

CT 0

0

dove z è la quota verticale, C una costante dipendente dal gas e p la pressione alla quota z = 0.

0

(Suggerimento. Usare l’equazione dell’equilibrio (53) tenendo conto dell’equazione dei gas per-

fetti p = CT ρ.) 44

4.4 Dinamica dei fluidi perfetti barotropici: Equazione di Eulero e Teorema

di Bernoulli.

Dalle definizioni date è immediato verificare che la prima equazione cardinale per un fluido ideale

ha la forma: i

DV i i

ρ = ρf p, .

Dt

Sotto l’ipotesi di fluido barotropico possiamo usare (52), ottenendo

i

DV P,

i i

= f .

Dt

È possibile esplicitare il primo membro in altro modo utile per alcune applicazioni sotto l’ipotesi

che f sia data dal gradiente di un potenziale:

i i

−u(t,

f (t, X) = X), .

Esplicitando il primo membro della prima equazione cardinale scritta sopra, si ha che essa è

riscrivibile come: i

∂V P)

j i i

+ V V , = (u + , .

j

∂t

Ci serve un risultato tecnico per procedere. 3

Proposizione 4.1. Per un campo differenziabile V su , vale l’identità

E

1

j k ∧

V V , = (V V ), + ([rotV] V) . (54)

i j i

k i

2

Dimostrazione. Il primo addendo a secondo membro si esplicita banalmente in:

k

V V , .

i

k

Passiamo al secondo addendo. Esplicitando in coordinate cartesiane ortonormali il rotore ed il

prodotto vettoriale si ha: q

q r k

jqr k jqr k r −

∧ − −(δ δ δ )V , V .

([rotV] V) = ( V , )V = V , V = δ r q

r q r q

ijk jik i

k

i i k

Quindi otteniamo: k k

∧ −V

([rotV] V) = , V + V , V .

i i

k k

i

Raccogliendo i risultati ottenuti, il secondo membro di (54) è

k k k k j

V V , +(−V , V + V , V ) = V , V = V V , .

i i i i i j

k k k k

2

Questa è la tesi. 45

Concludiamo che la prima equazione cardinale della dinamica per fluidi ideali barotropici sotto-

posti a campi di forze di massa derivabili da un potenziale prende la forma dell’equazione di

Eulero: 2

∂V(t, X) V(t, X)

P(p(t,

∧ −∇ . (55)

+ (rotV(t, X)) V(t, X) = u(t, X) + X)) +

∂t 2

2

V(t,X)

P(p(t,

Il campo scalare B(t, X) := u(t, X) + X)) + è detto trinomio di Bernoulli.

2

P

N.B. In questa equazione la dipendenza di da p è supposta nota e V e p stesso sono i campi

incogniti. L’equazione deve essere associata a (1) l’equazione di continuità e (2) alla relazione

P.

nota ρ = ρ(p) usata per determinare la funzione Il numero di equazioni scalari è 3 + 1 = 4

e il numero delle funzioni scalari incognite è ancora 4 (le 3 componenti di V e la pressione

p). In linea di principio le funzioni incognite sono determinabili dalle equazioni unitamente a

condizioni al contorno.

L’equazione di Eulero ha come conseguenza il noto teorema di Bernoulli ed alcune altre leggi

empiriche della fluidodinamica che ora diventano teoremi. Le superfici di vortice usate nel teore-

ma si definiscono analogamente a quelle di flusso usando il campo di vorticità al posto di quello

di velocità.

Teorema 4.3 (di Bernoulli). Si consideri un fluido ideale barotropico soggetto a forze di

massa conservative e se ne consideri un flusso stazionario con p indipendente dal tempo. Sotto

tali ipotesi:

(a) lungo le linee di flusso (o corrente) si conserva il trinomio di Bernoulli B;

(b) le superfici a B costante sono anche superfici di flusso e di vortice;

(c) se ulteriormente il flusso è irrotazionale, il trinomio di Bernoulli è costante su tutta la con-

figurazione.

Dimostrazione. Le equazioni di Eulero (55) si scrivono, se V non dipende dal tempo esplicita-

mente (flusso stazionario) ∧ −∇B(X)

(rotV(X)) V(X) = ,

dove il trinomio di Bernoulli non dipende da t perché p e u non dipendono da t. Consideriamo

i i

una linea di flusso, in coordinate arbitrarie, x = x (u) che quindi soddisfa

i

dx i

= V (x(u)) .

du

La variazione di B su di essa è:

i

dB(x (u)) i −V · ∧

= V (x(u))B(x(u)), = (rotV(X)) V(X) = 0 . (56)

i

du

Questo perché i due fattori del prodotto scalare di sopra sono perpendicolare per costruzione. (a)

risulta quindi essere provato. Per quanto riguarda (b) notiamo che ogni superficie a B costante

46

ammette B, come vettore normale, ma per la stessa (56), tale superficie è parallela sia a V che

i ∇B

a rotV e ciò prova (b). Se infine rotV = 0, (56) prova che = 0 per cui, essendo la configura-

2

zione connessa, B = B(X) è una funzione costante su di essa. Con questo anche (c) è provato.

Esempi. 4.2.

4.2.1. Se prendiamo un contenitore largo ma non troppo alto, aperto in cima, e lo riempiamo di

acqua, praticando un piccolo foro alla base del contenitore, l’acqua esce ad una velocità iniziale

pari a 2gh, dove h è l’altezza del pelo dell’acqua e g l’accelerazione di gravità. La velocità

è la stessa che ha un corpo che cade da un’altezza h quando tocca il suolo (trascurando gli

attriti). Questa è la Legge di Torricelli. Il fenomeno si ha quando il contenitore è tanto largo

e il buco tanto piccolo, che si può trascurare l’abbassamento del livello dell’acqua a causa della

fuoriuscita dal foro e quando l’acqua è praticamente immobile se non nelle immediate vicinanze

del foro. Il fenomeno è spiegabile con il teorema di Bernoulli. Assumiamo che nelle nostre ipo-

tesi, dentro il recipiente il fluido si trovi in situazione stazionaria e irrotazionale. Siamo nel caso

(c) del teorema di sopra. Assumiamo ancora che, dato che il contenitore non è troppo alto, la

pressione p dell’aria e quindi dell’acqua sia la stessa sul pelo dell’acqua e immediatamente fuori

0

dal foro nel getto dell’acqua. Definiamo nullo il potenziale gravitazionale alla quota del foro. Il

campo di velocità nel punto X vicino al pelo dell’acqua è nullo ed il trinomio di Bernoulli vale

p p

0 2

0 0

B(X) = gh + . Nel foro invece il valore del trinomio è semplicemente B(X ) = V /2 + .

ρ ρ

0 0

Uguagliando i due valori segue la legge di Torricelli.

4.2.2. Come secondo esempio consideriamo il cosiddetto effetto Venturi. Prendiamo un con-

dotto orizzontale a sezioni normali circolari in cui scorre acqua in flusso stazionario e supponiamo

che il condotto abbia sezioni di area differente di raggi r < R rispettivamente. Assumiamo che

i centri dei due cerchi abbiano la stessa quota. Si può verificare sperimentalmente che, quando

l’acqua scorre la pressione nel centro della sezione di raggio minore è minore di quella nella

sezione di raggio maggiore (effetto Venturi). Anche in questo caso il teorema di Bernoulli spiega

l’effetto. In base alla legge di Castelli vista precedentemente e tenendo conto del fatto che l’acqua

è incompressibile in condizioni normali, si ha subito che il modulo della velocità dell’acqua nella

sezione di raggio minore deve essere maggiore del modulo della velocità nella sezione di raggio

maggiore per conservare la portata. La costanza del valore del trinomio di Bernoulli su una

linea di corrente che connette i centri (alla stessa quota) delle sezioni implica immediatamente

l’effetto Venturi.

4.5 Rotazionalità dei fluidi ideali barotropici, Teorema di Thompson.

Se è dato un fluido ideale barotropico e se il flusso è irrotazionale allora il campo di forze di massa

è localmente ottenuto come gradiente di un potenziale. Infatti, la prima equazione cardinale,

procedendo come per dedurre le equazioni di Eulero, risulta essere:

2

∂V V

P

∧ − ∇

+ (rotV) V = f + .

∂t 2

47

Se il flusso è irrotazionale allora l’equazione si riduce a 2

∂V V

P

−∇ .

= f +

∂t 2 2

Calcolando ancora il rotore ad ambo membri (sotto l’ipotesi di V di classe C per poter scambiare

le derivate spaziali con quella temporale), si trova 2

V

P

− ∇ ∧ ∇

0 = rotf + .

2

Ma l’ultimo addendo è nullo come è immediato provare (rot grad = 0), per cui f ammette

almeno localmente potenziale.

Se quindi il campo di forze di massa non è conservativo il flusso non può essere irrotazionale.

Cosa dire riguardo al flusso quando il campo di forze è conservativo, può essere non irrotazionale?

Il seguente Teorema di Thompson chiarisce quando un fluido ideale barotropico ha flusso irro-

tazionale.

Teorema 4.4 (di Thompson). Si consideri un fluido ideale barotropico sottoposto a forze di

⊂ ⊂

massa conservative. Sia γ C una curva regolare chiusa di particelle di fluido e γ C la

0 t t

sua evoluzione al generico tempo t secondo il flusso. Vale

R I

d ·

V dγ = 0 .

dt γ

t

In particolare il campo di velocità ammette potenziale (quindi è irrotazionale) ad un arbitrario

tempo t se e solo se ammette potenziale al tempo t = 0.

R

Dimostrazione. L’ultima parte del teorema segue subito dalla prima in base al Teorema 1.2, per

cui ci riduciamo a dimostrare la sola equazione scritta nella tesi. L’equazione di γ sarà X =

t

X(t, X (s)), dove X = X (s) è l’equazione di γ . Quindi introducendo coordinate cartesiane

0 0 0 0

1 2 3

ortonormali x , x , x : j i k

I I ∂x (t, x (s)) ∂x dx

0 0

·

V dγ = δ ds .

ij k

∂t ds

∂x

γ γ 0

t 0

Possiamo derivare il primo membro passando il segno di derivata sotto l’integrale del secondo

membro ottenendo: i i

I I I

d DV ∂x ∂V

i k k

· −

V dγ = dx V dx .

i

0 0

k k

dt Dt ∂x ∂x

γ γ γ

0 0

t 0 0

Procedendo oltre i

I I I

d DV 1 ∂V V

i k

· · − dx .

V dγ = dγ 0

k

dt Dt 2 ∂x

γ γ γ 0

t 0 0

48

Il secondo integrale è nullo per costruzione, per cui, usando la prima equazione cardinale che

nelle ipotesi fatte è: DV P)

−∇

= (u + ,

Dt

otteniamo I

I ∂

d P) k

· −

V dγ = (u + dx = 0 .

k

dt ∂x

γ

γ

t 0

2

Questa è la tesi.

Il teorema ha un importante corollario. ⊂

Corollario 4.1 Nelle ipotesi del Teorema 4.4, se Σ C è una superficie di vortice regolare

0

allora la sua evoluzione secondo il flusso è una superficie di vortice ad ogni istante.

Dimostrazione. Una superficie regolare Σ è di vortice in C se e solo se per ogni curva regolare

t t

chiusa γ C ,

t t I ·

V dγ = 0 .

γ

t ⊂

Lasciamo la prova di ciò per esercizio. A questo punto la tesi è immediata notando che γ Σ

0 0

se e solo se γ Σ e che la circolazione non cambia evolvendo contemporaneamnete secondo il

t t 2.

flusso la curva e la superficie.

4.6 Bilancio dell’energia per fluidi ideali barotropici.

Consideriamo un continuo perfetto soggetto a forze conservative. L’equazione di bilancio ener-

getico (49) è in tal caso per ogni porzione materiale di continuo regolare con frontiera regolare

Z I

Z

d − ·

ρ dµ = p divV dµ pV n dΣ . (57)

c

dt V V ∂V

t t t ij ij

−pg

dove abbiamo usato la forma del tensore degli sforzi di un fluido ideale σ = .

Assumeremo che il fluido perfetto sia anche barotropico, in tal caso l’equazione di bilancio di

sopra assume una forma più semplice se si definisce opportunamente un’energia per le forze

interne al continuo. A tal fine definiamo la densità di energia barotropica

p(t, X)

P(p(t, −

u (t, X) := X)) . (58)

b ρ(p(t, X))) ∈ ∈

Proposizione 4.2. La densità di energia barotropica soddisfa l’identità, per ogni t X C ,

R, t

D −p(t,

ρ(t, X) u (t, X) = X) divV(t, X) . (59)

b

Dt 49

Dimostrazione. ∂p dρ ∂p ∂p

D 1 p 1

− · ∇u

u = + + V

b b

2

Dt ρ ∂t ρ dp ∂t ρ ∂t

∇p ∇p

p ∂p

dρ p dρ

· ∇p −

= + V +

2 2

ρ dp ∂t ρ ρ dp ρ

dρ ∂p dρ Dp Dρ

p p p

· ∇p

= + V = = .

2 2 2

ρ dp ∂t ρ dp Dt ρ Dt

Usando infine l’equazione di continuità della massa si ha:

D p −1

− −ρ

u = ρ divV = p divV,

b 2

Dt ρ

2

che è la tesi.

Se inseriamo (59) in (57) otteniamo l’equazione di bilancio energetico per un fluido ideale

barotropico: I

Z

d − ·

ρ(t, X) (t, X)dµ = p(t, X)V(t, X) n(X) dΣ , (60)

cb

dt V ∂V

t t

dove abbiamo introdotto la densità di energia meccanica totale:

2

V(t, X)

(t, X) := + u(X) + u (t, X) .

cb b

2

La forma locale di (60) è: D

ρ(t, X) (t, X) + div (p(t, X)V(t, X)) = 0 .

cb

Dt

Se infine introduciamo il vettore di flusso energetico

J (t, X) := (ρ(t, X) (t, X) + p(t, X)) V(t, X) ,

cb cb

la forma integrale dell’equazione di bilancio, in riferimento a un volume geometrico fisso V è (lo

si provi per esercizio):

Z I

∂ ·

ρ(t, X) (t, X)dµ + J (t, X) n(X) dΣ = 0 . (61)

cb cb

∂t V ∂V

Esercizi 4.2.

4.2.1. Mostrare che se un fluido ideale barotropico è contenuto in un contenitore di volume V

fissato, allora qualunque sia il flusso del fluido, si conserva l’energia totale

Z

E = ρ(t, X) (t, X) dµ(X) .

cb

V 50

(Suggerimento. Notare che il campo di velocità sulle pareti del contenitore deve essere tangente

ad esse.)

4.2.2 Quanto vale u per un fluido incompressibile?

b

4.2.3. Mostrare che, per un fluido incompressibile in regime stazionario (tutte le funzioni che

lo caratterizzano sono cioé indipendenti dal tempo), l’equazione (61) unitamente alla legge di

2

Castelli implicano che la quantità (trinomio di Bernoulli) ρV /2 + ρu + p sia constante sulle

linee di flusso.

(Questa è una dimostrazione semplificata di parte del teorema di Bernoulli che normalmente si

trova sui testi di fisica elementare. In essa si vede che l’equazione di Bernoulli, nel caso specifico

in esame ha un significato energetico.) 51

5 Fluidi viscosi di Navier-Stokes.

5.1 Non fisicità della dinamica dei fluidi ideali.

I fluidi reali non sono in generale sempre incompressibili, ma possono considerarsi tali con una

buona approssimazione, però hanno caratteristiche che comunque li differenziano dal modello

ideale (barotropico) visto precedentemente. Il punto cruciale è la viscosità che esiste in natura

nei fluidi, completamente trascurata nel modello ideale basato sulle equazioni di Eulero. La

viscosità è responsabile di forze, che si esercitano tra porzioni di fluido contigue, che non sono

dirette normalmente alle superfici di separazione, ma hanno componenti tangenziali. Il tensore

degli sforzi non può essere espresso semplicemente come (in coordinate cartesiane ortonormali):

ij

−pδ , ma necessita di un’aggiunta di un termine non diagonale responsabile delle forze di taglio

di cui sopra. La pressione p non è quindi più in grado da sola di rendere conto della dinamica

(anche se per la statica è sufficiente). Chiunque abbia osservato l’acqua scorrere in un canale

può avere osservato che, in regime non turbolento, il campo di velocità ad una quota fissata ha

modulo nullo ai bordi del canale dove l’acqua è ferma, mentre è massimo al centro del canale. Lo

stesso fenomeno di rallentamento del campo di velocità all’interno de fluido si ha avvicinandosi

al fondo del canale abbassando la quota di osservazione. La responsabilità di ciò è da attribuirsi

proprio alla parte non diagonale del tensore degli sforzi che frena le linee di corrente (in parti-

colare vicino ai bordi del canale in cui i bordi stessi agiscono sul fluido frenandolo).

Mostriamo che il modello di fluido ideale non è in grado di rendere conto di tali fenomeni nem-

meno lontanamente.

Consideriamo un canale a cielo aperto di lunghezza e larghezza infinita ma profondità finita H

pieno d’acqua trattata come fluido ideale incompressibile. Il liquido arriva fino all’orlo. In tale

canale, sia x l’asse di scorrimento del fluido ideale e y la direzione trasversa, mentre z è l’asse

verticale. L’origine degli assi è sul fondo del canale. Il flusso è assunto stazionario e sottoposto

al campo gravitazionale costante. Se assumiamo completa omogeneità lungo l’asse trasversale y

il campo di velocità avrà la forma: V(X) = V (x, z)e .

x

Vogliamo determinare tale campo unitamente al campo di pressione p = p(x, y, z), usando il

modello di fluido ideale incompressibile (e quindi barotropico). Le equazioni da usare sono

l’equazione di continuità, che si riduce alla solenoidalità del flusso

divV = 0 ,

e le equazioni di Eulero nel caso stazionario, nel campo gravitazionale e per un fluido incom-

pressibile: 2

V p

∧ −∇

(rotV) V = + + gz .

2 ρ

0

La prima delle due equazioni implica che il campo V può solo essere funzione di z. Inserendo

V(X) = V (z)e

x

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AUTORE

Jacko

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Dispense di Fisica matematica del prof. Moretti sulla meccanica dei continui, campi di velocità e accelerazione, equazione di continuità, equazione di incompressibilità, tensore degli Sforzi di Cauchy, meccanica dei fluidi, fluidi ideali o perfetti, legge di Pascal, fluidi viscosi di Navier Stokes, teoria dell'elasticità lineare, tensori di deformazione, tensori di velocità di deformazione, onde elastiche, energia elastica, statica dei fluidi barotropici, Legge di Castelli.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in matematica
SSD:
Università: Trento - Unitn
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Jacko di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trento - Unitn o del prof Moretti Valter.

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