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Matrice inversa Appunti scolastici Premium

Questo appunto tratta la matrice inversa, come sviluppata nel corso di lezioni di Algebra delle Matrici tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico i temi sviluppati sono: matrice inversa sinistra della matrice quadrata, matrice inversa destra, Il determinante di una matrice quadrata, determinante di una matrice triangolare,... Vedi di più

Esame di Algebra delle matrici docente Prof. F. Carlucci

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Modulo IV – Algebra delle matrici

Teorema 1.2 - Data una matrice quadrata , si ha

A

−1 −1

=(detA)

detA

Osservazione 1.3 - Dal teorema 1.1 segue che il determinante di una

matrice diagonale (che è anche triangolare) è uguale al prodotto degli

elementi diagonali.

L’aggiunta di una matrice quadrata

L’aggiunta di una matrice quadrata è la trasposta di un'altra matrice quadrata

A

dello stesso ordine il cui elemento generico di posto si calcola come

(i,j)

determinante della sottomatrice di ottenuto eliminando la -esima riga e la -

A i j

esima colonna, moltiplicato per .

i+j

(−1)

Esempio 1.12 - L’aggiunta della matrice (1.3.3) è

  −

− −  

2 3 3 4

( 1

) 3 ( 1

) 6 =

   

− −

3 4

  6 16

( 1

) 4 ( 1

) 16

mentre l’aggiunta della matrice (1.3.4) può essere trovata soltanto

calcolando i nove determinanti

     

2 10 10 10 10 2

= − = =

     

det 6 det 60 det 18

  

3 12 6 12 6 3

     

1 5 5 5 5 1

= − = =

     

det 3 det 30 det 9

  

3 12 6 12 6 3

     

1 5 5 5 5 1

= = =

     

det 0 det 0 det 10

  

2 10 10 10 10 2

L’aggiunta è allora ′

 

− − − − −

 

2 3 4

( 1

) ( 6 ) ( 1

) 60 ( 1

) 18 6 3 0

    (1.4.7)

− − − − = −

3 4 5

( 1

) ( 3 ) ( 1

) 30 ( 1

) 9 60 30 0

   

 

− − −  − 

4 5 6  

( 1

) 0 ( 1

) 0 ( 1

) 10 18 9 10

 

Quindi la matrice inversa della (1.3.3) è

 

1 1

−  

 

3 4

1 8 6

=  

 

− 1 2

24 6 16  − 

 

4 3 1-13

Modulo IV – Algebra delle matrici

mentre l'inversa della (1.3.4) non può essere calcolata poiché il suo

determinante è nullo.

Osservazione 1.4 - Dalla definizione di aggiunta segue che se una

matrice è simmetrica tale è anche la sua inversa.

L’inversa di una matrice partizionata

Un’utile proprietà dell’inversa riguarda la matrice partizionata in sottomatrici

(1.2.5)  

A A

= 11 12

 

A  A A

21 22

nella quale le e siano quadrate e non singolari. Si dimostra che l’inversa di

A A

11 22

è

A  

− 1

B B A A

− =

1  

11 11 12 22 (1.4.8)

A − +

− − − −

1 1 1 1

 

A A B A A A B A A

22 21 11 22 22 21 11 12 22

dove ( )

= − 1

1

B A A A A (1.4.9)

11 11 12 22 21

La (1.4.8) è la cosiddetta formula dell’inversa partizionata. Dalle (1.4.8) e (1.4.9)

scaturisce che se la matrice ha la struttura diagonale a blocchi della (1.2.6), cioè

A

se i suoi blocchi non diagonali e sono tutti nulli

A A

11 22

 

A 0

= 11

  (1.4.10)

A  0 A 22

allora l’inversa partizionata si semplifica in

 

− 1

A 0

− =

1  

11 (1.4.11)

A − 1

 

0 A 22

(cioè l’inversa di una matrice diagonale a blocchi è la matrice diagonale delle

inverse). =

Applicando la (1.4.11) alla matrice diagonale si vede che la

D < d d … d >,

1 2 n

= − − −

sua inversa sarà anch’essa una matrice diagonale -1 1 1 1

D < d d … d >.

1 2 n

Il determinante di una matrice partizionata

Nelle applicazioni statistiche è anche utile l’espressione del determinante della

matrice partizionata (1.2.5) in termini dei blocchi che la compongono. Si dimostra

che valgono le relazioni 1-14


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta la matrice inversa, come sviluppata nel corso di lezioni di Algebra delle Matrici tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico i temi sviluppati sono: matrice inversa sinistra della matrice quadrata, matrice inversa destra, Il determinante di una matrice quadrata, determinante di una matrice triangolare, L’aggiunta di una matrice quadrata, L’inversa di una matrice partizionata.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra delle matrici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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