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Matrice inversa Appunti scolastici Premium

Questo appunto tratta la matrice inversa, come sviluppata nel corso di lezioni di Algebra delle Matrici tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico i temi sviluppati sono: matrice inversa sinistra della matrice quadrata, matrice inversa destra, Il determinante di una matrice quadrata, determinante di una matrice triangolare,... Vedi di più

Esame di Algebra delle matrici docente Prof. F. Carlucci

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Modulo IV – Algebra delle matrici

1.4 La matrice inversa

−1

Si definisce con la matrice inversa sinistra della matrice quadrata , cioè

A A

quella per la quale −1 = (1.4.1)

A A I −1

Analogamente si può definire la matrice inversa destra della matrice quadrata

A

in modo tale che sia

A −1 =

AA I

−1 −1

= =

Poiché , l’inversa destra e l'inversa sinistra di una matrice

AA A A I

quadrata coincidono e sono semplicemente dette inversa.

Data una matrice quadrata di ordine , si dimostra che la sua inversa

A n

consiste nel prodotto dell'inverso del suo determinante, che è uno scalare, per la sua

matrice aggiunta, anche questa di ordine , che passiamo a definire. Segue da

n

questo che anche la matrice inversa è di ordine .

n

Se indichiamo con detA il determinante e con l'aggiunta, si ha, dunque,

1 aggA

1

=

− (1.4.2)

1

A agg A

det

A −1

dalla quale segue che se allora esiste l'inversa ; in questo caso la matrice

detA≠0 A

è detta non singolare. Se , la matrice è chiamata singolare.

A detA=0

Il determinante di una matrice quadrata

Nel caso di una matrice di ordine due

 

a a

= 11 12

 

A 

a a

21 22

il determinante è semplicemente dato dal prodotto degli elementi della diagonale

principale meno il prodotto degli elementi della secondaria

= −a

detA a a a

11 22 12 21

Esempio 1.10 - Il determinante della matrice quadrata (1.3.3) è

.

48−24=24

Nel caso, invece, di una matrice quadrata di ordine tre è conveniente scrivere

A

di seguito alle tre colonne della matrice nuovamente le prime due 2

|A|

Altra comune notazione per il determinante è .

1 È la regola detta di Sarrus.

2 1-11

Modulo IV – Algebra delle matrici

 

a a a a a

11 12 13 11 12

  (1.4.3)

a a a a a

 

21 22 23 21 22

 

 

a a a a a

31 32 33 31 32

calcolando il determinante come somma dei tre prodotti che si ottengono dalla

diagonale principale di e dalle due sue parallele nella tabella di tre righe e

A

cinque colonne (1.4.3) +a +a (1.4.4)

a a a a a a a

11 22 33 12 23 31 13 21 32

alla quale vanno sottratti i tre prodotti che si ottengono dalla diagonale secondaria

di e dalle due sue parallele

A +a +a (1.4.5)

a a a a a a a

31 22 13 32 23 11 33 21 12

Dunque, il determinante della matrice quadrata di ordine tre è dato dalla somma

(1.4.4) meno la (1.4.5).

Esempio 1.11 - Il determinante della matrice quadrata (1.3.4) è

calcolabile mediante la tabella

 

5 1 5 5 1

  per cui vale

10 2 10 10 2 120+60+150−60−150−120=0

 

 

 

6 3 12 6 3

da cui si nota che la matrice (1.3.4) è singolare.

In generale chiamiamo determinante della matrice quadrata di ordine data

A n

dalla (1.2.1) per l'espressione

m=n ∑

= ± (1.4.6)

det A ( ) a a ...

a

h h nh

1 2

1 2 n

h ,..., h

1 n

dove gli sono gli elementi di e la sommatoria è estesa a tutte le permutazioni

a A

ij della ennupla . Il segno più vale se la permutazione è pari e

(h ,h ,…,h ) (1,2,…,n)

1 2 n

quello meno se è dispari .

3

Valgono per i determinanti le seguenti proposizioni:

Teorema 1.1 - Il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli

elementi diagonali.

La permutazione è pari se il numero delle inversioni del secondo indice rispetto all'ordine

3

naturale è pari; la permutazione è dispari se tale numero è dispari. Ad esempio, nel

prodotto il numero delle inversioni è due e quindi la permutazione è pari, mentre

a a a

12 23 31

nel prodotto il numero delle inversioni è tre e la permutazione è dispari.

a a a

13 22 31 1-12


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta la matrice inversa, come sviluppata nel corso di lezioni di Algebra delle Matrici tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico i temi sviluppati sono: matrice inversa sinistra della matrice quadrata, matrice inversa destra, Il determinante di una matrice quadrata, determinante di una matrice triangolare, L’aggiunta di una matrice quadrata, L’inversa di una matrice partizionata.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra delle matrici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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