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1.1 Giochi in forma strategica

Esempio 1: Testa e Croce Due giocatori, G e G , hanno una monetina ciascuno con due facce: Testa (T) o Croce

1 2

(C). Ciascuno dei due giocatori dopo aver tirato la propria monetina e deve mostrarne la faccia. Se le due monetine

e e,

risultano avere la stessa faccia (T e T oppure C e C), G vince 1 e G perde 1 se hanno facce opposte (T e C

1 2

e e.

oppure C e T) G vince 1 e G perde 1 E’ fondamentale che le monetine vengano mostrate contemporaneamente.

2 1

La rappresentazione in forma strategica di questo gioco necessita dell’utilizzo di una “bi-matrice”. Le righe stanno

a indicare le scelte possibili di G . Analogamente le colonne rappresentano le scelte a disposizione di G . I numeri che

1 2

compaiono nelle caselle interne rappresentano i guadagnipayoff dei nostri due giocatori. Ad esempio, se G sceglie C e

1

G sceglie T troviamo (1,-1). Il primo numero (cioè 1) rappresenta il guadagno di G , mentre il secondo ci dice quello

2 1

di G (cioè -1, vale a dire che G perde un euro).

2 2 \G TESTA CROCE

G

1 2

TESTA -1,1 1,-1

CROCE 1,-1 -1,1 {T,

Per questo gioco, ci sono due giocatori G e G . L’insieme delle strategie del giocatori G è S = C},

1 2 1 1

{T,

l’insieme delle strategie del giocatori G è S = C}. Le funzioni di payoff dei giocatori sono:

2 2

× → {−1, × → {−1,

f : S S 1} e f : S S 1}

1 1 2 2 1 2 Ad ogni

Per ogni gioco in forma strategica il vettore delle strategie giocate dai giocatori si chiama profilo strategico.

profilo strategico corrisponde un esito del gioco, ad es: (Croce, Croce), allora vince G . Ad ogni esito corrisponde un

2

× × × → <.

payoff per ogni giocatore : f : S S ... S

i 1 2 N

1.2 Soluzioni e concetti di equilibrio

La soluzione di un gioco è una descrizione sistematica dei risultati che possono emergere in un determinato tipo di

gioco, partendo dall’ipotesi di razionalità dei giocatori.

Nel seguito tratteremo i concetti di soluzione più importanti e più noti.

Il primo e più debole concetto di soluzione di un gioco in forma normale è quello di eliminazione iterata delle

strategie strettamente dominate. ∈

Definition 5. Equilibrium I (Eq. I) Una strategia s S è strettamente dominata per il giocatore i nel gioco G

i i N

,i ∈

se esiste una strategia s S tale che

i ,i

u (s , s ) < u (s , s )

−i −i

i i i

per tutti s S ;

−i −i ,i

∈ ∈

Una strategia s S è debolmente dominata per il giocatore i nel gioco G se esiste una strategia s S tale che

i i N i

,i

u (s , s ) u (s , s )

−i −i

i i i

per tutti s S ;

−i −i

Una strategia che domina (debolmente o strettamente) tutte le altre si dice (debolmente o strettamente) dom-

inante. Ovviamente, se esiste una strategia strettamente dominante, questa è unica. Possono invece esistere più

strategie debolmente dominanti. Se ciascun giocatore dispone di una strategia dominante, allora si dice che il gioco ha

una soluzione dominante.

Strategie strettamente dominate possono essere eliminate sulla base del principio di razionalità. Dopo avere elimi-

nato alcune strategie strettamente dominate, altre strategie strettamente dominate possono emergere e possono essere

ulteriormente eliminate. Il processo di eliminazione iterato delle strategie strettamente dominate si basa sulla common

knowledge della razionalità: ogni iterazione richiede che tale CK sia più profonda. Se il giocatore i sa che gli altri

giocatori sono razionali, allora i può prevedere che i suoi rivali cancelleranno le loro strategie dominate che emergono

dopo la sua eliminazione Ma solo se gli altri sanno che i è razionale, si può prevedere che essi cancelleranno le strategie

dominate che emergono.

Consideriamo il seguente esempio: \G

G L C R

1 2

U 4, 3 3, 5 2, 4

M 9, 4 2, 5 3, 4

D 5, 3 0, 2 2, 3

Ciascun giocatore confronta le proprie strategie a due a due. Per il G la strategia D è strettamente dominata dalla

1

strategia M. G non sceglierà mai la strategia D. Possiamo eliminarla dal gioco. Data la nuova matrice del gioco:

1 \G L C R

G

1 2

U 4, 3 3, 5 2, 4

M 9, 4 2, 5 3, 4

Per il giocatore G le strategie L ed R sono strettamente dominate dalla strategia C. Il giocatore G , dunque, sulla

2 2

base del principio di razionalità non sceglierà mai le strategie L ed R. Una volta eliminate anche queste due strategie,

il gioco diventa: \G C

G

1 2

U 3, 5

M 2, 5

Per il G M diventa strategia strettamente dominata. Il gioco avrà, cosı̀, un profilo di strategie di equilibrio secondo

1

la definizione 5 Eq.I: (U,C) con payoff di equilibrio (3, 5).

Spesso non esitono strategie dominate, non è possibile, dunque, escludere alcun esito dal gioco.

Consideriamo il seguente gioco: (La battaglia dei sessi). Lui e Lei hanno deciso di trascorrere la serata assieme.

Prima che le batterie del cellulare di Lui si scaricassero, i due stavano discutendo animatamente. Lui cercava di

convincere Lei ad andare a vedere un film d’azione al Cinema, Lei invece cercava di portarlo a un balletto classico al

Teatro. Ambedue, comunque, preferiscono uscire insieme piuttosto che rimanere separati.

Teatro Cinema

Lui\Lei

Teatro 3,1 0,0

Cinema 0,0 1, 3

Per questo gioco non esiste un equilibrio in strategie dominanti (Eq.I).

Il secondo concetto di soluzione di un gioco in forma normale è quello di eliminazione iterata delle strategie non

razionalizzabili (never best response). ∈

Definition 6. Equilibrium II - Eq. II Nel gioco G la strategia s S è una risposta ottima (best response) per

N i i

il giocatore i rispetto alle strategie degli altri giocatori s se

−i ,i

u (s , s ) u (s , s )

−i −i

i i i

,i ∈

per tutte s S .

i ∈

Definition 7. Una strategia s S non è mai risposta ottima (never a best response - NBR) se non esiste alcuna

i i

s per la quale s sia una risposta ottima.

−i i

Qualsiasi sia l’aspettativa del giocatore i circa le strategie dei suoi avversari s , una never best response è sempre

−i

peggiore di un’altra strategia. Quindi una never best response non può essere giustificata, qualsiasi siano le aspettative

del giocatore sul comportamento degli altri.

Definition 8. Nel gioco G le strategie in S che sopravvivono all’eliminazione iterata delle strategie never best re-

N i

sponse sono definite come strategie razionalizzabili del giocatore i.

Consideriamo il seguente gioco: \G b b b b

G 1 2 1 2 3 4

a 0, 7 2, 5 7, 0 0, 1

1

a 5, 2 3, 3 5, 2 0, 1

2

a 7, 0 2, 5 0, 7 0, 1

3

a 0, 0 0,-2 0, 0 10,-1

4

Per il giocatore G la strategia b è una NBR: non verrà mai scelta, qualunque sia la scelta dell’altro giocatore. Di

2 4

conseguenza, il gioco diventa: \G

G b b b

1 2 1 2 3

a 0, 7 2, 5 7, 0

1

a 5, 2 3, 3 5, 2

2

a 7, 0 2, 5 0, 7

3

a 0, 0 0,-2 0, 0

4

Per il giocatore G la strategia a è diventata una NBR. E’, dunque, una strategia che può essere eliminata in base

1 4

al principio di razionalità. Il gioco diventa: \G

G b b b

1 2 1 2 3

a 0, 7 2, 5 7, 0

1

a 5, 2 3, 3 5, 2

2

a 7, 0 2, 5 0, 7

3

Non esistono altre NBR, dunque le strategie che restano sono tutti equilibri razionalizzabili (Eq. II) per entrambi

i giocatori! 1

Il terzo concetto di soluzione di un gioco in forma normale è quello ben noto di Equilibrio di Nash .

Definition 9. Equilibrio di Nash Un profilo strategico s = (s , s , ..., s ) è un equilibrio di Nash del gioco G =

1 2 N N

Q

{1, } → <, ∈ ∈

(N = 2, ..., N , S , f : S i N ) se per ogni giocatore i N

i i i ,i

u (s , s ) u (s , s )

−i −i

i i i

,i ∈

per tutte s S

i

Ogni giocatore adotta la sua best response, non rispetto a un qualsiasi profilo strategico adottato dai suoi avversari,

ma rispetto alle strategie giocate dai sui avversari in equilibrio. Non basta solo la razionalità: il concetto di Equilibrio

di Nash richiede che i giocatori prevedano correttamente quali strategie saranno adottate dagli avversari. In equilibrio

di Nash, nessun giocatore ha un incentivo a deviare.

Ogni strategia parte di un equilibrio di Nash è razionalizzabile (Eq. II) (è una best respose): quindi ci sono almeno

tanti esiti in strategie razionalizzabili quanti sono gli equilibri di Nash. Ogni equilibrio in strategie dominanti (Eq. I)

è parte dell’equilibrio di Nash.

Consideriamo il seguente esempio:

Esempio 3 - (Il dilemma del prigioniero). Due persone, sospettate di aver commesso un reato sono detenute in celle

separate. Ognuno può scegliere di confessare(C) oppure di non confessare(NC). La scelta di ciascuno dei due influenza

anche il destino dell’altro. Infatti, se entrambi confessano, saranno condannati a 4 anni di prigione avendo, cosı̀ 1 anno

di sconto di pena. Se solo uno dei due confessa, accusando dunque l’altro, potrà beneficiare di uno sconto totale della

pena, mentre l’altro sarà condannato a 5 anni (per l’aggravante di non aver voluto collaborare). Se nessuno dei due

confessa, in mancanza di prove testimoniali, ambedue le persone saranno accusate soltanto di danni al patrimonio e

condannate ad 1 anno di prigione. La tabella riporta i payoff relativi agli sconti di pena rispetto a ciascuna strategia:

\G C NC

G

1 2

C -5, -5 0, -10

NC -10, 0 -1, -1

Il giocatore G non ha interesse a “deviare”giocando NC, poichè in tal caso il suo payoff (ovvero, gli anni di galera

1

che si fa rispetto alla condanna massima) è pari a -10, quindi minore strettamente di -1. Lo stesso dicasi per G , data

2

la simmetria del gioco.

L’equilibrio di Nash di questo gioco è, pertanto, (C,C). Se i due giocatori potessero coordinarsi, giocherebbero (NC,

NC)!

1.3 Giochi in forma Estesa - cenni

Una rappresentazione alternativa alla forma normale è la forma estesa. Nella forma estesa viene esplicitato:

1. chi sono i giocatori;

2. quando è il turno di gioco di ogni giocatore;

3. cosa sa ciascun giocatore quando deve muovere;

1 Il matematico John F. Nash ha vinto nel 1994 il premio Nobel per l’Economia in condivisione con J.C. Harsanyi e R. Selten

“for their pioneering analysis of equilibria in the theory of non-cooperative games”


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Università: Salerno - Unisa
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher raffaella3393 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per l'economia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Salerno - Unisa o del prof Bimonte Giovanna.

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