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15

Parte I - Lezione I - pag

.

Pertanto il parametro b della funzione lineare misura la variazione di y generata dalla

dose unitaria di x.

Due esempi aiuteranno a comprendere meglio.

= =

e , la funzione lineare prende la forma:

Assumendo b 3 c 1 . 000

= ⋅ +

(I-15) .

y 3 x 1 . 000

=

Il valore di y in è:

x 101

( ) = × + =

y .

101 3 101 1 000

= 1 . 303 ,

=

mentre quello in è:

x 100

( ) = × + =

y .

100 3 100 1 000

(I-16) = 1

. 300 .

Dunque: ( ) ( )

− = − =

y 101 y 100 1 .

303 1 .

300

= 3 .

Cioè l’aumento di x da 100 a 101 genera una variazione di y esattamente uguale al

valore assunto per b. = = −

Fermo restando si assuma ora cosicché la funzione lineare

c 1 . 000 b 3

prende la forma: = − ⋅ +

(I-17) .

y 3 x 1 . 000

=

Il valore di y in diventa:

x 101

( ) = − × + = ,

y 101 3 101 1

. 000 697

=

mentre quello in diventa:

x 100

( ) = − × + =

(I-18) .

y 100 3 100 1

. 000 700

Dunque: ( ) ( )

− = − =

y 101 y 100 697 700

= −

3 .

Cioè la variazione di y è uguale al nuovo valore del parametro b.

Il lettore può autonomamente verificare che, per entrambe le funzioni lineari

considerate, le stesse variazioni di y (3 e -3) si ottengono somministrando dosi unitarie

di x a partire da valori iniziali diversi da 100. 16

Parte I - Lezione I - pag

.

I.7.2. Il grafico

La somministrazione ripetuta di dosi unitari della variabile indipendente,

‘costringe’ la funzione a percorrere ‘una scala’ di gradini tutti uguali. Il modulo (valore

assoluto) di b determina l’altezza dei gradini e perciò la ripidità della scala. il segno

determina se la scala ‘sale’ (da sinistra a destra) oppure ‘scende’.

Fuori dalla metafora, il grafico della funzione lineare è quindi una retta (solo

>

così l’altezza dei gradini può essere costante) crescente se , oppure decrescente se

b 0

< .

b 0 Nel Quadro I.8 sono disegnate quattro rette, rappresentative di altrettante

funzioni lineari, di cui

• due crescenti (per avere valori di b positivi) e due decrescenti (per avere

valori di b negativi);

• due più ripide delle altre due (per avere valori di b più grandi in modulo).

E’ ben noto che per due punti passa una sola retta. Perciò la tabulazione

necessaria a costruire il grafico di una funzione lineare è particolarmente semplice.

Basterà assegnare a x due soli valori. b'

= ⋅ +

y b x c

β β

′ ′

> ⇒ >

b b ′

= ⋅ +

y b x c b'

b

b b'

b ′

β β

= ⋅ +

y b x c

β β

′ ′

> ⇒ >

b b b'

= ⋅ +

y b x c b'

b b b'

b β ′

β

Quadro I.8

Modulo e segno del parametro b determinano l’angolo che il grafico della

funzione lineare forma col semiasse positivo delle ascisse. Ciò spiega perché b è

chiamato coefficiente angolare o pendenza (tanto della funzione lineare quanto della

retta che la rappresenta).

Esercizi = ⋅ +

Su carta a quadretti tracciare il grafico della funzione lineare .

18. y 3 x 6 17

Parte I - Lezione I - pag

.

= − ⋅ +

Ripetere l’esercizio precedente con la funzione .

19. y 3 x 6

= ⋅ −

Ripetere l’esercizio n. 18 con la funzione .

20. y 3 x 6

= − ⋅ −

Ripetere l’esercizio n. 18 con la funzione .

21. y 3 x 6

I.7.2.1. L’incontro con gli assi

Già sappiamo che il parametro c misura l’ordinata all’origine della retta che

rappresenta la funzione lineare, e perciò la distanza dall’origine del punto in cui essa

incontra l’asse verticale.

L’ascissa all’origine, e perciò la distanza dall’origine del punto in cui la retta

incontra l’asse orizzontale, è invece determinata da entrambi i parametri della funzione

=

lineare. Infatti, imponendo nella (I-13) (così da ‘costringere’ la retta ad incontrare

y 0

l’asse delle ascisse) si ottiene:

⋅ + =

b x c 0

da cui: c

= −

(I-19) .

x b

Pertanto, l’ascissa all’origine si ottiene cambiando il segno del quoziente tra il

parametro c e il parametro b.

I.7.2.2. Una scorciatoia

Le due circostanze (ordinata all’origine uguale a c e ascissa all’origine uguale a

− c b ) consentono di tracciare il grafico di una funzione lineare evitando di tabulare

quest’ultima. Come nel Quadro I.9 basterà:

• individuare sull’asse verticale il punto la cui distanza dall’origine è pari a

c,

• individuare sull’asse orizzontale il punto la cui distanza dall’origine è

− c b

pari a

• unire i due punti. c -c/b

Quadro I.9 18

Parte I - Lezione I - pag

.

= c b

Il metodo non funziona nei casi in cui perché le due distanze (c e ) si

c 0

annullano entrambe e i due punti si sovrappongono nell’origine.

Esercizi = ⋅ +

Evitando la tabulazione, su carta a quadretti tracciare il grafico della funzione lineare .

22. y 3 x 6

= − ⋅ + .

Ripetere l’esercizio precedente con la funzione

23. y 3 x 6

= ⋅ −

Ripetere l’esercizio n. 22 con la funzione .

24. y 3 x 6

= − ⋅ − .

Ripetere l’esercizio n. 22 con la funzione

25. y 3 x 6

I.7.2.3. Ulteriori significati del parametro b

Si è visto nella sezione I.7.1 che il parametro b della funzione lineare, che

abbiamo chiamato coefficiente angolare o pendenza, è la variazione di y generata da una

dose unitaria di x. Tuttavia b assume altri significati geometrici di cui dobbiamo ora

occuparci. Occorre distinguere il caso (normale) in cui da quello particolare in cui

c 0

= .

c 0 ≠ (la retta che rappresenta y non passa per l’origine degli assi) dividendo

Se c 0 − c b

l’ordinata all’origine c per l’ascissa all’origine [cfr. la (I-19)] si ottiene:

c

− = −

(I-20) c b .

b

Pertanto, b è il quoziente, cambiato di segno, fra l’ordinata e l’ascissa all’origine. In

mancanza dell’equazione che definisce la funzione lineare, tale significato può essere

utilizzato per risalire a b dal grafico. Ad esempio, nella Figura 1 del Quadro I.10 è fatta

l’ipotesi che l’ordinata all’origine e l’ascissa all’origine (misurate con un righello)

valgono, rispettivamente, 9 e 6. In base alla (I-20) possiamo risalire a b scrivendo

= − = −

b 9 6 1

, 5 . A Figura 2: c = 0

=

OA 9 9

Figura 1: c > 0 P

⇒ = − = −

b 1

, 5

6 A

=

OB 6

O B O B

=

OA 2 OA

⇒ = =

b 0 , 4

OB

=

OB 5

Quadro I.10

=

Se (la retta che rappresenta y passa per l’origine degli assi) allora b è il

c 0

quoziente fra l’ordinata e l’ascissa di ogni punto sulla retta che rappresenta la funzione

=

bx x b

lineare. Infatti, . 19

Parte I - Lezione I - pag

.

In mancanza del parametro b, il suo nuovo significato può essere usato per

determinarne il valore dal grafico. Basterà misurare, con un righello, le coordinate di un

punto (qualsiasi) sulla retta, come il punto P nella Figura 2 del Quadro I.10, e cambiare

il segno del loro quoziente.

Esercizi

Quanto misura il coefficiente angolare di una retta la cui ordinata all’origine è 100 mentre l’ascissa

26.

all’origine è 20?

Quanto misura la pendenza di una retta la cui ordinata all’origine è 100 mentre l’ascissa all’origine è

27.

-20? Scrivere le equazioni delle rette rappresentate nelle figure accluse.

28. y y

20 30

- 30 - 20 x

30

20 x - 10

- 40

Scrivere le equazioni delle rette rappresentate nelle figure accluse.

29. y y 30

15 x

20 x - 20

I.7.3. Le costanti

Da ultimo, occorre menzionare quelle funzioni lineari ‘molto speciali’ che sono

le costanti.

Una costante è una y che non varia al variare di x. Pertanto, è la negazione stessa

del concetto di funzione. Ciò nonostante, per amore di generalità, la costante è

=

interpretata come una speciale funzione lineare in cui . Una costante è perciò

b 0

=

definita da un’equazione del tipo .

y c

=

Poiché , è nulla l’altezza dei gradini che il grafico di y deve salire

b 0

somministrando dosi ripetute di x. Pertanto, una costante si rappresenta con una retta

orizzontale (parallela all’asse delle ascisse).

Come per le funzioni lineari in genere, così anche per le costanti, il parametro c

è suscettibile di assumere qualsiasi valore, anche nullo. La retta orizzontale che

rappresenta una costante 20

Parte I - Lezione I - pag

.

• =

coincide con l’asse delle ascisse se ,

c 0

• >

lo sovrasta se ,

c 0

• <

ne è sovrastata se .

c 0

I.8. La variabile marginale

Siamo pronti per affrontare un concetto molto importante sul quale fa grande

affidamento la microeconomia. Categorie economiche fondamentali che incontreremo

soprattutto nella Parte II di queste Lezioni (ad esempio, la produttività marginale dei

fattori produttivi e il costo marginale) altro non sono che ‘applicazioni’ del concetto che

dobbiamo imparare. Mettiamoci dunque al lavoro.

Si consideri una funzione qualsiasi (lineare oppure no). Si considerino un valore

− +

x qualsiasi della variabile indipendente nonché i valori limitrofi e che si

x 1 x 1

ottengono, rispettivamente, aggiungendo o sottraendo una unità. Infine si considerino i

corrispondenti valori di y che, in ordine crescente della variabile indipendente,

( ) ( ) ( )

− +

y x 1 y x y x 1

indichiamo con le notazioni , e .

Costruiamo ora le differenze:

( ) ( )

= + −

∆ y x 1 y x

d

(I-21) ( ) ( )

= − −

∆ y x y x 1 .

s

La prima esprime la variazione destra che y subisce aumentando x di un’unità. La

seconda esprime la variazione sinistra che y subisce diminuendo x di un’unità.

Al punto cui siamo arrivati, occorre ‘biforcare’ il ragionamento distinguendo

due casi.

I.8.1. Il caso delle funzioni lineari

= +

Se y è del tipo , già sappiamo dalla (I-14) della sezione I.7.1 che la

y bx c

variazione destra è espressa dal coefficiente angolare b. Ma b esprime anche la

variazione sinistra. Infatti:

( ) = +

y x bx c

e: ( ) ( )

− = − + =

y x 1 b x 1 c

= − +

bx b c

( ) ( )

∆ = − −

y x y x 1

cosicchè la differenza vale:

s

⋅ +

b x c

⋅ − +

b x b c

(I-22) + +

0 b 0 21

Parte I - Lezione I - pag

.

Ad adiuvandum, possiamo riconsiderare le funzioni lineari (I-15) e (I-17) per le

( ) ( )

− =

y 101 y 100 b . Occorre ora

quali nella sezione I.7.1 è stato verificato che

( ) ( )

− =

y 100 y 99 b

verificare che .

Cominciando dalla funzione (I-15), di cui si ricorderà l’equazione

= ⋅ + =

, il valore di y in è:

y 3 x 1 . 000 x 99

× + = .

3 99 1 . 000 1 . 297

= , si ottiene:

Sottraendolo al valore (I-16) in x 100

− = .

1 .

300 1

. 297 3 = − ⋅ +

Venendo alla funzione (I-17), di cui si ricorderà l’equazione , il valore

y 3 x 1 .

000

=

di y in è:

x 99 − × + = .

3 99 1 . 000 703

= , si ottiene:

Sottraendolo al valore (I-18) in x 100

− = − .

700 703 3

Il lettore può autonomamente verificare che, per entrambe le funzioni lineari, le

stesse variazioni di y (3 e -3) si ottengono riducendo di un’unità qualsiasi altro valore di

x diverso da 100.

Concludendo, si faccia riferimento al Quadro I.11 per definire variabile

marginale il valor comune delle variazioni di y destra (RQ) e sinistra (TZ) generate,

rispettivamente, da un aumento e una diminuzione unitari di x. La variabile marginale si

indica con la notazione y.mg. A dispetto del nome, y.mg è, in realtà, una costante.

Infatti, il suo valore è misurato dal coefficiente angolare di y qualunque sia il valore di x

considerato. = ⋅ +

y b x c

-1 R = =

QR TZ b

T Q

P

Z +1

Quadro I.11

Nella prossima sezione, scopriremo che la costanza si perde quando y cessa di

essere una funzione lineare. 22

Parte I - Lezione I - pag

.

I.8.2. Il caso delle funzioni non lineari

Le funzioni non lineari sono tutte quelle non rappresentabili mediante una retta.

Il Quadro I.12 mostra che la non linearità impedisce l’uguaglianza fra la variazione

destra di y (RQ) e quella sinistra (TZ). = ⋅ +

z b x c

-1 ( )

=

S y f x

R

T P Q

V +1

Z Quadro I.12

Nello stesso quadro è rappresentata la retta tangente alla curva nel punto P, di

= ⋅ +

equazione . Dalla sezione (I-7) sappiamo che b misura la variabile

z b x c

marginale della funzione lineare z, cioè il valor comune dei segmenti QS e TV.

Gli scarti RS e VZ, fra le variazioni della funzione y e le corrispondenti

variazioni della funzione z, non sono rilevanti. Infatti, ‘scorrimenti’ soltanto unitari

lungo l’asse delle ascisse non ‘danno il tempo’ alla curva y di divaricare

significativamente dalla retta z. Si può allora concludere che b approssima

‘sufficientemente bene’ sia la variazione destra di y (QR) sia quella sinistra (TZ),

assumendo peraltro un valore intermedio fra le due.

Utilizzando il segno (che denota ‘somiglianza’) si può quindi concludere che:

≈ ≈

(I-23) TZ b QR .

Per migliorare la somiglianza, è utile scegliere, per x, un’unità di misura

‘piccola’. Meno che mai, essa consente alla curva y di divaricare dalla retta z. Se fosse

possibile scegliere per x un’unità di misura ‘infinitamente piccola’, la divaricazione

scomparirebbe del tutto, cosicché la (I-23) potrebbe cedere il posto ad una vera e

propria uguaglianza.

Sfortunatamente, le unità di misura infinitamente piccole non esistono! Ad

esempio, si può misurare un peso in chilogrammi piuttosto che in quintali, oppure in

grammi piuttosto che in chilogrammi, oppure in milligrammi piuttosto che in grammi.

Ma, per quanto piccola, l’unità di misura prescelta non può mai esserlo ‘infinitamente’.

Rassegnandoci alle ‘quasi uguaglianze’ (I-23) accetteremo il coefficiente

angolare della retta tangente come ‘soddisfacente’ misura delle variazioni di y sia destra

sia sinistra, definendolo variabile marginale della funzione non lineare.

Dopo questa definizione, ogni funzione, lineare o non, è dotata di una ‘sua’

variabile marginale. Per le funzioni lineari, la variabile marginale è il coefficiente

angolare, mentre per quelle non lineari è il coefficiente angolare della retta tangente. 23

Parte I - Lezione I - pag

.

E’ il caso di accennare alle ragioni della denominazione: la variabile ‘marginale’

si chiama così in quanto, per ogni dato x, non misura il valore ‘totale’ di y, bensì il

valore ‘al margine’: quello di cui y può variare per variazioni unitarie di x.

Per meglio distinguerla dalla rispettiva variabile marginale, la funzione (lineare

o non) è talora chiamata variabile totale.

I.9. La variabile marginale come funzione

Si è visto che la variabile marginale di una funzione lineare è il coefficiente

angolare di quest’ultima. Perciò è una ‘costante’ nel senso che al termine è stato

riservato nella sezione I.7.3.

Si è visto altresì che la variabile marginale di una funzione non lineare è il

coefficiente angolare della retta tangente (con cui si vogliono approssimare le variazioni

destra e sinistra della funzione).

La Figura 1 del Quadro I.13 mostra che la variabile marginale di una funzione

non lineare è tutt’altro che costante. Infatti, muta al variare di x perché muta la retta

tangente e così anche il suo coefficiente angolare.

Al variare di x, la variabile marginale può cambiare non solo in valore assoluto

ma anche in segno. Se la funzione è crescente (come nella Figura 1 del Quadro I.12) lo

è anche la retta tangente il cui coefficiente angolare (variabile marginale) è perciò

positivo. Se la funzione è decrescente, lo è anche la retta tangente il cui coefficiente

angolare è perciò negativo. Nella Figura 2 del medesimo quadro è rappresentata una

funzione la cui pendenza è ‘prima’ negativa e ‘poi’ positiva.

Figura 1 Figura 2

R

Q P Q

P Quadro I.13

I.9.1. Il grafico

Poiché la variabile marginale di una funzione lineare è una costante, volendola

rappresentare sul piano cartesiano, dovremmo farlo con una retta orizzontale

(cfr.sezione I.7.3).

Ben diverso è il caso della varabile marginale di una funzione non lineare. In tal

caso, il grafico della prima può essere ricavato da quello della seconda assegnando, per

7

ogni x, un’ordinata uguale al coefficiente angolare della retta tangente .

7 Per quanto imparato nella sezione I.7.2.3, il coefficiente angolare della retta tangente si ottiene

• misurando (col righello) l’ordinata e l’ascissa all’origine, 24

Parte I - Lezione I - pag

.

Tale procedura è svolta sia nel Quadro I.14, che presenta due funzioni indicate

con le lettere R e S, sia nel Quadro I.15 che ne presenta altre due indicate con le lettere T

e V. y

y = ⋅ +

z ' b ' x c ' = ⋅ + = ⋅ +

z " b

" x c " z " b

" x c "

= ⋅ +

z ' b ' x c '

R S

x' x'' x' x''

y.mg y.mg

r b' b" x' x''

x' x'' b' b"

s

Quadro I.14

′ ′′

Alle ascisse e , su appositi piani cartesiani sono assegnate ordinate uguali

x x

′ ′′

ai coefficienti angolari, e , delle corrispondenti rette tangenti. Le sommità delle

b b

ordinate sono quindi unite con una curva (assumendo, per semplicità, che la variabile

marginale sia una funzione lineare).

Le variabili marginali così ottenute, dalle funzioni R, S, T e V, sono indicate con

le minuscole, rispettivamente, r, s, t e v.

Si osservi che le curve r e t giacciono nel primo quadrante mentre le curve s e v

giacciono nel quarto. Infatti, la variabile marginale di una funzione crescente è positiva

[lo sono le variazioni (I-21)] mentre quella di una funzione decrescente è negativa [lo

sono le stesse variazioni].

Ancora una volta, si sottolinea che, per ogni assegnato valore di x, l’ordinata

delle curve R, S, T, V misura il corrispondente valore ‘totale’ di y, mentre l’ordinata

delle curve r, s, t, v misura il valore ‘al margine’.

• dividendo la prima per la seconda,

• cambiando il segno del quoziente. 25

Parte I - Lezione I - pag

.

y y

= ⋅ +

z ' b ' x c '

= ⋅ +

z ' b ' x c ' = ⋅ +

z " b " x c " V

T = ⋅ +

z " b " x c "

x'' x' x''

x'

y.mg y.mg

t b"

b' x' x''

x' x'' b"

b' v

Quadro I.15

I.9.2. L’equazione definitoria

Nella sezione I.9.1 si è imparato come derivare il grafico delle variabile

marginale da quello della rispettiva variabile totale. Dobbiamo ora imparare come

derivare l’equazione della prima da quella della seconda.

Qui il discorso si fa un po’ più complesso. Le ‘regole di derivazione’ sono tante,

da applicare per le tante forme che l’equazione di y può assumere. Inoltre, la loro

dimostrazione richiede un impegno superiore a quello che queste Lezioni si

accontentano di chiedere al loro lettore. Pertanto

• enunceremo tre sole regole impegnandoci, nelle lezioni successive, a non

usarne altre;

• ne ometteremo le dimostrazioni, chiedendo al lettore altrettanti ‘atti di

fede’.

La prima regola riguarda la variabile marginale di una variabile totale v,

funzione di x, che risulti dalla somma di due altre funzioni di x: v e v . E’ intuitivo che,

1 2

per ottenere l’aumento di v generato da un aumento unitario di x, basta sommare gli

aumenti di v e v separatamente generati dallo stesso aumento. Perciò vale la regola:

1 2 = + ⇒ = +

(I-24) v v v v.mg v .mg v .mg ,

1 2 1 2 26

Parte I - Lezione I - pag

.

dove la ‘freccia di implicazione’ significa che dalla ‘ipotesi’, indicata a sinistra, segue la

‘tesi’ indicata a destra. In linguaggio non formalizzato, il teorema si enuncia dicendo

che l’equazione della variabile marginale di una funzione-somma (v) si ottiene

sommando le equazioni delle variabili marginali delle funzioni-addendo (v e v ).

1 2

Applicando più volte il teorema, se ne ottiene l’estensione al caso di una variabile totale

risultante dalla somma di qualsivoglia numero di funzioni.

La seconda regola è la seguente:

= ⋅ ⇒ = ⋅

z k y z .

mg k y

.

mg ,

(I-25)

vale a dire: la variabile marginale di una variabile totale (z) che sia un multiplo di una

funzione (y), si ottiene come multiplo della variabile marginale di quest’ulima.

La terza regola è la seguente: −

= ⇒ = ⋅

r r 1

(I-26) ,

y x y.mg r x

vale a dire: la variabile marginale di una variabile totale (y) che abbia la forma di una

potenza della variabile indipendente, si ottiene moltiplicando l’esponente per una nuova

potenza il cui esponente è ridotto di un’unità.

Le tre regole possono essere combinate per ottenere la variabile marginale di

variabili totali complesse. Ad esempio, si consideri la variabile totale:

= +

2

v x x .

A ben vedere, v è la somma di due variabili, v e v , definite dalle equazioni

1 2

2

=

v x

1

e =

v x .

(I-27) 2

Applicando a v la regola (I-26) si ottiene:

1 =

v .mg 2 x.

1

Inoltre, si riconoscerà nella (I-27) l’equazione di una particolare funzione lineare

= + = =

v a bx dove e . Pertanto

b 1 c 0

2 = =

v .mg b 1 .

2

In base alla regola (I-24), si conclude che:

= +

v.mg 2 x 1 .

Si consideri ora la variabile totale 27

Parte I - Lezione I - pag

.

= ⋅ 3

y 4 x

interpretabile come 4 volte la funzione v definita dall’equazione:

3

=

v x .

Applicando a v la regola (I-26) si ottiene:

2

= ⋅

v.mg 3 x .

In base alla regola (I-25), si conclude che:

2

= ⋅

y.mg 12 x .

Quale ultimo esempio, si consideri la variabile totale:

2

= + ⋅

v x 7 x

che risulta dalla somma delle funzioni

2

=

v x

1

e = ⋅

v 7 x .

2

Applicando a y la (I-26) si ottiene

=

v .mg 2 x .

1 = + = =

A ben vedere, v è una funzione lineare del tipo v a bx dove e .

b 7 c 0

2 2

Pertanto: = =

v .mg b 7 .

2

In base alla (I-24) si conclude:

= +

v.mg 2 x 7 .

Esercizi

Si ricavi l’equazione della variabile marginale dalla seguente equazione della variabile totale:

30. 3

= ⋅ + .

y 3 x x

Si ricavi l’equazione della variabile marginale dalla seguente equazione della variabile totale:

31. 2 .

= ⋅ + ⋅ −

y 4 x 5 x 3 28

Parte I - Lezione I - pag

.

Si ricavi l’equazione della variabile marginale dalla seguente equazione della variabile totale:

32. 3

= ⋅ +

y 7 x x .

Si ricavi l’equazione della variabile marginale dalla seguente equazione della variabile totale:

33. =

y 3 x 0 ,

5

= ⋅

(notando che ).

3 x 3 x

I.10. Funzioni concave e funzioni convesse

Pur essendo crescente l’una e decrescente l’altra, le funzioni rappresentate dalle

curve R e S del Quadro I.14 sono accomunate dall’andamento decrescente della

variabile marginale (sempre meno positiva nel caso di R e sempre più negativa nel caso

di S). Le funzioni di questo tipo (e le rispettive curve) si dicono concave.

Sono invece convesse le funzioni (curve) T e V del Quadro I.15 che, pur essendo

crescente l’una e decrescente l’altra, sono accomunate dall’andamento crescente della

variabile marginale (sempre più positiva nel caso di T e sempre meno negativa nel caso

di V). In pratica:

• una funzione (curva) concava sale sempre meno ripidamente, oppure

scende sempre più ripidamente,

• una funzione convessa sale sempre più ripidamente, oppure scende

sempre meno ripidamente.

I.11. La variabile media

Alla nozione di variabile marginale di una variabile totale y, si affianca quella di

variabile media, indicata con la notazione y.md. La variabile media è definita come il

rapporto fra la variabile totale y e la variabile indipendente x. 29

Parte I - Lezione I - pag

.

′ ′ ′

′ ′

= ⋅ = ⋅

z b x z b x

Figura 1 P''

P' Q' Q''

O x' x'' ′

′ ′

= ⋅

z b x

Figura 2 ′ ′

= ⋅

z b x P''

P'

x' x''

Quadro I.16

Si consideri la variabile totale y rappresentata nella Figura 1 del Quadro I.16. Per

′ ′

= = =

, si ha e perciò . Si tracci quindi il raggio

x

' OQ

' y Q P y.md Q' P'/ OQ' ′

(semiretta uscente dall’origine) che taglia la curva y nel punto . Dalla sezione I.7.2.3

P ′

si ricorderà che il rapporto , fra l’ordinata e l’ascissa del punto

Q' P'/ OQ' P

appartenente al raggio, è un modo per determinare il coefficiente angolare, , del

b

raggio stesso. Si conclude che la variabile media è geometricamente interpretabile come

il coefficiente angolare del raggio secante la curva y in P’.

E’subito visto che il coefficiente angolare del raggio varia al variare di x. Nella

′′ ′′

=

Figura 1 del Quadro I.16, per il nuovo raggio, secante in , ha un coefficiente

x x P

angolare minore. Si conclude che la variabile media, al pari di quella marginale, è una

funzione di x.

La Figura 2 del Quadro I.16 mostra che (diversamente da quella marginale) la

variabile media varia anche se la variabile totale è lineare. Fa eccezione il caso in cui

=

l’ordinata all’origine di quest’ultima è nulla ( ) e perciò la variabile totale è

c 0

geometricamente rappresentata da una retta passante per l’origine degli assi. In tal caso,

la variabile media è costante e coincide con la variabile marginale.

Come già l’equazione della variabile marginale, così anche l’equazione della

variabile media può essere ricavata da quella della variabile totale. Questa volta non c’è

( )

=

y f x

bisogno di regole particolari: se l’equazione di y (in forma esplicita) è , allora

l’equazione di y.md sarà: 30

Parte I - Lezione I - pag

.

( )

f x

= .

y

.

md x

Ad esempio, se l’equazione di y è:

= +

2 ,

y x 5

quella di y.md sarà: 2 +

x 5

=

y.md x

e perciò: 5

= +

y.md x .

x

Analogamente, se l’equazione di y è:

= + ,

y 2 x

allora quella di y.md sarà: +

2 x

=

y.md .

x

Esercizi 2

= +

Si consideri la variabile totale . Quale valore assume la variabile media in corrispondenza di

34. 3

y x

= ? Quali altri valori y assume in corrispondenza di e ?

x 3 x= x=

5 10

2

= +

Si consideri la variabile totale . Quanto vale quella media per ?

35. x=

5

15

y x 2

=− +

Si consideri la variabile totale . Quanto vale quella media per ?

36. x= 6

12

y x

= ⋅

y 2 x

Si consideri la variabile totale . Quale valore assume la variabile media per ? Quale altro per

37. x= 2

?

x= 5

I.12. Variabile media versus marginale

Dobbiamo ora occuparci della ‘relazione’ che intercorre fra la variabile

marginale e la variabile media. La relazione è importante perché di essa fa largo uso la

microeconomia.

Due esempi serviranno ad introdurre l’argomento. Si consideri per prima la

variabile totale: = + 3

(I-28) y 3 4 x

tabulata nella seconda colonna della tavola inclusa nel Quadro I.17. 31

Parte I - Lezione I - pag

.

Nella terza colonna è tabulata la variabile marginale calcolando, per ogni valore

+

di x indicato nella prima colonna, la variazione destra che y subisce da x a , cioè

x 1

generata da un aumento unitario di x. Per ogni valore di x, la variabile marginale è

( ) ( )

+ =

y x 1 y x

ottenuta per differenza fra e . Ad esempio, per :

x 4

( ) ( ) ( )

= − =

y.mg 4 y 5 y 4

= − =

800 556

= 244 . 1.200

x y y.mg y.md

0 300 4 --- 1.000

1 304 28 304 800

2 332 76 166

3 408 148 136 600

4 556 244 139

5 800 364 160 400

6 1.164 508 194

7 1.672 676 239 200

8 2.348 868 294 0

9 3.216 1.084 357 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 4.300 430

--- y.mg y.md

Quadro I.17

Infine, nella quarta colonna è tabulata la variabile media dividendo ogni valore

=

di y per il corrispondente di x. Ad esempio, per x 4

( )

= ÷ =

y md y

. 4 4

= ÷ =

556 4

= 139

Le curve delle due variabili, marginale e media, sono presentate nella figura

ugualmente inclusa nel Quadro I.16. Dal confronto fra le due, emerge che:

<

 decrescente quando: y.mg y.md

(I-29) y.md è >

 crescente quando: y.mg y.md

L’interessante ‘fenomeno’ si ripropone nel Quadro I.18 che replica il Quadro

I.16 facendo, però, riferimento alla seguente equazione della variabile totale:

= − +

(I-30) y 4 4 x .

(in luogo dell’equazione (I-28). 32

Parte I - Lezione I - pag

.

5,00

x y y.mg y.md 4,50

0 -4,00 5,00 --- 4,00

1 1,00 2,07 1,00 3,50

2 3,07 1,59 1,54 3,00

3 4,66 1,34 1,55 2,50

4 6,00 1,18 1,50 2,00

5 7,18 1,07 1,44 1,50

6 8,25 0,98 1,37 1,00

7 9,23 0,91 1,32 0,50

0,00

8 10,14 0,86 1,27

9 11,00 0,81 1,22 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 11,81 --- 1,18 y.mg y.md

Quadro I.18 =

x n

Qual’è la spiegazione? In primo luogo, si osservi che il valore di y in può

= = −

essere così espresso in termini dei precedenti valori di y.mg (da a ) e del

x 0 x n 1

= 8

valore di y in :

x 0

(I-31) .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + + + + − + −

y n y 0 y.mg 0 y.mg 1 y.mg n 2 y.mg n 1

( )

y 1

( )

y 2

( )

y n 1

( )

y n =

Ad esempio, assumendo i dati del Quadro I.17, in la (I-31) diventa:

x 4

( ) ( )

= + + + + =

y .

4 300 4 28 76 148 556 ( ) =

y 4 556

Eseguendo le operazioni indicate al secondo membro, si ottiene , come

effettivamente risulta dalla seconda colonna della tavola inclusa nel Quadro I.17.

Dividendo per n entrambi i membri della (I-31) si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 +  + + + − + −

y 0 y.mg 0 y.mg 1 y.mg n 2 y.mg n 1

  …

( ) =

y.md n n

8 Le parentesi graffe orizzontali sottolineano che: ( )

• =

la somma parziale il cui ultimo addendo è è il valore della variabile totale in ,

x 1

y.mg 0 ( )

• la somma parziale il cui ultimo addendo è è il valore della variabile totale in

y.mg 1

= ;

x 2

• etc. ( )

• la somma parziale il cui ultimo addendo è è il valore della variabile totale in

y.mg n− 2

= − ;

x n 1 ( )

• la somma parziale il cui ultimo addendo è è il valore della variabile totale in

y.mg n−

1

= ;

x n 33

Parte I - Lezione I - pag

.

n n

1

E’ lecito dividere e moltiplicare il secondo membro per . Così facendo, si ottiene

ulteriormente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ + + + − + −

  −

y 0 y.mg 0 y.mg 1 y.mg n 2 y.mg n 1

  n n 1

( ) d d d

= ⋅ ⋅

y.md n

(I-32) .

n n 1 n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 

 +  + + + − − −

 

0 0 1 2

y y.mg y.mg y.mg n 1

y.mg n

  n 1

d d d d

= + ⋅

  .

− −

n 1 n 1 n

 

 

Si osservi che la prima frazione, compresa nella parentesi graffa, è la variabile

= − (essendo il numeratore la variabile totale). Perciò la (I-32) può essere

media in x n 1

volta nella forma: ( )

 −  −

y.mg n 1 n 1

( ) ( )

= − + ⋅

 

y.md n y.md n 1 ,

n n

1

 

da cui infine: ( )

− y.mg n 1

n 1

( ) ( )

= − ⋅ +

y.md n y.md n .

(I-33) 1 n n

( ) ( )

y.md n y.md n 1

consente il confronto con . Infatti, da

La forma (I-33) di

essa si evince che: ( ) ( )

> −

y.md n y.md n 1

se: ( )

− y.mg n 1

n 1

( ) ( )

− ⋅ + > −

(I-34) y.md n 1 y.md n 1 .

n n

( )

n y.md n 1

Moltiplicando per entrambi i lati della condizione (I-34), questa diventa:

( )

y.mg n 1

− + >

n 1 n

( )

y.md n 1

da cui: ( )

y.mg n 1 > 1 .

( )

y.md n 1

e perciò: ( ) ( )

− > −

y.mg n y.md n .

1 1

Riassumendo, 34

Parte I - Lezione I - pag

.

( ) ( ) ( ) ( )

> − − > −

y.md n y.md n y.mg n y.md n .

1 se 1 1

(I-35) Con analoghe procedure, dalla (I-33) si derivano le seguenti altre conclusioni:

( ) ( ) ( ) ( )

= − − = −

y.md n y.md n 1 se y.mg n 1 y.md n 1

(I-36) ( ) ( ) ( ) ( )

< − − < −

y.md n y.md n 1 se y.mg n 1 y.md n 1 .

Le ‘regole’ (I-35) e (I-36) costituiscono una sorta di ‘codice’ deputato a

governare la dinamica (il movimento) della variabile media in ragione del confronto con

quella marginale. Il codice costituisce la ‘importante relazione’, fra la variabile media e

quella marginale, annunciata all’inizio della sezione.

Dalle regole si evince che la variabile media ‘è attratta’ da quella marginale nel

senso che: • sale quando la variabile marginale le sta sopra [regola (I-35)],

• è stazionaria quando la variabile marginale si sovrappone ad essa [prima

regola (I-36)],

• scende quando la variabile marginale le sta sotto [seconda regola (I-36)].

Si può quindi paragonare la variabile marginale ad una ‘calamita’ e la variabile media

ad un ‘oggetto di ferro’: il secondo è ‘condannato’ ad inseguire la prima.

Un esempio servirà a tranquillizzare il lettore, consentendogli di toccare con

mano che le regole (I-35) e (I-36) gli erano familiari, ancor prima d’essere dimostrate

algebricamente.

Si scelgano:

• quale variabile indipendente x, il numero degli esami sostenuti da uno

studente universitario,

• quale variabile totale y, il ‘monte-voti’, cioè la somma dei voti

conseguiti.

Man mano che il numero degli esami aumenta, il monte-voti aumenta anch’esso. Perciò

y è funzione crescente di x. Coerentemente con la scelta di x e y,

• la variabile media, y.md, è il voto medio che si ottiene dividendo il

monte-voti maturato (y) per il numero degli esami sostenuti (x);

• la variabile marginale, y.mg, è l’aumento che il monte-voti subisce da x a

+ +

e perciò è il voto conseguito nell’esame .

x 1 x 1.esimo

( ) ( )

= =

= y y.md

3 75 3 25

Ciò premesso, si supponga che, per , sia e perciò

x 3

(dopo i primi tre esami, il voto medio è di 25 trentesimi). Si distinguano, ora, tre casi.

( ) =

• y.mg 3 29 (nel quarto esame lo studente riporta un voto superiore a

( ) =

y 4 104

quello medio) e allora cosicché:

104

( ) = =

y.md 4 26 ,

4

perciò il voto medio è sollecitato a salire (da 25 a 26) in direzione di quello

marginale (26) coerentemente con la regola (I-35);

( ) =

• y.mg 3 25 (nel quarto esame lo studente riporta un voto

d ( ) =

y 4 100

‘sovrapposto’ – identico - a quello medio) e allora cosicché

35

Parte I - Lezione I - pag

.

( ) =

y.md 4 25 , perciò il voto medio resta 25 coerentemente con la prima

delle regole (I-36);

( ) =

• y.mg 3 21 (nel quarto esame lo studente riporta un voto inferiore a

( ) ( )

= =

y y.md

4 96 5 24

quello medio) e allora cosicché , cioè il voto

medio (25) è sollecitato a scendere (da 25 a 24) in direzione di quello

marginale (21) coerentemente con la seconda delle regole (I-36).

Le regole (I-35) e (I-36) regolano le reciproche posizioni (sul piano cartesiano)

delle curve che rappresentano la variabile media e quella marginale. Infati, impongono

alla curva della variabile media di

• crescere quando la curva della variabile marginale è sovrastante;

• stazionare quando è sovrapposta;

• decrescere quando è sottostante.

Proprio così si comportano le curve del Quadro I.17 e quelle del Quadro I.18.

x y y.mg y.md

Esercizi 0 0 1 ---

1 3

In corrispondenza dei valori di x indicati nella prima colonna della

38. 2 5

tabella acclusa, y.mg assume i valori indicati nella seconda colonna. Inoltre, 3 4

= =

si ha . Si chiede di completare la seconda colonna della

in x 0 y 0 4 4

tabella e di compilare interamente la quarta. Si chiede infine di tracciare, su 5 4

carta a quadretti, i grafici di y, y.mg e y.md. … …

x y y.mg y.md In corrispondenza dei valori di x indicati nella prima colonna

39.

0 2 --- della tabella acclusa, y assume quelli indicati nella seconda colonna.

1 2 Si chiede di indicare, nella terza colonna, i valori di y.mg e, nella

2 6 quarta coonna, i valori di y.md. Si chiede infine di tracciare, su carta

3 9 a quadretti, i grafici di y, y.mg e

4 8 y.md.

5 5 x y y.mg y.md

… … … 0 3 ---

In corrispondenza dei valori

40. 1 5

di x indicati nella prima colonna della tabella acclusa, y.md assume quelli 2 4

=

indicati nella quarta colonna. Inoltre in . Si chiede di indicare,

x 0

y= 3 3 6

nella seconda colonna, i restanti valori di y e, nella terza, quelli di y.mg. Si 4 8

chiede infine di tracciare, su carta a quadretti, i grafici delle funzioni y, y.mg 5 10

e y.md. … … …

Assumendo che y.md abbia l’andamento ‘campanulare’ (curva

41.

continua) indicato nella figura acclusa, quali curve devono essere

senz’altro escluse per y.mg: quella a tratteggio fine, quella a tratteggio

largo o entrambe?

y.md Tracciare una curva di y.mg

42.

compatibile con la acclusa curva

di y.md. y.md

x y

I.13. Il prodotto e l’elasticità x

In economia accade spesso che il prodotto fra l’ascissa e l’ordinata di una curva

decrescente, rappresentato nel Quadro I.19 dall’area di colore grigio, abbia un

significato rivelante. E’ quindi utile sapere come questo prodotto si evolve nel

passaggio da un punto della curva ad un altro. 36

Parte I - Lezione I - pag

.

y P x

Quadro I.19

I.13.1. L’elasticità in un arco

L’evoluzione è comandata dalla cosiddetta ‘elasticità’ della curva, un concetto di

cui gli economisti fanno largo uso e che occorre ora a definire nelle sue diverse

‘versioni’. Cominceremo con l’elasticità in un arco.

I.13.1.1. L’elasticità destra

Si consideri, in primo luogo, il caso rappresentato nel Quadro I.20 in cui P’ si

trova a destra di P (ha ascissa superiore).

Il quadro mostra che in P

⋅ =

x y ORPQ

mentre in P’ ⋅ = .

x

' y

' OR

' P

' Q

'

Il quadro mostra altresì che le aree ORPQ e condividono (hanno in comune)

OR' P' Q' ⋅ ⋅

la porzione OR’SQ. Pertanto, per confrontare i prodotti e , basterà

x' y' x y

confrontare l’area ‘guadagnata’, , con quella ‘perduta’, . Avremo che:

QSP' Q R' RPS

⋅ > ⋅ >

x' y' x y QSP' Q R' RPS

se

(I-37) D’altro canto: ( ) ′

= − ⋅ = ⋅

QS P'Q' x' x y' ∆x y

(l’area guadagnata è l’aumento della variabile indipendente moltiplicato per il valore

finale della funzione) mentre: ( )

= − − ⋅ = − ⋅

R' R P S y ' y x ∆y x 37

Parte I - Lezione I - pag

.

(l’area ‘perduta’ è l’opposto della variazione – negativa - della funzione moltiplicato per

il valore iniziale della variabile indipendente). Pertanto la condizione (I-37) equivale

alla seguente: ′

⋅ > ⋅ ⋅ > − ⋅

x' y' x y ∆x y ∆y x

se

(I-38) ∆ ⋅ , diventa:

che, dividendo ambo i lati della condizione per x y'

− ∆y x

⋅ > ⋅ ⋅ <

(I-39) se 1 .

x' y' x y ′

∆x y

R P

y P'

y' R' S

O Q Q'

x x'

Quadro I.20

− ∆y x

La forma algebrica prende il nome di elasticità d’arco. Essendo P’ a

∆x y

destra di P, si usa anche parlare di elasticità destra. Ponendo

− ∆y x

= ⋅

(I-40) E ,

d ′

∆x y

la condizione (I-39) può essere infine resa nella forma:

⋅ > ⋅ <

(I-41) x' y' x y se E 1 .

d

Ripercorrendo, mutatis mutandis, le tappe da (I-37) a (I-39), si ottengono le

ulteriori condizioni: ⋅ = ⋅ =

x' y' x y se E 1

d

(I-42) ⋅ < ⋅ >

x' y' x y se E 1 .

d

In conclusione, le condizioni (I-41)-(I-42) si configurano come regole con cui

l’elasticità destra comanda l’evoluzione del prodotto lungo un ‘arco destro’ del

x y 38

Parte I - Lezione I - pag

.

punto P. In base ad esse, il prodotto aumenta, resta invariato o diminuisce a seconda che

l’elasticità sia, rispettivamente, inferiore, uguale o superiore all’unità.

E’ necessario mettere in luce un aspetto dell’elasticità che non risulta

apprezzabile dalla forma (I-40). Con facili passaggi, da quest’ultima si ottiene:

− ∆y x

= ⋅ =

E

d ∆x

y'

− ∆y ∆x

= .

y' x

Moltiplicando numeratore e denominatore per 100 segue:

− ∆y ∆x

= ⋅ ⋅

(I-43) E 100 100 .

d y' x

La forma (I-43) consente di riconoscere nell’elasticità destra il quoziente fra la

diminuzione percentuale della funzione e l’aumento percentuale della variabile

9

indipendente . Ciò spiega perché essa comanda l’evoluzione del prodotto . Infatti, è

x⋅ y

intuitivo che il prodotto cresce, non cambia o diminuisce a seconda che la diminuzione

percentuale di y, rispettivamente, perda, pareggi o vinca la competizione con l’aumento

percentuale di x.

I.13.1.2. L’elasticità sinistra

Si consideri ora il caso, rappresentato nel Quadro I.21, in cui P’ si trova a

sinistra di P (ha ascissa inferiore). L’area guadagnata è ora:

( )

′ ′ ′ ′

= − ⋅ = ⋅

RR P S y ' y x ∆y x

(misurata dalla variazione – positiva - della funzione moltiplicata per il valore finale

della variabile indipendente) mentre l’area perduta è:

( )

′ = − − ⋅ = − ⋅

Q S PQ x' x y ∆x y

(misurata dalla diminuzione della variabile indipendente moltiplicata per il valore

iniziale della funzione). Pertanto: ′

⋅ > ⋅ ⋅ > − ⋅

x' y' x y ∆y x ∆x y

se

(I-44) .

−∆ ⋅

Dividendo ambo i lati della condizione per , si ottiene:

x y

∆y x'

⋅ > ⋅ ⋅ >

(I-45) x' y' x y se 1

− ∆x y

9 Si noti l’asimmetria con cui l’aumento della variabile indipendente è misurato in percentuale

del valore iniziale (ascissa di P) mentre la diminuzione della funzione è misurata in percentuale del valore

finale (ordinata di P’). 39

Parte I - Lezione I - pag

.

Ponendo: ∆y x'

= ⋅

E ,

(I-46) s − ∆x y

R' P'

y' P

y R S

O Q' Q

x' x

Quadro I.21

dove E sta per elasticità sinistra, la condizione (I-45) può essere infine resa nella forma:

s ⋅ > ⋅ >

(I-47) x' y' x y se E 1 .

s

In conclusione, le condizioni (I-46)-(I-47) si configurano come regole con cui

l’elasticità sinistra comanda l’evoluzione del prodotto lungo un ‘arco sinistro’ del

x y

punto P. In base ad esse, il prodotto aumenta, resta invariato o diminuisce a seconda che

l’elasticità sia, rispettivamente, superiore, uguale o inferiore all’unità.

Dalla (I-46) con facili passaggi si ottiene:

∆y x

= ⋅ =

E s − ∆x

y −

∆y ∆x

= .

y x

Moltiplicando numeratore e denominatore per 100, segue:

∆y ∆x

= ⋅ ⋅

(I-48) E 100 100 .

s ′

y x

Nella forma (I-48) l’elasticità sinistra si configura come il quoziente fra l’aumento

10

percentuale della funzione e la diminuzione percentuale della variabile indipendente .

Ciò spiega perché essa comanda l’evoluzione di : è intuitivo che cresce, non

x⋅ y x⋅ y

10 La asimmetria di cui alla nota 9 risulta invertita: l’aumento della variabile indipendente è

misurato in percentuale del valore finale (ascissa di P’) mentre la diminuzione della funzione è misurata

in percentuale del valore iniziale (ordinata di P). 40

Parte I - Lezione I - pag

.

cambia o diminuisce a seconda che l’aumento percentuale di y, rispettivamente, vinca,

pareggi o perda la competizione con la diminuzione percentuale di x.

Il seguente quadro sinottico riassume i termini nei quali le elasticità, destra e

in un arco PP’:

sinistra, governano l’evoluzione del prodotto x⋅ y

< = >

1 1 1

⋅ ⋅ ⋅

x y aumenta x y non cambia x y diminuisce

E

d in un arco destro in un arco destro in un arco destro

⋅ ⋅ ⋅

x y diminuisce x y non cambia x y aumenta

E s in un arco sinistro in un arco sinistro in un arco sinistro

Quadro I.22

I.13.2. L’elasticità in un punto ′ differiscono di una sola unità, le

Nel caso in cui le ascisse dei punti P e P

formule (I-40) e (I-46) si riducono alle forme:

x

= − ⋅

E y.mg

d y'

(I-49) x'

= − ⋅

E y.mg .

s y ′

Inoltre, la vicinanza (in tal caso) del punto al punto P consente di trascurare le

P

′ ′

e x, da un lato, nonché fra e y dall’altro lato. Accettando

(piccole) differenze fra x y

la (duplice) quasi-uguaglianza: ′

x x

≈ ≈

(I-50) y.md .

y y

le due forme (I-49) possono essere ricondotte alla seguente ‘forma unica’:

− y.mg

( ) =

(I-51) ε P ,

y.md

che chiameremo elasticità nel punto P, ovvero elasticità puntuale in P.

Dunque, l’elasticità puntuale risulta dal rapporto fra l’opposto della variabile

marginale (negativa perché y è decrescente) e la variabile media (positiva). Ricordando

le forme di provenienza (I-43) e (I-48) nonché il Quadro I.22, in un intorno di P

valgono le conclusioni:


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Economia Politica della Prof.ssa Simona Pergolesi riguardante i concetti basilari della matematatica utilizzati in campo economico ed in particolare: il concetto ed il grafico di una funzione, le funzioni lineari, la variabile marginale e la variabile media, l'elasticità di una funzione, le funzioni iperboliche, i sistemi di equazioni.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze politiche e relazioni internazionali (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia politica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Pergolesi Simona.

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