Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Contratti assicurativi elementari

Formalizzazione

• Assicurazione elementare caso vita (Capitale differito)

1 p

n x

=

V

Y ⎨

n 0 altrimenti

Età x x+n

• Assicurazione elementare caso morte ⎧

1 q

n 1 / 1 x

=

M

Y ⎨

n 0 altrimenti

Età x x+n

x+n-1 26

Valutazione contratto

Criterio della speranza matematica

Il prezzo (premio) è il valore attuale della

speranza matematica della prestazione aleatoria

:

futura Y n -n

(Y ) = (Y ) (1+i)

E E

0 n n

.

(Y ) è il premio unico puro del contratto

E

0 n

.

assicurativo

•Premio: prezzo

•Unico: pagato in un’unica soluzione

•Puro: non tiene conto dei caricamenti espliciti 27

Basi tecniche

• Demografica

– Distribuzione di probabilità della durata

(p e q )

aleatoria residua di vita T

x x x

• Finanziaria

– Tasso tecnico (i) al quale attualizzare le

prestazioni. Nel definirlo si determina la legge di

equivalenza intertemporale

Basi tecniche del primo ordine → Quelle impiegate

in valutazioni aventi per fine il calcolo del premio

28

Capitale differito

• Assicurazione elementare caso vita

• Capitale differito di n anni su una testa di età x è l’impegno,

considerato all’epoca in cui l’individuo compie l’età x, di

corrispondere dopo n anni, se la testa sarà in vita, un capitale

stabilito, che si suppone unitario. ⎧

1 p

n x

=

V

Y ⎨

n 0 altrimenti

Età x x+n

• E E

(Y ) = (Y )v =(1· p + 0· q )(1+i) = v p = E

n -n n

nV nV n

0 n x /n x x n x

• Valore attuale in senso demografico e finanziario all’età x di un

capitale unitario esigibile all’età x+n in caso di vita 29

Fattore di sconto demografico

• -n n

E = (1+i) p = v p

n x x x

n n

• 1/ E montante in senso demografico e

n x

finanziario all’età x+n di un capitale unitario

versato all’età x

• E = E E → scindibilità

·

m+n x m x n x+m 30

Assicurazione elementare caso morte

• è l’impegno, con riferimento ad una testa di età x,

di corrispondere un capitale stabilito, che si

suppone unitario, dopo n anni, se l’individuo

morirà tra le età x+n-1 e x+n ⎧

1 q

n 1 / 1 x

=

M

Y ⎨

n 0 altrimenti

Età x x+n

x+n-1

• Mn Mn n n

(Y ) = (Y )v = [1· q + 0·(1- q )]v

E E

0 n-1/1 x n-1/1 x

n

= v q = A

x n-1/1 x

n-1/1 31

Rendita vitalizia posticipata

• Annualità vitalizia immediata, unitaria, posticipata, su una testa

di età x

• è l’impegno di corrispondere una rendita immediata, unitaria,

annua, posticipata (quindi con prima rata all’età x+1), tale che

ogni pagamento avvenga solo se la testa sopravvive all’epoca

del pagamento stesso.

1⋅ p 1⋅ p 1⋅ p 1⋅ p

1 x 2 x 3 x ω-1-x x

Età x x+1 x+2 x+3 ω

ω-1

• E E

(Y )=∑ (Y )v = (1· p )v +(1· p )v +…+(1· p )v

V h 2 ω-1-x

hV

0 x 2 x ω x

= E + E +…+ E = a

1 x 2 x ω-1-x x x

• Principio di composizione dei contratti: portafoglio di contratti

elementari caso vita (“capitale differito”) 32

Rendita vitalizia anticipata

• Annualità vitalizia immediata, unitaria, anticipata, su

una testa di età x

• è l’impegno di corrispondere una rendita immediata,

unitaria, annua, anticipata (quindi con prima rata all’età

x+1), tale che ogni pagamento avvenga solo se la testa

sopravvive all’epoca del pagamento stesso.

1 1⋅ p 1⋅ p 1⋅ p 1⋅ p

1 x 2 x 3 x ω-1-x x

Età x x+1 x+2 x+3 ω

ω-1

• 1 + E + E +…+ E = 1+a = ä

1 x 2 x ω-1-x x x x 33

Montante demografico finanziario

di una annualità vitalizia

• Montante demografico finanziario di una

annualità vitalizia immediata, unitaria,

temporanea, posticipata, su una testa di età x

• è la somma S che spetterà in caso di

sopravvivenza all’età x+n in cambio

dell’impegno di detta annualità.

1⋅ p 1⋅ p 1⋅ p 1⋅ p 1⋅ p

1 x 2 x 3 x n-1 x n x

Età x x+1 x+2 x+3 x+n

x+n-1

• /

a = S E S = a E

/n x n x /n x n x 34

Caso morte a vita intera

• È l’impegno di corrispondere un capitale unitario alla fine

dell’anno in cui avviene il decesso di una testa di età x

1⋅q 1⋅ q 1⋅ q 1⋅ q 1⋅ q

x 1/1 x 2/1 x ω-2-x/1 x ω-1-x/1 x

Età ω-1

x x+1 x+2 x+3 ω

• E E

(Y )=∑ (Y )v =(1·q )v+(1· q )v +…+(1· q )v

hM

M h 2 ω-x

0 x 1/1 x ω-1-x/1 x

= A + A +…+ A = A = A

/1 x 1/1 x ω-1-x/1 x h-1/1 x x

• Principio di composizione dei contratti: portafoglio di ω-x

contratti elementari caso morte 35

Caso morte temporanea

• È l’impegno di corrispondere un capitale unitario alla fine

dell’anno in cui avviene il decesso di una testa di età x, solo

se la morte avviene entro n anni (entro l’età x+n)

q

1⋅

1⋅q 1⋅ q 1⋅ q n-1/1 x

x 1/1 x 2/1 x

Età …

… ω-1

x x+1 x+2 x+3 x+n x+n+1 ω

• ∑

E E

(Y ) = (Y )v = (1·q )v+(1· q )v +…+(1· q )v

hM

M h 2 n

0 x 1/1 x n-1/1 x

= A + A +…+ A = A - A = A

/1 x 1/1 x n-1/1 x x n/ x /n x

• Principio di composizione dei contratti: portafoglio di n

contratti elementari caso morte 36

Ass. mista semplice o ordinaria

• è l’impegno di corrispondere un capitale unitario

dopo n anni se l’assicurato sarà in vita all’età

x+n, o alla morte dell’assicurato se questo muore

prima dell’età x+n.

• E + A = A ⎤

n x /n x x n

• Principio di composizione dei contratti:

portafoglio composto da un “capitale differito di

n anni” e una “temporanea in caso di morte” 37

Premio puro e lordo

• Premio puro

– Se come impegni della compagnia (a cui far

fronte con i premi) si considerano solo quelli nei

confronti del contraente

La compagnia con i premi puri riesce a far fronte agli

impieghi verso gli assicurati (un gran numero di assicurati) se

la mortalità effettivamente verificatasi e il tasso di mercato

sono uguali a quelli stabiliti per il calcolo dei premi

• Premio lordo (o caricato) (o di tariffa)

– E’ il premio che effettivamente si paga, che tiene

conto della copertura di impegni diversi da quelli

nei confronti degli assicurati e dello sfavorevole

andamento della mortalità e del tasso di interesse

38

Caricamento

• Caricamento implicito

– Basi tecniche prudenziali

i basso

9

tavola a forte mortalità (ass. in caso di morte)

9

tavola a bassa mortalità (ass. in caso di vita)

9

• Caricamento razionale

– Spese iniziali (spese di acquisizione)

– Spese di gestione

Spese di incasso premi

9

Spese generali di amministrazione

9 39

Premio unico e periodico

• Premio unico

– Un solo premio alla stipula del contratto

– Uguale al valore attuale medio degli impegni

dell’assicuratore

• Premio periodico

– Più premi uguali o variabili a intervalli uguali di

tempo pagati anticipatamente a partire dalla data

di stipula e subordinatamente a determinate

condizioni di sopravvivenza dell’assicurato

– Il valore attuale medio dei premi periodici deve

essere uguale al valore attuale medio degli

impegni dell’assicuratore 40

Premi periodici

P costante per s anni (a condizione che la testa

sia in vita) deve soddisfare: /

ä =U P = U ä

P

/s x /s x

P costante per tutta la vita (finchè la testa è in

vita) deve soddisfare: /

=U P = U ä

P ä x x 41

Premi naturali

• Sono quei premi (puri) che coprono esattamente

gli impegni dell’assicuratore nei confronti del

contraente, relativi all’anno stesso a cui

competono

• t(N)

P : premio naturale pagato in t-1 che copre

esattamente l’impegno dell’assicuratore per il t-

esimo anno

• Garantiscono l’equità dell’operazione anche su

tutta la durata contrattuale: …

1(N) 2(N) 3(N)

U = P + E P + E P +

1 x 2 x 42

Valutazione in t del contratto assicurativo

• Polizza in vigore dopo t anni dalla stipula del

contratto, cioè in vigore al tempo t assumendo

come tempo 0 quello della stipula

• t= istante di valutazione che supponiamo intero

(t= antidurata)

• Premi puri e impegni coperti da tali premi

Valutazione in t del contratto assicurativo

Riserva matematica “pura” 43

Riserva matematica

in t>0

• Valore attuale medio delle prestazioni future

della Compagnia

• Valore residuo del debito che la Compagnia ha

nei confronti degli assicurati

¾L’attuario certifica che il valore della riserva è

determinato secondo i corretti criteri di

valutazione 44

Riserva matematica prospettiva

t(P)

V = Prest[t,n] – Premi[t,n]

• Valutazione che riassume i movimenti futuri

• Fabbisogno di un’operazione assicurativa sulla

vita

• ⇒

t(P) t(P)

V + Premi[t,n] = Prest[t,n] V importo

che, se l’assicurazione non fosse già stipulata

sarebbe equo pagare (se positivo

all’assicuratore) in t per ivi istituire la

situazione assicurativa 45

Riserva matematica retrospettiva

t(R)

V = Premi[0,t]– Prest[0,t]

E

t x

• Valutazione che riassume i movimenti passati

• ⇒

t(R) t(R)

Premi[0,t] = Prest[0,t] + V E V importo

t x

atto a garantire l’equilibrio (in senso attuariale) tra le

prestazioni delle due parti relative all’intervallo (0,t)

• È l’importo che sin dall’inizio si sarebbe pouto

conveniredi corrispondere all’assicurato in caso di

vita dopo un tempo t dalla stipula, ferme restando

tutte le prestazioni precedenti t e venendo a cadere

quelle seguenti t. E’ un “prezzo di uscita”

dall’assicurazione”. 46

Equità contratto

Si consideri un contratto stipulato in 0 di durata n

• Prest[0,n] = Premi[0,n]

• Prest[t,n] ≠ Premi[t,n]

– t(P)

infatti: Prest[t,n] = Premi[t,n] + V

• Prest[0,t] ≠ Premi[0,t]

– t(R)

infatti: Premi[0,t] = Prest[0,t] + V E

t x 47

t(P) t(R)

Relazione tra V e V

t(P) t(R)

V = V se:

• Il gruppo assicurato non è soggetto a

trasformazioni

– ciò accade per le usuali forme a una testa, mentre

può non verificarsi nelle assicurazioni su 2 o più

teste

• Si utilizzano le stesse basi tecniche nelle due

valutazioni

– che dovranno coincidere con quelle usate per la

determinazione dei premi (basi tecniche del 1°

ordine) 48


PAGINE

52

PESO

193.04 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale contenente delle dispense di Matematica Attuariale del Prof. Carlo Domenico Mottura della facoltà di Economia di Roma Tre. Ecco gli argomenti trattati:

Assicurazioni sociali, Probabilità di vita e di morte, assicurazioni di vita e di morte, assicurazione miste, valutazione contratto, Rendita vitalizia, Bilancio


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Roma Tre - Uniroma3 o del prof Mottura Carlo Domenico.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Matematica finanziaria

Matematica Finanziaria - Formulario
Dispensa
Bilancio Lezioni + Esercitazioni
Appunto
Calcolo integrale
Dispensa
Limiti, continuità, discontinuità
Dispensa