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Lezione 36

Problemi di estremo vincolati x

In altre parole, m è il minimo del problema e è il relativo punto di

minimo se sono verificate le seguenti due condizioni:

∈ L ∩ L

x (f ) (h)

1 m 0

L ∩ L ∅ per ogni k m,

(f ) (h) = <

2 k 0

Affinché questo avvenga è necessario che le due curve di livello

x, cioè abbiano la stessa retta tangente e quindi lo

risultino tangenti in

stesso vettore normale (stesso nel senso di direzione). In altre parole il

∇f

vettore (eventualmente nullo) deve essere un multiplo del

(x)

∇h(x) ∈

vettore cioè deve esistere un coefficiente tale che

µ R

∇f (x) = µ∇h(x).

Il coefficiente prende il nome di moltiplicatore di Lagrange.

µ dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 36 6 / 17

Lezione 36

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Abbiamo quindi “dimostrato” il seguente risultato che rappresenta

l’analogo del Teorema di Fermat per problemi di estremo liberi.

Teorema (condizione necessaria di Lagrange)

1 2

C ⊆ x

Siano f e h due funzioni di classe su A aperto. Se y è

= (x, )

R

una soluzione ottima locale per il problema (1) e se è verificata la

6 ∈

∇h(x) 0 allora esiste tale che

condizione di regolarità = µ R

∇f − 0.

(x) µ∇h(x) =

La condizione è valida anche se il problema (1) fosse di massimo.

L’ultimo passo è fornire un’interpretazione del moltiplicatore Ma

µ.

prima un esercizio. dsm

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Lezione 36

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Esercizio

Trovare le soluzioni del seguente problema

x

min max ye

/

2 2

x y 2

+ =

Il problema si risolve svolgendo quattro punti. 1

C

Innanzitutto si osserva che le funzioni sono di classe (quindi

continue) e la regione ammissibile è una circonferenza quindi

chiusa e limitata (compatta): per il Teorema di Weierstrass

esistono sia il massimo sia il minimo.

Calcoliamo i gradienti delle funzioni

x x

∇f ∇h(x,

y e e y 2y

(x, ) = (ye , ) ) = (2x, ). dsm

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Lezione 36

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Per poter applicare il Teorema di Lagrange dobbiamo vedere se è

verificata la condizione di regolarità. L’unico punto che annulla

∇h(x, 0

y è 0) che non appartiene alla circonferenza:

) = (0,

quindi la regolarità è verificata in tutti i punti ammissibili.

Quindi dobbiamo risolvere il sistema

x

 ye 2µx

=

 x

e 2µy

=

2 2 −

x y 2 0

+ =

Sostituendo la seconda equazione alla prima si ottiene

2 2 −

2µy 2µx cioè 2µ(y x) 0.

= = dsm

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Lezione 36

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Si presentano due casi.

0: sostituendo nella seconda equazione avremmo

µ = x

e 0 che risulta impossibile.

=

2

x y : sostituendo nella terza equazione otteniamo

= 4 2 −

y y 2 0.

+ =

2 ±1

Le soluzioni (ponendo y t) sono y e quindi

= =

x 1.

= −1).

A B

Abbiamo ottenuto due punti stazionari 1) e I

= (1, = (1,

moltiplicatori associati si ottengono dalla seconda equazione:

e

A

il moltiplicatore associato ad è ,

µ =

I 2

e

B

il moltiplicatore associato a è .

µ =

I 2 dsm

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Lezione 36

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Il quarto ed ultimo passo si basa sul seguente ragionamento:

esistono sia il massimo sia il minimo (per il Teorema di

A B

Weierstrass), i candidati sono e (per il Teorema di Lagrange),

quindi basterà sostituire i punti nella funzione obiettivo e

confrontare i valori ottenuti: −1

−1)

f 1) e e f e

(1, = (1, =

A B

Quindi è il punto di massimo ed il massimo è e mentre è il

1

punto di minimo ed il minimo è .

e dsm

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Lezione 36

Interpretazione del moltiplicatore

L’ultimo punto riguarda l’utilità del moltiplicatore Se invece di

µ.

considerare il vincolo h(x) 0 avessimo avuto il vincolo h(x) (una

= = ε

perturbazione “piccola” del vincolo) allora avremmo ottenuto una

variazione sia del minimo sia del massimo. Per la precisione

Teorema

Per ogni definiamo le funzioni

ε m(ε) min{f h(x)

= (x) : = ε}

M(ε) max{f h(x)

= (x) : = ε}

Se m e M sono derivabile rispetto ad (questo avviene se f e h sono

ε

2

C

di classe e vale l’ipotesi di regolarità) allora

0 0

m e M

(0) = µ (0) = µ. dsm

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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Problemi di massimo e di minimo per funzioni di più variabili; estremi vincolati: definizioni di vincoli e di funzione obiettivo; metodo dei moltiplicatori di Lagrange; teorema dei moltiplicatori di Lagrange e sue applicazioni; restrizioni al bordo; applicazioni ad alcuni problemi di carattere economico.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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