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Matematica Generale

Marco Castellani

Facoltà di Economia

marco.castellani@univaq.it

Lezione 35 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 35 1 / 24

Lezione 35

Massimi e minimi

Problema di massimo e minimo. Trovare i punti estremali (massimi e

2

−→ ⊆

minimi locali e globali) della funzione f A con A .

: R R

Puntualizziamo subito due cose.

Se A è aperto si parla di problema di estremo libero; se A non è

1 aperto (accade soprattutto quando A è definito da vincoli di

uguaglianza o diseguaglianza) parliamo di problema di estremo

vincolato. La differenza di fatto viene dalla presenza dei punti di

frontiera. Per indagare sulla presenza, fra essi, di punti estremali

occorrono tecniche diverse che rendono più difficili i problemi di

estremo vincolati. 2

C

Ci limitiamo ad analizzare casi in cui f è di classe e quindi,

2 rispetto al caso di una variabile, lasciamo da parte i problemi

legati alla non continuità ed alla non derivabilità. dsm

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Lezione 35

Problema di estremo libero

Problemi di estremo libero

Iniziamo spiegando come si determinano punti di massimo e minimo

locale; poi vediamo sotto quali condizioni i punti di estremo locale

possono essere globali.

Abbiamo a disposizione tre risultati analoghi a quelli per le funzioni di

una variabile:

condizione necessaria del primo ordine,

condizione necessaria del secondo ordine,

condizione sufficiente del secondo ordine. dsm

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Lezione 35

Condizione necessaria del primo ordine

∇f

Poiché indica la direzione di massima crescita, se siamo in un

(x) ∇f

punto di massimo locale necessariamente deve essere 0!

(x) =

Teorema (di Fermat) 2

−→ ⊆ ∈

x

Sia f A derivabile su A aperto; se A è punto di

: R R x

minimo (oppure massimo) locale per f allora è un punto stazionario

∇f 0.

cioè (x) =

Esercizio 4 3 2

Determinare i punti stazionari di f y 3x x y 2y .

(x, ) = +

Calcolando le derivate parziali otteniamo il gradiente

3 2 3

∇f − −x

y 3x y 4y

(x, ) = (12x , + ). dsm

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Lezione 35

Condizione necessaria del primo ordine

Per determinare i punti stazionari dobbiamo risolvere il sistema

3 2

12x 3x y 0

=

3

−x 4y 0

+ = 2

Partiamo dalla prima equazione; mettendo in evidenza 3x si ottiene

2 −

3x y 0 e quindi si presentano due casi.

(4x ) =

Se x 0, dalla seconda equazione si ottiene y 0 e quindi il

= =

A

punto stazionario 0).

= (0, 3 −

Se y 4x, dalla seconda equazione si ottiene x 16x 0 che

= =

implica A,

x 0 da cui y 0 e quindi nuovamente il punto stazionario

= =

I B

x 4 da cui y 16 e quindi il punto stazionario 16),

= = = (4,

I −4 −16 −16).

C

x da cui y e quindi il punto stazionario

= = = (−4,

I dsm

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Lezione 35

Condizione necessaria del primo ordine −16).

A B C

Abbiamo tre punti stazionari: 0), 16) e

= (0, = (4, = (−4,

Domanda: come fare per scoprire quale tra questi punti stazionari

risulta punto di minimo e quale punto di massimo?

Per le funzioni in una variabile abbiamo due criteri per stabilire la

x:

natura di un punto stazionario

studiando il segno di Df si determina la monotonia di f e quindi:

1 se f prima decresce e poi cresce allora x è punto di minimo,

I se f prima cresce e poi decresce allora x è punto di massimo;

I

studiando il segno delle derivate di ordine superiore calcolate in x;

2 in particolare

2 0 allora x è punto di minimo,

se D f >

(x)

I 2

se D f 0 allora x è punto di massimo,

(x) <

I 2

se D f 0 allora niente si può dire sulla natura di x.

(x) =

I dsm

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Lezione 35

Condizioni del secondo ordine

Domanda: quale dei due criteri risulta più facilmente adattabile alle

funzioni in due variabili?

Risposta: il primo criterio ha un grosso inconveniente: studia la

monotonia di una funzione! Ma non ha significato dire se una funzione

in due variabili cresce o decresce in quanto la monotonia è legata

all’ordinamento sia del dominio sia del codominio (un titolo azionario

sale se ad istanti successivi –e possiamo dire quando un istante

temporale viene prima di un altro– il suo valore monetario aumenta –e

sappiamo dire quando un costo è superiore ad un altro): abbismo visto

2

che su ci sono problemi a definire un ordinamento. Quindi. . .

R

. . . non ci resta che adattare il secondo criterio! dsm

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Lezione 35

Condizioni del secondo ordine

Teorema (Condizione necessaria del secondo ordine)

2 2

−→ C ⊆ ∈

x

Siano f A di classe su A aperto e A punto

: R R

∇f 0;

stazionario cioè =

(x) 2

x

se è di minimo locale allora f è semidefinito positivo;

(x)

2

x

se è di massimo locale allora f è semidefinito negativo.

(x)

Teorema (Condizione sufficiente del secondo ordine)

2 2

−→ C ⊆ ∈

x

Siano f A di classe su A aperto e A punto

: R R

∇f 0;

stazionario cioè (x) =

2

∇ x

se f è definito positivo allora è di minimo locale;

(x)

2

∇ x

se f è definito negativo allora è di massimo locale.

(x) dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 35 8 / 24

Lezione 35

Problemi di estremo liberi Metodi

La ricerca dei punti di massimo e minimo locale si base sulla seguente

procedura. 2

x

Si determinano i punti stazionari cioè quei punti interni al

1 R

CE(f per cui

) ∇f 0.

=

(x)

Tali punti sono i candidati ad essere punti di massimo e minimo.

2

Si calcola l’Hessiano f e lo si valuta nei punti stazionari:

(x)

2 2

∇ x

se f è definita positiva allora è punto di minimo;

(x)

I 2

∇ x

se f è definita negativa allora è punto di massimo;

(x)

I 2

∇ x

se f è indefinita allora non è né punto di minimo né punto di

(x)

I massimo e prende il nome di punto di sella. dsm

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Lezione 35

Problemi di estremo liberi

Esercizio 2 2 − −

Studiare la natura dei punti stazionari di f y x 4y xy 5x.

(x, ) = +

∇f − − −

Il gradiente risulta y y 5, 8y x) e quindi i punti

(x, ) = (2x

stazionari risolvono il sistema

− −

2x y 5 0

=

8y x 0

=

8 1

A

L’unica soluzione del sistema è e la matrice Hessiana è

= ,

3 3

−1

2

2

∇ f y

(x, ) = −1 8 dsm

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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Problemi di massimo e di minimo per le funzioni di più variabili; estremi liberi: teorema di Fermat; condizioni necessarie e sufficienti per la presenza di punti estremali (metodo dell'Hessiana); criteri per la determinazione della natura di punti stazionari con Hessiana nulla.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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