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8-9

8.1. CONSIDERAZIONI GENERALI

Il rendimento è dato da

(1 f tan α)

Π d

r

− = (8.42)

η =

d Π (1 + f / tan α)

m d

ed è unitario in assenza di attrito, mentre decresce al crescere di f e di α, fino ad annullarsi per

d

1 (8.43)

tan α = f d

Moto retrogrado

Si consideri ora il caso in cui il secondo corpo si muova verso il basso, ovvero in direzione opposta al

verso positivo di x , sempre a velocità costante. La potenza associata alla forza F è sempre data da

r r

Π = F ẋ = F ẋ tan α (8.44)

r r r r m

ma ora sia la forza che la velocià sono negative, in quanto la forza F svolge il ruolo di forza motrice.

r

Dal momento che il moto ha cambiato verso, si inverte anche il verso della componente tangenziale della

reazione vincolare; quindi ora

−f

R = R (8.45)

T d N

Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale del secondo corpo si ottiene

ora 1

−F

R = (8.46)

N r (cos α + f sin α)

d

Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale del primo corpo si ottiene

invece −

(sin α f cos α)

d

− −F (8.47)

F = R (sin α f cos α) =

m N d r (cos α + f sin α)

d

Ne risulta una potenza −

(sin α f cos α)

d

−F

Π = F ẋ = ẋ (8.48)

m m m r m (cos α + f sin α)

d

Il rendimento è ora dato da

Π (1 f / tan α)

m d

η = = (8.49)

r Π (1 + f tan α)

r d

Anche in questo caso il rendimento è unitario in assenza di attrito, e decresce al crescere di f e di α,

d

fino ad annullarsi; questa volta, per

tan α = f (8.50)

d

È evidente come i due rendimenti, in presenza di attrito, siano diversi. Si noti che, per α = π/4, ossia

per tan α = 1, il rapporto di trasmissione è unitario; in tale circostanza, le espressioni dei due rendimenti

coincidono, e si ha −

(1 f )

d

| |

η = η = (8.51)

d r

α=π/4 α=π/4 (1 + f )

d

Il meccanismo per cui si ha una perdita di potenza nelle trasmissioni è spesso associato all’attrito legato

allo strisciamento tra parti meccaniche; questo semplice modello è in grado di illustrarne in modo efficace

il meccanismo.

8-10 CAPITOLO 8. DINAMICA DELLA MACCHINA A UN GRADO DI LIBERT À

∗ ∗

M J

m m Lato Utilizzatore

∗ ∗

J M

r r

Trasmissione

Lato Motore

Figura 8.4: Schema della macchina ad un grado di libertà

8.1.5 Condizioni di funzionamento della macchina ad un grado di libertà

In definitiva, lo studio della macchina ad un grado di libertà può essere condotto sulla base dello schema

rappresentato in figura 8.4, in cui l’insieme di tutte le forze agenti sul lato motore viene ridotto ad un

momento motore M agente sull’albero motore, l’insieme delle forze agenti sull’utilizzatore viene ridotto

m ∗

ad un unico momento resistente M agente sull’albero dell’utilizzatore, e tutte le inerzie vengono ridotte

r ∗ ∗

ai due momenti di inerzia ridotti del motore e dell’utilizzatore J e J rispettivamente.

m r

Le condizioni di funzionamento di questo sistema possono essere riassunte in tre categorie dette:

• (spesso indicato semplicemente come regime): si tratta di una condizione di

regime assoluto

funzionamento in cui l’energia cinetica della macchina si mantiene costante nel tempo;

• (spesso indicato come transitorio): è una qualsiasi condizione di moto in cui l’energia

moto vario

cinetica della macchina subisce una variazione nel tempo; esempi tipici di moto vario sono la fase di

avviamento, durante la quale la macchina si porta dalla condizione di quiete ad una condizione di

moto a regime, e di arresto, durante la quale avviene la transizione opposta dal regime alla quiete;

• che può essere vista come una particolare condizione di moto vario, in cui l’energia

regime periodico

cinetica dela macchina, pur variando nel tempo, assume un andamento periodico, ossia ritorna ad

assumere lo stesso valore ad intervalli regolari di tempo (in genere corrispondenti ad un multiplo o

sottomultiplo intero del periodo di rotazione della macchina);

Affinché una macchina possa funzionare in condizioni di regime assoluto, è necessario che si verifichino

le seguenti due condizioni:

• il momento motore ridotto ed il momento resistente ridotto non devono dipendere dalla posizione

angolare dei relativi alberi, ma unicamente dalle velocità angolari di questi;

• i momenti di inerzia ridotti del motore e dell’utilizzatore devono essere costanti.

Nel seguito si dirà una macchina per la quale si realizzano queste due

macchina a regime assoluto

condizioni. Lo studio del moto di questo tipo di macchina (sia in condizioni di regime, sia in transitorio)

sarà oggetto del paragrafo 8.2.

Nel paragrafo 8.3 si fornirà invece un cenno relativo al funzionamento di una macchina per la quale

le condizioni (1) e (2) precedentemente citate non si verificano. Si mostrerà che per una macchina di

questo tipo non è possibile il funzionamento in regime assoluto, ma possono sussistere invece condizioni

di funzionamento di regime periodico. Per questo motivo, una macchina di questo tipo verrà detta

macchina a regime periodico.

8.2 La macchina a regime assoluto

8.2.1 Equazione di moto

Al fine di scrivere l’equazione di moto della macchina ad un grado di libertà, si applica l’equazione

di bilancio delle potenze (8.4) utilizzando le espressioni della potenza motrice, resistente, perduta e

dell’energia cinetica ricavate in precedenza. 8-11

8.2. LA MACCHINA A REGIME ASSOLUTO

Per quanto riguarda la derivata dell’energia cinetica, si può osservare che, se il momento di inerzia ri-

dotto del motore e dell’utilizzatore sono indipendenti dalla rotazione dei rispettivi alberi, allora le derivate

dell’energia cinetica ripettivamente del motore e dell’utilizzatore assumono le seguenti espressioni:

dE c ∗

m ω ω̇

= J m m

m

dt

dE c ∗

r = J ω ω̇ (8.52)

r r

r

dt

Inserendo tale risultato nella espressione della condizione di moto diretto si ottiene:

∗ ∗

W > 0 se :M J ω̇ > 0 (8.53)

u m

m m

m

Inoltre le espressioni della potenza perduta in moto diretto e retrogrado diventano:

 ∗ ∗

− − −

W = (1 η ) (M J ω̇ ) ω (moto diretto)

p d m m

m m

 (8.54)

∗ ∗

 − − −

W = (1 η ) (M J ω̇ ) ω (moto retrogrado)

p r r r

r r

Per effetto del termine di potenza dissipata nella trasmissione, l’equazione di moto della macchina, ossia

l’equazione differenziale che lega l’accelerazione angolare dell’albero motore alle forze agenti assume una

diversa espressione in condizioni di moto diretto e retrogrado.

Si consideri innanzitutto la condizione di moto diretto; inserendo nell’equazione di bilancio delle

potenze (8.4) le espressioni (8.7), (8.10), (8.54), (8.52) della potenza motrice, resistente, perduta e

dell’energia cinetica si ottiene:

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

− − −

M ω + M ω (1 η )(M J ω̇ )ω = J ω ω̇ + J ω ω̇ (8.55)

m r d m m m m r r

m r m m m r

Inserendo in tale equazione l’espressione del legame cinematico (8.16) tra la velocità angolare dell’albero

motore e dell’ albero dell’utilizzatore e riordinando i termini si ottiene:

∗ ∗ ∗ 2 ∗

(η M + τ M )ω = (η J + τ J )

ω̇ ω (8.56)

d m d m m

m r m r

ed, esplicitando in funzione della accelerazione angolare dell’albero motore, si ottiene l’equazione di moto

della macchina per condizioni di moto diretto:

∗ ∗

η M + τ M

d m r (8.57)

ω̇ =

m ∗ 2 ∗

η J + τ J

d m r

nel caso in cui (come ipotizzato in questo paragrafo) il momento motore ed il momento resistente dipen-

dano solo dalle velocità angolari dei rispettivi alberi e non dalla posizione angolare di questi, si ottiene

una equazione differenziale del primo ordine, che consente di determinare la legge di moto dell’albero

motore, ossia l’andamento nel tempo della velocità angolare ω dell’albero motore.

m

Nel caso in cui invece la macchina funzioni in condizioni di moto retrogrado, mediante passaggi

analoghi si ottiene:

∗ ∗

M + η τ M

r

m r (8.58)

ω̇ =

m 2 ∗

∗ + η τ J

J r r

m

Unendo le due espressioni della accelerazione dell’albero motore, valide rispettivamente nel caso di

moto diretto e retrogrado, si ottiene l’equazione di moto della macchina in regime assoluto, che esprime

in termini di equazione differenziale del primo ordine, la relazione tra le forze agenti nella macchina ed

il moto di questa:

 ∗ ∗

η M (ω ) + τ M (ω )

d m m

m r

 ∗ ∗

per M J ω̇ > 0

 m

 m m

∗ 2 ∗

η J + τ J

 d m r

ω̇ = (8.59)

m ∗ ∗

 M (ω ) + η τ M (ω )

 m r m

 m r ∗ ∗

per M J ω̇ < 0

 r

r r

∗ 2 ∗

J + η τ J

r

m r

8-12 CAPITOLO 8. DINAMICA DELLA MACCHINA A UN GRADO DI LIBERT À

8.2.2 Condizioni di funzionamento in regime assoluto

Le condizioni di funzionamento in regime assoluto della macchina si ottengono imponendo nella equazione

di bilancio delle potenze la condizione di regime:

dE c =0 (8.60)

dt

in tal modo si ottiene l’equazione:

 ∗ ∗ ∗

η M (ω ) + τ M (ω ) = 0 per M > 0

d m m

 m r m (8.61)

∗ ∗ ∗

 M (ω ) + η τ M (ω ) = 0 per M < 0

m r m

m r m

in cui la prima equazione si riferisce a condizioni di moto diretto, e la seconda a condizioni di moto

retrogrado. Si osservi che a regime, venendo a mancare il contributo dei termini inerziali, la condizione

di moto diretto/retrogrado viene determinata esclusivamente dal segno del momento ridotto del motore

o dell’utilizzatore (che devono essere necessariamente di segno opposto, per consentire la conservazione

dell’energia cinetica).

La condizione di regime (8.61) rappresenta una equazione non lineare nella incognita ω , che può

m

essere risolta con tecniche numeriche, ad esempio attraverso la minimizzazione di una opportuna funzione

residuo, come visto in precedenza per le equazioni di chiusura nel metodo dei numeri complessi. Trat-

tandosi di una equazione non lineare, non è possibile garantire a priori l’unicità della soluzione: si potrà

perciò avere un numero diverso di possibili condizioni di regime in funzione della particolare macchina

considerata, e quindi delle espressioni dei momenti motore e resistente ridotti.

8.2.3 Esempio applicativo: moto di un impianto di sollevamento carichi

In figura 8.5 si mostra un impianto di sollevamento carichi, composto da un motore asincrono trifase,

collegato attraverso una trasmissione formata da una coppia di ingranaggi del tipo ruota elicoidale-vite

5 ad una puleggia. Sulla puleggia si avvolge una fune metallica collegata da un lato alla cabina

senza fine

che porta il carico da sollevare, ed alla estremità opposta ad un contrappeso. Nel seguito si indicheranno

con m , m ed m rispettivamente la massa della cabina a vuoto, la massa del carico utile portato dalla

c u q

cabina e la massa del contrappeso. Infine, sull’albero motore è calettato un volano J che, come si vedrà

v

nel seguito, ha lo scopo di limitare l’accelerazione della cabina nella fase di avviamento dell’impianto.

J v ω M

m m

τ , η , η

d r m

m , m q

c u Figura 8.5: Impianto di sollevamento carichi

5 Si tratta di un tipo di rotismo atto a trasmettere il moto tra due assi fra loro ortogonali. Generalmente questo tipo di

trasmissione presenta un elevato rapporto di riduzione (ossia un valore del rapporto di trasmissione τ molto inferiore ad 1)

e da un rendimento modesto. 8-13

8.2. LA MACCHINA A REGIME ASSOLUTO

Cenni sul funzionamento del motore asincrono trifase

Il motore asincrono trifase è costituito da una parte fissa, detta e da una parte mobile, detta

statore

posta all’interno dello statore e dotata della possibilità di ruotare rispetto ad un asse fisso. Su

rotore,

ciascuno di questi elementi è posto un avvolgimento trifase. L’avvolgimento posto sullo statore, detto

è alimentato con un sistema di tensioni trifase alternate, che genera un campo magnetico

induttore,

rotante con velocità angolare ω detta pari a:

velocità di sincronismo,

s

2πf a (8.62)

ω =

s p

in cui f è la frequenza della tensione di alimentazione e p è il numero di coppie di poli dello statore.

a

Sul rotore si genera quindi una forza elettromotrice che dipende dalla velocità angolare del rotore

e che si annulla quando questo ruota alla velocità di sincronismo, ossia in maniera sincrona rispetto al

campo magnetico generato dallo statore.

La caratteristica meccanica del motore è mostrata in figura 8.6. Come si può osservare, tale carat-

teristica assume un andamento pressoché rettilineo per velocità prossime a quella di sincronismo. Per

evitare un funzionamento non corretto del motore (eccessive dissipazioni di energia con conseguente sur-

riscaldamento) è necessario che il motore lavori a regime in prossimità della velocità di sincronismo, e

che la sua velocità angolare non subisca eccessive oscillazioni attorno al valore di regime.

M m

M max ω s

ω

ω m

m

Figura 8.6: Caratteristica del motore asincrono trifase

Si può inoltre osservare che per velocità angolari superiori alla velocità di sincronismo la coppia mo-

trice diviene negativa, ossia risulta opposta alla velocità angolare dell’albero motore. In queste condizioni

il motore asincrono trifase si comporta come un organo frenante, sottraendo potenza alla macchina.

Le inerzie del motore asincrono trifase possono essere rappresentate per mezzo di un momento di

inerzia J che rappresenta il momento di inerzia del rotore rispetto al suo asse di rotazione.

m Nel caso di un impianto di sollevamento carichi occorre osservare che il senso di rota-

Osservazione:

zione del campo magnetico rotante, e di conseguenza, il verso del momento motore, viene invertito tra

la fase di salita e quella di discesa dell’impianto. Nella fase di salita il momento motore risulta perciò

concorde con una velocità angolare del motore che produca un sollevamento del carico utile, mentre nella

fase di discesa il momento motore agisce secondo il senso di rotazione che produce la discesa del carico.

Funzionamento in salita dell’impianto

Si considera innanzitutto la condizione di funzionamento dell’impianto in cui la cabina si muove verso

l’alto. In questa situazione la macchina è soggetta, sul lato motore, ad una coppia motrice M concorde

m

con la velocità angolare dell’albero motore e dipendente da questa secondo la caratteristica di figura 8.6.

8-14 CAPITOLO 8. DINAMICA DELLA MACCHINA A UN GRADO DI LIBERT À

ω r

ω r V V

q c V

V q

c m g m g

q q

(m + m )g (m + m )g

c u c u

Figura 8.7: Condizione di funzionamento in salita ed in discesa del lato utilizzatore dell’impianto di

sollevamento carichi

Sul lato utilizzatore invece agiscono le forze peso relative alla cabina (comprensiva del carico tra-

sportato) e sul contrappeso. Come mostrato in figura 8.7, la forza peso e la velocità sono discordi sulla

cabina e concordi sul contrappeso.

Di conseguenza, la potenza motrice e la potenza resistente assumono le espressioni:

Ŵ = M ω (8.63)

m m m

−(m

Ŵ = + m )gV + m gV (8.64)

r c u c q q

Ipotizzando che non vi sia strisciamento tra la fune e la puleggia, le velocità V della cabina e V del

c q

contrappeso possono essere espresse come:

V = Rω (8.65)

c r

V = Rω (8.66)

q r

in cui R e ω sono rispettivamente il raggio e la velocità angolare della puleggia. Inserendo tali relazioni

r

nella espressione della potenza resistente si ottiene:

Ŵ = M ω (8.67)

r r

r ∗

essendo il momento resistente ridotto M pari a:

r

∗ −(m −

M = + m m )gR (8.68)

c u q

r

L’energia cinetica del lato motore e del lato utilizzatore sono rappresentate dalle seguenti espressioni:

2 2

(J + J ) ω (8.69)

=

E m v

c m

m 2 1 1

1 2 2 2

(m + m m ) V + m V + J ω (8.70)

=

E c u q q p

c c q r

r 2 2 2

avendo indicato con J il momento di inerzia della puleggia.

p

Inserendo nella espressione della energia cinetica del lato utilizzatore i legami cinemetici precedente-

mente ricavati si ottiene:

1

2 2 2 2 ∗ 2

=

E m R + m R + m R + J ω = J ω (8.71)

c c u q p r r r

r 2

Applicando alle espressioni ottenute l’equazione (8.59) si ottiene:

 − −

η M τ (m + m m ) gR

d m c u q

 −

se M (J + J ) ω̇ > 0

 m m v m

 2 2 2 2

η (J + J ) + τ (m R + m R + m R + J )

 d m v c u q p

 (8.72)

ω̇ =

m  − −

M η τ (m + m m ) gR

 m r c u q

 −

se M (J + J ) ω̇ < 0

 m m v m

2 2 2 2

(J + J ) + η τ (m R + m R + m R + J )

m v r c u q p 8-15

8.2. LA MACCHINA A REGIME ASSOLUTO

Figura 8.8: Veicolo in salita

Funzionamento in discesa dell’impianto

Si considera in questo caso che il motore ruoti in senso tale da produrre un moto verso il basso della

cabina. Come osservato in precedenza, per effetto della inversione del senso di rotazione del campo

magnetico rotante, anche il momento motore cambia verso e risulta quindi concorde con la velocità

angolare dell’albero motore, cosı̀ come nel moto in salita.

Per quanto riguarda invece l’utilizzatore, si invertono le diresioni delle velocità della cabina e del

contrappeso, come mostrato nella parte di destra della figura 8.7.

Di conseguenza, l’espressione della potenza motrice rimane immutata rispetto al caso in salita, mentre

quella della potenza resistente cambia segno. Per quanto riguarda invece l’energia cinetica l’espressione

rimane uguale sia per il lato motore che per l’utilizzatore, perchè la sua espressione non risente del segno

delle velocità.

Operando gli stessi passaggi descritti per il moto in salita si ottiene l’equazione di moto:

 −

η M + τ (m + m m ) gR

d m c u q

 −

se M (J + J ) ω̇ > 0

 m m v m

 2 2 2 2

η (J + J ) + τ (m R + m R + m R + J )

 d m v c u q p

ω̇ = (8.73)

m  −

M + η τ ((m + m m ) gR

 m r c u q

 −

se M (J + J ) ω̇ < 0

 m m v m

2 2 2 2

(J + J ) + η τ (m R + m R + m R + J )

m v r c u q p

8.2.4 Esempio applicativo: autoveicolo in salita

Si consideri un autoveicolo a due assi, a trazione posteriore, in moto lungo un piano inclinato. Il motore è

collegato all’assale con le ruote motrici da una trasmissione, il cui rapporto di trasmissione τ sia costante

e noto, cosı̀ come il rendimento η. Si considera la presenza di resistenza al rotolamento su entrambi gli

assali. Si richiede di:

1. calcolare la coppia che consente di mantenere il veicolo in salita a regime;

2. calcolare l’accelerazione che si ottiene per una coppia motrice superiore a quella di regime;

3. verificare l’aderenza delle ruote motrici e condotte.

Potenza delle forze attive

La potenza delle sole forze attive fornita dal motore è

Ŵ = C ω (8.74)

m m m

8-16 CAPITOLO 8. DINAMICA DELLA MACCHINA A UN GRADO DI LIBERT À

mentre la potenza delle sole forze attive agenti dal lato dell’utilizzatore è costituita dai contributi

˙

× −M

Ŵ = M~g ~x = g sin αẋ (8.75)

g

dovuto al peso del veicolo, nel caso in cui il moto avvenga in salita lungo un piano inclinato di un angolo

α; da −C −

Ŵ = ω C ω (8.76)

v vp p va a

dovuto alle coppie resistenti al rotolamento delle ruote anteriori e posteriori.

Nell’ipotesi di puro rotolamento sia delle ruote anteriori che posteriori, posta

ω = τ ω (8.77)

p m

la velocità angolare delle ruote motrici, la velocità del veicolo è

ẋ = R ω = τ R ω (8.78)

p p p m

mentre la velocità angolare delle ruote anteriori risulta

R

ẋ p

= τ ω (8.79)

ω = m

a R R

a a

In base al modello presentato nel Capitolo 6, la resistenza al rotolamento è proporzionale alla compo-

nente normale della reazione scambiata fra ruota e terreno e al raggio della ruota attraverso un coefficiente

di resistenza al rotolamento f ; quindi la potenza espressa dalla (8.76) diventa

v

−f −

Ŵ = N R ω f N R ω (8.80)

v vp p p p va a a a

Dalle (8.77) e (8.79) si ricava

Ŵ = (f N + f N ) ẋ (8.81)

v vp p va a

e, nell’ipotesi di eguaglianza delle ruote degli assali anteriore e posteriore, da cui

f = f = f (8.82)

vp va v

si ottiene infine

−f

Ŵ = (N + N ) ẋ (8.83)

v v p a

La scrittura del bilancio di potenze richiede quindi la conoscenza della componente normale al terreno

delle reazioni scambiate con gli assali. In generale, il calcolo delle reazioni vincolari richiede la conoscenza

della dinamica e quindi le reazioni vanno calcolate simultaneamente all’equazione del moto. In questo

caso particolare, però, è agevole notare che la scrittura dell’equazione di equilibrio dell’intero veicolo in

direzione perpendicolare al piano su cui avviene il moto fornisce direttamente la somma delle reazioni

necessarie:

N + N = M g cos α (8.84)

p a

Quindi la potenza dissipata per rotolamento, in virtù della (8.82), diventa

−f

Ŵ = M g cos αẋ (8.85)

v v 8-17

8.2. LA MACCHINA A REGIME ASSOLUTO

Coppia necessaria al moto a regime

Nella condizione in esame, di moto in salita, la potenza viene sicuramente assorbita dall’utilizzatore,

quindi il moto è diretto. Quindi il bilancio di potenze dà

Ŵ + = 0 (8.86)

Ŵ + Ŵ

m g v

ovvero − −

C ω M g sin αẋ f M g sin αẋ = 0 (8.87)

m m v

da cui, sostituendo l’espressione (8.78) della velocità ẋ del veicolo in funzione della velocità angolare ω m

del motore si ottiene

C = τ M g (sin α + f cos α) R = 0 (8.88)

m v p

La coppia è sicuramente positiva in caso di pendenza α positiva; in caso di pendenza negativa, la coppia

associata alla gravità cambia segno; la coppia motrice rimane positiva, e quindi il moto rimane diretto,

−f

fintanto che tan α > .

v

Accelerazione allo spunto

L’energia cinetica del sistema è associata a:

• inerzia J del motore;

m

• massa M dell’intero veicolo;

• inerzia J dell’assale posteriore;

p

• inerzia J dell’assale anteriore.

a

Risulta quindi !!

2

R

1

1 p

2 2 2

2 2 2 2 J + τ M R + J + J ω (8.89)

J ω + M ẋ + J ω + J ω =

E = m p a

m p a

c p m

p a 2

2 2 r a

Posta la potenza dissipata nella trasmissione pari a

− − −

W = (1 η ) Ŵ J ω̇ ω (8.90)

p d m m m m

dal teorema dell’energia cinetica si ricava

− − − −

C ω τ M g (sin α + f cos α) R ω (1 η ) (C J ω̇ ) ω

m m v p m d m m m m

!!

2

R p

2 2

= J + τ M R + J + J ω̇ ω (8.91)

m p a m m

p 2

r a

da cui, dopo alcune semplificazioni, si ricava

η C τ M g (sin α + f cos α) R

d m v p (8.92)

ω̇ = !

m 2

R p

2 2

η J + τ M R + J + J

d m p a

p 2

r a

8-18 CAPITOLO 8. DINAMICA DELLA MACCHINA A UN GRADO DI LIBERT À

Verifica di aderenza delle ruote

La verifica di aderenza delle ruote non è particolarmente attinente al tema di questo capitolo; viene qui

discussa essenzialmente per illustrare come i bilanci di potenze possono anche essere utili al calcolo delle

reazioni vincolari. La verifica di aderenza delle ruote anteriori richiede la valutazione delle componenti

Ruote anteriori.

normale e tangenziale della reazione vincolare scambiata tra ruota e terreno.

La componente normale può essere agevolmente ricavata scrivendo l’equilibrio dei momenti agenti

sull’intero veicolo rispetto ad un polo opportunamente posto al punto di contatto tra l’assale posteriore

ed il terreno, in modo da escludere la partecipazione della reazione scambiata con il terreno dalle ruote

posteriori stesse: −

N (p + p ) + M g (h sin α p cos α) + M ẍh + J ω̇ + J ω̇ + (C + C ) = 0 (8.93)

a 1 2 1 p p a a vp va

Si noti che la coppia motrice non partecipa a questa equazione, in quanto si tratta di una coppia interna

scambiata tra veicolo e assale posteriore. Considerando le definizioni

C = f N R (8.94)

vp v p p

C = f N R (8.95)

va v a a

e l’equazione (8.84), si ottiene − −

C + C = f (N R + N R ) = f (M g cos αR N (R R )) (8.96)

vp va v p p a a v p a p a

e quindi, dalla (8.93), − − − − −

M g (p cos α h sin α) M ẍh J ω̇ J ω̇ f M g cos αR

1 p p a a v p (8.97)

N =

a − −

p + p f (R R )

1 2 v p a

In realtà, la componente normale della reazione vincolare sulla singola ruota è la metà del valore calcolato

nella (8.97). Questa relazione si semplifica qualora sia R = R , come avviene ad esempio nella maggior

p a

parte degli autoveicoli.

La componente tangenziale della reazione vincolare si ricava, ad esempio, dall’equilibrio alla rotazione

del solo assale anteriore, per il quale si ha

J ω̇ + C T R = 0 (8.98)

a a va a a

in quanto non partecipano il peso, le reazioni scambiate nel vincolo con il veicolo e la componente normale

della reazione scambiata con il terreno, in quanto il loro braccio è nullo. Da questa si ricava

J a

T = ω̇ + f N (8.99)

a a v a

R a

La condizione di aderenza è data da

N > 0 (8.100)

a 6

in quanto le ruote posteriori devono essere a contatto con il terreno , e da

|T | ≤

N f (8.101)

a a s

Si noti che, nel caso la reazione N diminuisca, come avviene ad esempio per effetto di una accelerazione

a

positiva, è possibile che la condizione (8.101) sia violata proprio a causa dell’accelerazione angolare ω̇ a

dell’assale. Quindi le ruote anteriori, in caso di accelerazione sufficientemente elevata, inizierebbero a

strisciare prima di arrivare alla perdita di contatto (motociclo che “impenna”).

6 Si noti che, a parte il contributo associato al peso per la distanza p tra l’assale posteriore ed il baricentro, tutti gli

1

altri contributi alla reazione N sono negativi, in caso di accelerazione positiva.

a


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Dinamica di Sistemi Aerospaziali del Prof. Pierangelo Masarati, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: dinamica della macchina a un grado di libertà; potenza motrice e potenza resistente; la trasmissione; la macchina a regime assoluto; macchina in regime periodico; esempio della pompa a stantuffo.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

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