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Esercizi

Non temere che la temperatura vada sotto lo zero in giugno, neppure in alta montagna. Non è

mai stato così freddo nei mesi estivi, e quindi probabilmente non lo sarà mai.

Matteo ha detto che andrà alla festa il che significa che ci andrà anche Giulia. Così Giulia non

potrà venire al cinema con noi. G. Paronitti - Logica 13

Soluzioni

Non temere che la temperatura vada sotto lo zero in giugno, neppure in alta montagna. Non è mai

stato così freddo nei mesi estivi, e quindi probabilmente non lo sarà mai.

Nei mesi estivi la temperatura non è mai scesa sotto lo zero, neppure in alta montagna.

probabilmente non lo sarà mai

Non temere che la temperatura vada sotto lo zero in giugno.

Matteo ha detto che andrà alla festa il che significa che ci andrà anche Giulia. Così Giulia non potrà

venire al cinema con noi.

Matteo ha detto che andrà alla festa

Anche Giulia andrà alla festa

Giulia non potrà venire al cinema con noi.

∴ G. Paronitti - Logica 14

Attenzione

Attenzione alla possibilità che una argomentazione contenga degli asserti

impliciti o incompleti.

Es: uno di noi due deve fare i piatti e non sarò certo io.

Attenzione una certa espressione può essere sia per dire qualcosa sia

usata

come ciò di cui si sta parlando. Per prevenire questa confusione,

menzionata

quando una espressione è menzionata piuttosto che usata la si racchiude tra

virgolette.

Es. Socrate era un filosofo greco --> enunciato vero

‘Socrate’ è un nome di 7 lettere --> enunciato vero

‘Socrate’ era un filosofo greco --> enunciato falso

Socrate è un nome di 7 lettere --> enunciato falso

G. Paronitti - Logica 15

La logica formale e informale

logica formale

La è lo studio delle forme argomentative, cioè di modelli astratti comuni a molte

argomentazioni differenti. Una forma argomentativa è qualcosa di più semplice della struttura

esibita da un diagramma perché codifica qualcosa che riguarda la composizione interna delle

premesse e della conclusione.

se P, allora Q

Es:

P

∴Q

Le variabili P e Q stanno per un qualsiasi asserto. Cioè possono essere rimpiazzate da un qualsiasi

enunciato dichiarativo al fine di produrre una argomentazione specifica. Dato che le coppie di

enunciati dichiarativi è potenzialmente infinito, la forma rappresenta infinite argomentazioni

diverse tutte aventi la stessa struttura.

logica informale

La è lo studio delle argomentazioni formulate in linguaggio naturale e dei

contesti in cui esse occorrono. Dove la logica formale enfatizza la generalità e la teoria, la logica

informale si concentra sull’analisi di argomentazioni concrete.

G. Paronitti - Logica 16

Deduttivamente valido deduttivamente valide.

La logica, tradizionalmente, si occupa di inferenze o argomentazioni

La forma di una inferenza si dice valida quando non può condurre da premesse vere a conclusioni

false. Un argomento si dice valido se, in ogni modello in cui le premesse sono vere, anche la

conclusione lo è. ragionamento deduttivo,

Una inferenza con queste caratteristiche costituisce un e la

conclusione C viene detta conseguenza logica delle premesse P ,…,P . In altri termini, le

1 n

inferenze valide conservano la verità delle premesse.

Come la mettiamo con il seguente argomento?

Il papa è siciliano

Tutti i siciliani sono giardinieri

Il papa è un giardiniere.

∴ G. Paronitti - Logica 17

Argomenti non deduttivi

Non tutte le inferenze ‘sensate’ sono ragionamenti deduttivi.

Che tipo di ragionamenti sono le seguenti argomentazioni?

1. Tutti i cigni osservati finora in Europa sono bianchi.

Tutti i cigni osservati finora in Nord America sono bianchi.

Tutti i cigni osservati finora in Sud America sono bianchi. […]

Non sono mai stati osservati cigni che non fossero bianchi.

tutti i cigni sono bianchi.

2. L’assassino ha sporcato di sangue il tappeto

chiunque fosse entrato dal giardino avrebbe sporcato di fango il tappeto.

L’assassino è entrato dal giardino.

3. Gli uccelli salvo eccezioni sono in grado di volare.

Titti è un uccello

Titti è in grado di volare.

∴ G. Paronitti - Logica 18

Argomenti non deduttivi

Non tutte le inferenze “sensate” sono ragionamenti deduttivi. Le inferenze della slide precedente,

non lo sono. Infatti in esse la conclusione potrebbe risultare falsa pur essendo vere tutte le

premesse.

Ad esempio, potrebbe esserci da qualche parte un cigno nero che nessuno ha mai osservato, oppure

l’assassino potrebbe aver sporcato il tappeto deliberatamente per sviare le indagini, oppure Titti

potrebbe essere un pinguino.

Nell’esempio dei cigni, la conclusione è una generalizzazione delle informazioni contenute nelle

ragionamento induttivo.

premesse. Questo tipo di ragionamento va sotto il nome di

Nell’esempio dell’assassino, nella conclusione, si cerca di formulare un’ipotesi che spieghi i fatti delle

ragionamento abduttivo.

premesse. Questo tipo di ragionamento va sotto il nome di

ragionamento per default.

L’ultimo è un esempio di G. Paronitti - Logica 19

Logica Proposizionale

La cattura le forme più semplici di inferenza logica, ossia quelle della cui validità

logica proposizionale

si può rendere conto senza prendere in considerazione la struttura interna delle proposizioni

atomiche.

In logica si dicono quelle proposizioni che non possono essere ulteriormente scomposte in

atomiche

altre proposizioni. Esempi di proposizioni atomiche del linguaggio ordinario sono ‘Giorgio

corre’, ‘Roma è la capitale d’Italia’, ‘Piove’.

Per rendere conto della validità delle inferenze proposizionali non occorre scomporre le

proposizioni atomiche in componenti più elementari.

Nel linguaggio formale della logica proposizionale rappresentiamo le proposizioni atomiche

mediante o anche si possono usare le maiuscole P, Q, R

lettere o variabili proposizionali: a, b, c, …

Le proposizioni atomiche possono essere combinate tra loro per formare proposizioni composte.

G. Paronitti - Logica 20

Esempi

Rappresentando per mezzo di variabili propozionali le proposizioni atomiche che formano una

argomentazione ci possiamo rendere conto della loro forma più astratta e possiamo notare che

esempi diversi appartengono a una stessa forma. Esempi:

1) Oggi è giovedì o venerdì.

Oggi non è venerdì.

Oggi è giovedì.

2) La Gioconda è stata dipinta o da Rembrandt o da Michelangelo.

Rembrandt non ha dipinto la Gioconda.

La Gioconda è stata dipinta da Michelangelo.

O andiamo in macchina o con la bici.

3)

Non andiamo in macchina.

Andiamo con la bici.

La forma di queste argomentazioni è quella del cosiddetto sillogismo disgiuntivo:

o P o Q.

non si dà il caso che P.

∴Q. G. Paronitti - Logica 21

Validità e forme argomentative

Se ogni esempio di una forma argomentativa è valido allora la forma argomentativa è valida,

altrimenti la forma argomentativa è invalida. Perciò basta un contro-esempio (premesse vere,

conclusione falsa) per invalidare una forma argomentativa. Es. il sillogismo disgiuntivo (che

abbiamo appena visto) è una forma argomentativa valida perché ogni suo esempio che abbia le

premesse vere possiede anche una conclusione vera.

Vediamo una forma argomentativa invalida (l’affermazione del conseguente):

se P, allora Q. Q. ∴P.

Malgrado alcuni esempi siano argomentazioni valide:

Se aprile precede maggio, allora aprile precede maggio e maggio segue aprile.

aprile precede maggio e maggio segue aprile.

Aprile precede maggio*.

*la validità di questo argomento dipende dalla seconda premessa, la prima è ridondante.

Esiste almeno un contro-esempio che rende l’affermazione del conseguente invalida:

Se stai facendo i salti di gioia, allora sei vivo.

Sei vivo.

Stai facendo i salti di gioia.

∴ G. Paronitti - Logica 22

Operatori logici, introduzione

Le proposizioni atomiche possono essere combinate tra loro per formare proposizioni composte.

Esempi di proposizioni composte del linguaggio ordinario sono:

“Se la temperatura sale, il ghiaccio si scioglie”,

“Giorgio corre e Marco cammina”,

“Piove oppure fa freddo”.

Nel linguaggio formalizzato della logica proposizionale le proposizioni composte si rappresentano

combinando tra loro le lettere proposizionali mediante opportuni connettivi proposizionali.

Chiameremo sia le singole lettere proposizionali, sia le espressioni complesse

formule proposizionali

ottenute combinando le lettere proposizionali per mezzo dei connettivi.

D’ora in avanti utilizzeremo le lettere maiuscole A, B, C, ..., P , P , P , ... per indicare formule

1 2 3

proposizionali generiche. Introduciamo quattro negazione, congiunzione,

connettivi proposizionali:

disgiunzione e condizionale materiale.

G. Paronitti - Logica 23

Operatori logici La negazione

¬ , ~ , –

Data una formula A, la sua negazione si rappresenta con la formula ¬A.

Semantica: Se A è vera, allora ¬A è falsa; se A è falsa, allora ¬A è vera.

La congiunzione

, & ,

∧ ⋅

Date le formule A e B, la loro congiunzione si rappresenta con la formula A B.

Semantica: A B è vera se sia A sia B sono vere, ed è falsa in tutti gli altri casi.

∧ La disgiunzione

Semantica: A B è vera se e soltanto se è vera almeno una delle due formule A e B, è quindi falsa nel caso che

A e B siano entrambe false. Il condizionale materiale

→ , ⊃

→ →

Semantica: il significato di A B è ‘Non si dà il caso che sia vera A e falsa B’. Cioè, A B è falsa se A è vera e

B è falsa, ed è vera in tutti gli altri casi. Il bicondizionale

, ≡

Semantica: una formula A B è vera quando sia A che B sono entrambi veri o entrambi falsi; è falsa negli altri

casi. G. Paronitti - Logica 24

Consuetudini

È consuetudine scrivere le forme argomentative orizzontalmente, con le premesse separate da

virgole, perciò:

P Q

¬P

∴Q

Si può riscrivere nel modo seguente: P Q, ¬P |- Q

Il simbolo ‘|-’ sta al posto dei tre puntini ed è chiamato cancelletto o segno d’asserzione.

G. Paronitti - Logica 25

Tavole di verità

semantica

La di un’espressione è il suo contributo alla verità o alla falsità degli enunciati in cui

occorre (o, più precisamente, alla verità e alla falsità delle asserzioni espresse da quegli enunciati).

valore di verità

La verità o falsità di un asserto è anche chiamata di quell’asserto.

La semantica di un operatore logico è fornita da una regola che permette di determinare il valore di

verità di qualsiasi asserzione composta nella quale compaia quell’operatore, sulla base del valore

di verità dei suoi componenti.

principio di bivalenza

Assumiamo il secondo il quale vero e falso sono i soli valori di verità e, in

ogni situazione possibile, ciascun asserto ha uno e un solo valore di verità.

Ecco le tavole di verità degli operatori logici che abbiamo visto finora.

Congiunzione Implicazione o

Negazione Disgiunzione condizionale

A B A∧B

A ¬A A B A∨B materiale

V F V V V V V V A B A→B

V F F V F V V V V

F V F F V V V F F

F F F F F F F V V

F F V

G. Paronitti - Logica 26

Bicondizionale e disgiunzione esclusiva

La semantica del bicondizionale deriva dalla congiunzione di due implicazioni. Quindi la tavola di verità

per il bicondizionale deriva dalla tavola di verità della seguente formula:

→ →

(P Q) (Q P)

Vediamo come:

P Q P→Q Q→P Bicondizionale

∧ P Q P Q

V V V V V V V V

V F F F V V F F

F V V F F F V F

F F V V V F F V

C’è anche una lettura della disgiunzione in cui ‘P o Q’

significa ‘o P o Q, ma non entrambi’. Questa è una Disgiunzione esclusiva

lettura esclusiva della disgiunzione la cui tavola di verità P Q P Q

deriva da quella della formula seguente: V V F

(P Q) ¬(P Q) V F V

∨ ∧ ∧ F V V

Il simbolo che esprime la disgiunzione esclusiva è il F F F

seguente: (ma si può anche usare ‘oe’).

⩡ G. Paronitti - Logica 27

Formule ben formate, fbf

Le formule usate per gli esercizi precedenti sono composte dai seguenti tre insiemi di simboli:

1. Lettere enunciative;

2. Operatori logici;

3. Parentesi: ‘(’, ‘)’.

Questi tre insiemi costituiscono il vocabolario della logica proposizionale.

Una formula del linguaggio della logica proposizionale è una qualunque sequenza di elementi del

vocabolario. Quindi potrebbero esistere anche delle sequenze prive di senso come ‘((¬()P’. Per

distinguere queste sequenze dalle formule valide introduciamo la nozione di formula

grammaticale o in breve fbf.

formula ben formata,

La nozione di fbf è definita dalle seguenti regole di formazione, le quali costituiscono la grammatica

della logica proposizionale:

1. Qualsiasi lettera enunciativa è una fbf;

φ φ

2. Se è una fbf, allora anche ¬ lo è;

φ ψ ψ), ψ), → ψ) ψ).

3. Se e sono fbf, allora lo sono anche (φ (φ (φ e (φ

∧ ∨

Si noti che con la regola 3 si stipula che, ogniqualvolta si introduce un operatore binario, si introduce

una corrispondente coppia di parentesi. Ma c’è una convenzione ufficiosa per cui le parentesi più

esterne si possono omettere. G. Paronitti - Logica 28

Esercizi

Interpretando la lettera enunciativa ‘P’ come ‘sta piovendo’ e la lettera ‘N’ come ‘sta nevicando’,

esprimere in logica proposizionale la forma di ciascuno dei seguenti enunciati italiani:

a. Sta piovendo.

b. Non sta piovendo.

c. O sta piovendo, o sta nevicando.

d. Sta sia piovendo che nevicando.

e. Sta piovendo ma non nevicando.

f. Non è vero che sta sia piovendo che nevicando.

g. Se non sta piovendo allora sta nevicando.

h. Non si dà il caso che, se sta piovendo, allora sta nevicando.

i. Non si dà il caso che, se sta nevicando, allora sta piovendo.

j. Sta piovendo se e solo se non sta nevicando.

k. Non sta ne piovendo, né nevicando.

l. Se sta sia nevicando che piovendo, allora sta nevicando.

m. Se non sta piovendo, allora non è vero che sta sia nevicando che piovendo.

n. O sta piovendo o sta sia nevicando che piovendo

o. O sta sia piovendo che nevicando, o sta nevicando ma non piovendo

G. Paronitti - Logica 29

Soluzioni

a. Sta piovendo. [ P ]

b. Non sta piovendo. [ ¬P ]

c. O sta piovendo, o sta nevicando. [ P N ]

d. Sta sia piovendo che nevicando. [ P N ]

e. Sta piovendo ma non nevicando. [ P ¬N ]

f. Non è vero che sta sia piovendo che nevicando. [ ¬(P N) ]

g. Se non sta piovendo allora sta nevicando. [ ¬P N ] →

h. Non si dà il caso che, se sta piovendo, allora sta nevicando. [ ¬(P N) ]

i. Non si dà il caso che, se sta nevicando, allora sta piovendo. [ ¬(N P) ]

j. Sta piovendo se e solo se non sta nevicando. [ P ¬N ]

k. Non sta né piovendo, né nevicando. [ ¬P ¬N ] o [ ¬(P N) ]

∧ ∨ →

l. Se sta sia nevicando che piovendo, allora sta nevicando. [ (N P) N ]

∧ →

m. Se non sta piovendo, allora non è vero che sta sia nevicando che piovendo. [ ¬P ¬(N P) ]

n. O sta piovendo o sta sia nevicando che piovendo. [ P (N P)]

∨ ∧

o. O sta sia piovendo che nevicando, o sta nevicando ma non piovendo. [ (P N) (N ¬P)]

∧ ∨ ∧

G. Paronitti - Logica 30

Il condizionale materiale

Nel linguaggio ordinario le espressioni del tipo di solito non sono puramente vero-

se ... allora ....

funzionali: il valore di verità di un enunciato del tipo A B non dipende esclusivamente dai

se allora

valori di verità degli enunciati A e B. Spesso ad esempio ... ha sfumature di tipo causale.

se... allora

Un tipico esempio di enunciati del tipo ... ... che non sono vero-funzionali sono i cosiddetti

se allora

ossia quegli enunciati che asseriscono cosa sarebbe successo se si fosse

condizionali contro-fattuali,

verificato un evento che nella realtà non si è verificato (ad esempio: se i dinosauri non si fossero

oppure

estinti, allora l'uomo non si sarebbe mai evoluto, se la sveglia avesse suonato, allora non avrei

perso il treno). G. Paronitti - Logica 31

I controfattuali

Per rendersi conto in che senso il controfattuale non mappa il linguaggio di uso comune

se ... allora ...

si considerino i due enunciati controfattuali seguenti:

(a) Se Dante fosse morto a cinque anni, allora non avrebbe scritto la Divina Commedia.

(b) Se Dante fosse morto a cinque anni, allora la Luna sarebbe fatta di formaggio.

In entrambi i casi l'antecedente (ossia, l'enunciato che segue il è falso, perché Dante non è morto a

se)

cinque anni. Analogamente, in entrambi è falso il conseguente (ossia, l'enunciato che segue

l'allora): non è vero che Dante non ha scritto la Divina Commedia, così come non è vero che la

Luna è di formaggio. Quindi a livello vero-funzionale entrambe le proposizioni sono vere.

Tuttavia, tutti diremmo che (a) è vero mentre (b) è falso. Quindi, abbiamo due enunciati (a) e (b)

del tipo A B, in entrambi i quali sia A sia B sono falsi. Ma (a) è vero e (b) è falso. Di

se allora

conseguenza, questo uso del ... ... non è vero-funzionale (perché in base alle tavole di

se allora

verità dovrebbe essere entrambi veri): non basta sapere il valore di verità di A e di B per sapere il

valore di verità di A B.

se allora

Altro esempio: “se tu sei morto, allora sei vivo”.

Giacché se il ‘tu’ della frase si rivolge al lettore ….

G. Paronitti - Logica 32

Il ragionamento per assurdo (reductio ad absurdum)

Sul condizionale materiale si basa la possibilità delle dimostrazioni per assurdo.

Per dimostrare per assurdo un enunciato del tipo A B si procede nel modo seguente.

se allora

Si assume che A→B (ipotesi Si deriva A→¬B cioè si deriva una contraddizione, visto che

d'assurdo).

da A posso deriva B e ¬B. Se da una ipotesi deriviamo una contraddizione, rivelandone l'assurdità,

allora siamo in grado di affermare che è vera l'ipotesi contraria. In altre parole, se si riesce a

dimostrare che da una stessa premessa è possibile far derivare due conseguenze opposte tra loro,

allora la premessa è falsa. Dunque la tesi è impossibile perché porta a una contraddizione tra le

conseguenze derivate dalla premessa.

Es. mamma:- perché hai iniziato a fumare?

figlio:- tutti i miei amici lo fanno!

mamma:- quindi se i tuoi amici si buttano dal ponte, tu anche lo fai.

Es. Giacomo vede Giovanni sull’uscio di casa. Osservando che è completamente asciutto si rende

conto che non piove. La sua prova che non sta piovendo è che se stesse piovendo, Giovanni

sarebbe bagnato. Perciò non sta piovendo.

G. Paronitti - Logica 33

Tavole di verità per forme argomentative

Abbiamo detto che una forma argomentativa è valida se tutti i suoi esempi sono validi (o potremmo

dire se non ha controesempi).

Una tavola di verità è una lista esaustiva di situazioni possibili. E quindi possiamo costruire una tavola

di verità anche per specifiche forme argomentative.

Es.

La principessa o la regina P R P R ¬P |- R

presenzierà alla cerimonia. V V V F V

La principessa non presenzierà V F V F F

La regina presenzierà F V V V V

F F F V F

Formalizzato:

P R, ¬P |- R

∨ G. Paronitti - Logica 34

Esercizi

Formalizzare le seguenti argomentazioni.

1. Se dio esiste, allora la vita ha senso. Dio esiste, dunque la vita ha senso. (D, V)

2. Dio non esiste, perché, se dio esistesse, la vita avrebbe senso. La vita, invece, non ha senso. (D, V)

3. Se l’aereo non fosse precipitato, avremmo avuto qualche contatto radio. Non abbiamo avuto

alcun contatto radio con l’aereo. Quindi è precipitato. (P, R)

4. Dato che oggi non è giovedì, deve essere venerdì, in quanto oggi è giovedì o venerdì. (G, V)

5. Se oggi è giovedì, allora domani è venerdì. Se domani è venerdì, allora dopodomani è sabato. Di

conseguenza, se oggi è giovedì, dopodomani è sabato. (G, V, S)

6. Siamo nel fine settimana se e solo se è o sabato o domenica. Dunque siamo nel fine settimana,

dal momento che è sabato. (F, S, D)

7. È sabato o domenica se siamo nel fine settimana; ma non siamo nel fine settimana. Dunque non

è sabato né domenica.

8. Se siamo nel fine settimana allora è sabato o è domenica. Non è sabato. Non è domenica.

Quindi, non siamo nel fine settimana. (F, S, D)

9. La domanda per la borsa di studio è già stata spedita. Se i commissari la ricevono per venerdì, la

prenderanno in considerazione. Quindi la prenderanno in considerazione, poiché, se la domanda

è già stata spedita, la riceveranno per venerdì. (S, V, C)

10. O lei non è a casa, o non risponde al telefono; ma se lei non è a casa allora è stata rapita e, se

non risponde al telefono si trova in qualche altro pericolo. Quindi o è stata rapita o si trova in

qualche altro pericolo. (C, R , R , P)

1 2 G. Paronitti - Logica 35

Soluzioni

→ |-

1. D V, D V

→ |-

2. D V, ¬V ¬D

→ |-

3. ¬P R, ¬R P

|-

4. G V, ¬G V

→ → →

|-

5. G V, V S G S

|-

6. F (S D), S F

→ |-

7. (S D) F, ¬F ¬S ¬D

∨ ∨

→ |-

8. *F (S D), ¬S, ¬D ¬F

→ → |-

9. S V, V C, S C

→ → |-

10. ¬C ¬R , ¬C R ¬R P R P

∨ ∨

1 2 1 2 G. Paronitti - Logica 36

Esercizi

Costruire le tavole di verità e dimostrare la validità degli argomenti seguenti:

|-

P→Q, Q→R P→R

1. |-

P→Q, Q P

2. |-

P→Q, P→¬Q ¬P

3. |-

P→Q ¬(Q→P)

4. |-

P, ¬P Q

5. |-

R P (P∨(P∧Q))

6. G. Paronitti - Logica 37

Soluzioni 1,2

P Q R → → →

P Q Q R |- P R

V V V V V V

V V F V F F

V F V F V V

V F F F V F

F V V V V V

F V F V F V

F F V V V V

F F F V V V

P Q Q |- P

P Q

V V V V V

V F F F V

F V V V F

F F V F F

G. Paronitti - Logica 38

Soluzioni 3,4

P Q |- ¬P

→ →

P Q P ¬Q

V V V F F

V F F V F

F V V V V

F F V V V

P Q → →

P Q |- ¬(Q P)

V V V F

V F F F

F V V V

F F V F

G. Paronitti - Logica 39


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questa dispensa si riferisce alle lezioni di Filosofia della scienza, tenute dal Prof. Roberto Cordeschi nell'anno accademico 2010 e tratta i seguenti argomenti:
[list]
Nozioni base sulla Logica;
Logica proposizionale;
Logica dei predicati;
Inferenza e argomentazione;
Logica formale e informale;
Deduzione.
[/list]


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in filosofia
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Filosofia della scienza e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Cordeschi Roberto.

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