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-III/9-

-

I 1 - - -

R I

ω ω

E = -j L I + L I

a1

a1

1 1 1

A

O -

E B

1

Fig. III.4 - Diagramma vettoriale relativo al conduttore 1, in assenza di simmetria

geometrica (D > D )

13 12

La componente in fase (ma potrebbe anche essere in in opposizione di fase), coincidente

con il segmento AB nella fig.III.4, equivale ad una caduta di tensione, positiva o

negativa, che si manifesta ai capi di una resistenza (che perciò anch’essa può risultare di

valore positivo o negativo!).

La componente in quadratura (OA nella fig.III.4) equivale, invece, ad una caduta di

tensione (f.e.m. indotta) che si manifesta ai capi di una induttanza.

Quando ricorre questa situazione, per semplicità si è soliti assumere che la caduta di

tensione lungo la linea sia quella che si verifica ai capi dell’induttanza riconducibile alla

sola componente della tensione in quadratura con la correntee, quindi, alla sola parte

reale reali del numero complesso espresso dalla (III.17) o dalle (III.18), e cioè (per tutti i

conduttori):  

1 0

, 46 0

, 46

( ) ( )

R

= = + + +

L L 0

,

05 0

, 46 log( ) log D log D

 

a

1 12 13

a 1  

r 2 2

 

1 0

,

46 0

,

46 ( )

( )

= = + + +

R

L L 0

,

05 0

,

46 log( ) log D log D

 

a 2 a 2 21 23

 

r 2 2

 

1 0

,

46 0

,

46

( ) ( )

= = + + +

R

L L 0

,

05 0

,

46 log( ) log D log D

 

a 3 a 3 31 32

 

r 2 2 (mH/km). (III.21)

Il fenomeno precedentemente analizzato – e cioè che in assenza di simmetria

geometrica le cadute di tensione nei tre conduttori sono differenti in modulo e non sono

in quadratura con le rispettive correnti – prende il nome di fenomeno dell'induttanza

obliqua ed i tre coefficienti di induzione definiti come sopra, sono ancora chiamati

induttanza apparente della linea.

Dal punto di vista fisico, la presenza del fenomeno della induttanza obliqua è

causa di dissimmetria nelle tensioni di una linea trifase: se, infatti, per semplicità di

esposizione, si fa riferimento ad una linea alimentata da una terna di tensioni sinusoidali e

simmetriche si ha che la presenza delle tre cadute di tensione differenti tra loro fa sì che

le tre tensioni all'arrivo costituiscono una terna dissimmetrica. A tale fenomeno, invece,

Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/10-

non si accompagnano, per ovvi motivi, effetti dissipativi: la somma algebrica delle

componenti in fase su tutti e tre i conduttori è, infatti, nulla; ha luogo, in pratica, un

trasferimento di potenza da un conduttore all’altro, per accoppiamento magnetico, con il

risultato che “apparentemente” in una (o due) fasi le perdite aumentano, mentre in due (o

una) fase esse diminuiscono.

E’ importante anche osservare, sempre con riferimento al caso di assenza di

simmetria geometrica, che le tre induttanze apparenti date dalle (III.21) sono di valore

differente tra loro, per cui le tre fasi, seppure disaccoppiate elettromagneticamente, si

comportano in maniera differente. Per superare tale problema si è soliti introdurre il

concetto di induttanza di servizio di una linea trifase, intesa come la media delle

induttanze apparenti dei tre conduttori:

+ +

L L L D

a

1 a 2 a 3 m

= = +

L 0

,

05 0

, 46 ln (mH/km) (III.22)

s 3 r

=

D D D D

3

con .

m 12 31 23

L'induttanza di servizio permette di disaccoppiare elettromagneticamente le tre

fasi attribuendo nel contempo a ciascuna di esse una induttanza, data dalla (III.22), che è

la stessa per tutte e tre le fasi; tale parametro, e da ciò deriva la sua denominazione,

caratterizza la linea trifase nelle condizioni di regime sinusoidale simmetrico di sequenza

diretta in cui essa si trova normalmente a funzionare; è evidente che tale induttanza, per

ovvi motivi, caratterizza la linea trifase anche nelle condizioni di regime sinusoidale

simmetrico di sequenza inversa. La relazione (III.22) può essere impiegata anche in

presenza di una o più funi di guardia; la loro presenza, ed in particolare la presenza delle

f.e.m. in esse indotte da parte delle correnti circolanti nei conduttori di potenza,

modifica, infatti, di poco il valore della induttanza di servizio.

Per evitare (o minimizzarne l’entità) le dissimmetrie nelle linee, che comporterebbero il

fenomeno dell' induttanza obliqua, nella pratica si ricorre alla tecnica della

“trasposizione” dei conduttori (fig.III.5): assumendo che i tre conduttori, lungo lo

sviluppo dell'intera linea, occupino tutte le tre posizioni possibili, si ha che le tre forze

elettromotrici complessivamente indotte su ciascuno di essi, come si potrebbe facilmente

dimostrare anche dal punto di vista analitico, risulteranno di uguale modulo e sfasate di

120°; esse, quindi, non saranno causa di dissimmetria delle tensioni.

1 2

2 3

3 1

Fig. III.5 - Trasposizione dei conduttori di una linea aerea trifase

Tutto quanto detto in precedenza vale nel caso di assenza di simmetria

geometrica; quando la simmetria geometrica è presente, le induttanze apparenti dei tre

Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/11-

conduttori sono uguali tra loro, in valore date dalla prima delle (III.21), ed uguali

all’induttanza di servizio.

Tutte le relazioni ricavate in precedenza sono basate sull'ipotesi che il sistema di

correnti che percorrono i conduttori soddisfi la condizione che impone che la somma

delle correnti che interessano i conduttori sia pari a zero.

Sebbene non inerente il normale funzionamento elettrico di una linea, è

interessante, per i motivi che saranno chiari nel seguito dei nostri studi, considerare

anche il caso in cui tale condizione non è verificata; più in particolare, si faccia

riferimento al caso di una linea trifase che sia percorsa da una terna di correnti sinusoidali

tale che: 0

= = =

I I I I

1 2 3 (III.23)

0

+ + =

I I I 3

I ;

1 2 3

0

la corrente risultante circolerà, per ovvi motivi, nel terreno (Fig.III.6), la cui

3 I

presenza, in questo caso, deve essere necessariamente portata in conto.

Tale caso è di particolare interesse perchè le tre correnti date dalle (III.23)

costituiscono una terna di correnti di sequenza omopolare; come si vedrà nel seguito,

sistemi di corrente di questo tipo sono presenti nei sistemi elettrici in cui si verificano

corto circuiti dissimmetrici che interessano il terreno.

_ -

I I

0 0

_ 0

3 I _ _ _

I _

0 0

0 0

I I

I

_ 0

3 I

Fig. III.6 - Linea trifase in presenza di componenti omopolari di corrente

0

La distribuzione della corrente nel terreno dipende dalle caratteristiche sia

3

I

della linea trifase che del terreno. Più in particolare, si è notato che il percorso della linea

aerea (e, quindi, quello delle correnti che vi circolano) influenzano significativamente il

percorso della corrente nel terreno, che tende, infatti, ad inseguire quello della linea.

Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/12-

Lo studio appena descritto viene semplificato notevolmente ipotizzando che la

corrente nel terrreno circoli in un immaginario conduttore (Fig.III.7), coincidente,

trasversalmente, con il baricentro di tutti i punti in cui si distribuisce la corrente reale.

1

D

13 D

12

3 D 23 2

Conduttore Immaginario

Fig. III.7 - Linea trifase e conduttore immaginario.

Circa la profondità nel terreno di detto conduttore immaginario, essa può essere

D

calcolata a partire dalla conoscenza della distanza tra il conduttore immaginario e i

e

conduttori della linea con la seguente formula approssimata:

ρ t

= ; (III.24)

D 658 (m)

e f

se, ad esempio, si assume che sia (trattasi di dati molto vicini a quelli di linee trifasi reali

in AT): ρ = Ω

100 ( m )

t =

f 50 ( Hz )

si ha che risulta: =

D 930 ( m ) ,

e

cioè il conduttore immaginario si trova nel terreno ad una profondità veramente

notevole.

Il flusso totale "concatenato" col generico conduttore della linea, somma di

quello relativo alle spire formate con gli altri due conduttori e di quello relativo alla spira,

di dimensioni molto più grandi delle prime due, formata con il conduttore immaginario,

Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/13-

ha, pertanto, un termine predominante che è quello relativo al flusso connesso alla spira

formata con il conduttore immaginario.

Il calcolo delle induttanze apparenti nel caso in esame non è semplice, e si omette

per brevità di trattazione. E', però, possibile affermare che, in base a quanto evidenziato

in precedenza, si ha che le induttanze apparenti nel caso in esame assumono valori di

gran lunga superiori (circa 3-4 volte maggiori) a quelle date dalle (III.17) e (III.18).

E' interessante osservare, inoltre, che se sono presenti una o più funi di guardia, il

0

ritorno della corrente risultante avviene in parte attraverso il terreno ed in parte

3

I

attraverso le funi di guardia, che sono collegate al terreno per il tramite dei sostegni

metallici e che, pertanto, si dispongono in parallelo allo stesso. Tanto minore è la

0

resistenza delle funi di guardia tanto più la corrente tende a circolare in esse,

3

I

riducendosi, pertanto, l'entità della corrente che interessa il terreno. Ne consegue che,

poichè le spire costituite dai conduttori e dalle funi di guardia hanno dimensioni

notevolmente più piccole di quelle che gli stessi formano con il conduttore immaginario,

si ha una riduzione del valore delle induttanze apparenti che tenderanno ai valori dati

dalle (III.17) e (III.18) tanto più quanto minore è il contributo di corrente che interessa il

terreno.

Induttanze apparenti di una linea trifase con conduttori a fascio

Come già noto dallo studio della costituzione delle linee elettriche aeree di AAT,

esse sono spesso realizzate utilizzando i conduttori a fascio, cioè con più conduttori per

ogni fase, alla stessa tensione, interessati dalla medesima corrente e posti a una distanza

l'uno dall'altro dell'ordine dei 40÷50 cm. Una tale configurazione della linee, infatti, si

presenta particolarmente giovevole per la trasmissione dell'energia, anche per i motivi

che verranno illustrati in seguito.

Si consideri, a titolo di esempio, il caso di linea trifase con conduttori di fase posti

ai vertici di un triangolo equilatero e con due conduttori per fase posti a distanza tra di

loro (fig.III.8) e si vogliano calcolare le induttanze apparenti delle tre fasi e l'induttanza

di servizio; sia per ipotesi: 3 ( )

∑ 'j

+ =

i i 0 . (III.25)

j

=

j 1

( 1 , 1' ) D ( 2 , 2' )

D D

d ( 3, 3' )

Fig. III.8 - Linea trifase con conduttori a fascio (due conduttori per fase)

Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/14-

Essendo i conduttori del fascio identici si ha che:

i = i , i = i , i = i . (III.26)

1 1’ 2 2’ 3 3’

Per il calcolo dell'induttanza apparente del conduttore 1 si considerino le spire

costituite dalle coppie di conduttori (1-1'), (1-2), (1-2'), (1-3), (1-3'). In particolare, la

(1,1')

coppia contribuisce al flusso totale “concatenato con il conduttore 1” con una

aliquota pari a: ∆

φ = + − ; (III.27)

[ 0

,

05 0

,

46 log( )] ( i )

11

' 1

'

r

la coppia (1, 2) contribuisce, invece, con una aliquota di flusso pari a:

D

φ = + ⋅ −

[ 0

,

05 0

,

46 log( )] ( i ) . (III.28)

12 2

r

Essendo << D i flussi relativi a tutte le altre coppie di conduttori hanno

praticamente espressioni identiche a quelle date dalle (III.27) e (III.28), salvo per quanto

riguarda le correnti che li sostengono. Sotto tale ipotesi si ottiene, in conclusione, che il

flusso totale “concatenato con il conduttore 1” è dato da:

φ = φ + φ + φ + φ + φ =

1 11

' 12 12 ' 13 13 '

∆ D

= + − + + − +

[ 0

,

05 0

,

46 log( )]( i ) [ 0

,

05 0

,

46 log( )]( i )

1

' 2

r r

D D D

+ + − + + − + + − =

[ 0

,

05 0

,

46 log( )]( i ) [ 0

,

05 0

,

46 log( )]( i ) [ 0

,

05 0

,

46 log( )]( i )

2 ' 3 3

'

r r r

1

= + − − − − − + ∆ − +

[ 0

,

05 0

,

46 log( )]( i i i i i ) [ 0

,

46 log( )]( i )

1

' 2 ' 2 3 3

' 1

'

r

+ − − − − =

0

,

46 log( D )( i i i i )

2 2 ' 3 3 ' 2

1 D

= + − ∆ + = +

2

[ 0

,

05 0

,

46 log( ) 0

,

46 log( ) 0

,

46 log( D )] i [ 0

,

05 0

,

46 log( )] i .

1 1

r r (III.29)

Dall'analisi della (III.29) si nota che è possibile legare il flusso totale concatenato

con il conduttore 1 con la sola corrente i che lo percorre:

1

1

φ L i

= , (III.30)

1 a

1 1

1

L

attraverso un numero reale dato da:

a 1 Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/15- 2

D

1 (mH/km),

= + (III.31)

L [ 0

,

05 0

, 46 log( )]

a 1 ∆

r

individuando così l’induttanza apparente del conduttore 1 della fase1.

L’induttanza apparente della fase 1, parallelo dei due conduttori, è, pertanto:

1

L D

a

1

= = + ⋅ (mH/km) (III.32)

L 0

, 025 0

, 46 log( )

a

1 2 ∆

r

Stante le condizioni di simmetria precedentemente citate le induttanze apparenti

delle altre due fasi saranno identiche a quella della fase 1.

Discorsi del tutto simili si possono effettuare anche se si ipotizza che i conduttori

a fascio siano percorsi da terne di correnti sinusoidali simmetriche di sequenza diretta e

inversa. Le induttanze apparenti saranno, evidentemente, date ancora dalle (III.32) e,

stante le condizioni di simmetria geometrica, esse coincideranno con l'induttanza di

servizio della linea.

Se si confronta, poi, l'espressione dell'induttanza di servizio di una linea trifase

senza conduttori a fascio con quella dell'induttanza di servizio di una linea trifase con

conduttori a fascio, per il caso di due conduttori a fascio, ci si rende conto, in primo

luogo, che quest'ultima risulta di valore più piccolo di circa il 20%. Questa riduzione

consente, per i motivi che verranno illustrati in seguito, di ridurre le cadute di tensione e

di migliorare la stabilità del sistema.

E’ interessante notare anche che una linea con conduttori a fascio è, in prima

approssimazione, equivalente ad una linea trifase con conduttori singoli di raggio pari a

2

; essendo r∆ > r , ne consegue che la linea trifase a più conduttori è equivalente ad

r

una linea ad un unico conduttore di raggio equivalente più grande. Per i motivi illustrati

successivamente nello studio della conduttanza, questo effetto comporta una benefica

riduzione dell'effetto corona nelle linee in esame.

Considerazioni analoghe valgono nel caso in cui il fascio è costituito da un

numero di conduttori maggiore di due. Gli effetti benefici che ne derivano sono, anzi,

crescenti con il numero di conduttori per fase.

1.2 Capacità

Ciascun conduttore nudo di una linea elettrica aerea si trova immerso in un

isolante, che è l’aria. Si realizzano, pertanto, accoppiamenti capacitivi sia tra tutte le

coppie di conduttori presenti che tra ciascun conduttore e il terreno, perché in tutti questi

casi è possibile materializzare fisicamente la presenza di un condensatore (due armature

metalliche con in mezzo interposto un dielettrico).

Tali accoppiamenti capacitivi, essendo i conduttori anche sottoposti a potenziale elettrico

molto forte (stiamo parlando di linee aeree di AT o di AAT), sono responsabili di

circolazione di correnti di spostamento tra i conduttori e tra i conduttori ed il terreno.

Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/16-

Gli accoppiamenti capacitivi sopra descritti possono possono essere modellati attraverso

un opportuno sistema di condensatori, da inserirsi tra le coppie di conduttori e tra

ciascun conduttore ed il terreno.

Ancora una volta, però, come già fatto per l’induttanza di servizio di una linea, in

considerazione delle notevoli semplificazioni che ne derivano, è conveniente definire ed

associare a ciascun conduttore della linea un unico condensatore, la cui capacità, detta

“capacità apparente”, risulti in grado di portare in conto sia gli accoppiamenti capacitivi

tra il conduttore in esame e gli altri conduttori che l’accoppiamento tra esso ed il terreno.

Grazie all’introduzione di tale parametro è possibile, cioè, disaccoppiare dal punto di

vista elettrostatico i vari conduttori che costituiscono una linea elettrica cosicchè le

vicissitudini di ciascuno di essi risultino dipendenti solo dal suo potenziale e non anche

da quello degli altri conduttori.

Nel seguito viene affrontato il problema del calcolo di tale parametro per alcuni

dei principali tipi di linea aerea trifase che si incontrano nei sistemi elettrici per l’energia.

Capacità apparenti di una linea trifase

Si consideri inizialmente una linea elettrica costituita da n conduttori di uguale

diametro che si trovano ai potenziali v , v , …., v , in presenza del terreno, assunto a

1 2 n

potenziale di riferimento.

Applicando le equazioni di Maxwell al generico conduttore s si può ricavare la

quantità di carica distribuita su di esso in funzione dei potenziali cui si trovano gli n

conduttori; si ha: ∗ ∗ ∗

= + − + + − , (III.33)

Q c v c ( v v ) ..........

.. c ( v v )

s sT s s

1 s 1 sn s n

dove i coefficienti c * e c* sono costanti con dimensioni di capacità e sono denominati

sT ij

capacità parziali. Le (III.33) suggeriscono la schematizzazione della linea riportata nella

figura III.9. Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/17- 2

.

n . *

c

*

c s2

sn . 1

. *

. c

3 s1

* s

c s3 *

c sT

TERRENO

Fig. III.9 – Condensatori associati al conduttore s di un sistema di n conduttori

Manipolando opportunamente la (III.33) si ottiene:

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

= + + + − − −

Q ( c c ... c ) v c v .......... .. c v . (III.34)

s sT s

1 sn s s

1 1 sn n

Dall’analisi della (III.34) si nota che, se non si introducono opportune

particolarizzazioni, non è possibile esprimere la carica totale distribuita sul conduttore s

in funzione del solo potenziale ad esso applicato; non è, quindi, possibile disaccoppiare

dal punto di vista elettrostatico il conduttore s dagli altri n-1 conduttori ed introdurre,

così, il concetto di capacità apparente del conduttore s. Lo stesso discorso, ovviamente,

si può ripetere per tutti gli altri (n-1) conduttori.

Una particolarizzazione, di importanza fondamentale per l'ovvio interesse che

suscita, riguarda il caso in cui il sistema di n conduttori è rappresentativo di un sistema

trifase (n=3) che funziona in condizioni di regime sinusoidale simmetrico di sequenza

diretta (le tensioni applicate ai tre conduttori costituiscono una terna simmetrica diretta

2

= α = α

V , V V , V V

di vettori: ); questo caso è di particolare interesse perchè è

1 2 1 3 1

quello di normale funzionamento di una linea. In questo caso, la (III.34), posto a titolo di

esempio s=1, diventa: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

= + + − α − α

2

Q ( c c c ) V c V c V . (III.35)

1 1

T 12 13 1 12 1 13 1

Dall’analisi della (III.35) si nota che il coefficiente di proporzionalità tra la carica

totale distribuita sul conduttore 1 ed il potenziale a cui si trova il conduttore stesso:

˙

=

Q C V . (III.36)

1 a

1 1 Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/18-

è un numero complesso dato da:

a

1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

˙ R I 2

= + = + + − α − α (III.37)

C C jC ( c c c ) c c .

a

1 a 1 a 1 1

T 12 13 12 13

In modo analogo si può procedere con riferimento ai conduttori 2 e 3, definendo

così altri due numeri complessi, coefficienti di proporzionalità tra carica e potenziale, dati

da: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

˙ R I 2

= + = + + − α − α

C C jC ( c c c ) c c

a 2 a 2 a 2 2 T 21 23 21 23 (III.38)

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

˙ R I 2

= + = + + − α − α .

C C jC ( c c c ) c c

a 3 a 3 a 3 3 T 31 32 31 32

Le correnti associate ai tre conduttori di fase saranno, allora, date da:

˙

= ω

I j C V

a 1 a

1 1

˙

= ω

I j C V (III.39)

a 2 a 2 2

˙

= ω

I j C V ;

a 3 a 3 3

nel caso più generale, cioè, le correnti non sono in quadratura con i rispettivi potenziali,

come è lecito attendersi stante la natura dei fenomeni in gioco.

Nel caso di simmetria geometrica dei conduttori (disposizione ai vertici di un

triangolo equilatero) ed osservando che nel campo delle alte tensioni le altezze H dei

i

conduttori dal terreno sono molto più grandi delle interdistanze D tra gli stessi, risulta

ij

*T * *

≅ ≅ per cui le precedenti relazioni si semplificano nelle seguenti:

c c c ,

1 2 T 3

T = = = = + ,

C C C C c 3 c

a

1 a 2 a 3 a T m (III.40)

= ω = ω = ω

I j C V , I j C V , I j C V ,

a 1 a 1 a 2 a 2 a 3 a 3

avendo posto: * * * * * *

≅ ≅ = = = =

c c c c , c c c c ;

1

T 2

T 3

T T 12 13 23 m

nel caso in esame, cioè, i coefficenti di proporzionalità tra carica e potenziale sono

numeri reali e, conseguentemente, le correnti di spostamento sono rigorosamente in

quadratura con i rispettivi potenziali. Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/19-

In assenza di simmetria geometrica, cioè quando, come già detto, la corrente non

è in quadratura con il potenziale corrispondente, è possibile scomporre il vettore

rappresentativo della corrente di spostamento in due componenti: una in quadratura ed

una in fase od in opposizione di fase con il potenziale; nella fig.III.10, a titolo di esempio,

si riporta il diagramma vettoriale relativo al conduttore 1.

-

V

1 - -

-

R I

I ω ω

= j C V - C V

a1

a1 a1 1

1

-

- - -

- R

I

Q

I Q = j C V + C V

B a1 a1

1 a1 1

1 1

A O

Fig.III.10 - Diagramma vettoriale relativo al conduttore 1, in assenza di simmetria

* *

<

c c

geometrica ( )

12 13

La componente in fase od in opposizione di fase (AB nella fig.III.10) equivale ad

una corrente attraverso una conduttanza fittizia, positiva o negativa a seconda del

conduttore; nel caso del conduttore 1, il valore di tale conduttanza è, di fatto, dato dal

coefficiente della parte immaginaria del numero complesso espresso dalla (III.37)

ω.

moltiplicato per la pulsazione La componente in quadratura (OB nella fig.III.10)

equivale, invece, ad una corrente di spostamento attraverso una capacità vera e propria;

nel caso del conduttore 1 il valore di tale capacità è, di fatto, dato dalla parte reale del

numero complesso espresso dalla (III.37). E’ per questo motivo che, con correttezza

formale, si è soliti assumere quali capacità apparenti dei tre conduttori non i numeri

complessi espressi dalla (III.37) o dalle (III.38), ma solo le loro parti reali, e cioè:

3 3

= = + +

R1 *T * *

C C c c c

a 1 a 1 12 13

2 2

3 3

= = + +

R2 * *21 *23

C C c c c (III.41)

a 2 a 2 T 2 2

3 3

= = + +

R3 * * *

C C c c c .

a 3 a 3

T 31 32

2 2

Il fenomeno precedentemente analizzato – e cioè che in assenza di simmetria

geometrica le correnti sono differenti in modulo e non sono in quadratura con i rispettivi

potenziali – prende il nome di fenomeno della “capacità obliqua”.

Dal punto di vista fisico, la presenza del fenomeno della capacità obliqua è causa

di dissimmetria nelle correnti di una linea trifase: se, infatti, per semplicità di esposizione,

si fa riferimento ad una linea che in partenza ha una terna di correnti sinusoidali e

simmetriche si ha che la presenza delle tre correnti differenti tra loro fa sì che le tre

correnti all'arrivo costituiscono una terna dissimmetrica. A tale fenomeno, invece, non si

Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/20-

accompagnano, per ovvi motivi, effetti dissipativi: la somma algebrica delle componenti

in fase su tutti e tre i conduttori è, infatti, nulla, per motivi analoghi a quelli enunciati nel

caso dell’induttanza obliqua.

Per evitare le dissimmetrie connesse al fenomeno della capacità obliqua si ricorre

ancora una volta alla tecnica, già indicata, della trasposizione dei conduttori.

E’ importante osservare in conclusione, sempre con riferimento al caso di assenza

di simmetria geometrica, che le tre capacità apparenti date dalle (III.41) sono di valore

differente tra loro, per cui le tre fasi, seppure disaccoppiate elettrostaticamente, si

comportano in maniera differente. Per superare tale problema si è soliti introdurre il

concetto di capacità di servizio di una linea trifase, intesa come la media delle capacità

apparenti dei tre conduttori: + +

C C C

= a 1 a 2 a 3

C . (III.42)

s 3

Quando la simmetria geometrica è, invece, presente, le capacità apparenti dei tre

conduttori sono uguali tra loro ed ognuna di esse coincide con la capacità di servizio

della linea.

Dall’analisi delle relazioni precedenti, appare evidente che per calcolare le

capacità apparenti e la capacità di servizio di una linea trifase è necessario conoscere i

valori delle capacità parziali c *.

ij

Per comprendere come tale calcolo possa essere effettuato, consideriamo una linea

trifase funzionante in regime sinusoidale simmetrico di sequenza diretta (normale

funzionamento), per quanto prima detto, avremo:

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

= + + − −

Q ( c c c ) V c V c V

1 1

T 12 13 1 12 2 13 3

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

= + + − − (III.43)

Q ( c c c ) V c V c V

2 2 T 21 23 2 21 1 23 3

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

= + + − −

Q ( c c c ) V c V c V

3 3

T 31 32 3 31 1 32 2

Le (III.43) possono porsi nella forma compatta:

= + +

Q c V c V c V

1 11 1 12 2 13 3

= + +

Q c V c V c V (III.44)

2 21 1 22 2 23 3

= + +

Q c V c V c V

3 31 1 32 2 33 3

avendo posto: Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/21-

∗ ∗ ∗

= + +

c c c c

11 1

T 12 13

∗ ∗ ∗

= + +

c c c c

22 2 T 21 23

∗ ∗ ∗

= + +

c c c c

33 3 T 31 32

*ij

= − ≠

c c i j.

ij

E’ evidente che lo stretto legame che esiste tra i coefficenti c * e c fa sì che i

ij ij

primi si possono calcolare una volta noti i secondi.

Il calcolo diretto dei coefficienti c non è, però, agevole, in quanto richiede lo

ij

studio di non semplici distribuzioni del campo elettrico presente nei vari punti che

circondano la linea. Se, ad esempio si fa riferimento al coefficiente c , essodovrebbe

11

essere calcolato come: c = Q /V | ,

11 1 1 V2=V3=0

e, quindi, potrebbe essere calcolato come la carica distribuita sul conduttore 1 quando lo

stesso è a potenziale unitario e gli altri due sono a potenziale di terra; relazioni analoghe

si ricavano per tutti gli altri coefficienti c .

ij

Lo studio del campo elettrico in situazioni fisiche tipo quella che scaturisce dalla

III.45 è tutt’altro che agevole in quanto, pur ponendo a potenziale zero i conduttori 2 e

3 (V2=0 e V3=0), non si possono ritenere nulle le cariche su di essi presenti (Q2 e Q3) e

ciò crea condizioni di disuniformità del campo che ne rendono laboriosa la valutazione.

Tale problema chiaramente si esalta quando si ha a che fare con linee più complesse,

quali quelle con funi di guardia e conduttori multipli.

Il problema del calcolo dei coefficienti c , e quindi delle capacità parziali c *, può,

ij ij

fortunatamente, risolversi calcolando tali coefficienti in maniera indiretta, attraverso una

procedura che, come si vedrà tra breve, si presenta alquanto più agevole.

A tal fine, si noti che le relazioni (III.44) possono porsi nella forma matriciale:

[ ] [ ]

[ ]

=

Q c V (III.45)

con [c] matrice quadrata. Dalle (III.45) risulta immediatamente:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

− 1

= = ; (III.46)

V c Q A Q

dove i coefficienti A sono detti coefficienti di potenziale.

ij

È evidente che, noti i termini della matrice [A], si possono calcolare

immediatamente anche i termini della matrice [c], per inversione della matrice stessa.

E’ questo il metodo di calcolo indiretto delle capacità parziali cui si faceva riferimento in

precedenza; esso si presenta alquanto agevole in quanto il calcolo dei termini della

matrice [A] è tutt’altro che complesso; i coefficenti di potenziale si possono, infatti,

calcolare attraverso lo studio di distribuzioni di campo elettrico che , nel caso in esame,

Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/22-

contrariamente a quanto accadeva per il calcolo diretto dei coefficienti c , non presenta

ij

praticamente caratteristiche di disuniformità.

Se si esplicitano, infatti, le (III.46) nella forma:

= + +

V A Q A Q A Q

1 11 1 12 2 13 3

= + +

V A Q A Q A Q (III.47)

2 21 1 22 2 23 3

= + +

V A Q A Q A Q

3 31 1 32 2 33 3

si può dedurre, ad esempio, che il coefficiente A è dato da:

11

A = V /Q | ; (III.48)

11 1 1 Q2=Q3=0

esso è pari, cioè, al potenziale che assume il conduttore 1 quando sullo stesso è presente

una carica unitaria e sugli altri conduttori è presente una carica nulla; relazioni analoghe

si possono ricavare per gli altri coefficienti di potenziale.

Lo studio del campo elettrico, e quindi del potenziale, che soddisfi le condizioni

imposte dalle relazioni del tipo della (III.47) è molto agevole, in quanto esso presenta,

con buona approssimazione, caratteristiche di uniformità. Se si fa, ad esempio,

riferimento al solito coefficiente A , essendo nulle le cariche sui conduttori 2 e 3

11

(Q2=Q3=0), si può trascurare, con buona approssimazione, la loro presenza nella

valutazione del potenziale del conduttore 1, in quanto essi danno luogo solo a modifiche

localizzate e di scarso peso nella distribuzione del potenziale. Nel momento in cui si

eliminano i conduttori 2 e 3, lo studio del campo elettrico e, quindi, del potenziale si

semplifica notevolmente e può essere condotto con il ben noto principio delle immagini,

considerando presente il solo conduttore 1 ed il suo conduttore immagine.

Considerazioni analoghe possono effettuarsi con riferimento a tutti gli altri

coefficienti di potenziale.

L’applicazione del principio delle immagini (che per brevità di tralascia) porta alle

seguenti espressioni dei coefficienti di potenziale:

4 H

1

= i

A ln( )

ii π ε

2 d (III.49)

2 H

1

= i

A ln( ) ,

ij π ε

2 D ij

essendo H l’altezza del conduttore i dal terreno e D l’interdistanza tra i conduttori.

i ij

In conclusione, noti i termini della matrice [A] tramite le (III.49), si possono

calcolare i termini della matrice [C] per inversione e, quindi, le capacità apparenti e di

servizio della linea. Considerazioni analoghe valgono, evidentemente, anche nel caso di

strutture più complesse della linea trifase. Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia

-III/23-

In alcuni casi, sotto alcune ipotesi semplificative, si può effettuare il calcolo delle

capacità apparenti e di servizio in modo ancora più semplice rispetto a quanto

evidenziato in precedenza. Ad esempio, nel caso di linea trasposta, posto:

= = =

H H H H

1 2 3 m (III.50)

= = =

D D D D

12 23 31 m

le (III.49) si semplificano in:  

4 H

1

= =

m

 

A ln m

ii π ε

2 d

  (III.51)

 

2 H

1  

= =

m

A ln n

 

ij π ε

2 D

 

m

e le (III.47) diventano: = + +

V m Q n Q n Q

1 1 2 3

= + +

V n Q m Q n Q (III.52)

2 1 2 3

= + +

V n Q n Q m Q .

3 1 2 3

Poiché le tre tensioni di fase costituiscono una terna simmetrica diretta di

tensioni, la somma delle (III.52) porta alla seguente relazione tra le cariche:

+ + =

Q Q Q 0 ; (III.53)

1 2 3

le (III.52) diventano, pertanto:

= −

V ( m n ) Q

1 1

= −

V ( m n ) Q (III.54)

2 2

= −

V ( m n ) Q

3 3

da cui consegue che: 1

= = = =

C C C C . (III.55)

a

1 a 2 a 3 s −

( m n )

Tenendo presente le (III.51), se si sostituisce in esse il logaritmo naturale con il

logaritmo decimale, se si assume, poi, come unità di misura delle capacità il (nF/km) e se

si tiene conto, infine, che: Appunti di Sistemi Elettrici per l'Energia


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Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria elettronica
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Sistemi elettrici per l’energia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Mediterranea - Unirc o del prof Carbone Rosario.

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