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Matematica Generale

Marco Castellani

Facoltà di Economia

marco.castellani@univaq.it

Lezione 11 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 11 1 / 20

Lezione 11

Infinitesimi: limiti notevoli

Determiniamo gli infinitesimi delle funzioni elementari (noti al grande

pubblico come limiti notevoli). I limiti notevoli si dividono in due grandi

categorie:

i limiti notevoli legati alle funzioni esponenziali che derivano da

x

1

+ =

1

lim e

x

x→+∞

i limiti notevoli legati alle funzioni trigonometriche che derivano da

sen x =

lim 1

x

x→0 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 11 2 / 20

Lezione 11

Infinitesimi: limiti notevoli Limiti notevoli esponenziali

Sono quelli che discendono dal seguente limite

x

1

+

lim 1 x

x→±∞ ±∞

che risulta una forma indeterminata 1 .

Applicazione finanziaria

Investiamo 1 Euro al tasso di interesse annuo i: il montante al tempo t

= +

risulterà M(t) 1 it. In particolare alla fine del primo anno risulta

= +

M 1 i.

1 dsm

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Lezione 11

Infinitesimi: limiti notevoli

Optiamo per la seguente strategia.

Dopo il primo semestre ritiriamo la somma investita comprensiva

i

+

degli interessi maturati 1 e la investiamo per i successivi 6

2

mesi nuovamente al tasso i. Il montante così ottenuto risulta

2

i i i

= + + = +

M 1 1 1

·

2 2 2 2

Osserviamo che 2 2

i i

= + = + + + =

1 1 i 1 i M

M > .

2 1

2 4

Abbiamo ottenuto un montante superiore a quello precedente! dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 11 4 / 20

Lezione 11

Infinitesimi: limiti notevoli

Se avessimo ripetuto il procedimento due volte, alla fine di ogni

quadrimestre, avremmo ottenuto un montante pari a

3 2

i i

= + + =

1 1 M

M > .

3 2

3 2

Siamo interessati a conoscere il valore del montante quando la

capitalizzazione degli interessi avviene ad ogni istante

(capitalizzazione continua degli interessi) cioè

x

i

+

lim 1 .

x

x→+∞

=

Interessiamoci al caso semplice i 1. dsm

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Lezione 11

Infinitesimi: limiti notevoli

Con un ragionamento puramente “finanziario” abbiamo visto che

x

1

+

la funzione 1 risulta crescente e quindi ammette limite (che

x +∞).

potrà essere finito o t

(t) =

Infine, grazie alla convessità della funzione f 4 si mostra che

x

1

+

1 4, 0

≤ ∀x >

x

Quindi il limite è finito.

Si indica il limite con la lettera e che prende il nome di numero di

Nepero: x

1

+ =

1

lim e

x

x→+∞ dsm

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Lezione 11

Infinitesimi: limiti notevoli

Il numero di Nepero è un numero irrazionale come e vale

π

=

e 2, 718281828459045235360287471352 . . .

=

Effettuando il cambiamento di variabile x t si ricava

−1 −

x

1

+ =

lim 1 e

x

x→−∞

Quindi possiamo concludere che x

1

+ =

lim 1 e

x

x→±∞ dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 11 7 / 20

Lezione 11

Infinitesimi: limiti notevoli

5

4.5

4

3.5

3 e

2.5

2

1.5

1

0.5

0

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40

x

1

(x ) = +

Figure: Limite per x della funzione f 1

→ ±∞ x dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 11 8 / 20

Lezione 11

Infinitesimi: limiti notevoli

Per quanto riguarda l’aspetto finanziario, effettuando il cambiamento di

xi

=

variabile t si ricava x

i i

+ =

lim 1 e

x

x→+∞

Il tasso di interesse i prende il nome di tasso di interesse istantaneo e

it

l’espressione e (che indica il valore del montante ottenuto

capitalizzando 1 Euro per un periodo t) prende in nome di fattore

montante continuo. Rappresenta l’unico regime di capitalizzazione

scindibile (cioè che garantisce assenza di arbitraggio) e per questo è

quella utilizzata in ambito finanziario. dsm

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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Limiti notevoli:
- limite della funzione esponenziale, applicazione al calcolo della capitalizzazioni. Limite notevole del logaritmo e dell'esponenziale e loro forma asintotica;
- limite notevole trigonometrico: sua dimostrazione. Limite notevole del coseno: forma asintotica dei due limiti notevoli.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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