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Lezione 8

Definizione di limite M N

→ +∞ +∞

Figure: Limite per x di una funzione divergente a dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 8 9 / 29

Lezione 8

Definizione di limite

Verifichiamo il seguente limite 1 =

lim 0

x

x→+∞ R

Fissato 0 dobbiamo trovare M affinché valga

ε > 1

|f (x) − = (1)

ε > ℓ| x

per ogni x M. Essendo x 0, dall’equazione (1) si ricava

> > 1 1

1 ⇔ ⇔ x

<ε <ε <

x x ε

1

=

e quindi basta scegliere M .

ε dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 8 10 / 29

Lezione 8

Definizione di limite

Riepilogo dei limiti. (x) =

lim f ⋆

x→

dove e possono essere

⋆  +∞

 +∞ (f )

CE sup. illim. 

 

  −∞

 

 

 

−∞ (f ) =

= CE inf. illim. ⋆

R

 

 

 

 

R

∈ ∈ D(A)

x x

 

0 0 

 non esiste

 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 8 11 / 29

Lezione 8

Limite destro e sinistro

∈ D(A),

Nel caso in cui x il limite si può dividere in due casi.

0

Definizione R R R.

: −→ ⊂ ∈

Siano f A con A e x

0

Se x è di accumulazione destro, cioè di accumulazione per

0

∩ (x +∞),

A si chiama limite destro di f in x il limite in x della

,

0 0 0

R

: ∩ (x +∞) →

funzione f A e lo indicheremo

,

0 (x).

f

lim

+

x→x

0

Se x è di accumulazione sinistro, cioè di accumulazione per

0

∩ (−∞, ),

A x si chiama limite sinistro di f in x il limite in x della

0 0 0

R

: ∩ (−∞, ) →

funzione f A x e lo indicheremo

0 (x).

lim f

x→x − dsm

0

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 8 12 / 29

Lezione 8

Limite destro e sinistro

In altre parole nel limite destro si sostituiscono alla variabile x

solamente quei valori “vicini” a x che sono un po’ più grandi di x ! Nel

0 0

limite sinistro invece si guardano quelli a sinistra di x .

0

Teorema R R R

: −→ ⊂ ∈

Siano f A con A e x un punto di accumulazione sia

0

destro che sinistro per A. Allora (x) = = (x).

(x) = ⇔ f lim f

lim f lim ℓ

x→x +

x→x x→x

0 −

0 0

Solitamente per calcolare un limite si calcola prima quello sinistro e poi

quello destro e si guarda se coincidono. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 8 13 / 29

Lezione 8

Limite destro e sinistro

Esempio. Utilizzando il Teorema precedente si ha

1 ∄

=

lim x

x→0

poiché empiricamente si ha 1

1 = −∞

= +∞ lim

lim x

x

+

x→x x→x −

0 0

1 1

x x

e

x x

−0, −10

0, 1 10 1

−0, −100

0, 01 100 01

−0, −1.000

0, 001 1.000 001

−0, −1.000.000

0, 000001 1.000.000 000001 dsm

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Lezione 8

Limite destro e sinistro 1

→ (x ) =

Figure: Limite destro e limite sinistro per x 0 di f x

=

La retta x 0 è asintoto verticale destro e asintoto verticale sinistro dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 8 15 / 29

Lezione 8

Primi teoremi sui limiti

Teorema (Unicità del limite)

Il limite di una funzione, se esiste, è unico.

Teorema (Permanenza del segno)

R

: (a, −→ ∈ (a,

Siano f b) e x b). Se

0 (x) =

lim f 0

ℓ >

x→x

0

allora esiste 0 per cui

ε >

(x) ∀x ∈ (x − ) ∪ (x +

f 0, x x

> ε, , ε).

0 0 0 0

= ±∞.

Ovviamente il teorema vale anche se x Provate a scriverne

0

l’enunciato! dsm

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Lezione 8

Primi teoremi sui limiti

Teorema (Limite & monotonia)

R

: (a, ) −→

Sia f x monotona; allora esiste il limite sinistro di f in x

0 0

ed inoltre

se f è crescente allora (x) = (x);

lim f sup f

x→x − )

x∈(a,x

0

0

se f è decrescente allora (x) = (x).

lim f inf f

)

x∈(a,x

x→x − 0

0 R? R

: (x −→ : (a, −→

Domanda: cosa succede se f b) E se f b) con

,

0 dsm

∈ (a,

x b)?

0 Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 8 17 / 29

Lezione 8

Calcolo dei limiti

Cosa fare per calcolare i limiti?

Conoscere i limiti delle funzioni elementari.

1 Utilizzare la relazione tra limiti ed operazioni algebriche.

2 Utilizzare la relazione tra limiti e disuguaglianze (Teorema del

3 confronto e dei due carabinieri).

Utilizzare la relazione tra limiti e composizione (cambio di

4 variabile).

Principio di sostituzione degli infiniti ed infinitesimi (limiti notevoli).

5 In seguito Teorema di Bernoulli–De L’Hôpital.

6 In seguito il polinomio di Taylor.

7 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 8 18 / 29

Lezione 8

Limiti delle funzioni elementari

Dato che le funzioni su cui lavoreremo si costruiscono a partire da

funzioni elementari con varie operazioni (somma, prodotto,

composizione, eccetera)

impariamo i limiti delle funzioni elementari,

R = [−∞, +∞],

impariamo il calcolo sulla retta estesa

scopriamo come si comportano i limiti rispetto alle operazioni

elementari (somma, prodotto, composizione, eccetera). dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 8 19 / 29

Lezione 8

Limiti delle funzioni monomiali n N R.

(x) = ∈ (f ) =

Funzioni monomiali f x con n dove CE Quindi

+∞ se n è pari

n =

lim x −∞ se n è dispari

x→−∞ n = +∞

lim x

x→+∞ R

mentre per ogni x si ha

0 n n

=

lim x x .

0

x→x

0 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 8 20 / 29

Lezione 8

Limiti delle funzioni monomiali 4

x 3

5 x

x

2

x 1

Figure: Limiti delle funzioni monomiali dsm

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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Definizione di limite in un intorno dell'infinito. Limiti destro e sinistro: caratterizzazione del limite di una funzione in un punto. Teoremi sui limiti: unicità; permanenza del segno; esistenza del limite per funzioni monotone. Limiti notevoli per le funzioni elementari: funzioni monomiali e polinomiali, funzione esponenziale e logaritmica, funzioni trigonometriche.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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