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Limiti, continuità, discontinuità

Dispense di Matematica Generale del Prof. Pierangelo Ciurlia. Gli argomenti in esame sono i seguenti:

Limiti: Definizione di limite al finito e all'infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali e orizzontali. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta... Vedi di più

Esame di Matematica Generale docente Prof. P. Ciurlia

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ESTRATTO DOCUMENTO

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 140

all’infinito: f (x)

lim ,

g (x)

x→±∞

f g x f

con (x) e (x) tendenti all’infinito per In tal caso se (x) tende

→ ±∞.

g

all’infinito più rapidamente di (x) il risultato del limite sarà infinito mentre

g

se è (x) a tendere all’infinito più rapidamente il risultato del limite sarà pari

a zero. Ad esempio, dalla rappresentazione grafica delle funzioni elementari

x

si può dedurre che, per risulta

→ +∞,

α

x α

e x x,

ln (0,

> > ∈ +∞).

f (x) x

e 2

x lnx x

Figura 4.8

Un confronto tra infiniti

E

Esempi

Si calcolino i limiti

4.38 3 2 x

2x 5x 7

+ − +

lim .

3 2

x x

4x 3

x→+∞ − + −

Soluzione

Si ha: 5 1 7

3

3 2 2x (1 )

+ − +

x

5x 7

2x + − + 2 3

2x 2x 2x

lim lim

= =

1 1 3

3 2 3

x x

4x 3

x→+∞ x→+∞

− + − 4x (1 )

− + − 3

4x 4x 4x

5 1 7

2(1 ))

+ + 1

2 3

2x 2x 2x

lim .

= =

1 1 3 2

x→+∞ 4(1 )

− + − 3

4x 4x 4x

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 141

4.39 2

x 2x

lim .

3

x 1

x→+∞ +

Soluzione

Si ha: 2

2

2

2 x (1

(1 ) )

x 2x

− x x

lim lim 0.

lim = =

= 1 1

3 3

x 1

x→+∞ x→+∞

x→+∞

+ x x(1

) )

(1 + +

3 3

x x

4.40 3 2

x x

2x 6

+ + +

lim .

2

x 2x

x→−∞ −

Soluzione

Si ha 2

2 1 1

6 6

3

3 2 x(1

x (1 ) )

+

+ + +

+ +

x x

2x 6

+ + + 2 3 2 3

x x

x x x x

lim

lim

lim = = −∞.

= 2 2

2 2

x 2x x→−∞

x→−∞

x→−∞ − x (1 ) (1 )

− −

x x

4.41 p

3 x 3

lim .

x

1

x→+∞ −

Soluzione 1

x

Il numeratore tende all’infinito come , più lentamente del denominatore, che

3

x

tende all’infinitto come : il risultato del limite è, pertanto,

p

3 x 3

lim 0.

=

x

1

x→+∞ −

4.42 p x

lim .

x

e

x→+∞

Soluzione 1

x

Il numeratore tende all’infinito come mentre il denominatore tende all’infinito

2

in modo esponenziale: p x

lim 0.

=

x

e

x→+∞

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 142

4.43 x

e

lim .

2

x

x→+∞

Soluzione

Il numeratore tende all’infinito in modo esponenziale mentre il denominatore co-

2

x

me : x

e

lim = +∞.

2

x

x→+∞

4.44 p

3 x

lim .

x

ln

x→+∞

Soluzione 1

x mentre il denominatore come un logarit-

Il numeratore tende all’infinito come 3

mo: p

3 x

lim = +∞.

x

ln

x→+∞

4.2.3.3 Forme indeterminate +∞ − ∞

Il calcolo di un limite f g

lim [ (x) (x)]

+

x→x 0

x

con finito o infinito, in cui compare la forma indeterminata (ad esempio

+∞−∞

0

f g

se (x) e (x) può essere effettuato nei casi

→ +∞ → −∞)

f g

1. le due funzioni (x) e (x) tendono all’infinito con velocità diverse: nel cal-

colo del limite si può trascurare la funzione che tende all’infinito più lenta-

5

mente f g

2. se le funzioni (x) e (x) tendono all’infinito con la stessa velocità ed esse

sono funzioni irrazionali: in tal caso si può utilizzare un procedimento che

mira ad eliminare l’indeterminazione dovuta a radicali moltiplicando nume-

ratore e denominatore per una opportuna grandezza (si vedano gli esempi a

seguire)

5 Si veda il principio di trascurabilità degli infiniti di ordine inferiore, enunciato più avanti.

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 143

E

Esempi

Si calcolino i limiti

4.45 p

x

e x.

lim −

x→+∞

Soluzione

Il primo addendo tende all’infinito in modo esponenziale mentre il secondo come

una potenza: quest’ultimo è trascurabile: p

x

e x

lim − = +∞.

x→+∞

4.46 p

3 x.

x

lim ln −

x→+∞

Soluzione

Il primo addendo, che tende all’infinito come un logaritmo, è trascurabile rispetto

al secondo, che risulta essere un infinito potenza:

p

3

x x

lim ln − = −∞.

x→+∞

4.47 p

3

x x x.

lim ln

+ −

x→+∞

Soluzione 3

x

Tra i tre addendi, quello che tende all’infinito più rapidamente è , pertanto

p

3

x x x

lim ln

+ − = +∞.

x→+∞

4.48 p 3

x x.

lim 1

+ −

x→+∞

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 144

Soluzione 3

x

Il primo addendo tende all’infinito come , più rapidamente del secondo, che

2

x.

tende all’infinito come Si ha, pertanto,

p 3

x x

lim 1

+ − = +∞.

x→+∞

4.49 p 2

x x.

lim 3

− −

x→+∞

Soluzione

In tal caso sia il primo addendo sia il secondo tendono all’infinito con la stessa rapi-

x.

dità, quella di Non è pertanto lecito trascurare l’uno rispetto all’altro. E’ possibile

comunque effettuare la trasformazione seguente che rimuoverà l’indeterminazio-

ne: p 2

x x

3

− +

p

p 2 2

x x x x)

3 lim ( 3

lim − − = − − =

p

x→+∞

x→+∞ 2

x x

3

− +

2 2

x x

3

− − −3

lim lim 0.

= = =

p p

x→+∞ x→+∞

2 2

x x x x

3 3

− + − +

4.50 p 2

x x.

3x

lim − +

x→−∞

Soluzione

Siccome primo e secondo addendo tendono all’infinito con la stessa rapidità, quel-

x,

la di per calcolare il limite si opera la seguente trasformazione:

p 2

x x

3x

− −

p p

2 2

x x x x)

lim 3x lim ( 3x

− + = − + =

p

x→−∞ x→−∞ 2

x x

3x

− −

2 2

x x

3x 3

− − −3x −3x

lim lim lim .

= = =

p p 2

x→−∞ x→−∞ x→−∞ −2x

2 2

x x x x

3x 3x

− − − −

p 2

x x

Nell’ultimo passaggio se è usato il fatto che se 0.

≡ |x| = −x <

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 145

4.2.4 Limiti notevoli

Alcune classi di limiti che danno luogo a forme indeterminate, noti come limiti

notevoli, possono essere calcolati in generale per funzioni arbitrarie. Di volta in

volta sarà sufficiente adattare alle funzioni in oggetto i risultati generali seguenti

x x x f g

1. Sia finito o infinito e risulti, per , (x) e (x) Si ha:

→ → ±∞ → ±∞.

0 0

1 g (x)

g (x) e

lim (1 ) lim .

f (x)

+ =

f (x)

x→x x→x

0 0 ∞

Si osservi che in tale caso la forma indeterminata che si incontra è del tipo 1 .

x f g x,

Come caso particolare si può scegliere (x) (x) ottenendo

= +∞, = =

0

1 x

x e e,

) lim

lim (1 = =

+ x

x x→+∞

x→+∞

noto come limite di Nepero.

x x x f

2. Sia finito o infinito e risulti, per , (x) 0. Si ha:

→ →

0 0

f

log (1 (x))

+ 1

a e

lim log .

= ≡

a

f a

(x) ln

x→x 0 x f x,

Se, in particolare, si sceglie 0 e (x) si ottiene:

= =

0 x)

log (1 +

a e.

lim log

= a

x

x→0

x x x f

3. Sia finito o infinito e risulti, per , (x) 0. Si ha:

→ →

0 0

f (x)

a 1

− a.

lim ln

=

f (x)

x→x 0

x f x,

In particolare, posto 0 e (x) risulta

= =

0 x

a 1

− a.

lim ln

=

x

x→0

x x x f

4. Sia finito o infinito e risulti, per , (x) 0. Si ha:

→ →

0 0

f

sin (x)

lim 1.

=

f (x)

x→x 0

x f x,

In particolare, posto 0 e (x) si ottiene:

= =

0 x

sin

lim 1.

=

x

x→0

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 146

E

Esempi

Si calcolino i limiti

4.51 1 3x

) .

lim (1 + 2

x

x→+∞

Soluzione

Si ha: 1 3x

3x 0

2

e e

lim (1 ) lim 1.

+ = = =

x

2

x

x→+∞ x→+∞

4.52 2 3

x

) .

lim (1 + x

x→+∞

Soluzione

Si ha: 2 3

2x

3

x +∞

e e

) lim

lim (1 =

+ = = +∞.

x

x x→+∞

x→+∞

4.53 3x

e 1

lim .

3x

x→0

Soluzione

Si ha: 3x

e 1

lim 1.

=

3x

x→0

4.54 2

x

e 1

lim .

x

x→0

Soluzione

Per calcolare tale limite è opportuno dapprima metterlo nella forma

f (x)

e 1

lim .

f (x)

x→0

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 147

x

Per fare ciò è sufficiente moltiplicare numeratore e denominatore per :

2 2

2

x x

x

e e

e

1 1

1

− −

− x x

lim lim lim 1 0 0.

lim · = · = · =

= 2 2

x x x

x→0 x→0 x→0

x→0

4.55 ln(1 2x)

+

lim .

3x

x→0

Soluzione

Anche in tal caso è opportuno manipolare la funzione in modo da ricondurre il

limite da calcolare ad uno della forma f

ln(1 (x))

+ .

lim f (x)

x→0

Per tale scopo è sufficiente moltiplicare per 2/3 numeratore e denominatore:

ln(1 2x) ln(1 2x) 2/3 2 ln(1 2x) 2

+ + +

lim lim lim .

= = =

3x 3x 2/3 3 2x 3

x→0 x→0 x→0

4.56 sin 5x

lim .

2x

x→0

Soluzione

Si ha: sin 5x 5 sin 5x 5

lim lim .

= =

2x 2 5x 2

x→0 x→0

4.57 1

sin 2

x

lim .

1

x→+∞ 2

x

Soluzione

Si ha: 1

sin 2

x

lim 1.

=

1

x→+∞ 2

x

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 148

4.58 x

sin 3x

+

lim .

x

2x sin

x→0

Soluzione

Occorre dapprima manipolare la funzione di cui si deve calcolare il limite per ri-

x/x.

condurla alla forma sin Per fare ciò è sufficiente dividere numeratore e deno-

x

minatore per il fattore : x

sin 3

+

x

sin 3x 1 3

+ +

x

lim lim 4.

= = =

x

sin

x

2x sin 2 1

− −

x→0 x→0 2 − x

4.3 Infinitesimi e infiniti

4.3.1 Infinitesimi

R R

f x x

Si consideri la funzione (x) e sia o

∈ = ±∞.

0 0

(Infinitesimo)

Definizione

Se f

lim (x) 0

=

x→x 0

E f x x

si dice che la funzione (x) è un infinitesimo per che tende a .

0

Esempio 4.59

• Le funzioni α α

f x

(x) , (0,

= ∈ +∞)

+

x

sono infinitesimi per 0 .

• La funzione x

f e

(x) 1

= −

x

è un infinitesimo per 0.

• Le funzioni 1 α

f (x) , (0,

= ∈ +∞)

α

x

x

sono infinitesimi per → +∞.

• La funzione f x

(x) ln

=

x

è un infinitesimo per 1.

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 149

Nelle applicazioni della teoria degli infinitesimi è molto importante stabilire la ra-

f x x

pidità con cui una funzione (x) tende a zero per . Ad esempio le due fun-

→ 0

p

2

f x g x x

zioni (x) e (x) sono entrambe inifinitesimi per 0 però la velocità

= = →

f

con cui tendono a zero è diversa. In particolare la funzione (x) tende a zero più

g

velocemente della funzione (x), cosa che può essere dedotta calcolando il limite

2

x

f (x) lim

lim 0.

= =

p

g (x) x

x→0

x→0

R

Più in generale vale la seguente

(Confronto tra infinitesimi)

Definizione

f g x x x

Se (x) e (x) sono infinitesimi per con finito o infinito, si dirà che, se

→ 0 0

` f g

 0, e hanno la stessa velocità

6= ±∞

 `

f (x) f g

0 è più veloce di

=

 .

lim = f g

è meno veloce di

±∞

g (x)

x→x 0 

 f g

e non sono confrontabili

Ø f ordine di infinitesi-

Nella pratica è comodo assegnare ad un infinitesimo (x) un

mo, f infinitesimo campione.

confrontando (x) con un opportuno In particolare si

R

assumerà (Infinitesimo campione)

Definizione

Si dice infinitesimo campione la funzione R

½ x x x

se

− ∈

0 0

p(x) .

= 1

R x

se = ±∞

0

x

(Ordine di infinitesimo)

Definizione

Se f (x) `

lim 0,

= 6= ±∞

α

[p(x)]

x→x 0 α

f x x

si dice che (x) è un infinitesimo di ordine per .

→ 0

"

Osservazione α

f x x

Se (x)è un infinitesimo di ordine per si ha:

→ 0

f (x)

lim 0

=

β

x→x [p(x)]

0

β α

per ogni e

< f (x)

lim = ±∞

β

x→x [p(x)]

0

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 150

β α. β α,

per ogni In effetti, se ad esempio si ha:

> >

f f

(x) 1

(x) 1

` `

lim lim lim

·

= = · = · ±∞ = ±∞

α

β β−α β−α

[p(x)]

x→x x→x x→x

[p(x)] [p(x)] [p(x)]

E 0 0 0

Esempio 4.60 f x) x

Determinare l’ordine di infinitesimo della funzione (x) ln(1 per 0.

= + →

Soluzione

Visto che risulta x)

ln(1 + 1

lim =

x

x→0

E α

f (x) è un infinitesimo di ordine 1.

=

Esempio 4.61 3

f x x

Determinare l’ordine di infinitesimo della funzione (x) ln(1 ) per 0.

= + →

Soluzione

Si ha: 3

x

ln(1 )

+

lim 1

=

3

x

x→0

E α

f x

e, pertanto, l’ordine di infinitesimo di (x) per 0 è 3.

→ =

Esempio 4.62 1

f e x

Determinare l’ordine di infinitesimo di (x) 1 per

= − → +∞.

x

Soluzione

Si ha: 1

e 1

x

lim 1

=

1

x→+∞ x α

f x

e, quindi, l’ordine di infinitesimo di (x) per è 1.

→ +∞ =

4.3.1.1 Operazioni tra infinitesimi

f g x x x f

Siano (x) e (x) infinitesimi per , con finito o infinito. Se (x) è un

→ 0 0

α α

g

infinitesimo di ordine e (x) di ordine risulta che

1 2

Somma tra infinitesimi

a) α α

Se

1) 6=

1 2 α

f g

la somma degli infinitesimi (x) (x) è ancora un infinitesimo, di ordine

+ =

α α α R

x

min{α , }. In effetti se per fissare le idee si suppone che e si ha:

< ∈

1 2 1 2 0

f g f g

(x) (x) (x) (x)

+

lim lim lim . (4.6)

= +

α α α

x x x

(x ) (x ) (x )

x→x x→x x→x

− − −

1 1 1

0 0 0

0 0 0

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 151

`

Il primo limite a secondo membro della relazione (4.6) vale 0, visto che

6= ±∞,

1

α

f (x) è un infinitesimo di ordine mentre il secondo limite è pari a zero visto che

1

α α `

g (x) è un infinitesimo di ordine . Pertanto il valore del limite (4.6) è

> 6=

2 1 1

α α

f g

0, e, pertanto, (x) (x) è un infinitesimo di ordine min{α , }.

±∞ + =

1 1 2

α α α

Se

2) = ≡

1 2

si avrà f g

f g (x) (x)

(x) (x)

+ ` `

lim lim .

lim = + = +

1 2

α α α

[p(x)] [p(x)] [p(x)]

x→x x→x

x→x 0 0

0

` ` α

f g

Se 0 l’ordine di infinitesimo di (x) (x) risulterebbe pari a mentre

+ 6= +

1 2

` ` α

f g

se 0 l’ordine di infinitesimo di (x) (x) risulterebbe maggiore di :

+ = +

1 2 α,

f g

ne segue che se (x) e (x) hanno lo stesso ordine di infinitesimo l’infinitesimo

α.

f g

somma, (x) (x) ha ordine di infinitesimo maggiore o uguale a

+

Prodotto tra infinitesimi

b) α α

f

La funzione (x)g (x) è un infinitesimo di ordine . In effetti se per fissare

= +α

1 2

R

x

le idee si suppone che si ha:

0

f f g

(x)g (x) (x) (x) ` `

lim lim 0,

= = · 6= ±∞.

1 2

α α α

x x x

(x ) (x ) (x )

x→x x→x

− − −

1 2 1 2

0 0

0 0 0

Sussiste il seguente

w (Cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore)

Teorema f f g g x x x

Siano (x), (x), (x), (x) infinitesimi simultanei per , con fi-

Ipotesi) 1 2 1 2 0 0

f

nito o infinito. Si supponga inoltre che (x) sia un infinitesimo di ordine superiore

1

f g g

a (x) e che (x) sia un infinitesimo di ordine superiore a (x).

2 1 2

Tesi) f f f

(x) (x) (x)

+

1 2 2

lim lim .

=

g g g

(x) (x) (x)

x→x x→x

+

0 0

1 2 2

Dimostrazione

Si ha: f f f f f

(x) (x) (x)[1 (x)/ (x)]

+ +

1 2 2 1 2

lim lim

= =

g g g g

(x) (x) (x)[1 (x)/g (x)]

x→x x→x

+ +

0 0

1 2 2 1 2

f f f f f f

(x) [1 (x)/ (x)] (x) [1 (x)/ (x)]

+ +

2 1 2 2 1 2

lim lim lim . (4.7)

· = ·

g g g g

(x) [1 (x)/g (x)] (x) [1 (x)/g (x)]

x→x x→x

+ +

x→ξ

0 0

2 1 2 2 1 2

f f g

Siccome (x) è infinitesimo di ordine superiore a (x) e (x) è infinitesimo di

1 2 1

g

ordine superiore a (x) risulta

2 f f

[1 (x)/ (x)]

+ 1 2

lim 1

=

g

[1 (x)/g (x)]

x→x +

0 1 2

e, dalla relazione (4.7), segue la tesi.

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 152

"

Osservazione

Il teorema precedente consente di semplicare notevolmente il calcolo dei limiti del-

0

la forma : è sufficiente trascurare in ogni somma in cui compaiano due addendi

0

infinitesimi quello con ordine di infinitesimo più grande o, in altre parole, quello

E

che tende a zero più velocemente.

Esempio 4.63

Si calcoli il limite p x 2

x

e 1 ln(1 )

− + +

lim p

2

x x

3

+

x→0

Soluzione

x

Per 0 si ha:

p 1

x

e 1 è un infinitesimo di ordine

• − 2

2

x

• ln(1 ) è un infinitesimo di ordine 2

+

2

x

• è un infinitesimo di ordine 2

p 12

x è un infinitesimo di ordine .

• 3

Trascurando sia a numeratore sia a denominatore gli infinitesimi di ordine più alto,

si ottiene: p p

x x

2

e x e

1 ln(1 ) 1 1

− + + −

lim lim .

= =

p p

2 3

x x x

3 3

+

x→0 x→0

4.3.2 Infiniti

R R

f x x

Si consideri la funzione (x) e sia o

∈ = ±∞.

0 0

(Infinito)

Definizione

Se f

lim (x) = ±∞

x→x 0

f x x

si dice che la funzione (x) è un infinito per che tende a .

0

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 153

E

Esempio 4.64

• Le funzioni α α

f x

(x) , (0,

= ∈ +∞)

x

sono infiniti per → +∞.

• La funzione x

f e

(x) =

x

è un infinito per → +∞.

• Le funzioni 1 α

f (x) , (0,

= ∈ +∞)

α

x

+

x

sono infiniti per 0 .

• La funzione f x

(x) ln

=

x

è un infinito per → +∞.

Così come visto nel caso degli infinitesimi, anche nel caso degli infiniti è rilevante

f x x

stabilire la rapidità con cui una funzione (x) tende all’infinito per .

→ 0

R

Vale la seguente (Confronto tra infiniti)

Definizione

f g x x x

Se (x) e (x) sono infiniti per , con finito o infinito, si dirà che, se

→ 0 0

` f g

 0, e hanno la stessa velocità

6= ±∞

 `

f (x) f g

0 è meno veloce di

=

lim .

= f g

è più veloce di

±∞

g (x)

x→x 0 

 f g

e non sono confrontabili

Ø f ordine di infinito,

Nella pratica è comodo assegnare ad un infinito (x) un confron-

R f infinito campione.

tando (x) con un opportuno In particolare si assumerà

(Infinito campione)

Definizione

Si dice infinito campione la funzione 1 R

½ x

se ∈

0

x−x

p(x) .

= 0

R x x

se = ±∞

0

(Ordine di infinito)

Definizione

Se f (x) `

lim 0,

= 6= ±∞

α

[p(x)]

x→x 0

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 154

α

f x x

si dice che (x) è un infinito di ordine per .

→ 0

" Osservazione α

f x x

Se (x)è un infinito di ordine per si ha:

→ 0

f (x)

lim 0

=

β

x→x [p(x)]

0

β α

per ogni e

> f (x)

lim = ±∞

β

x→x [p(x)]

0

β α. β α,

per ogni In effetti, se ad esempio si ha:

< >

f f

(x) 1

(x) 1

` `

lim lim lim 0 0.

·

= = · = · =

α

β β−α β−α

[p(x)]

x→x x→x x→x

[p(x)] [p(x)] [p(x)]

0 0 0

4.3.2.1 Operazioni tra infiniti

f g x x x f

Siano (x) e (x) infiniti per , con finito o infinito. Se (x) è un infinito di

→ 0 0

α α

g

ordine e (x) è un infinito di ordine risulta che

1 2

Somma tra infiniti

a) α α

Se

1) 6=

1 2 α α

f g

la somma degli infiniti (x) (x) è ancora un infinito, di ordine max{α , }.

+ = 1 2

α α x

In effetti se per fissare le idee si suppone che e si ha:

> = +∞,

1 2 0

f g f g

(x) (x) (x) (x)

+

lim lim lim . (4.8)

= +

α α α

x x x

x→+∞ x→+∞ x→+∞

1 1 1

`

Il primo limite a secondo membro della relazione (4.8) vale 0, visto che

6= ±∞,

1

α

f g

(x) è un infinito di ordine mentre il secondo limite è pari a zero visto che (x)

1

α α `

è un infinito di ordine . Pertanto il valore del limite (4.6) è 0, e,

< 6= ±∞

2 1 1

α α

f g

pertanto, (x) (x) è un infinito di ordine max{α , }.

+ =

1 1 2

α α α

Se

2) = ≡

1 2

si avrà f g f g

(x) (x) (x) (x)

+ ` `

lim lim lim .

= + = +

1 2

α α α

[p(x)] [p(x)] [p(x)]

x→x x→x x→x

0 0 0

` ` α `

f g

Se 0 l’ordine di infinito di (x) (x) risulterebbe pari a mentre se

+ 6= + +

1 2 1

` α

f f

0 l’ordine di infinitesimo di (x)+g (x) risulta minore di : ne segue che se (x)

=

2 α,

g f g

e (x) hanno lo stesso ordine di infinitesimo l’infinitesimo somma, (x) (x)

+

α.

ha ordine di infinitesimo minore o uguale a

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 155

Prodotto tra infiniti

b) α α α

f

La funzione (x)g (x) è un infinito di ordine . In effetti se per fissare le

= +

1 2

x

idee si suppone che si ha:

= +∞,

0

f f g

(x)g (x) (x) (x) ` `

lim lim 0,

= = · 6= ±∞.

1 2

α α α

x x x

x→+∞ x→+∞

1 2 1 2

In modo analogo a quanto visto per il caso degli infinitesimi, sussiste il seguente

w (Cancellazione degli infiniti di ordine inferiore)

Teorema f f g g x x x

) Siano (x), (x), (x), (x) infiniti simultanei per , con finito o

Ipotesi 1 2 1 2 0 0

f f

infinito. Si supponga inoltre che (x) sia un infinito di ordine inferiore a (x) e

1 2

g g

che (x) sia un infinito di ordine inferiore a (x).

1 2

)

Tesi f f f

(x) (x) (x)

+

1 2 2

lim lim .

=

g g g

(x) (x) (x)

x→x x→x

+

0 0

1 2 2

Dimostrazione

La dimostrazione è analoga a quella vista per il teorema di cancellazione degli infi-

nitesimi di ordine superiore, ed è pertanto lasciata al lettore come esercizio. ■

" Osservazione

Il teorema precedente consente di semplicare notevolmente il calcolo dei limiti del-

la forma : è sufficiente trascurare in ogni somma in cui compaiano due addendi

infiniti quello con ordine di infinito più piccolo o, in altre parole, quello che tende

E

ad infinito più lentamente.

Esempio 4.65

Si calcoli il limite x x

2

x e e x x

ln

+ +

lim .

x

2 2

x x x xe

ln

x→+∞ − +

Soluzione

Nel calcolo del limite si possono trascurare gli infiniti di ordine più basso. Tenendo

conto della gerarchia tra infiniti si ottiene

x x x

2 2

x e e x x x e

ln

+ + lim

lim = = +∞.

x x

2 2

x x x xe xe

ln x→+∞

x→+∞ − +

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 156

4.4 Continuità

intuitiva f

La nozione di continuità di una funzione (x) potrebbe essere espressa

in termini del suo grafico: potrebbe definirsi continua una funzione il cui grafico

è rappresentato da una curva continua. Tale visione, comunque, risulta fuorviante

perché, sebbene la nozione moderna (e rigorosa) di funzione continua spesso coin-

cide con quella di funzione con grafico rappresentabile tramite una curva continua,

nella realtà non è sempre così. Le esigenze di rigore, inoltre, comporterebbero il

dover caratterizzare con precisione cosa si intende con “curva continua”.

Una nozione, sempre intuitiva, ma che corrisponde in modo migliore alla nozione

f

rigorosa di continuità, è quella secondo cui la funzione (x) è continua in un pun-

x x x

to se, variando di poco il punto , considerando ad esempio il punto molto

0 0

x f f

vicino a , il corrispondente valore (x) è molto vicino a (x ). Si dovrebbe avere,

0 0

in altre parole, f f R,

(x) (x )

= +

0

R x x

con tanto più vicino allo zero quanto più è vicino a :

0

R

lim 0

=

x→x 0

o, in altri termini, f f

lim (x) (x ).

= 0

x→x 0

R

Più precisamente, vale la seguente

(Continuità in un punto)

Definizione

f X Y x X f x

Sia : e . Si dice che la funzione (x) è continua nel punto se

→ ∈

0 0

f f

lim (x) (x ).

= 0

x→x 0

"

Osservazione

f b]

Se la funzione (x) è definita nell’intervallo chiuso e limitato [a, essa sarà conti-

a b

nua in e in se risulterà f f

lim (x) (a)

=

+

x→a

e f f

lim (x) (b)

=

x→b

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 157

R (Continuità in un insieme)

Definizione

f x A A.

Se (x) è continua per ogni si dirà che essa è continua nell’insieme

0

"

Osservazione f b]

Ci si convince facilmente che se (x) è una funzione continua in [a, allora il

suo grafico è una curva continua cioè, in termini intuitivi, è possibile tracciare tale

grafico senza “staccare la penna dal foglio”.

" Osservazione

Le funzioni ad una legge sono funzioni continue nei loro relativi domini.

" Osservazione

La relazione f f

lim (x) (x )

= 0

x→x 0

può essere interpretata come possibilità di scambiare il simbolo di limite con il

simbolo di funzione: f f x)

lim (x) ( lim

= x→x

x→x 0 0

x x

visto che, evidentemente, risulta lim .

=

x→x 0

0

f (x) f (x)

f (x)

f (x)

f (x ) f (x )

0 0

x x

x x

x x

0 0

a b

Figura 4.6

x x

Un esempio di funzione continua in (a) e di funzione non continua in (b).

0 0

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 158

4.4.1 Teoremi sulle funzioni continue

w (Operazioni razionali sulle funzioni continue)

Teorema R.

f g X

Siano (x) e (x) funzioni continue nell’insieme ⊆

Ipotesi) f g f X g X

Le funzioni (x) (x), (x)g (x) sono continue in . Se (x) 0 è

± 6= ∀x ∈

Tesi) f (x)

continua anche la funzione .

g (x)

Dimostrazione

La dimostrazione del teorema è conseguenza diretta delle proprietà relative alle

f g

operazioni razionali sui limiti. Si consideri ad esempio la funzione (x) (x) e sia

+

x X . Si ha:

0 f g f g f g

lim [ (x) (x)] lim (x) lim (x) (x ) (x ).

+ = + = +

0 0

x→x x→x x→x

0 0 0

Gli altri casi sono lasciati al lettore per esercizio. ■

" Osservazione

In modo analogo a quanto visto nel teorema precedente, si può dimostrare che, se

f f

(x) è continua allora anche la funzione (x)| risulterà continua: tale dimostrazio-

|

ne è lasciata al lettore per esercizio.

w (Continuità della funzione composta)

Teorema f X Y g Y Z

Siano : e : due funzioni continue nei rispettivi domini.

→ →

Ipotesi) g f X Z X

La funzione composta : è continua in .

◦ →

Tesi)

Dimostrazione

x X h g f

Sia e . Si consideri il limite

∈ = ◦

0 h(x) g f

lim lim ( (x))

=

x→x x→x

0 0

g

Siccome la funzione è continua tale limite può essere riscritto come

g f g f h(x

( lim (x)) ( (x )) )

= =

0 0

x→x 0 x X

Si è ottenuto quindi che per un arbitrario risulta

0

h(x) h(x

lim )

= 0

x→x 0

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 159

e, pertanto, la tesi. ■

4.4.2 Classificazione dei punti di discontinuità

f X Y x X f

Sia : e sia . Come visto precedentemente, la funzione (x) si dice

→ ∈

0

x

continua in se risulta

0 f f

lim (x) (x ). (4.9)

= 0

x→x 0

E’ chiaro che affinché sia soddisfatta la relazione (4.9) devono sussistere contem-

poraneamente le condizioni

x X

1) ∈

0

2) `

f

f (x)

lim (x) lim =

= −

x→x

+

x→x 0

0

` f (x ).

3) = 0

Se anche solo una delle condizioni precedenti non è soddisfatta è chiaro che la

f x

funzione (x) non potrà essere continua nel punto . Si dice in tal caso che la

0

x punto di discontinuità

funzione ha, in , un

0

prima specie x X

• di se sussiste la condizione 1), , ma non la condizione 2),

0

cioè se f

f (x)

lim (x) lim

6= −

x→x

+

x→x 0

0

seconda specie x X

• di se sussiste la condizione 1), , ma i limiti destro e/o

0

sinistro non esistono oppure sono infiniti

eliminabile per competamento

• se non sussiste la condizione 1) ma sussiste la

condizione 2). In tal caso la discontinuità può essere eliminata aggiungendo

`

x f

al dominio e ponendo (x ) =

0 0

eliminabile per correzione

• se sussistono le condizioni 1) e 2) ma non sussiste

la condizione 3). In tal caso la discontinuità può essere eliminata ridefinendo

`.

x f

la funzione in ponendo (x ) =

0 0

" Osservazione

f

Se la funzione (x) è definita ad una legge, i suoi eventuali punti di discontinuità

vanno ricercati nei punti di accumulazione del dominio che non appartengono al

f

dominio stesso. Se invece la funzione (x) è definita a più leggi, gli eventuali punti

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 160

x

di discontinuità vanno ricercati anche in quei punti in corrisponedenza ai quali

cambia la legge che definisce la funzione.

" Osservazione

f k,

Se la funzione (x) è definita a più leggi e dipende da un parametro essa po-

k

trà risultare continua per alcuni valori di e discontinua per altri. Nella pratica,

k f

per determinare i valori di in corrispondenza ai quali la funzione (x) è conti-

f x x x

nua, si calcolano i limiti destro e sinstro di (x) per , essendo il punto

→ 0 0

in corrispondenza al quale cambia la legge che definisce la funzione. Imponendo

l’eguaglianza tra i limiti destro e sinistro sopra menzionati si ottiene un’equazione

6

k k f

in che, se risolta, consente di determinare l’insieme dei valori di per cui (x) è

E

continua.

Esempio 4.66

Determinare e classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione

2x

e 1

f .

(x) = x

Soluzione R\{0}

f X

La funzione definita ad una legge (x) ha dominio pari a (−∞, 0)∪(0,

≡ +∞).

X X x

L’unico punto di accumulazione di che non appertiene a stesso è 0. Si ha:

=

0

2x

e 1

lim 2

=

x

x→0

x

e, pertanto, 0 è un punto di discontinuità eliminabile per completamento: ag-

=

0

x X f

giungendo 0 al dominio e ponendo (0) 2 si ottiene la funzione continua

= =

0 ( 2x

e −1 R\{0}

x

se ∈

x

f (x) .

= x

2 se 0

=

E

Esempio 4.67

Determinare e classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione

2 R\{0}

½ x

x se ∈

f .

(x) = x

2 se 0

=

Soluzione R,

X f

Siccome il dominio della funzione è tutto l’unico punto di discontinuità di (x)

x

potrebbe essere 0, punto nel quale cambia la legge che definisce la funzione.

=

0

Si ha:

6 Si osservi che tale insieme potrebbe anche essere vuoto.

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 161

f f f

lim (x) lim (x) 0 (0).

= = 6=

+ x→0

x→0

x

Il punto 0 è pertanto un punto di discontinuità eliminabile per correzione:

=

0 f f

ridefinendo la funzione (x) in modo che (0) 0 si ottiene la funzione continua

=

2 R\{0}

½ x x

se ∈ 2

f x

(x) .

= ≡

x

0 se 0

=

E

Esempio 4.68

Determinare e classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione

2

½ x x

1 se [0,

+ ∈ +∞)

f .

(x) = 1 x

se (−∞, 0)

x

Soluzione R

f

Il dominio di (x) coincide con e, pertanto, l’unico punto di discontinuità va

x f

cercato in 0, punto in cui cambia la legge che definisce la funzione (x). Si ha:

=

0 2

f

lim (x) lim (x 1) 1

= + =

+ +

x→0 x→0

e 1

f

lim (x) lim

= = −∞.

x

− −

x→0 x→0

E x

Il punto 0 rappresenta pertanto un punto di discontinuità di seconda specie.

=

0

Esempio 4.69

Determinare e classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione

2

½ x x x

se [1,

+ ∈ +∞)

f (x) .

= x x

1 se (−∞, 1)

− ∈

Soluzione R,

f

Siccome il dominio di (x) è tutto l’unico punto in cui la funzione potrebbe non

x

essere continua è 1, punto in cui cambia la legge che definisce la funzione

=

0

f (x). Si ha: 2

f x)

lim (x) lim (x 2

= + =

+ +

x→1 x→1

e

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 162

f x

lim (x) lim 1 0.

= − =

− −

x→1 x→1

f

La funzione (x) ammette, pertanto, una discontinuità di prima specie nel punto

E

x 1.

=

0 Esempio 4.70 k

Determinare gli eventuali valori del parametro tali che la funzione

kx

½ e x

se [2,

∈ +∞)

f (x) = x x

1 se (−∞, 2)

+ ∈

risulti continua.

Soluzione f

Come visto negli esempi precedenti, l’unico punto in cui la funzione (x) potrebbe

x

non risultare continua è 2. Si ha:

=

0 kx 2k

f e e

lim (x) lim

= =

+ +

x→2 x→2

e f x

lim (x) lim 1 3.

= + =

− −

x→2 x→2

Affinché la funzione risulti continua è necessario che i limiti destro e sinistro coin-

cidano: 1

2k

e k ln 3.

3

= =⇒ = 2

E 2k

f e

Tale condizione è anche sufficiente risultando (2) 3.

= =

3/2

|k=ln

Esempio 4.71 3

m

Si supponga che il costo di un di acqua (costo unitario) da versare all’erogatore,

x

dipenda dalla quantità consumata tramite la funzione

½ x

3 se 150

c(x) .

= x

3.8 se 150

>

c

Si determini la funzione costo totale e se ne studi la continuità.

T

Soluzione x

Se la quantità consumata è minore o uguale a 150 la funzione costo sarà pari

x

a 3x. Se invece la quantità consumata è maggiore di 150 la funzione costo sarà

3 150 3.8(x 150). Si ha, quindi,

· + − ½ x

3x se 150

c (x) .

=

T x

450 3.8(x 150) se 150

+ − >

CAPITOLO 4. LIMITI, CONTINUITÀ, INFINITESIMI E INFINITI 163

c x

L’unico punto di discontinuità di (x) potrebbe essere 150. Si ha:

=

T 0

c

lim (x) lim [450 3.8(x 150)] 450

= + − =

T

+ +

x→150 x→150

e c

lim (x) lim 3x 450

= =

T

− −

x→150 x→150

c

e, risultando, (150) 450 risulta che la funzione costo totale è continua, pur non

=

T

R c(x).

essendo continua la funzione costo unitario

(Continuità a destra o a sinistra)

Definizione

f X Y x X

Se la funzione : non è continua nel punto ma risulta

→ ∈

0

f f

lim (x) (x )

= 0

+

x→x 0

f x

si dirà che (x) è continua in da destra. In modo analogo se risulta

0 f f

(x) (x )

lim = 0

x→x 0

f x

si dirà che (x) è continua in da sinistra.

0

"

Osservazione R

x, f x

Si consideri la funzione parte intera di (x) [x], che associa ad ogni il più

= ∈

x.

grande intero relativo minore o uguale a Essa, si confronti la figura 4.7,

−2 −1 0 1 3

2 x

Figura 4.7 f

Grafico della funzione (x) [x].

=

Z, Z.

x x

pur non essendo continua per risulta essere continua a destra per ogni

∈ ∈


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Dispense di Matematica Generale del Prof. Pierangelo Ciurlia. Gli argomenti in esame sono i seguenti:

Limiti: Definizione di limite al finito e all'infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali e orizzontali. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta e inversa (c.d.). Teorema del confronto. Verifiche di limiti. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli.
Infinitesimi e infiniti: Definizione di infinitesimo e infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teorema di cancellazione (c.d.). Propagazione dell'ordine.
Continuità e discontinuità: Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Limiti e continuità. Classificazione dei punti di discontinuità. Continuità delle funzioni razionali. Continuità dell'inversa. Continuità delle funzioni composte. Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Roma Tre - Uniroma3 o del prof Ciurlia Pierangelo.

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