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OSSERVAZIONE

L’esistenza della derivata di una funzione f in un

punto x implica che:

0

• esiste la retta

tangente alla curva

grafico di f nel punto

corrispondente ad x 0

• la retta tangente

non è verticale (ha

pendenza definita!) ed

ha equazione:

y = f’(x )· (x-x ) + f(x )

0 0 0 17

• Se non esiste il limite per h0 del rapporto incrementale, ma

esistono finiti il limite a sinistra o a destra o entrambi, tali limiti si

chiamano derivata destra e derivata sinistra di f in x e si

0

rappresentano con i simboli f’ ( x ) e f’ ( x ):

- 0 + 0

• Una funzione f è derivabile in un insieme se è derivabile in

l’insieme

ogni suo punto (se è un intervallo e uno o entrambi gli

estremi sono compresi, in tali estremi si intende che esista la

derivata sinistra o destra). Se f è derivabile in ogni punto del suo

dominio si dice derivabile

• L’operazione di passaggio al limite del rapporto incrementale

prende il nome di differenziazione, perché riguarda le

differenze delle variabili.

• Per questo motivo i risultati matematici che riguardano le

derivate e gli argomenti a esse collegati prendono il nome di

calcolo differenziale 18

Applicazioni

Significato fisico del rapporto incrementale e della

derivata

Supponiamo che un oggetto si muova di moto rettilineo, con

legge oraria s = f(t) , dove f è la funzione che in ogni istante

dall’oggetto

fornisce la posizione occupata (e quindi descrive

lo spazio percorso s rispetto al tempo t)

nell’intervallo

La velocità media di tempo [t , t +h] è definita

0 0

l’incremento

dal rapporto tra lo spostamento (cioè nella

dell’oggetto)

posizione ed il tempo impiegato ad effettuarlo:

È quindi naturale definire la velocità istantanea in t nel

0

seguente modo: 19

Più in generale: se y = f(t) è una grandezza fisica variabile nel

tempo (come una temperatura, il volume di un oggetto che si

dilata,...) allora f’(t ) è la velocità istantanea (o tasso

0

istantaneo) di variazione di quella grandezza al tempo t 0.

Qualche esempio:

• se la funzione f esprime la velocità di spostamento di un

l’accelerazione

oggetto nel tempo, f’(t ) è istantanea a t

0 0

• se f esprime la quantità di carica elettrica in un punto al

l’intensità

variare del tempo, f’(t ) è di corrente passante per

0

all’istante

quel punto t 0

• se f esprime il numero di batteri di una coltura al variare del

tempo, f’(t ) è il tasso di variazione della numerosià dei

0

all’istante

batteri t 0 20

Derivabilità e continuità

TEOREMA

Se una funzione è derivabile in un punto x , allora in tale

0

punto è continua

Ne consegue che: un punto di discontinuità è sempre un punto di

non derivabilità per una funzione

•Non vale il viceversa del teorema precedente, cioè se una

funzione è continua in un punto non è detto che sia derivabile in

tale punto 21

.

In a

In b.

In a.

In b. la situazione

si inverte

In a. i limiti

destri e sinistri

sono finiti e

diversi; in b.

uno è finito e

22

l’altro infinito

LA FUNZIONE DERIVATA

• l’insieme

Data una funzione f, dei punti x del dominio di f

nei quali f è derivabile si dice insieme di derivabilità di f

• Si definisce derivata di f la funzione che ha come

l’insieme

dominio di derivabilità di f e che ad ogni x di tale

insieme associa ’ y’

Simboli utilizzati: f Df

La funzione f ’ è detta “deriva” da f

derivata di f perché

tramite l’operazione di limite indicata sopra 23

CALCOLO DELLE DERIVATE

• Per determinare la derivata (se esiste) di una funzione

in un punto, occorrerebbe in base alla definizione

calcolare il limite del rapporto incrementale (e tale limite,

quando f è continua, si presenta sotto la forma

indeterminata 0/0!)

• In pratica si procede come già fatto con le funzioni

continue:

- si dimostra, mediante la definizione, la derivabilità di

una classe ristretta di funzioni per le quali si determina

l’espressione della funzione derivata (Tabella delle

derivate delle funzioni elementari)

- si introducono alcuni teoremi (Regole di derivazione)

che permettono di estendere notevolmente la classe

delle funzioni per le quali si è in grado di calcolare la

24

derivata.

TABELLA DELLE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

Casi particolari: 25

REGOLE DI DERIVAZIONE

1. Teorema della somma e differenza

Se f e g sono derivabili in x, allora anche le funzioni somma

f+g e differenza f-g sono derivabili in x ed è:

= g’(x) = g’(x)

(f+g)’(x) f’(x)+ (f-g)’(x) f’(x)-

In generale: la derivata della somma algebrica di più

funzioni derivabili è uguale alla somma algebrica delle

derivate delle singole funzioni.

2. Teorema del prodotto

Se f e g sono derivabili in x, allora anche la funzione

prodotto f·g è derivabile in x ed è:

)’(x) = f ’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)

(f·g 26

Dal teorema del prodotto, si ha che la derivata del

prodotto di una costante per una funzione è uguale al

prodotto della costante per la derivata della funzione:

(c · f)’(x) = c · f ’(x)

In generale: la derivata del prodotto di n funzioni è

uguale alla somma degli n prodotti della derivata di

ciascuna funzione per le rimanenti n-1 funzioni non

derivate

Come caso particolare si ottiene la derivata di una

n

funzione potenza f : )’(x) = n ·[f(x)] ’(x)

n n-1

(f ·f 27

3. Teorema del quoziente 

Se f e g sono derivabili in x e g(x) 0, allora anche la

funzione quoziente f/g è derivabile in x ed è:

4. Teorema della funzione composta

Sia f derivabile in x e g derivabile in f(x), allora g f è

o

derivabile in x ed è: )’(x) g’(f(x))

(g f = · f’(x)

o

Anche il teorema di derivazione delle funzioni composte

può essere esteso al caso in cui le funzioni componenti

siano più di due 28

Esempi di calcolo di derivate 29

30

Esempio 6 3

Derivare la funzione f(x) = senx . Applicando la regola di derivazione della

3 3 2

funzione composta si ha: D(senx )= cos x ·3x .

3

Derivare la funzione g(x) = log(sen x ). Applicando due volte la regola di

derivazione della composizione si ottiene: 31

DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE

• Se la derivata f’ di una funzione f è a sua volta

derivabile, allora la derivata della derivata di f prende il

f”

nome di derivata seconda di f ed è indicata con

(mentre f’ è allora la derivata prima di f).

• In modo simile sono definite la derivata terza, e, in

generale, la derivata n-esima di f.

• Quando n>3 la derivata n-esima viene indicata, con la

“n apici”),

(n)

scrittura f (anziché con ponendo n fra

l’esponente

parentesi per non confonderlo con di una

potenza di f 32

L’esempio più noto di derivata seconda:

l’accelerazione

Se s = f(t) è la funzione posizione di un oggetto che si

muove di moto rettilineo, è noto che la sua derivata

dell’oggetto

prima rappresenta la velocità v(t) in funzione

del tempo: v(t) = s’(t)

Il rapporto incrementale della velocità rispetto al tempo

l’accelerazione

in un dato intervallo è media

dell’oggetto nell’intervallo considerato, mentre il limite del

l’accelerazione all’istante

rapporto incrementale è a(t) t

dell’oggetto. Quindi la funzione accelerazione è la

derivata seconda della funzione posizione rispetto al

tempo: v’(t) s”(t)

a(t) = = 33

MASSIMI E MINIMI DI FUNZIONI

Alcune delle applicazioni più importanti del calcolo differenziale

sono i problemi di ottimizzazione, cioè i problemi in cui viene

richiesto il modo ottimale (migliore) di fare qualcosa

Esempi

• Quali sono le dimensioni di una lattina cilindrica che sia la

meno costosa per un dato volume?

• Qual è la massima accelerazione di una navicella spaziale?

• Qual è il raggio di una trachea contratta che permette di

l’aria tosse”

espellere più velocemente durante un colpo di

• Con quale angolo dovrebbero biforcarsi i vasi sanguigni in

l’energia

modo da minimizzare spesa dal cuore nel pompare il

sangue?

Si tratta di problemi che possono essere ricondotti al calcolo dei

un’opportuna

valori massimo o minimo di funzione 34

Cosa si intende per valori massimo o minimo di

una funzione?

Sia f una funzione di dominio D. Si definisce:

massimo assoluto di f, se esiste, il numero reale M che è

il più grande (massimo) dei valori assunti dalla funzione in

D, cioè: f(x), D

M = f(a), aD, e f(a) per ogni x

Si definisce:

minimo assoluto di f, se esiste, il numero reale m che è il

più piccolo (minimo) dei valori assunti dalla funzione in D,

cioè:  D

m = f(b), bD, e f(b) f(x), per ogni x 35

NOTA

- Il minimo ed il massimo assoluto di f, se esistono, sono

unici

- Un punto aD dove la funzione f assume il massimo

assoluto è detto punto di massimo assoluto

- Un punto bD dove la funzione f assume il minimo

assoluto è detto punto di minimo assoluto

- Una funzione può avere nel suo dominio più punti di

massimo o minimo assoluto (anche infiniti, come per

esempio le funzioni seno e coseno) 36

Massimo relativo (o locale), minimo relativo (o locale)

Si dice che una funzione f ha un massimo relativo in un

punto x del suo dominio [risp., un minimo relativo in x ] se

0 0

f(x)f(x ) [risp. f(x)f(x )] per ogni x del dominio appartenente

0 0

ad un intervallo aperto contenente x

0

x punto di minimo relativo

x punto di massimo relativo 0

0 (e assoluto)

NOTA - Ogni punto di massimo o minimo assoluto è anche relativo

Si dimostra che se f è una funzione continua in un intervallo chiuso

[a,b], allora f ha massimo e minimo assoluto in tale intervallo.

Il teorema non dice però come calcolare tali valori! 37

PROBLEMA: data una funzione, come si determinano,

se esistono, i suoi punti di massimo e minimo relativo?

Il seguente teorema dà informazioni in proposito

TEOREMA DI FERMAT

Se f ha un massimo o un minimo relativo in un punto x

0

’(x ’(x

interno al dominio e se esiste f ), allora f )= 0

0 0

l’implicazione

Non vale inversa del teorema di Fermat: può

accadere che in un punto si annulli la derivata e che tale

punto non sia né di massimo né di minimo

In questo esempio, x è un

0

punto di flesso a

tangente orizzontale 38

Segue che gli unici punti in cui è possibile che una funzione

abbia massimi o minimi (locali o assoluti) sono:

• i punti x interni al dominio in cui f’(x ) = 0 (detti punti

0 0

stazionari), per il Teorema di Fermat

• i punti interni al dominio in cui la derivata non esiste

• gli estremi (finiti) del dominio 39

Informazioni importanti sulla ricerca dei punti di massimo e

minimo (e non solo), si ottengono dal seguente teorema, che

si può considerare il Teorema fondamentale del calcolo

differenziale

TEOREMA del VALOR MEDIO (o di LAGRANGE)

Se f è una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b),

allora esiste almeno un punto c (a, b) tale che 40


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55

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AUTORE

Teemo92

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questa dispensa di Istituzioni di Matematiche e Fondamenti di Biostatistica, a cura della professoressa Lucia Doretti, si parla di derivate. Sono stati approfonditi i seguenti argomenti: concetto di derivata, il problema delle tangenti, definizione di derivata in un punto, simboli, significato geometrico di derivata, derivabilità e continuità, la funzione derivata, calcolo delle derivate, regole di derivazione, derivate di ordine superiore, massimi e minimi di funzione.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze biologiche
SSD:
Università: Siena - Unisi
A.A.: 2015-2016

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Istituzioni di Matematiche e Fondamenti di Biostatistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Siena - Unisi o del prof Doretti Lucia.

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