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LAVORO DI UNA FORZA (7)

• Se il percorso viene descritto nel verso

opposto, cambia il segno del lavoro

F

π θ

-

F θ θ

m - s

s m

• • •

L = F s L = F (- s) = - (F s)

θ) θ

L = F s cos (π - = - F s cos

θ

L = F s cos

Corso di Fisica per Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università “G.

. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

“G

LAVORO DI UNA FORZA (8)

• Questo risultato è valido anche per un

percorso non rettilineo B

F

A -s m

Σ Σ

•(- •

L = F s) = - ( F s) = - L

BÆA AÆB

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“G

LAVORO DI UNA FORZA (9)

• Se cambia il segno della forza, cambia il

segno del lavoro m

F θ θ

m s - F s

π θ

-

• • •

L = F s L = (- F) s = - (F s)

θ) θ

L = F s cos (π - = - F s cos

θ

L = F s cos

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“G

LAVORO DI UNA FORZA (10)

• Questo risultato è valido anche per un

percorso non rettilineo B

m

A s

- F

Σ(- Σ

) • •

L = F s = - ( F s) = - L

AÆB AÆB

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LAVORO DI UNA FORZA (11)

• Si chiama potenza di una forza il lavoro

compiuto da quella forza nell’unità di tempo

• s

L = F •

L = F v∆t

F θ ∆t •

P = L / = F v

m v s θ

P = F v cos

= v∆t

s

• La potenza ha dimensione ML /T

2 3

• L’unità di misura nel sistema MKS è il watt (W)

• 1W = 1 J/s

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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (1)

B

m

A v

• Si chiama energia cinetica di un punto materiale di

massa m con velocità v la seguente grandezza:

E = (1/2)m v v = (1/2)mv 2

c

• L’energia cinetica ha dimensione ML /T

2 2

• L’unità di misura nel sistema MKS è il joule (J)

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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (2)

B

F

m

A v

• TEOREMA: Il lavoro compiuto dalla forza risultante

su di un punto materiale nel percorso da un punto A

ad un punto B è uguale alla variazione di energia

cinetica del punto materiale tra i punti A e B, ovvero

è uguale alla differenza tra l’energia cinetica del

punto materiale nel punto B e l’energia cinetica del

punto materiale nel punto A

L = E (B) - E (A)

AÆB c c

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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (3)

A B

m F x

x - x

B A

• DIMOSTRAZIONE: (Caso del moto rettilineo

uniformemente accelerato)

L = F AB = F (x – x )

AÆB B A

Utilizzando la seconda legge di Newton F = ma, e

la legge oraria del moto rettilineo uniformemente

accelerato x – x = (1/2)at + v t , ottengo:

2

B A A

L = ma [(1/2)at + v t ]

2

AÆB A

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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (4)

• DIMOSTRAZIONE (segue):

L = ma [(1/2)at + v t ]

2

AÆB A

Per il moto rettilineo uniformemente accelerato vale

anche: (v – v ) = at

B A

da cui otteniamo: t = (v – v ) / a

B A

che possiamo sostituire nell’espressione precedente:

L = ma [(1/2)a[(v – v ) / a] + v [(v – v ) / a] ]

2

AÆB B A A B A

L = (1/2) m v – (1/2)mv

B2 A2

AÆB

L = E (B) - E (A)

AÆB c c

Il calcolo cha abbiamo svolto è valido solo se la

! forza F è la forza risultante, infatti abbiamo fatto la

sostituzione F = ma

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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (5)

• OSSERVAZIONE:

Il lavoro e l’energia cinetica hanno la stessa

dimensione: ML /T

2 2

Questo è necessario poiché nel teorema dell’energia

cinetica un lavoro è uguale ad una variazione di

energia cinetica

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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (6)

A

• ESEMPIO: Un corpo di massa m in v = 0

caduta libera da un’altezza h con velocità A

iniziale nulla. Calcolare la velocità con cui m

esso tocca il suolo

• 1 – Dalla seconda legge di Newton mg

h

otteniamo la legge oraria:

x – x = h = (1/2)gt 2

B A

v = gt

B

dalla seconda otteniamo t = v /g, che

B

sostituita nella seconda dà: B

h = (1/2)v /g , da cui:

B2

√(2gh)

=

v x

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TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (7)

• 2 – Dal teorema dell’energia cinetica: A

E (A) = 0 ; E (B) = (1/2)mv B2 v = 0

c c A

L = mgh

AÆB

ma L = E (B) – E (A) da cui: m

AÆB c c

mgh = (1/2)mv B2 mg

√(2gh)

v = h

B

• Osserviamo che mentre il metodo che

usa la seconda legge di Newton ci dà

maggiori dettagli, il metodo che usa il

teorema dell’energia cinetica è più B

semplice x

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FORZE CONSERVATIVE (1)

• Una forza F , che agisce su di un punto materiale

m in una data regione dello spazio, si dice

conservativa se il lavoro che compie da un punto

A ad un punto B non dipende dal percorso

seguito, ma solo dal punto A e dal punto B

F B

m

F 2

m L = L

1AÆB 2AÆB

1

A

Si intende che il lavoro ha lo stesso valore se viene calcolato,

fissati i punti A e B, lungo qualsiasi percorso che si possa

immaginare tra A e B

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FORZE CONSERVATIVE (2)

• Una definizione equivalente di forza conservativa

è la seguente: una forza F , che agisce su di un

punto materiale m in una data regione dello

spazio, si dice conservativa se il lavoro che

compie lungo qualsiasi percorso chiuso è uguale

a zero L = 0

F

m

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FORZE CONSERVATIVE (3)

• Mostriamo che le due definizioni di forza

conservativa sono equivalenti

• 1 – Supponiamo che il lavoro L non dipenda

AÆB

dal percorso seguito. Un percorso chiuso può

essere diviso in due mediante due punti A e B

come in figura. Il lavoro lungo il percorso chiuso

si può esprimere per come: 1 B

L = L – L = 0

1 2

AÆB AÆB

chiuso F

m

A 2

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FORZE CONSERVATIVE (4)

• 2 – supponiamo che il lavoro lungo

qualsiasi percorso chiuso sia nullo

e consideriamo due percorsi che

congiungono A e B

= L – L = 0

L 1AÆB 2AÆB

chiuso

da cui si ricava che 1

= L

L

1AÆB 2AÆB B

F

m

A 2

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FORZE CONSERVATIVE (5)

• ESEMPI: Si può dimostrare che le forza di

gravità, la forza elettrostatica, la forza elastica, la

forza peso sono forze conservative

• Mostriamolo per la forza peso

C A Serve un risultato preliminare:

m θ

L = mg AB cos

AÆB ⊥

L = 0 perché mg AC

AÆC

θ mg θ

L = mg CB = mg AB cos

CÆB

Quindi, L = L = mg BC

AÆB CÆB

B

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FORZE CONSERVATIVE (6)

• Consideriamo adesso il caso più generale

A

C c a

m b

mg

Possiamo sostituire il percorso AB con un percorso a

scalini lungo il quale il lavoro è uguale a quello lungo

B il percorso originario perché L = L

aÆb cÆb

La lunghezza totale dei segmenti verticali è uguale a BC

= L = mg BC

Quindi, L AÆB CÆB

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ENERGIA POTENZIALE (1)

• Ad ogni forza conservativa possiamo associare

un’energia potenziale definita come segue:

• Dato un punto materiale sul quale agisce, in una

conservativa,

certa regione dello spazio, una forza F

fissiamo un punto O arbitrariamente e definiamo

energia potenziale del punto materiale nel punto A la

grandezza:

U(A) = - L OÆA F A

m

O

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ENERGIA POTENZIALE (2)

• La definizione precedente è coerente in quanto il

lavoro della forza conservativa non dipende dal

percorso dal punto O al punto A (non sarebbe stata

coerente se la forza non fosse stata conservativa)

• Tuttavia l’energia potenziale nel punto A non è

definita in modo univoco perché dipende dalla scelta

del punto O (origine o zero dell’energia potenziale)

Con un’origine diversa, ad esempio O’, il valore

dell’energia potenziale nel punto A è diverso

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ENERGIA POTENZIALE (3)

• Calcoliamo la differenza tra

U (A) = - L e U (A) = - L

O OÆA O’ O’ÆA

U (A) – U (A) = - L – (- L ) =

O O’ OÆA O’ÆA

= L - L = L + L

O’ÆA OÆA O’ÆA AÆO

= L O’ÆO

U (A) – U (A) = costante (non dipende da A)

O O’

L’energia potenziale è definita a meno di una

costante additiva A

O O’

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ENERGIA POTENZIALE (4)

• Invece la differenza, o variazione, di energia

potenziale tra un punto B ed un punto A è definita in

modo univoco perché non dipende dalla scelta

dell’origine:

U (B) – U (A) = - L – (- L ) =

O O OÆB OÆA

= - L + L = L + L

OÆB OÆA OÆA BÆO

= L = - L

BÆA AÆB

A Osserviamo che la variazione di energia

potenziale è uguale al lavoro da A a B

cambiato di segno

O U(B) – U(A) = - L AÆB

B

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ENERGIA POTENZIALE (5)

La relazione precedente:

U(B) – U(A) = - L AÆB

tra variazione di energia potenziale e lavoro compiuto

dalla forza ci suggerisce due osservazioni:

1) la differenza di energia potenziale tra A e B è una

grandezza fisica misurabile, mentre l’energia potenziale

in A o in B (o in un altro punto) non lo è

2) il segno meno al membro di destra indica che se la

forza compie un lavoro positivo da A a B, l’energia

potenziale diminuisce, mentre se il lavoro compiuto è

negativo, l’energia potenziale aumenta

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ENERGIA POTENZIALE (6)

• ESEMPIO: l’energia potenziale associata alla forza

peso (energia potenziale gravitazionale sulla

superficie terrestre)

• Abbiamo già mostrato che la forza peso è una forza

conservativa, adesso vogliamo trovare

un’espressione per l’energia potenziale di un punto

materiale di massa m soggetto alla forza peso in

funzione della sua posizione vicino alla superficie

terrestre

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ENERGIA POTENZIALE (7)

• Osserviamo in primo luogo che se il punto materiale

si muove orizzontalmente, la sua energia potenziale

non varia. Infatti se A e B sono due punti che si

trovano sullo stesso piano orizzontale,

U(B) – U(A) = - L = - mg AB = 0

AÆB

• Questo mostra che l’energia potenziale

gravitazionale del punto materiale è costante su di

un piano orizzontale m

A B

mg

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ENERGIA POTENZIALE (8)

• Per calcolare l’energia potenziale del punto

materiale in un punto A, prima fissiamo

arbitrariamente un piano orizzontale sul quale

l’energia potenziale è nulla (ad esempio la superficie

terrestre o il pavimento della stanza)

• Poi applichiamo la definizione di energia potenziale

U(A) = - L , per fare questo dobbiamo calcolare

OÆA

il lavoro della forza peso in un percorso (qualsiasi)

da O ad A

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“G

ENERGIA POTENZIALE (9)

A

U(A) = - L = - mg OA

OÆA

U(A) = - ( - mg OA )

U(A) = mgh m h

mg

I vettori mg e OA hanno

! versi opposti O

U = 0

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“G


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Atreyu

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DETTAGLI
Esame: FISICA
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in farmacia
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di FISICA e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Zappasodi Filippo.

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