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V

1

R

1

I 1 I

R

2

I 2 V

2

_ Resistenze in parallelo per il partitore di corrente.

Fig.6

Utilizzando la resistenza equivalente parallelo

I (15)

V=R

eq

Dalle relazioni caratteristiche otteniamo banalmente

R I R I

R R

V V

eq eq

= = = = = =

2 1

I I e I I (16)

.

1 2

+ +

R R R R R R R R

1 1 1 2 2 2 1 2

Attenzione anche al partitore di corrente. Deve essere usato solo se le resistenze sono

in parallelo.

Il concetto di partitore naturalmente può venire usato per resistenze anche nei circuiti

dinamici.

Il concetto di bipolo equivalente in serie ed in parallelo, può essere esteso ai

generatori di tensione e di corrente ideali.

Serie e parallelo di generatori ideali

Commentiamo la Fig.7.

Nel primo caso applicando la II legge di Kirchhoff banalmente troviamo che i due

generatori in serie equivalgono ad un unico generatore il cui valore è la somma dei

due.

Nel secondo caso il generatore di corrente impone la sua corrente in entrambi i

+E

generatori posti in serie, mentre la tensione V rimane indeterminata essendo V=V

J

con V indeterminata.

J 7

Nel terzo caso si ha una incompatibilità. I generatori impongono ognuno la propria

corrente entrando in conflitto. Ma questo non ci è nuovo. Nella mia teoria posso usare

i generatori ideali, che sono elementi ideali appunti, ma devo stare attenta a non

collegarli insieme in modo da farli essere in conflitto.

E

1 E=E +E

1 2

E

2

E J

J

J 1 Incompatibile!

J 2 _ Connessione serie di generatori ideali.

Fig.7

Commentiamo la Fig.8 che darà risultati duali della Fig.7.

Il primo caso è banale! del generatore di tensione è indeterminata e quindi lo

Nel secondo caso la corrente I

E

è I, mentre la tensione è fissata dal generatore di tensione.

Nel terzo caso ancora abbiamo una situazione incompatibile. Infatti i generatori di

tensione chiudono una maglia entrando in conflitto e questo non è ammesso dal mio

modello. 8 J J J

= +

J J 1 2

1 2 E

J

E

E E Incompatibile!

1 2

_ Connessione parallelo di generatori ideali.

Fig.8

E’ chiaro che connessioni serie e parallelo di generatori ideali possono essere

considerate anche in regime dinamico. Basterà considerare l’equivalenza per ogni

istante temporale.

Il concetto di bipolo equivalente si può applicare anche a condensatori e induttori in

regime dinamico.

Trasformazione stella - triangolo

Vi sono alcuni casi in cui non è possibile trovare una resistenza equivalente in quanto

non è possibile procedere alla riduzione serie o parallelo. E’ il caso di Fig. 9. Volendo

calcolare la resistenza equivalente vista ai morsetti A-B non è possibile procedere con

serie e paralleli. Ciò è dovuto alla presenza di stelle e triangoli nella connessione di

, R ed R formano

cui si vuole calcolare la resistenza equivalente. Le resistenze R

12 13 23

, R ed R . Le resistenze R , R ed R

un triangolo così come le resistenze R

12 14 24 13 12 14

, R ed R . Per ovviare a questo

formano una stella così come le resistenze R

12 24 23

problema si procede effettuando una “trasfomazione” da triangolo in stella o

, R ed R in una stella (R ,

viceversa. Ad esempio se trasformiamo il triangolo R

12 13 23 1

ed R ) possiamo poi procedere al calcolo della resistenza equivalente complessiva.

R

2 3 9 3

A R R

13 23

R

12

1 2

R R

14 24

B 4

Fig.9 – Esempio di connessione di resistenze non riducibili ad una equivalente.

3

A R

3

R R

1 2

1 2

R R

14 24

B 4

Fig.10 – Sistema della Fig. 9 dove è stata effettuata una trasformazione triangolo -

stella.

10

Una volta ottenuto il sistema di Fig. 10 è facile calcolare la resistenza equivalente

serie con R , parallelo con R serie R , il tutto in serie ad R .

basta fare: R

1 14 2 24 3

Questo modo di procedere si può generalizzare a tutti i casi in cui vi sono stelle o

triangoli che intralciano la riduzione. Introduciamo allora delle espressioni di

trasformazione tra stella e triangolo a cui riferirsi quando necessita. Innanzitutto

diciamo che una stella e un triangolo ai loro tre morsetti sono equivalenti se i valori

delle resistenze e quelle del triangolo stanno tra loro in uan certa relazione. Vogliamo

trovare questa relazione.

In riferimento alla Fig.11 dove abbiamo rappresentato una configurazione a triangolo

, R , R ) e (R , R , R ).

e una a stella calcoliamo i legami tra le resistenze (R 1 2 3 12 13 23

R 2

2 1

1 12 R R

1 2

R R

13 23 R

3

3

3

Fig.11 – Tre resistori connessi a triangolo (a sinistra) e a stella (a destra).

Abbiamo bisogno di tre equazioni che legano le tre terne di parametri. A tale scopo

imponiamo l’equivalenza delle due configurazioni in tre casi diversi.

Imponiamo l’equivalenza per la configurazione

= = =

i I , i - I , i 0 .

1 1 2 1 3

e valgono rispettivamente

Le tensioni v'

v 31

31

=

v - R I

31 1 1

R R

= 12 31

v' .

I

31 1

+ +

R R R

12 23 31

= si ottiene la relazione

Ora, imponendo v v'

31 31 11

R R

= 12 31 (17)

R .

+ +

1 R R R

12 23 31

Imponendo, ora, l’equivalenza per le altre due analoghe configurazioni

= = =

i 0 , i I , i -

I ,

1 2 2 3 2

= = =

i I , i 0 , i -

I ,

1 3 2 3 3

si ottengono le altre due relazioni

R R

= 12 23 (18)

R ,

2 + +

R R R

12 23 31

R R

= 23 31 (19)

R .

3 + +

R R R

12 23 31

In definitiva la trasformazione triangolo – stella è dato dalle relazioni (17), (18) e

(19). Per la trasformazione stella – triangolo è necessario invertire le relazioni

trovate. Si ha: R R

= + + 1 2

R R R ,

12 1 2 R (20)

3

R R

= + + 2 3

R R R ,

23 2 3 R (21)

1

R R

= + + 1 3

R R R .

31 1 3 R (22)

2 12

Lezione n.13

Soluzione dei circuiti del II ordine con generatori costanti

- RLC serie con generatore di tensione costante

- RLC parallelo con generatore di corrente costante

- RLC con tre resistenze e due generatori di corrente costanti

___________________________________________________________________

In questa lezione applicheremo quello che abbiamo studiato nelle scorse lezioni a tre

circuiti RLC del II ordine.

Lavoreremo con generatori costanti e circuiti molto semplici.

RLC serie con generatore di tensione costante

In Fig. 1 abbiamo rappresentato un circuito RLC serie. Vogliamo studiare il

comportamento di questo circuito per t>t . In particolare vogliamo calcolare v (t) per

0 4

=

e

( t ) E t t

. Il generatore lo supponiamo costante per t>t , cioè per > . I dati del

t>t 0 0 0

0

Ω,

t =0, R=10 C=15µF, L=10 mH, E = 10 Volt; le condizioni iniziali

problema sono: 0 0

- -

v i

(0 )=3 Volt, (0 )=3 A.

4 3 v (t) v (t)

2 3

(t) i (t)

i 2 3

II III

i (t) i (t)

1 4

R L v (t)

C

e(t) 4

v (t)

1 IV

Fig.1 – Circuito RLC serie.

Le equazioni di stato per tale circuito le abbiamo ricavate nella (4) di Lezione n.7.

Abbiamo:

⎧ dv =

4

C i

⎪ 3

dt

⎨ per t>0. (1)

di

⎪ = +

3

L -Ri - v E

⎪ 3 4 0

⎩ dt

Alle (1) dobbiamo aggiungere le condizioni iniziali sulle variabili di stato che

sappiamo continue in 0. Scriviamo:

( ) ( )

+

⎧ = = =

-

v 0 v 0 V 3 ,

4 4 0

⎨ ( ) ( ) (2)

+

⎪⎩ = = =

-

i 0 i 0 I 3;

3 3 0

Scegliamo di risolvere il problema, cioè trovare l’equazione differenziale del II

v . Quindi abbiamo bisogno della condizione iniziale sulla sua

ordine nella variabile 4

derivata. Dalla prima equazione del sistema (1) ricaviamo

( )

( ) +

0 I

dv t i 3

= = = = ⋅ 6

0

4 3 0

. 2 10 . (3)

⋅ 6

C C

dt 15 10

= +

0

t

Ora ricaviamo l’equazione differenziale del II ordine dal sistema (1) sostituendo la

prima equazione del sistema nella seconda:

( ) ( )

2

d v t dv t ( ) ( )

+ + =

4 4

LC RC v t e t ;

4

2 dt

dt

dividendola per LC otteniamo:

( ) ( )

2

d v t dv t

R 1 1

( ) ( )

+ + =

4 4 v t e t . (4)

4

2 L dt LC LC

dt

La soluzione del problema la possiamo scrivere come somma della soluzione

transitoria e di quella di regime (o soluzione particolare):

= + . (5)

v ( t ) v ( t ) v ( t )

4 4 4

0 r

Per costruire il termine transitorio ( ) abbiamo bisogno di calcolare le frequenze

v t

40

naturali del circuito. Consideriamo quindi il polinomio caratteristico:

R 1

λ λ

+ + =

2 0 . (6)

L LC

Le radici di questo polinomio sono complesse coniugate

( ) ( )

λ λ

= − + = − −

3 3

10 0

. 5 j 2

. 533 ; 10 0 .

5 j 2 .

533 (7)

1 2

Essendo radici complesse coniugate il termine transitorio sarà:

( )

= +

500 t

v ( t ) e k cos 2533

t k sin 2533

t . (8)

4 1 2

0

Essendo il generatore di tensione costante l’integrale particolare del problema è una

costante; cioè:

( ) =

v t V .

4 p

Bisogna valutare V. Osservando il circuito si nota che a regime (stazionario) il

condensatore si comporta come un circuito aperto e l’induttore si comporta come un

corto circuito. Essendoci un’unica maglia il circuito aperto corrispondente al

condensatore non lascerà passare corrente nella maglia stessa e quindi non vi sarà

caduta di tensione sulla resistenza. Pertanto la tensione sul condensatore sarà pari a

quella del generatore di tensione e quindi:

( ) = =

v t V 10 . (9)

4 p

La (5) per la (8) e la (9) diventa:

( ) ( )

= + +

t

500

v t e k cos 2533

t k sin 2533

t 10 . (10)

4 1 2 e k .

Imponendo le condizioni iniziali troviamo k 1 2

[ ]

( )

α

⎧ ω ω

+ + =

t

⎪ e k cos t k sin t 10 3

=

[ ]

+

( ) ( )

1 2

⎨ t 0 (11)

α α α α

α ω ω α ω ω

+ + + = ⋅

⎪⎩ t t t t 6

k e sin t e cos t k e cos t e sin t 0 .

2 10

= +

1 2 t 0

α ω

= − ⋅ = ⋅

3 3

0 5 10 e 2 533 10 . Dalla (11) si ottiene

. .

con = −

⎧ k 7 ,

1

⎨ =

⎩ k 77

. 58

.

2

Dunque la soluzione (10) risulta:

[ ]

( ) ( )

= + +

t

500

v ( t ) e - 7cos 2533t 77

.

58 sin 2533t 10 . (12)

4

La costante di tempo del transitorio sarà:

1

τ = − = 0

.002 s .

α

Ciò implica che il termine transitorio della soluzione si esaurirà con un errore dell’1%

α

τ ς = − =

= 0 .

1973 , il numero di

dopo 4

. 6 0

. 0092 sec . Inoltre essendo α ω

+

2 2

1

υ = = ≅ .

3.44250270

7 3.5

oscillazioni complete nel transitorio è ς

.

1 5

In Fig.2 abbiamo rappresentato l’andamento della soluzione (12). In questa figura

abbiamo anche evidenziato la risposta forzata e l’evoluzione libera. Queste due

funzioni andrebbero calcolate …. sapendo che la loro somma deve coincidere con la

soluzione (12) trovata!

Fig. 2 – Andamento della soluzione (10).

RLC parallelo con generatore di corrente costante

In Fig.3 abbiamo rappresentato un circuito RLC parallelo. Vogliamo studiare il

comportamento di questo circuito per t>t . In particolare vogliamo calcolare i (t) per

0 3

=

. Il generatore di corrente lo supponiamo costante, cioè j ( t ) J per t>t . I dati

t>t 0 0

0

Ω,

del problema sono: t =0, R=10 C=15µF, L=10 mH, J = 5 A; le condizioni iniziali

0 0

(0)=3 Volt, i (t)=3 A..

v

4 3 I i (t) i (t) i (t)

2 3 4

i (t)

1 v (t)

v (t)

v (t)

v (t) 4

j(t) 3

2

1 II

Fig. 3 – Circuito RLC parallelo.

Le equazioni di stato per tale circuito le abbiamo ricavate nella (6) della Lezione n.7.

Abbiamo

⎧ dv v

= +

4 4

- - i

C J

⎪ 3 0

dt R

⎨ per t>0. (13)

di

⎪ =

3 v

L

⎪ 4

⎩ dt

Alle (13) dobbiamo aggiungere le condizioni iniziali:

( ) ( )

+

⎧ = = =

-

v 0 v 0 V 3 ,

4 4 0

⎨ ( ) ( ) (14)

+

⎪⎩ = = =

-

i 0 i 0 I 3;

3 3 0

Nelle (14) abbiamo utilizzato la continuità delle variabili di stato.

. Innanzitutto abbiamo bisogno

Scegliamo di risolvere il problema nella variabile i 3

della condizione iniziale sulla sua derivata. Dalla prima equazione del sistema (13)

ricaviamo ( )

( ) +

di t v 0 V 3

= = = = ⋅ 2

3 4 0 3 10 . (15)

− 2

dt L L 10

= +

t 0

Ora ricaviamo l’equazione differenziale del II ordine dal sistema (13) sostituendo la

seconda equazione del sistema nella prima.

( ) ( )

2

d i t di t

L ( ) ( )

+ + =

3 3 i t j t

LC ;

3

2 R dt

dt

dividendola per LC otteniamo:

( ) ( )

2

d i t di t

1 1 1

( ) ( )

+ + =

3 3 i t j t . (16)

3

2 RC dt LC LC

dt

La soluzione del problema la possiamo scrivere come somma della soluzione

transitoria e di quella di regime (o particolare):

= + . (17)

i ( t ) i ( t ) i ( t )

3 3 3

0 r

Per costruire il termine transitorio i (t) abbiamo bisogno di calcolare le frequenze

30

naturali del circuito. Consideriamo quindi il polinomio caratteristico:

1 1

λ λ

+ + =

2 0 . (18)

RC LC

Le radici di questo polinomio sono reali e distinte (negative)

( ) ( )

λ λ

= − = −

3 3

10 1

. 2251 ; 10 5 .

4415 (19)

1 2

Essendo radici reali e distinte il termine transitorio sarà:

− −

= +

t

1225 . t

5451 5

i ( t ) k e k e . (20)

1

3 1 2

0

Essendo il generatore di tensione costante l’integrale particolare del problema sarà

una costante; cioè:

( ) =

i t J .

3 p

Bisogna valutare J. Osservando il circuito si nota che a regime (stazionario) il

condensatore si comporta come un circuito aperto e l’induttore si comporta come un

corto circuito. Essendo tutti i tre bipoli passivi in parallelo il corto circuito

corrispondente all’induttore imporrà una tensione nulla sugli altri due bipoli passivi.

Pertanto la corrente nell’induttore sarà pari a quella del generatore di corrente e

quindi:

( ) = =

i t J 5 . (21)

3 p

La (17) per la (20) e la (21) diventa:

− −

= + +

t . t

1225 5441 5

i ( t ) k e k e . (22)

5

3 1 2

0

Imponendo le condizioni iniziali troviamo k e k .

1 2

[ ]

λ λ

⎧ + + =

t t

⎪ k e k e 10 3

1 2

[ ] = +

1 2

⎨ t 0 (23)

λ λ

λ λ

+ = ⋅

⎪⎩ t t 2

k e k e 3 10

1 2 = +

1 1 2 2 t 0

( ) ( )

λ λ

= − = −

3 3

10 1

. 2251 ; 10 5 .

4415 . Da (23) si ottiene

dove 1 2

= −

⎧ k 2 .

51

,

1

⎨ =

⎩ k 0 .

51

.

2

Dunque la soluzione (22) risulta:

− −

= − + +

t

1225 t

5442

i ( t ) . e . e . (24)

2 51 0 51 5

1

3 0

La costante di tempo del transitorio sarà:

1 −

τ = − = ⋅ 4

82 10 s .

α

Ciò implica che il termine transitorio della soluzione si esaurirà con un errore dell’1%

α

τ ς

= = − =

4

. 6 0 .

0037 s . Inoltre essendo 0 .

1973 , il numero di

dopo α ω

+

2 2

1

υ = = ≅ .

3.44250270

7 3.5

oscillazioni complete nel transitorio è ς

.

1 5

In Fig.4 abbiamo rappresentato l’andamento della soluzione (24). In questa figura

abbiamo anche evidenziato la risposta forzata e l’evoluzione libera. Queste due

funzioni andrebbero calcolate …. Sapendo che la loro somma deve coincidere con la

soluzione (24) trovata!

Fig. 4 – Andamento della soluzione (24).

RLC con tre resistenze e due generatori di corrente costanti

Proviamo ora a risolvere un circuito RLC un pò più complicato. Consideriamo il

∞.

(t) per -∞ < t <

circuito di Fig. 5. Vogliamo calcolare v

4

v (t) v (t) j (t)

2 3 2

i (t)

3

i (t) III

I 2 II i (t)

5

i (t) i (t)

1 4

R L

2 C v (t)

5

j (t) R v (t)

1 1

v (t) 4

1 R

3

IV

Fig. 5 – Circuito del II ordine.

I dati del problema sono:

(t)=J u(-t), j (t)=J u(t), J =-10 A, J =3A, R =1Ω, R =2Ω, R =3Ω, C=10µF, L=1mH.

j 1 1 2 2 1 2 1 2 3

Il circuito si trova a regime per t<0.

Cominciamo a studiare il circuito a regime per t<0.

Il generatore j (t) è acceso mentre quello j (t) è spento. Essendo a regime stazionario,

1 2

il condensatore si comporta come un circuito aperto mentre l’induttore come un corto

circuito. Il nostro circuito diviene allora quello di Fig.6. i (t)

3 III

I II

R

2 v R

(t)

j (t) R 4 3

1 1 IV

Fig. 6 – Circuito di Fig.5 a regime stazionario per t<0.

ed i . Saranno entrambi costanti poiché il regime è stazionario.

Dobbiamo calcolare v

4 3

=0 per t<0 e che v è la tensione ai capi della resistenza R :

Osserviamo che i 4 4 3

(t)=R i (t) t<0. (25)

v

4 3 3 è la corrente che attraversa la serie di R con R . Essa sarà data dal

Osserviamo che i 3 2 3

con R e di R . Andiamo per gradi: calcoliamo

partitore di corrente tra la serie di R 2 3 1

ed R :

la resistenza serie equivalente tra R 2 3

=R + R (26)

R

23 2 3 ed R sarà dato da:

Il partitore tra R 23 1

R R 5

( ) = = = −

1 1

i t t<0. (27)

J J

3 1 1

+ + +

R R R R R 3

1 23 1 2 3

(t) dalla (25) e dalla (27) sarà quindi data da:

v

4 R R

( ) = = −

1 3

v t J 5 t<0. (28)

4 1

+ +

R R R

1 2 3

Le condizioni iniziali che mi occorrono per affrontare il calcolo della soluzione per

t>0 le calcolo dalla (27) e dalla (28). Possiamo scrivere:

-

(0 )=-5; (28a)

v

4 -

(0 )=-5/3. (28b)

i 3

Ora dobbiamo studiare il circuito per t>0.

è spento mentre il generatore j è acceso e costante. Il generatore j

Il generatore j 1 2 1

spento equivalente ad un circuito aperto, come abbiamo rappresentato in Fig.7;

ed R le consideriamo in serie pari alla resistenza

pertanto le due resistenze R

1 2

equivalente

=R +R . (29)

R

12 1 2 i (t)

2 i (t)

i (t) 12

1 R

2 R

R v (t) 12

1

v (t) 12

1

Fig. 7 – Calcolo di una resitenza equivalente per il circuito di Fig.5 per t>0.

Il circuito di Fig.8 è quello da studiare per t>0. E’ un circuito del II ordine di cui

conosciamo le condizioni iniziali. Queste infatti le ricaviamo per continuità dalle

(28a) e (28b):

+ -

(0 )=v (0 )=-5; (30a)

v

4 4

+ -

(0 )=i (0 )=-5/3. (30b)

i 3 3

Il comportamento del circuito a regime per t>>0 sarà di tipo costante. Le variabili di

e v .

stato sono i 3 4

Per determinare la soluzione del problema abbiamo bisogno di individuare

l’equazione differenziale del II ordine relativa al circuito in esame.

v (t)

3 j (t)

2

i (t)

3 III

I=II i (t)

i (t) 5

i (t)

12 4 m

2

L C

m

1 v (t)

R 5

v (t)

12

v (t) 4

12 R

3

IV

Fig. 8 – Circuito di Fig.5 per t>0.

Per il sistema globale escludiamo il nodo IV:

−i

−i =0

Nodo I 12 3

−i −i

Nodo III i +j =0

3 4 5 2

−v −v

m1 v =0

12 3 4

−v =0

m2 v

4 5

Le relazioni caratteristiche sono:

=

⎧ v R i

12 12 12

⎪ di

⎪ = 3

v L

⎪ 3 dt

⎨ dv

⎪ = 4

C

i

⎪ 4 dt

⎪ =

⎩ R

v i

5 3 5

Pertanto il sistema globale complessivo sarà:

− − =

⎧ 0

i i

12 3

⎪ − − + = 0

i i i j

⎪ 3 4 5 2

⎪ − − = 0

v v v

12 3 4

⎪ − =

⎪ 0

v v

4 5

⎪ = R

v i

⎨ 12 12 12

⎪ di

= 3

L

v

⎪ (31)

3 dt

⎪ dv

= 4

C

i

⎪ 4 dt

⎪ =

⎩ v R i

5 3 5

Procediamo verso una riduzione per passi successivi del sistema globale (31).

Cominciamo con il sostituire le relazioni caratteristiche nelle prime 4 equazioni:

= −

i i

12 3

⎪ v

dv

⎪ − − + =

5

4

i j

C 0

⎪ 3 2

dt R 3

⎨ (32)

⎪ di

− − =

3

i v

R L 0

⎪ 12 12 4

dt

⎪ =

v v

4 5

Dal sistema (32) procediamo a sostituire la prima e la quarta nelle restanti due

equazioni:

⎧ dv v

− − + =

4 4 0

i C j

⎪ 2

3

⎪ R

dt 3

⎨ (33)

⎪ di

− − =

3

R 0

i L v

⎪ 12 3 4

⎩ dt

Infine mettiamo il sistema (33) nella forma a noi usuale delle due equazioni di stato:

⎧ dv v

= − +

4 4

C i j

⎪ 3 2

⎪ dt R 3

⎨ (34)

⎪ di = − +

3

L v R i

⎪ 4 12 3

⎩ dt

Dal sistema (34) si può dimostrare che si ottiene la seguente equazione differenziale

(t):

di II ordine nella variabile la tensione v

4

( ) ( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2

d v t dv t

R R R

1 1 ( ) ( )

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ + + + =

12 4 12 12

4 v t j t

1 . (35)

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 2

2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dt

R C L R LC LC

dt 3 3

La (35) insieme alle seguenti condizioni iniziali costituisce il nostro problema di

Cauchy: −5,

+

(0 ) = (36a)

v

4 ( ) ⎛ ⎞

dv t j

i v

⎜ ⎟

= − + = ⋅ 5

4 2 3 10

⎜ ⎟ . (36b)

⎝ ⎠

dt C R C C

= + =

0

t +

3 0

t

Vogliamo calcolare le frequenze naturali del problema (35). Consideriamo il

polinomio caratteristico:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

R R

1 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

λ λ

+ + + + =

2 12 12

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 . (37)

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

R C L LC R LC

3 3

Valutiamo il radicando:

2 ⎞

⎛ R R

1 1 ⎟

⎜ 6

12 12

λ

∆ = + − + = ⋅

⎜ 0

>

4 520 10

⎝ R C L LC R LC

3 3

∆>0

Essendo avremo 2 radici reali e distinte. Le calcoliamo:

− − − +

36 ,

33 22 ,

80 36 ,

33 22 ,

80

λ = = − λ

3 = = −

3

10 29565 ; 10 6765 (38)

1 2

2 2

La soluzione dell’equazione (35) la possiamo scrivere come sovrapposizione di un

termine transitorio e uno di regime (soluzione particolare). Poniamo:

( ) ( ) ( )

= +

v t v t v t . (39)

p

4 4 4

0

Calcoliamo per prima cosa il termine transitorio. Per fare questo scriviamo la

soluzione dell’equazione omogenea associata alla (35):

( ) − −

= +

29565 t 6765 t

v t k e k e . (40)

4 1 2

0

Per quanto riguarda la soluzione particolare v (t) osserviamo che il generatore è

4p

costante per t>0 e quindi la soluzione particolare sarà anch’essa costante, pertanto

possiamo porre

v (t)=V.

4p j (t)

2

i (t)

30

I=II III v (t)

R

R 50

V 3

12

v (t)

120 IV

Fig. 9 – Circuito di Fig.5 per t>0 a regime.

Valutiamo V lavorando direttamente sul circuito di Fig.9. Osserviamo che essendo a

regime stazionario il condensatore si comporta come un circuito aperto e l’induttore

come un corto circuito. Pertanto la tensione sul condensatore sarà: V = v (t) = v (t)

40 120

= v (t). Allora per valutare il valore di V basterà calcolare la tensione esistente sul

30

parallelo delle due resistenze del circuito di Fig.9. Questa tensione si calcola

considerando innanzitutto la resistenza equivalente:

R R

= 12 3

R eq +

R R

12 3

e poi, considerando che R è attraversata dalla corrente del generatore j , con la

eq 2

relazione caratteristica del resistore:

= =

V R J 4 5

. . (41)

eq 2

Dalla (40) e dalla (41) possiamo infine scrivere l’integrale generale della (35):

() − −

29565 t 6765 t

= + +

v t k e k e 4 ,

5 t>0. (42)

4 1 2

Ci rimane da calcolare le costanti k e k utilizzando le condizioni iniziali (36a) e

1 2

(36b). Imponendo entrambi le condizioni iniziali possiamo scrivere:

( )

⎧ = + + = −

v t k k 4 ,

5 5

=

⎪ 4 1 2

t 0

( )

⎨ − −

dv t 29565 t 6765 t 5

4 = − + − = ⋅

⎪ 29565 k e 6765 k e 3 10

1 2

⎩ dt =

t 0

Da cui si ricava k =-10.34, k =0.84; che sostituiti nella soluzione (42) ci danno

1 2

l’integrale generale del problema:

( ) −

= − + +

t t

29565 67650

v t 10

.

34

e 0 .

84

e 4 .

5 t>0. (43)

4

In conclusione abbiamo:

⎧ <

5 , t 0

( ) = ⎨

v t (44)

− >

4 − + +

t t

29565 67650 t 0

⎩ 10 .

34

e 0 .

84

e 4 .

5

,

In Fig.9 abbiamo rappresentato la soluzione (43) per t>0. Si osservi che sono state

evidenziate anche la risposta forzata e l’evoluzione libera.

Fig. 9 – Grafico della soluzione per t>0.

Lezione n.14

Teoremi del generatore equivalente

- Teorema del generatore equivalente (Thévenin e Norton)

____________________________________________________________________

In questa lezione introduciamo un teorema molto importante. L’importanza risiede

nel fatto che utilizzando una proprietà di equivalenza dei circuiti introduciamo un

comodo strumento di analisi.

Teorema del generatore equivalente

Vale per un qualsiasi sottocircuito dinamico purchè lineare. Noi lo introduciamo

considerando un sottocircuito costituito unicamente da generatori ideali e resistori.

Vedremo poi nel seguito come quanto trovato in questo caso si estende ad un

sottocircuito avente anche condensatori e induttori.

Serve a semplificare un sottocircuito presente in un circuito.

Il teorema del generatore equivalente fornisce uno “strumento” che può essere

utilizzato per semplificare l’analisi di un circuito. Infatti consiste nel sostituire ad una

sottocircuito un circuito molto semplice ad esso equivalente. In generale il

sottocircuito può essere costituito da resistori, condensatori, induttori e generatori.

Tuttavia, per introdurre il teorema, considereremo sottocircuiti costituiti da soli

resistori e generatori. Una volta compreso, in questo caso semplice, come si procede,

sarà possibile estendere il teorema ai circuiti dinamici in regime sinusoidale

utilizzando il metodo dei fasori e, generalizzando ancora di più, ai circuiti dinamici in

generale usando le impedenze operatoriali (argomento che tratteremo nella lezione

n.21).

Sottolineamo il fatto che questo importante teorema vale per circuiti lineari.

Consideriamo il circuito rappresentato in Fig.1. Questo è costituito da due

sottocircuiti collegati attraverso i morsetti A e B. Il circuito N è costituito da soli

R può

generatori ideali di tensione e corrente e da resistenze, viceversa il circuito N

S

essere un generico circuito dinamico. Quello che richiediamo è che il circuito N

R

abbia come bipoli passivi unicamente delle resistenze.

1 N

S

N

R i t

( ) A v t

( )

B

_

Fig.1 Circuito nel quale vogliamo introdurre i circuiti equivalenti.

Il valore della tensione v(t) e della corrente i(t) dipendono da entrambi i sottocircuiti

N e N . Ognuno dei due sottocircuiti imporrà ai morsetti A-B una relazione

R S

caratteristica tensione-corrente e il valore della tensione v(t) e della corrente i(t) si

determina imponendo simultaneamente le due relazioni caratteristiche. Il circuito N

R

visto ai morsetti A-B avrà una sua caratteristica tensione-corrente, cioè una relazione

funzionale tra la tensione v(t) e la corrente i(t). Essendo i resistori nel circuito N

R

lineari ci aspettiamo che la relazione funzionale tensione-corrente sia di tipo “affine”,

cioè:

v(t) = R i (t) + g(t), (1)

eq

dove R rappresenta un coefficiente avente le dimensioni di una resistenza e

eq ( )

g t rappresenta una funzione

dipendente dalle resistenze presenti nel circuito, dove

dipendente dai generatori presenti nel circuito N . Si tenga presente che sul

R

sottocircuito N visto dai morsetti A-B abbiamo fatto la convenzione dell’utilizzatore

R

e quindi non dobbiamo meravigliarci del segno positivo considerato davanti alla

resistenza R .

eq

Poiché il nostro sottocircuito N è statico (non ci sono elementi dinamici e questo si

R

riscontra anche dalla caratteristica (1)) possiamo sottintendere la dipendenza dal

tempo e procedere nel seguito con grandezze costanti (lettera maiuscola).

Cominciamo allora con il considerare la relazione (1) in un regime stazionario.

V = R I + V . (2)

eq 0

La relazione caratteristica (2) la possiamo rappresentare nel piano V-I attraverso la

sua curva caratteristica che in questo caso chiamiamo retta di carico. In Fig.2

abbiamo rappresentato tale retta. Osserviamo che questa interseca gli assi in due punti

2

notevoli. Quando sostituiamo al circuito N un corto circuito (vedi Fig.3) abbiamo

S

che la tensione V si annulla e la corrente I assume il valore I che rappresenta la

cc

cosiddetta corrente di corto circuito; quando scolleghiamo il circuito N o meglio lo

S

sostituiamo con un circuito aperto (vedi Fig. 4) abbiamo che la corrente I si annulla e

valore

che la tensione V assume V che rappresenta la cosiddetta tensione a vuoto.

0

V

V

0 I cc I

Fig. 2 – Retta di carico del sottocircuito N .

S

R è la pendenza della retta di Fig.2. Questa resistenza rappresenta la resistenza

eq

equivalente di N vista ai morsetti A-B quando al suo interno sono stati spenti i

R

generatori. Diciamo che, non conoscendo la natura interna del circuito N siamo in

R

grado di individuare la sua retta di carico se misuriamo la tensione a vuoto e la

corrente di corto circuito ai morsetti A-B, oppure se conosciamo la resistenza

equivalente del circuito e la tensione a vuoto o se, infine, conosciamo la resistenza

equivalente e la corrente di corto circuito. Lavorando sulla retta di carico o ponendo

V=0 nella (2) otteniamo la immediata relazione

I = - V /R . (3)

cc 0 eq

Dalla (3) possiamo riscrivere la relazione caratteristica (2) come

V = R (I -I ). (4)

eq cc

E’ chiaro che ai morsetti A-B misuriamo una tensione a vuoto o una corrente di corto

circuito se in N vi sono generatori.

R 3

N

R I=0 A V

0

B

Fig.3 – Tensione a vuoto ai morsetti A-B del circuito N .

R

N

R I A

cc B

Fig.4 – Corrente di corto circuito ai morsetti A-B del circuito N .

R

Il fatto che la caratteristica tensione-corrente del sottocircuito N ha l’espressione (2)

R

o (4) suggerisce di “costruire” un circuito semplice (perché semplice è la

caratteristica!) che “simuli” il comportamento di N realizzando la sua stessa

R

caratteristica (2).

Il teorema del generatore equivalente asserisce che esistono due circuiti equivalenti

ad N che realizzano questo proposito. Abbiamo rappresentato in Fig.5 e in Fig.6

R

rispettivamente il circuito equivalente secondo Thévenin e il circuito equivalente

secondo Norton. Si tratta nei due casi rispettivamente di un generatore reale di

tensione e di un generatore reale di corrente. Entrambi hanno per resistenza la

resistenza equivalente R . Nel primo caso avremo un generatore ideale di tensione

eq

che eroga una tensione pari alla tensione a vuoto V ; mentre nel secondo caso avremo

0

un generatore ideale di corrente che eroga una corrente pari alla corrente di corto

circuito I . Si osservi come sono stati scelti il verso della tensione del generatore di

cc

Fig. 5 e il verso della corrente del generatore di Fig.6.

Vedremo poi che questi due circuiti sono (ovviamente!) anch’essi tra di loro

equivalenti. 4

V

R I A

R

eq V

V

0 B

Fig.5 – Circuito equivalente secondo Thevenin.

I

I A

I R V

R

eq

I cc B

II

Fig.6 – Circuito equivalente secondo Norton.

Per convincerci di quanto afferma il teorema, cominciamo con il calcolare la

V I

relazione caratteristica tensione - corrente vista ai morsetti A-B dei semplici

circuiti rappresentati in Fig.5 e in Fig.6.

Cominciamo dal circuito equivalente secondo Thévenin. Applicando la seconda legge

di Kirchhoff all’unica maglia del circuito di Fig.5 si ha:

V + V – V = 0. (5)

0 R

Sostituendo la relazione caratteristica del resistore V R I si ha

R = eq

V= R I + V . (6)

eq 0

E quindi abbiamo visto che il circuito di Fig.5 realizza la caratteristica (2).

Consideriamo il circuito equivalente secondo Norton di Fig.6. Applicando la I legge

di Kirchhoff al nodo I si ha:

I - I - I = 0. (7)

cc R 5

Sostituendo poi la relazione caratteristica I V/R del resistore si ha

R = eq

V= R I - R I . (8)

eq eq cc

E quindi abbiamo dimostrato che il circuito di Fig.6 realizza la caratteristica (4).

Le relazioni (6) e (8) bastano a dimostrare il teorema. Nel primo caso, infatti, basterà

scegliere il generatore di tensione di valore pari alla tensione a vuoto che si misura ai

morsetti A-B. Nel secondo caso, invece, il valore del generatore di corrente sarà pari

alla corrente di corto circuito valutata ai morsetti A-B.

Paragonando la (6) e la (8) si ricava che i circuiti di Fig.5 e Fig.6 sono equivalente se

si sceglie

V = -R I . (9)

0 eq cc

Per finire osserviamo che i due circuiti sono del tutto equivalenti! Converrà

utilizzarne uno piuttosto che un altro a seconda se conviene calcolare la tensione a

vuoto o la corrente di corto circuito. 6

Lezione n.15

Teoremi di non amplificazione e teoremi di reciprocità

- Teorema di non amplificazione delle tensioni e delle correnti

- Teoremi di reciprocità

____________________________________________________________________

In questa lezione introduciamo due teoremi molto importanti. L’importanza risiede

nel fatto che essi descrivono delle proprietà che caratterizzano il comportamento dei

circuiti e introducono degli efficaci strumenti di analisi.

Teorema di non amplificazione delle tensioni e delle correnti

Un’importante proprietà delle reti di bipoli passivi in regime stazionario è il

cosiddetto teorema di non amplificazione delle tensioni e delle correnti.

Il teorema di non amplificazione delle tensioni asserisce che, se ho una rete con un

solo lato attivo G (generatore ideale di tensione o di corrente) e tutti gli altri

componenti sono bipoli statici passivi (Fig. 1), il potenziale dei due morsetti A e B a

cui è connesso il generatore, sono l’uno il massimo e l’altro il minimo potenziale tra

tutti quelli della rete. Tutti gli altri nodi della rete avranno, quindi, valore del

potenziale compreso tra quello massimo e quello minimo ai morsetti dell’unico

generatore. A

G

B

Fig.1 – Circuito statico con un solo generatore attivo.

1

Il teorema di non amplificazione delle correnti afferma che la corrente che attraversa

l’unico bipolo attivo G è quella in valore assoluto maggiore di tutte le altre.

Sottolineamo il fatto che questi due teoremi valgono per circuiti aventi un unico

generatore ideale e, per elementi passivi unicamente statici, cioè resistori.

Osserviamo che questi due teoremi introducono una relazione d’ordine tra le

grandezze elettriche presenti nel circuito.

I due teoremi si possono dimostrare ma non lo faremo in questo corso.

Teoremi di reciprocità

Questo teorema vale per qualsiasi circuito lineare costituito da generatori ideali,

resistori, condensatori, induttori e trasformatori (vedremo nella Lezione n.20 cosa è

un trasformatore).

E’ un teorema molto importante che viene spesso richiamato per dimostrare proprietà

matematiche dei modello che descrivono il circuito. Per esempio il fatto che la

matrice H introdotta per le equazioni di stato nella Lezione n.7 è simmetrica o

antisimmetrica. Vedremo nella lezione n.19 per i doppi bipoli come useremo questo

teorema nel mostrare la simmetrie delle matrici caratteristiche.

Noi lo introduciamo per circuiti resistivi. La dimostrazione, che si basa sul teorema di

Tellegen, non sarà affrontata in questo corso.

Dato un circuito resistivo passivo, supponiamo che sia alimentato da due generatori.

Consideriamo dunque la Fig. 2. G

G 2

1 Fig.2 – Circuito reciproco.

Esistono tre forme per questo teorema a seconda del tipo di generatori considerati.

I forma

I due generatori sono generatori di tensione. Consideriamo pertanto la Fig.3.

Le due correnti nei lati in cui sono presenti i generatori possiamo esprimerle come

somma di due contributi, ognuno dipendente da un solo generatore. Applichiamo il

2

principio di sovrapposizione e lasciamo lavorare un generatore alla volta come

abbiamo rappresentato in Fig.4.

I = I + I (1a)

1 11 12

I = I + I (1b)

2 21 22 I I

1 2

E E

1 2

Fig.3 – Circuito usato per la prima forma del teorema di reciprocità.

I I

11 21

E

1 (a)

I I

12 22 E

2

(b)

Fig. 4 – Sovrapposizione degli effetti sul circuito di Fig.3.

3

Il teorema afferma che il rapporto tra causa ed effetto nel circuito (a) di Fig.4 è

uguale al rapporto tra causa ed effetto nel circuito (B) di Fig.4, quando si considera

per effetto la corrente che circola nel lato del generatore spento. Si ha

I I

=

12 21 . (2)

E E

2 1

Il teorema, cioè, introduce una “simmetria” tra causa ed effetto. Questa simmetria

dipende dal fatto che causa ed effetto nei due casi sono poste nei medesimi lati.

Pertanto questo teorema è un “teorema topologico”. La sua dimostrazione si basa,

infatti sul teorema di Tellegen.

II forma

I due generatori sono generatori di corrente. Consideriamo pertanto la Fig.5.

Le due tensioni nei lati in cui sono presenti i generatori di corrente possiamo

esprimerle come somma di due contributi, ognuno dipendente da un solo generatore.

Applichiamo il principio di sovrapposizione e lasciamo lavorare un generatore alla

volta. Questa volta consideriamo le tensioni e spegneremo i generatori di corrente

ponendo al loro posto dei circuiti aperti. Scriviamo

= V + V (3a)

V

1 11 12

V = V + V (3b)

2 21 22 J

J 2

1

V V

1 2

Fig.5 – Circuito usato per la seconda forma del teorema di reciprocità.

In questo caso il teorema afferma che :

V V

=

12 21 . (4)

J J

2 1 4

III forma

I due generatori sono uno di tensione e l’altro di corrente. Consideriamo pertanto la

Fig.6.

Questa volta gli effetti da considerare sono rispettivamente una corrente al lato 1 e

una tensione al lato 2. E’ chiaro che si poteva considerare la configurazione duale.

Vale a dire: generatore di corrente al lato 1 e generatore di tensione al lato 2.

I = I + I (5a)

1 11 12

= V + V (5b)

V

2 21 22 I I

1 2

E E

1 2

Fig.6 – Circuito usato per la prima forma del teorema di reciprocità.

In questo caso l’uguaglianza si verifica a meno di un segno. Si ha infatti:

I V

= −

12 21 . (6)

J E

2 1

Nel caso in cui avessimo considerato i generatori invertiti nei due lati avremmo

ottenuto:

V I

= −

12 21 . (7)

E J

2 1

Si osservi che nella prima forma il rapporto considerato (2) ha le dimensioni di una

conduttanza. Nella seconda forma ha le dimensioni di una resistenza (vedi la (4)) e

infine nella terza forma (vedi le (6) e (7)) il rapporto è adimensionale.

5

Lezione n.2

Descrizione dei bipoli lineari e tempo invarianti utilizzati

in questo corso

- Resistore

- Circuito aperto

- Corto circuito

- Generatori ideali indipendenti di tensione e di corrente

- Generatori reali indipendenti di tensione e di corrente

- Condensatore

- Induttore

- Interruttore

____________________________________________________________________

In questa lezione descriveremo tutti i bipoli che saranno utilizzati nel corso di

Introduzione ai Circuiti. Saranno utilizzati solo bipoli lineari e tempo invarianti.

Resistore

Il simbolo che rappresenta il bipolo resistore è illustrato in Fig.1.

Fig. 1 – Simbolo di bipolo resistore.

Il resistore è un bipolo statico avente la seguente caratteristica

= =

v (

t ) r (

i (

t )) i (

t ) g ( v (

t ))

, (1)

a seconda se è controllato in corrente o in tensione. Se è controllato in corrente e

tensione si ha 1

( ) ( )

= 1

r . g . . (2)

Noi tratteremo solo resistori lineari. Per questi resistori possiamo scrivere

( ) ( )

=

v t Ri t , (3)

> Ω

dove 0

R è la misurata in Ohm ( ). Volendo esprimere la (3) con la

resistenza

corrente al primo membro, avremo:

( ) ( ) ( )

1

= =

i t v t Gv t , (4)

R = > = Ω

− −

1 1

dove G R 0 è la misurata in Siemens ( S ). La resistenza R

conduttanza

(come la conduttanza) dipende dalla resistività del conduttore e dalla sua geometria.

La relazione (3) è data quando è fatta la convenzione dell’utilizzatore.

Ricavando la potenza come nella (6) della Lezione n.1, avremo che, avendo fatta la

convenzione dell’utilizzatore, la potenza assorbita dal resistore risulta

( ) ( ) ( ) ( ( )

)

= = 2

p t v t i t R i t . (5)

Analizzando la (5), otteniamo che il segno della potenza assorbita sarà sempre

positivo in quanto R è una costante positiva ed il quadrato della corrente sarà sempre,

anch’esso, positivo. Il resistore è, dunque, un elemento passivo.

v α

R=tg

α i

Fig. 2 – Curva caratteristica di un resistore lineare.

In Fig.2 abbiamo rappresentato la curva caratteristica del resistore lineare.

2

Corto circuito

Il simbolo che rappresenta il bipolo è quello riportato in Fig.3

corto circuito

Fig. 3 – Simbolo di bipolo corto circuito.

Il corto circuito ha una caratteristica controllata in corrente:

= . (6)

v (

t ) 0 =

Tale bipolo è caratterizzato da una resistenza nulla ( 0

R ), esso ha una tensione ai

suoi capi pari a zero indipendentemente dalla corrente che lo attraversa. Osserviamo

che il bipolo corto circuito è una idealizzazione. Ogni conduttore per quanto ideale

presenta sempre una seppur piccola resistenza.

La potenza assorbita o generata è nulla.

Circuito aperto

Il simbolo che rappresenta il bipolo è quello riportato in Fig.4

circuito aperto

Fig. 4 – Simbolo di bipolo circuito aperto.

Il circuito aperto ha una caratteristica controllata in tensione:

= . (7)

i (

t ) 0 =

Tale bipolo è caratterizzato da una conduttanza nulla ( 0

G ). La sua particolarità è di

aver una corrente nulla qualunque sia la tensione applicata ai morsetti.

La potenza assorbita o generata è nulla.

Generatori ideali indipendenti di tensione e di corrente

La caratteristica peculiare di questi due tipi di bipoli è che le cariche si muovono dal

potenziale più basso a quello più alto. Questo, come abbiamo già detto, accade grazie

a delle forze di altra natura esistenti all’interno del bipolo. Le cariche si muovono in

3

verso contrario al campo elettrico. In questo modo corrente e tensione avranno stesso

segno se considerate con lo stesso verso.

Il simbolo che rappresenta il generatore ideale di tensione è illustrato in Fig. 5.

e(t)

Fig. 5 – Simbolo di bipolo generatore ideale di tensione.

La relazione caratteristica di questo bipolo è la seguente

( ) ( )

=

v t e t , (8)

( )

dove e t è una funzione nota. Questo bipolo è un bipolo statico, attivo, non lineare e

controllato in corrente. La curva caratteristica è rappresentata in Fig.6.

Osserviamo che quando il generatore ideale di tensione è spento si comporta come un

corto circuito. v e i

Fig. 6 – Curva caratteristica di un generatore ideale di tensione.

Il simbolo che rappresenta il generatore ideale di corrente è illustrato in Fig.7.

4 j(t)

Fig. 7 – Simbolo di bipolo generatore ideale di corrente.

La relazione caratteristica di questo bipolo è la seguente

( ) ( )

=

i t j t (9)

( )

j t è una funzione data. Questo bipolo è un bipolo statico, attivo, non lineare e

dove

controllato in tensione. La curva caratteristica è rappresentata in Fig.8.

Osserviamo che quando il generatore ideale di corrente è spento si comporta come un

circuito aperto. v j i

Fig. 8 - Curva caratteristica di un generatore ideale di corrente.

Generatori reali indipendenti di tensione e di corrente

I generatori ideali sono delle idealizzazioni di sistemi elettrici i quali, seppur piccole,

presenterebbero degli effetti resistivi. In particolare, nei generatori ideali di tensione

andrebbe considerata una resistenza in serie come illustrato in Fig.9. In questo caso

possiamo parlare di .

generatore reale di tensione

5 e(t)

Fig. 9 – Rappresentazione di un generatore reale di tensione.

Analogamente per il generatore di corrente. In questo caso andrebbe considerata una

resistenza in parallelo come in Fig.10 ottenendo il .

generatore reale di corrente

j(t)

Fig. 10 – Rappresentazione di un generatore reale di corrente.

Il generatore reale di tensione ha in “serie” una resistenza. Se l’avessimo considerata

in “parallelo” (come per il generatore di corrente), qualora il generatore fosse spento

imporrebbe una tensione nulla alla resistenza in parallelo in modo che il bipolo

equivalente si comporti globalmente come un corto circuito. In questo modo gli

effetti resistivi comunque ineliminabili non verrebbero tenuti in conto. Il discorso

duale vale per il generatore di corrente.

Condensatore

Il simbolo che rappresenta il bipolo è illustrato in Fig.11.

condensatore

6

Fig. 11 – Simbolo del bipolo condensatore.

Per descrivere fisicamente il condensatore facciamo riferimento ad una realizzazione

molto semplice. Parliamo del . Questo è costituito da due lastre

condensatore piano

piane conduttrici, le cosiddette “armature”, poste frontalmente (esistono geometrie

non per forza piane), ciascuna delle quali è collegata ad un morsetto mediante un

conduttore supposto ideale (conducibilità infinita) come in Fig.12.

Σ Fig. 12 – Schema di un condensatore piano.

Tra le due armature del condensatore è posto del materiale dielettrico (ad esempio

l’aria) che impedisce il passaggio di corrente all’interno delle due piastre.

Supponendo l’idealità del conduttore e del dielettrico, secondo la teoria dei campi le

cariche si possono distribuire uniformemente su ciascuna armatura che è una

superficie equipotenziale. Quando il condensatore ha ai suoi morsetti una tensione

non nulla, allora vorrà dire che vi sono sulle due armature due distribuzioni di cariche

di segno opposto.

Anche se i morsetti del condensatore non sono chiusi su alcun altro componente,

grazie al fatto che possono esserci comunque le distribuzioni di cariche sulle

armature, possiamo misurare una tensione non nulla ai loro capi. Questo vuol dire che

il condensatore può immagazzinare energia, in questo caso elettrostatica. L’energia

immagazzinata può venire messa a disposizione del circuito una volta che il

condensatore venga collegato ad altri componenti. Per esempio, se si connette un

condensatore ad un resistore l’energia immagazzinata si dissiperà per effetto Joule nel

resistore fino a che ai capi dei due componenti vi sarà una tensione nulla (il resistore

consentirà alle cariche “separate” dal condensatore di ricombinarsi).

Un condensatore scarico può essere caricato. In questo caso occorrerà un generatore

reale, come vedremo in altre lezioni, che lo carichi, portando la tensione dal valore

nullo ad un valore dato non nullo. In questo caso il generatore “forza” le cariche ha

separarsi e le distribuisce sulle armature. 7

La carica sulle armatura è legata alla tensione ai capi del condensatore con una

relazione di proporzionalità:

( ) ( )

=

q t Cv t , (10)

q v C

indica la carica su una armatura, la tensione tra le armature e la

dove . La capacità dipende dal dielettrico impiegato e dalla geometria, si misura in

capacità µ

Farad (F). I valori tipici di capacità utilizzate sono dell’ordine dei micro Farad ( F ).

Pensiamo ora alla scarica del condensatore. Se “cortocircuitassimo” un condensatore

ideale carico (cioè se lo collegassimo ad un resistore di resistenza nulla) avremmo

un’incompatibilità: l’energia immagazzinata non saprebbe come scaricarsi. La

tensione non nulla sul condensatore non sarebbe bilanciata da una tensione uguale sul

corto circuito. Ma noi sappiamo che il corto circuito è una idealizzazione in quanto

ogni conduttore, anche se molto piccola, ha pur sempre una resistività non nulla.

Pertanto, se pur piccola, una resistenza và comunque considerata. In Fig. 13 abbiamo

rappresentato i circuiti di carica di un condensatore.

Un osservazione importante: se tra le armature non può esserci passaggio di corrente

come può essere verificata la legge di continuità della carica che mi dice che scelta

Σ

una qualunque superficie chiusa (per esempio la di Fig.12) la somma algebrica

delle correnti entranti (o uscenti) deve essere nulla? Come sarebbe bilanciata la

Σ

? In questo caso, tra le armature, và

corrente del conduttore che attraversa la

considerata la che esiste grazie al fatto che tra le armature

corrente di spostamento

c’è un campo elettrico variabile nel tempo. Il bilancio è salvo se nel condensatore vi è

( ( ) )

∝ ∂ ∂

E t t

una corrente di spostamento e quindi se il campo elettrico che esiste al

suo interno varia nel tempo. In questo caso tutte le grandezze varierebbero nel tempo.

Questo vuol dire che se siamo in regime stazionario non c’è corrente di spostamento

e il condensatore si comporta come un bipolo circuito aperto anche se si può misurare

una tensione non nulla ai suoi capi. La corrente che attraversa il condensatore è data

dalla (1) della Lezione n.1 e dalla (10):

( ) ( )

dq t dv t

( ) = =

i t C , (11)

dt dt

C costante nel tempo.

avendo supposto

La (11) rappresenta la relazione caratteristica del condensatore.

8

Fig. 13 – Circuiti di carica di un condensatore.

La relazione caratteristica (9) è data con la convenzione dell’utilizzatore.

Il condensatore è un bipolo dinamico passivo. Infatti, se consideriamo la definizione

(5) della Lezione n.1, questa risulterà verificata. Da un punto di vista fisico questo

vuol dire che il condensatore può immagazzinare e poi, eventualmente, cedere

energia ma solo dopo averla ricevuta da una fonte esterna.

Induttore

Il simbolo che rappresenta il bipolo è mostrato in Fig.14.

induttore

Fig. 14 – Simbolo di bipolo induttore.

Descriviamo rapidamente l’induttore da un punto di vista fisico. Esso è costituito da

N

un avvolgimento di un certo numero di spire, diciamole , su un supporto

tipicamente di materiale magnetico. Per l’induttore non ci sono problemi di correnti

di spostamento, perché esso è realizzato da un conduttore continuo attraversato dalla

corrente che troviamo ai morsetti. Il problema sorge, invece, per l’irrotazionalità del

.

campo elettrico e quindi per la definizione di una tensione tra i due morsetti Infatti

non è detto che, all’esterno dell’induttore, non ci sia una variazione di campo

E

magnetico tale da rendere il campo non più irrotazionale. Per affermare che tale

sistema è un bipolo, trascureremo rispetto alla regione interna all’avvolgimento gli

B

effetti di variazione del campo magnetico all’esterno dell’avvolgimento. Del resto,

abbiamo fatto lo stesso per il condensatore quando abbiamo trascurato la corrente di

spostamento fuori delle armature e l’abbiamo considerata solo all’interno.

9

Se consideriamo una singola spira, sappiamo che la corrente che circola nella spira

produce un campo magnetico cui è associato un flusso di campo magnetico,

φ

chiamiamolo . Inoltre, sappiamo che il legame tra tale flusso e la corrente che lo ha

B

prodotto è di tipo proporzionale:

φ = L i , (12)

B 0

L l

rappresenta della singola spira. Questa dipende dalla geometria

dove ’induttanza

0

della spira e dal tipo di materiale magnetico impiegato.

N

Nel nostro caso, l’avvolgimento è costituito da spire, pertanto scriveremo

φ = =

NL i Li , (13)

B 0 =

NL L . L’induttanza si misura in henry (H). Valori tipici sono

dove abbiamo posto 0

dell’ordine dei milli henry (mH). Se chiudiamo in corto circuito l’induttore (il

condensatore lo aprivamo), abbiamo che l’induttore, potendo circolare in esso la

( )

i t

corrente , immagazzina energia magnetica proprio attraverso la presenza del

( )

φ i t

flusso legato alla corrente . In questo caso, diciamo che l’induttore è carico.

B

Da quanto accennato prima, è possibile notare una dualità tra l’induttore ed il

condensatore. Così come il condensatore era carico grazie alla presenza della carica

φ

q , ora l’induttore è carico grazie al flusso . Nel condensatore misuriamo una

B

tensione a vuoto, nell’induttore misuriamo una corrente di corto circuito. Entrambi i

bipoli, per caricarsi, devono immagazzinare energia fornitagli da fonti esterne, mentre

per scaricarsi, devono essere cortocircuitati su una resistenza.

In Fig.15 abbiamo mostrato i circuiti di carica di un induttore.

Fig. 15 – Circuiti di carica di un induttore.

Cerchiamo ora la relazione caratteristica dell’induttore. Sempre dai campi,

ricordiamo la legge di Faraday-Neumann. Questa, ci dice che ai capi di una spira in

10

( ) ( )

φ

i t v t

cui circola una corrente , cui è legato il flusso , si misura una tensione data

B

da φ

d

( ) = B

v t (14)

dt

e quindi dalla (13) e dalla (14) si ha

( )

di t

( ) =

v t L ; (15)

dt L costante nel tempo.

in cui abbiamo supposto

Si osservi che la relazione caratteristica (15) è data avendo scelto la convenzione

dell’utilizzatore.

Anche l’induttore è un bipolo dinamico passivo e lineare.

Interruttore

In ultimo, vediamo un tipo di bipolo non lineare che, tuttavia, utilizzeremo nei nostri

circuiti per la sua utilità nello studio dei transitori. Il simbolo è rappresentato in Fig.

16a - 16b a seconda se l’ è in apertura od in chiusura.

interruttore

Fig.16a – Interruttore in apertura. Fig.16b – Interruttore in chiusura.

Tale bipolo si comporta in questo modo: quando si considera chiuso, si comporta

come un corto circuito; quando si considera aperto, si comporta come un bipolo

circuito aperto. 11

Lezione n.3

Elementi di topologia circuitale e

Leggi di Kirchhoff

- Nozioni di topologia circuitale: nodo, lato, grafo, sottografo, grafo orientato, albero,

coalbero e maglia

- Leggi di Kirchhoff

____________________________________________________________________

Nelle prime due lezioni abbiamo introdotto e ampiamente descritto il bipolo. In

questa lezione procediamo nel cammino verso la descrizione del circuito.

Un circuito elettrico è un sistema elettrico realizzato attraverso la connessione di

bipoli (ricordiamo che abbiamo definito bipoli anche il corto circuito e il circuito

aperto). I bipoli si collegano tra loro mediante i morsetti. Si può considerare qualsiasi

tipo di connessione tra i bipoli costituenti il circuito purché questa venga effettuata

mediante i morsetti. Vedremo poi che, avendo introdotto dei modelli idealizzati per i

bipoli, non è sempre possibile collegare tra loro i vari bipoli in quanto talvolta si può

dare luogo a delle “incompatibilità”, cioè a dei circuiti che non ammettono soluzione.

In questa lezione non ci preoccuperemo di cosa c'è nella “scatola” bipolo ma

focalizziamo l'attenzionesulle proprietà relative alla connessione dei bipoli nel

circuito.

Nozioni di topologia circuitale

Consideriamo la Fig.1.

Abbiamo 4 bipoli da connettere (Fig.1a). Nella realtà supponiamo di usare un

conduttore ideale per collegare i morsetti. Nel modello teorico rappresentiamo la

connessione con dei segmenti “ideali” (Fig.1b). A questo punto osserviamo che i

morsetti a-b, c-d-e, e f-g-h “convergono” in un unico ente. Chiamiamo tale “ente”

nodo e lo rappresentiamo come in Fig.1c.

Definizione di nodo: luogo di collegamento di almeno due morsetti.

Noi stiamo procedendo verso il modello matematico del sistema circuito. Per fare ciò

risulta comodo introdurre un altro ente: il lato.

Definizione di lato: luogo corrispondente all’esistenza di un bipolo.

1

Nel circuito di Fig.1 ci sono 3 nodi e 4 lati.

Per convenzione indicheremo con lettere arabe i lati e con lettere romane i nodi.

b c

2 e

d

a 4

3

1 g h

f (a) c

b 2

a e

d 4

3

1 g

f h

(b) c=d=e

II

I

a=b 2 3 4

1 III

f=g=h

(c)

Fig.1 – Un esempio di circuito.

Ora diamo qualche altra definizione che ci sarà molto utile per introdurre le leggi

matematiche che governano i circuiti e per la ricerca della soluzione di un circuito.

Definiamo il grafo, il sottografo, il grafo orientato, l’albero e il coalbero di un

circuito. 2

Definizione di:

Grafo: lo schema di connessione dei bipoli di un circuito.

Sottografo: lo schema di connessione di un sottoinsieme di bipoli di un circuito.

Grafo orientato: il grafo del circuito con un verso indicato in ogni lato.

Albero: un qualsiasi percorso che collega tutti i nodi senza chiudere maglie.

Coalbero: il complementare all’albero rispetto al circuito.

2 II

I 4

1 3 III

(a)

2 II

I 4

1 3 III

(b)

2 II

I 4

1 3 III

(c)

Fig.2 – Grafo del circuito di Fig.1 (a), grafo orientato (b), un esempio di albero ( __ )

e coalbero (------ )(c).

3

Introduciamo infine un altro ente fondamentale:

Definizione di maglia: percorso chiuso costituito da un insieme di lati in modo che in

ciascun nodo incidono due e solo due lati.

L’albero e il coalbero sono particolari sottografi di un circuito. Si osservi che in un

circuito in generale ci sono più alberi (e quindi coalberi). Nel circuito di Fig.1 ci sono

4 alberi. Quello indicato in Fig.2 (lato 2, lato 3) e inoltre (lato 2, lato 4), (lato 1, lato

3) e (lato 1, lato 4).

Anche la maglia è un sottografo del circuito. In ogni circuito esistono diverse maglie.

Per il circuito di Fig.1 ve ne sono 3. Le abbiamo indicate in Fig.3. La maglia m1 è

costituita dai lati 1-2-3, la maglia m2 dai lati 3-4 e infine la maglia m3 dai lati 1-2-4.

Per indicare che stiamo considerando una certa maglia in un circuito usiamo una linea

curva come fatto nella Fig.3 nella quale è indicato un verso mediante una freccia.

Questo, come vedremo presto, ci è utile quando vogliamo riferirci ad un verso di

percorrenza dei bipoli costituenti la maglia.

2 II

I m3 m2

1 m1 3 4

III

Fig.3 – Maglie nel circuito di Fig.1.

Leggi di Kirchhoff

Cercare la soluzione di un circuito, e quindi conoscere il funzionamento del circuito,

vuol dire determinare il valore delle tensioni e delle correnti di ogni lato. Ricordiamo

che la prima cosa da fare è assegnare dei versi alle correnti e alle tensioni. Tali versi

sono fissati ad arbitrio ed ogni incognita è indicata con il pedice relativo al lato come

abbiamo rappresentato in Fig.4. 4

v

2 i II

I 2

2 i

i i 4

1 3

v

v v

3 4

1 3

1 4

III

Fig.4 – Versi di riferimento (arbitrari) per correnti e tensioni.

Il modo in cui sono connessi i bipoli condiziona il funzionamento del circuito. Le

grandezze in ciascun bipolo dipendono da come il bipolo stesso è collegato al resto

del circuito (dipende anche, naturalmente, oltre che da se stesso, da cosa c'è negli altri

bipoli, anche in quelli molto lontani non connessi direttamente).

Il modello matematico che descrive come sono legate tra loro le grandezze del

circuito, grazie al tipo di connesione realizzata tra i bipoli, sarà costituito da un

sistema di equazioni. Le leggi, relative al modo in cui sono connessi i bipoli, che ci

consentono di scrivere queste equazioni si chiamano leggi di Kirchhoff. Queste leggi

sono due: una detta “alle correnti” e una detta “alle tensioni”.

Tali leggi fondamentali per la teoria dei circuiti derivano dalle proprietà fisiche viste

nella lezione n.1-2 che abbiamo utilizzato per definire il bipolo: il fatto che possiamo

definire una tensione tra i due morsetti del bipolo (campo elettrico irrotazionale) e il

fatto che la corrente entrante in un morsetto è uguale alla corrente uscente dell’altro

morsetto (legge di continuità della carica).

I legge di Kirchhoff.

La somma algebrica delle correnti entranti (o uscenti) da ogni nodo è nulla in ogni

istante.

II legge di kirchhoff.

La somma algebrica delle tensioni dei lati che costituiscono una maglia è nullain

ogni istante avendo scelto arbitrariamente un verso di percorrenza della maglia,

orario o antiorario.

In entrambi i casi si parla di “somma algebrica” perché avendo scelto un verso

“entrante” o “uscente” per il nodo (oppure “orario” o “antiorario” per la maglia) si

dovranno prendere con un certo segno tutte le correnti o tensioni concordi con il

verso scelto e con il segno contrario quelle non concordi. Non importa che segno si

sceglie per le grandezze concordi con il verso scelto in quanto la somma di tutti i

termini dovrà essere nulla. Per convenzione tra noi sceglieremo il segno positivo per

5

le correnti entranti nel nodo e negative quelle uscenti, mentre prenderemo positive le

tensioni concordi con il verso di percorrenza della maglia e negative le altre.

Esempio di applicazione della I legge di Kirchhoff. In Fig.5 abbiamo un nodo a cui

afferiscono 4 lati. Σ

i 3

i 2 i 5

i 6

Fig.5 – Un nodo con relative correnti.

Per la I legge di Kirchhoff scriveremo:

− − − = . (1)

i i i i 0

2 3 5 6

Un altro esempio. Al nodo II del circuito di Fig.4:

− − = . (2)

i i i 0

2 3 4

Vediamo ora un esempio di applicazione della II legge di Kirchhoff. Consideriamo

una maglia come indicato in Fig.6. v

2 i II

I 2

2 i

i i 4

1 3

v

v v

3 4

1 3

1 4

III

Fig.6 – Maglia nel circuito di Fig.2.

Per tale maglia si può scrivere: 6

+ − = . (3)

v v v 0

1 2 3

In questo corso noi abbiamo introdotto le leggi di Kirchhoff in modo assiomatico.

Tuttavia consentiamoci una breve digressione nell’ambito della teoria dei campi.

Per la prima legge di Kirchhoff al nodo di Fig.5 basta considerare una superficie

Σ

chiusa che contiene il nodo e applicare la legge di continuità delle correnti.

Per la seconda legge (3) basta introdurre una funzione potenziale definita ai nodi I, II

φ φ φ

e III nel circuito di Fig.6, diciamole , , . Essendo il circuito costituito da

I II IIII

bipoli è possibile definire per essi una tensione pari ad una differenza di potenziale

come nel seguito:

φ φ

= − ,

v

1 I III

φ φ

= − ,

v 2 II I

φ φ

= − ,

v 3 II III

In questo modo la (3) è banalmente verificata, infatti

( ) ( ) ( )

φ φ φ φ φ φ

+ − = − + − − − . (4)

v v v

1 2 3 I III II I II III

Le equazioni che scriveremo con la I e la II legge, sono equazioni di tipo algebrico.

Si è detto che si può scrivere una equazione per ogni nodo ed una equazione per ogni

maglia. Poniamoci ora il problema di stabilire di quante equazioni ho bisogno per

risolvere il circuito. Se l è il numero dei lati, ci sono 2l incognite nel circuito, tutte le

tensioni e tutte le correnti del circuito di l lati. Quindi per trovare una unica soluzione

del problema è necessario disporre di 2l equazioni linearmente indipendenti.

Osserviamo che nel sistema di equazioni finali sicuramente dovranno comparire delle

informazioni su cosa c'è dentro ad ogni bipolo. Siccome i bipoli sono l, si avranno l

equazioni che rappresentano le relazioni funzionali tra la tensione e la corrente in

ogni bipolo. Tali relazioni sono dette relazioni caratteristiche dei bipoli. Se con le

relazioni caratteristiche ricaviamo l equazioni indipendenti dobbiamo verificare che

con le leggi di kirchhoff ne ricaviamo altre l linearmente indipendenti. Viceversa il

modello considerato non risulterebbe efficace. Infatti se le leggi di Kirchhoff

permettessero di ricavare meno di l equazioni linearmente indipendenti, si

otterrebbero infinite soluzioni; se invece se ne ricavassero più di l, non si otterrebbe

alcuna soluzione.

I nodi sono n. Quindi si scrivono n equazioni con la prima legge.

Diciamo m il numero delle maglie che possiamo individuare nel circuito. Con la

seconda legge si scrivono m equazioni. 7

Dovrebbe risultare che n + m = l. Ma questo non è vero perché si può dimostrare che

risulta n + m > l. Allora che facciamo? Abbiamo più equazioni di quante ce ne

occorrono.

Domandiamoci se tutte queste equazioni sono indipendenti. In altre parole, è

possibile che qualche equazione sia dipendente dalle altre?

In realtà è così:

si scrivono n-1 equazioni indipendenti per la prima legge e l-(n-1) equazioni

indipendenti per la seconda legge.

Vediamo perché.

Ora facciamo vedere che si scrivono (n-1) equazioni indipendenti per la prima legge.

Facciamo vedere innanzitutto che le n equazione ai nodi di un circuito sono

linearmente dipendenti. Questo lo si può far vedere semplicemente scrivendo tutte le

n equazioni ai nodi e sommandole membro a membro. Otteniamo un’identità in

quanto ogni corrente compare in due equazioni con segno opposto perchè in un nodo,

relativo ad una equazione, entra e in un altro, relativo ad un’altra equazione, esce. Il

fatto che la somma delle n equazioni mi dia una identità dimostra che almeno una di

queste è linearmente dipendente dalle altre. Vediamo allora nel seguito quante ne

rimangono linearmente indipendenti.

Consideriamo il nodo I del circuito di Fig.4. Consideriamo l’alberto e coalbero di tale

circuito rappresentati in Fig.2c. Al nodo I abbiamo una sola corrente di lato

appartenente all’albero. Questa sarà funzione delle correnti di lato di coalbero.

Nell’esempio considerato si avrà infatti:

(albero) = (coalbero)

i i

2 1

Consideriamo ora il nodo II dello stesso circuito. Compaiono due correnti d’albero i 2

. L’altra corrente, , è del coalbero. Tuttavia si può esprimere in funzione di

e i i i

3 4 2

correnti del coalbero grazie all’equazione precedente, quindi la nuova corrente

è funzione di tutte correnti di coalbero

d'albero i

3

(albero) = (albero) – (coalbero) = (coalbero) – (coalbero)

i i i i i

3 2 4 1 4

Pertanto anche in questo caso nell’equazione compare una sola corrente d’albero.

Questo ragionamento vale in generale per ogni nodo del circuito: le equazioni ai nodi

che scriviamo contengono sempre una sola corrente d’albero. Questo, però, non è

vero per l’ultimo nodo dell’albero. Nel nostro caso, il nodo III. In questo caso, infatti,

otteniamo una equazione in cui compaiono solo correnti di coalbero. Concludiamo

che le prime n-1 equazioni ai nodi che incontriamo percorrendo l’albero sono

linearmente indipendenti perché ognuna di loro ha un’incognita in esclusiva (una

corrente d’albero). 8

Veniamo alla seconda legge di Kirchhoff. Quante equazioni indipendenti si possono

scrivere per le maglie?

Si procede come segue: ad ogni lato del coalbero si associa una maglia chiudendo il

lato stesso su lati dell’albero. In questo modo scriviamo tutte equazioni aventi ognuna

una tensione di un lato di coalbero in esclusiva. Queste equazioni sono quindi tutte

indipendenti. E quante ne sono? Poiché l-(n-1) sono i lati del coalbero (n-1 sono i lati

dell'albero), si scrivono l-(n-1) equazioni indipendenti con la II legge.

Le maglie ottenute utilizzando lati di coalbero per un albero fissato vengono chiamate

maglie fondamentali. Esistono altre maglie oltre quelle fondamentali. Come si fa a

verificare che tutte le altre maglie sono dipendenti dall’insieme delle maglie

fondamentali? Ogni maglia non fondamentale si può ottenere come unione di almeno

due maglie fondamentali. E quindi, ogni altra equazione relativa a maglie non

fondamentali si ottiene come combinazione lineare di equazioni relative a maglie

fondamentali. 9

Lezione n.4

Teorema di Tellegen

- Teorema di Tellegen

____________________________________________________________________

Le due leggi di Kirchhoff bastano a dimostrare il seguente importantissimo teorema.

Teorema di Tellegen

Consideriamo due reti aventi la stessa topologia, senza necessariamente avere stessi

bipoli.Scegliamo i versi delle correnti e delle tensioni in entrambi i circuiti in

maniera da avere stesse convenzioni su i lati corrispondenti dei due circuiti.

Consideriamo le tensioni (le correnti) di un circuito e le correnti (le tensioni)

dell’altro.

La somma algebrica dei prodotti tensione di un circuito per la corrente dell’altro

circuito relativi a lati corrispondenti nei quali è stata fatta una data convenzione è

nulla.

Parliamo di somma algebrica perché avendo fatto una certa convenzione (utilizzatore

o generatore) su ogni bipolo che si corrisponde nei due circuiti, nello scrivere la

somma consideriamo un dato segno per una convenzione e l’opposto per l’altra.

Questo teorema, come le leggi di Kirchhoff, dipende solo dalla topologia del circuito.

Si può far vedere che un circuito che verifica una legge di K. e il teorema di Tellegen

è tale da verificare anche l’altra legge di K.

Cioè: ⇒

Tellegen + I legge K. II legge K.

oppure ⇒

Tellegen + II legge K. I legge K.

Facciamo un esempio. I circuiti di Fig.1 hanno la stessa topologia ma i bipoli possono

essere diversi. Abbiamo indicato le grandezze del primo circuito senza apice e con

l’apice quelle del secondo circuito. 1

v v’

2 2

i i’

II

I II

I

2 2

2 2

i i’

i i i’ i’

4 4

1 3 1 3

v

v v v’ v’

v’

3 4

1 3 4

1

3

1 4 1 4

3

III III

Fig.1 - Due circuiti diversi aventi la stessa topologia.

Il teorema afferma che:

′ ′ ′ ′

− − + + =

i v i v i v i v 0 . (1)

1 1 2 2 3 3 4 4

In questo caso abbiamo preso le correnti del primo e le tensioni del secondo. Potremo

anche scrivere il viceversa:

′ ′ ′ ′

− − + + = 0

i v i v i v i v (2)

1 1 2 2 3 3 4 4

Nella (1) e nella (2) abbiamo considerato con il segno negativo i lati in cui abbiamo

fatto la convenzione del generatore e positivi quelli con la convenzione

dell’utilizzatore. I singoli prodotti rappresentano qualcosa che “somiglia” ad una

. Per indicare che hanno la “forma” di una

potenza. La chiamiamo potenza virtuale

potenza anche se non lo sono di fatto. Solo nel caso in cui i due circuiti hanno gli

stessi bipoli allora quelle sono proprio potenze fisiche.

Per come abbiamo scelto i versi, quali potenze virtuali abbiamo sommato? Quelle

assorbite. Allora in questo caso il teorema ci dice che la somma delle potenze virtuali

(non virtuali se i circuiti sono uguali) assorbite é nulla.

Questo rappresenta un bilancio di potenze, cioè:

potenza assorbita nei lati con convenzione dell’utilizzatore + potenza assorbita nei

lati con convenzione del generatore = 0.

Equivale a:

potenza assorbita nei lati con convenzione dell’utilizzatore = potenza erogata nei lati

con convenzione del generatore.

Nel nostro caso si ha dalla (1): 2

′ ′ ′ ′

+ +

= (3)

i v i v i v i v

1

42

43 1

42

43

3 3 4 4

1 1 2 2

potenza virtuale potenza virtuale

erogata da assorbita dal

alcuni bipoli resto del circuito

Al primo membro abbiamo una potenza erogata, perché su quei bipoli abbiamo fatto

la convenzione del generatore.

Dimostriamo tale teorema partendo dall’espressione che vogliamo dimostrare essere

nulla. Consideriamo la sommatoria:

l

∑ ′ (4)

i v

i i

=

i 1 l è il numero di lati complessivo del circuito. Per evitare di specificare i segni

dove

ad ogni termine supponiamo di aver fatto la stessa convenzione su tutti i bipoli.

i

Per ogni lato “ -esimo” possiamo esprimere, grazie alla II legge di Kirchhoff, la

v

tensione come differenza di potenziale:

i

′ φ φ

= −

v ' ' . (5)

i r s i r s i r s

-esimo sia tra il nodo ed il nodo , cioè = -

dove abbiamo supposto che il lato

come in Fig. 2. r i

lato -simo

s

i -esimo del circuito.

Fig.2 - Lato i r s

i due indici ed . Scriviamo:

Nella (4) sostituiamo all’indice di sommatoria

l n n

1

∑ ∑∑

=

' '

i v i v . (6)

i i rs rs

2

= = =

i r s

1 1 1

r s n

che rappresentano gli indici dei nodi che facciamo scorrere tra 1 e ,

Poichè sia

nella sommatoria così scritta avremo sommato due volte lo stesso termine. Ad

esempio: 3

′ ′ ′ ′

= − − =

i v i v i v i v

e ( )( )

34 34 43 43 34 34 34 34

Allora dobbiamo mettere un fattore 1/2 davanti alla sommatoria.

Sostituiamo l’espressione (5) nella sommatoria (6) ed otteniamo:

n n n n

1 1

∑∑ ∑∑ φ φ

′ = −

i v i ( ' ' ) (7)

rs rs rs r s

2 2

= = = =

r s r s

1 1 1 1

Lavoriamo sulla (7):

n n

1 ∑∑ φ φ

− =

i ( ' ' )

rs r s

2 = =

1 1

r s (8)

n n

n n

n n

n n

1 1 1 1

∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑

φ φ φ φ

= − = −

i i i i

' ' ' ' s rs

s r rs

r rs

rs

2 2 2 2

= = = = = = = =

1 1 1 1 1 1 1 1

s r

r s

r s

r s

Consideriamo il primo termine all’ultimo membro della (8). Scriviamolo per esteso:

φ φ φ

+ + + + + + + + + + +

i i i i i i i i i

' ( ... ) ' ( ... )... ' ( ... ) . (9)

1 11 12 1

n 2 21 22 2 n n n

1 n 2 nn

+ + +

i i i

Osserviamo che la somma ( ... ) è nulla per la I legge di K al nodo I in

11 12 1

n i i sono nulle in quanto

cui si considerano tutte le correnti entranti. Inoltre , ,

11 22

rappresentano correnti che vanno da un nodo a sé stesso, cioè di un lato non esistente.

Che fare poi delle correnti di lati che non collegano nodi ? Queste correnti possono

essere considerale nulle e ciò equivale a considerare che nel lato corrispondente c’è

bipolo circuito aperto. Analogo discorso per il secondo termine all’ultimo membro

un

della (8).

A questo punto il teorema è dimostrato perché essendo nulle tutte le sommatorie del

n

∑ i risulta nulla l’espressione (8) e quindi per la (7) risulta nulla la (4).

tipo rs

=

s 1 4


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Sara F

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DESCRIZIONE DISPENSA

Dispensa di Introduzione ai circuiti sulle lezioni tenute dalla Prof.ssa Corti. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Definizione delle grandezze circuitali e classificazione dei bipoli, Soluzione dei circuiti del II ordine, Dalle equazioni di stato alla equazione del II ordine, ecc.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Introduzione ai circuiti e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Corti Lorenza.

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