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A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 27

(operatori di impedenza e di ammettenza)

α

j

V e V

V α β ϕ

& −

= = = = = +

( )

j j

M M

Z e Ze R jX

β

j

I I

I e M

M 1

I

I R X

β α ψ ϕ

& − −

= = = = = + = −

( )

j j j

M

Y e Ye e G jB j

+ +

2 2 2 2

V V Z R X R X

M

L’argomento φ, per motivi che vedremo in seguito, prende il nome di La parte reale R

angolo di potenza.

dell’operatore di impedenza è l’operatore di resistenza, il coefficiente della parte immaginaria X è

l’operatore di reattanza. L’impedenza si misura in ohm.

La parte reale G dell’operatore di ammettenza è l’operatore di conduttanza; il coefficiente

dell’immaginario è l’operatore di suscettanza. L’ammettenza si misura in siemens. Da notare che G non è

l’inverso di R e B non è l’inverso di X. & = + 0

Nel caso del resistore ideale si ha Ż=R+j0, , con R=1/G pari al valore di resistenza. La

Y G j

tensione è in fase con l’intensità di corrente. & = + −

0 ( )

), , dove X =ωL è la reattanza induttiva

Nel caso dell’induttore ideale si ha Ż=0+j(X Y j B

L L

L

=1/ωL è la suscettanza induttiva). La tensione è in quadratura ed in anticipo rispetto

(mentre B

L

all’intensità di corrente. & = +

0 ( )

Nel caso del condensatore ideale si ha Ż=0+j(-X ), , dove X =1/ωC è la reattanza

Y j B

C C

C

=ωC è la suscettanza capacitiva). La tensione è in quadratura ed in ritardo rispetto

capacitiva (mentre B

C

all’intensità di corrente.

Queste considerazioni inducono ad interpretare l’operatore di impedenza come una “serie” formata da un

-X ), ovvero, con un grado di libertà, come un circuito

resistore ideale R e da un reattore ideale X (=X

L C

RLC serie; l’operatore di ammettenza può essere a sua volta interpretato come un “parallelo” formato da

-B ), ovvero, con un

un resistore ideale di conduttanza G e da un reattore ideale di suscettanza B (=B

C L

grado di libertà, come un circuito RLC parallelo.

Data la relazione tra i due operatori, si deduce che ad ogni circuito RLC serie corrisponde un circuito

18 .

RLC parallelo

I casi X=0 e B=0 corrispondono ai (serie e parallelo) equivalenti a resistori ideali.

circuiti risonanti

Se R=X=0 siamo in presenza di un bipolo corto-circuito ideale.

Se G=B=0 siamo in presenza di un bipolo aperto ideale.

La (***) può essere scritta per qualsiasi bipolo formalmente rappresentabile, non solo del tipo RLC. Può

essere scritta anche per un generatore reale o ideale: in tal caso il bipolo non può essere ricondotto ad un

19

circuito equivalente RLC.

Lezione del 26/10/2006 (3h)

Circuiti risonanti

Un circuito in regime sinusoidale, comunque complesso, nel quale siano presenti resistenze, induttanze e

capacità e un solo elemento attivo si dice in risonanza quando rispetto al generatore che lo alimenta si

comporta come un circuito puramente ohmico.

Consideriamo per semolicità il circuito RCL serie illustrato in Fig.1.F

Fig. 1 – Circuito RLC serie.

18 Ovviamente con diversi valori di R,L,C (>0) e con un grado di libertà sulla scelta di L e C.

19 Può tuttavia essere rappresentato da un circuito RLC se risulta R≥0, G≥0. 27

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 28

Consideriamo il funzionamento in regime sinusoidale di tale circuito. ˆ

E

ˆ

ˆ α ω ϕ

= −

= =

( ) ( )

j è dato da .

Il fasore rappresentativo della corrente i t I sen t

I I e I &

m

m Z eq

ˆ ω

=

= (t) sen(

e E t)

E E

Dove rappresenta il fasore relativo alla tensione del generatore e

m

m

⎛ ⎞

1 ⎟

⎜ ω

= + − è l’impedenza equivalente della serie del resistore, dell’induttore e del

Z R j L ⎠

⎝ ω

eq C

condensatore.

Il modulo del fasore corrente è: (1)

E

= m

I m 2

1

⎛ ⎞

⎜ ⎟

ω

+ −

2

R L

⎝ ⎠

ω C al variare della pulsazione ω. È immediato

Consideriamo, ora, l’andamento del modulo della corrente I

m +∞

tende a zero per ω→0 e per ω→ , mentre assume il suo valore

verificare che il valore del modulo I m

massimo in corrispondenza della pulsazione caratteristica del circuito:

1

ω = (2)

0 LC

La pulsazione (2) prende il nome di pulsazione di risonanza. E’ facile verificare che per tale valore della

&

pulsazione la parte immaginaria dell’impedenza è uguale a zero, perché la reattanza del condensatore

Z eq &

è l’opposta di quella dell’induttore, e quindi il modulo di assume il valore minimo.

Z eq E , cioè, alla corrente che si

Il valore della corrente alla pulsazione di risonanza è quindi uguale a m

R

avrebbe se nel circuito vi fosse solo il resistore. Inoltre, alla risonanza è immediato verificare che la

ˆ ˆ

V V

tensione del condensatore è l’opposto di quella dell’induttore , e quindi la tensione sul resistore è

C L

uguale a quella del generatore.

In definitiva, alla pulsazione di risonanza il circuito, rispetto alla tensione che lo alimenta, si comporta

come se fosse puramente ohmico (la serie L-C è equivalente ad un cortocircuito).

Si osservi che valgono analoghe considerazioni per il circuito RLC parallelo. In questo caso tuttavia al

posto della corrente va considerata la tensione sui tre carichi in parallelo (alla risonanza il parallelo LC si

comporta come un circuito aperto).

I circuiti risonanti, almeno da un punto di vista di principio, sono quelli che si utilizzano nelle

telecomunicazioni quando si voglia selezionare un segnale di un data frequenza presente in tutto lo

spettro che il sistema ricevente raccoglie. La selezione avviene facendo variare la frequenza di risonanza

del sistema ricevente che si “accorda” con la frequenza cercata grazie al fatto che a quella frequenza si ha

un picco di corrente.

Occorre tuttavia ricordare, soprattutto nel caso di impianti di potenza, la tensione sul condensatore e

sull’induttore –RLC serie- [l’intensità di corrente nel caso del circuito parallelo] potrebbe assumere valori

elevati e quindi pericolosi. Infatti si può mostrare che il valore efficace della tensione sul condensatore

[dell’intensità di corrente nell’induttore nel caso parallelo] è, alla pulsazione di risonanza, pari al valore

efficace della tensione del generatore moltiplicato per il fattore di merito

ω 1

L R

ω

= = = =

[ ]

o

Q Q RC

ω ω

p o

s R RC L

o o 20 .

che può assumere valori molto elevati per R tendente a zero [per R tendente a infinito]

21

Un circuito RLC può quindi assumere il ruolo di amplificatore passivo , non valendo più in generale le

22 .

ipotesi di non amplificazione valide il regime stazionario

20 Si potrebbe verificare tuttavia che valore più elevato della tensione non si ha in corrispondenza della

pulsazione di risonanza, ma in un intorno tanto più piccolo quanto maggiore è Q. 28

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 29

La relazione (1) può essere riportata in una curva universale di risonanza, valida per qualsiasi circuito

) tra il valore efficace della intensità di corrente alla

RLC, in cui si riporta in ordinata il rapporto I(ω)/ I(ω o

pulsazione generica e il valore efficace alla pulsazione di risonanza; in realtà si fa riferimento – in

ω ω

δ = 0 dalla pulsazione di risonaza per il fattore di

ascissa- al prodotto dello scostamento relativo ω 0 23

merito Qo. Sulla curva risultante può identificarsi agevolmente la banda passante del circuito .

Potenze in regime sinusoidale

Consideriamo un bipolo di morsetti r-s funzionante in regime sinusoidale. Consideriamo la potenza

assorbita dal bipolo:

istantanea

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ω α ω β

= ⋅ = + + =

sin sin

p t v t i t V t I t

rs rs rs Mrs rs Mrs rs

[ ]

V I ( ) ( )

β α ω α β

= − − + + =

cos cos 2

Mrs Mrs t

rs rs rs rs

2 [W]

[ ]

( ) ( )

β α ω α β

= − − + + =

cos cos 2

V I t

rs rs rs rs rs rs

[ ]

( ) ( )

ϕ ω α ϕ

= − + + = +

cos cos 2 2 ( )

V I t P p t

rs rs rs rs rs mrs frs

La potenza istantanea quindi in genere non è una grandezza sinusoidale, ma è caratterizzabile da un

potenza media, potenza fluttuante

valore medio Pm (detto attiva o reale) e da una sinusoidale a

pulsazione doppia. Δt

L’energia assorbita da un bipolo in un intervallo pari ad un multiplo intero del periodo risulta pari a

Δt, Δt

P in quanto il contributo della potenza fluttuante è nullo. Se l’intervallo non fosse esattamente pari

m

ad un multiplo intero di periodi, il contributo all’energia assorbita fornito dalla potenza fluttuante sarebbe

Δt

tanto più trascurabile quanto più è grande rispetto al periodo.

La potenza fluttuante è tuttavia significativa. Basti pensare che essa ha un valore massimo superiore o

uguale alla potenza media e che, ad esempio, considerando un bipolo reale, le sollecitazioni meccaniche

sono legate alla potena istantanea. Ad esempio all’albero di un motore potrebbe essere applicata una

coppia istantanea anche superiore alla coppia media; ciò porterebbe ad una sollecitazione di torsione

intollerabile ovvero ad una sollecitazione “a fatica” che limiterebbe le prestazioni meccaniche a lungo

termine. 2

Nel caso di bipoli resistivi, la potenza media è pari a RI , dove I è il valore “efficace” (come se

considerassimo un caso stazionario), mentre nel caso di bipoli induttore (ϕ=π/2) e condensatore (ϕ=-π/2)

ϕ

la potenza media è nulla . Per un circuito RLC l’angolo di potenza è compreso tra –π/2 e π/2 ed il

fattore di potenza cosϕ tra 0 ed 1. Se risulta cosϕ<0 siamo sicuramente in presenza di un generatore o di

un bipolo attivo (un bipolo si dirà se in ogni condizione di funzionamento la potenza media

passivo

assorbita risulterà non negativa).

La (che compare sulla dei dispositivi) è definita come prodotto del valore

potenza apparente targa

efficace della tensione per il valore efficace della corrente e si misura in VA (voltampere); essa è una

quantità positiva ed è da intendersi come in quanto il suo valore è

potenza di dimensionamento,

proporzionale al volume occupato dal dispositivo (assumendo che in prima approssimazione la distanza

tra i morsetti sia proporzionale alla tensione e la sezione dei conduttori sia proporzionale all’intensità

della corrente) e quindi al suo costo.

21 Continueremo a parlare di bipolo passivo se la potenza media assorbita risulta non negativa.

22 Si può mostrare che la proprietà di non amplicazione continua a valere anche in regime sinusoidale per

le reti resistive e per le reti RL o RC, oppure solo L o solo C.

23 Si definisce banda passante l’intervallo di frequenza – ad esempio intorno alla frequenza di risonanza –

in cui il valore efficace della grandezza in esame non diminuisce oltre un certo valoreFissando questo

valore a 1/√2=0,707.. si definisce in acustica ed in elettronica la banda a 3 dB (il decibel è pari al

logaritmo in base 10 dell’attenuazione e serve a “adattare” la valutazione della grandezza alla risposta

dell’orecchio umano). 29

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 30

Lezione del 26/10/2006 (3h)

Per ogni bipolo si può introdurre una grandezza complessa formale, detta potenza complessa, che abbia

ϕ.

come modulo la potenza apparente e come argomento l’angolo di potenza Essa si può ottenere

moltiplicando il fasore della tensione per il coniugato del fasore dell’intensità di corrente

~ α β

& ϕ ϕ

= = = + = +

(cos )

j j

P V I V e I e V I jsen P jQ

rs rs

rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs

prende il nome di potenza reattiva e si misura in VAr (voltampere reattivi).

La grandezza Q rs

Poichè la potenza complessa è una potenza virtuale (le correnti coniugate soddisfano per loro conto al 1°

24 . Ne consegue la conservazione delle

principio di Kirchhoff), per il teorema di Tellegen essa si conserva

25

potenze reattive in una rete.

Rifasamento

La potenza reattiva Q assorbita da un bipolo è, in genere, dello stesso ordine di grandezza della potenza

media P; nel caso di bipolo passivo, la potenza reattiva ci dà indicazione se il bipolo è prevalentemente di

tipo ohmico-induttivo (Q>0) o di tipo ohmico-capacitivo (Q<0).

Il dimensionamento di un bipolo è legato alla potenza apparente

= = +

2 2 26

A VI P Q

Per ottimizzare tale dimensionamento – a parità di potenza media in gioco e quindi di energia –

occorrebbe che fosse Q=0. Tutti i bipoli dovrebbero essere modificati in maniera da avere tensione e

correnti in fase. Ciò è in linea di principio possibile se tutti i generatori ideali sono in fase o in

27 “aggiungere” (in serie o in parallelo) una reattanza tale

opposizione di fase. In tal caso sarebbe possibile

che la reattanza (o suscettanza) equivalente sia nulla, ossia i bipoli siano risonanti (rifasamento locale

serie o parallelo).

In genere questa soluzione risulta economicamente molto gravosa. Dal punto di vista industriale, un

compromesso si ottiene considerando l’utenza (quasi sempre di tipo ohmico induttivo con angolo di

ϕ>26°)

potenza nel suo complesso ed inserendo un bipolo (condensatore in parallelo al carico) in maniera

che l’Ente fornitore dell’energia elettrica (es. ENEL) “veda” un fattore di potenza cosϕ >0,9 (ϕ <26°).

L G

Dal bilancio di potenza complessa o da considerazioni sul diagramma vettoriale delle grandezze

simboliche otteniamo che il valore della capacità necessaria a rifasare un carico di potenza P sotto

tensione V vale

ϕ ϕ

( )

P tg tg

= L

C ω 2

V

Reti di bipoli reattivi

Osserviamo che l’operatore di reattanza di un induttore ideale e quello di un

condensatore ideale sono funzioni monotone crescenti della pulsazione.

L’operatore di reattanza di un bipolo LC serie vale

1

ω ω

= −

( )

X L ω C

Come si può controllare, anche in questo caso X è una funzione strettamente crescente

della pulsazione nell’intervallo (0,+∞): per valori tendenti a zero (dalla destra), X tende

a -∞; X tende a +∞ per valori della pulsazione tendenti a ∞; X si annulla alla pulsazione

di risonanza (serie)

24 Nel collegamento generatore-utilizzatore, ad esempio, la potenza reattiva erogata dal generatore “si

adegua” alla potenza reattiva assorbita dall’utilizzatore; ciò sarà molto importante per il dimensionamento

del bipolo generatore, come vedremo appresso.

25 Ovviamente si conservano la potenza istantanea, la potenza media e la potenza fluttuante.

26 Infatti la “distanza” tra i morsetti e tra gli elementi fisici del bipolo dipende dalla tensione, mentre la

sezione dei conduttori dipende dall’intensità della corrente; quindi il “volume” ed il costo del bipolo

dipendono dalla potenza apparente.

27 In base al principio di conservazione della potenza reattiva 30

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 31

1

ω ω

= =

0 LC

La pulsazione di risonanza per la funzione X(ω).

costituisce uno zero

L’operatore di reattanza di un bipolo LC parallelo vale

1

ω

L ω

C

ω =

( )

X 1 ω

− L

ω C

Come si può controllare, anche in questo caso X è una funzione strettamente crescente

della pulsazione nell’intervallo (0,+∞): per valori tendenti a zero (dalla destra), X tende

a 0 per valori positivi; X tende a 0 valori negativi, per per valori della pulsazione

tendenti a ∞; X non è definita (discontinuità di seconda specie) alla pulsazione di

risonanza (parallela o antirisonanza)

1

ω ω

= =

0 LC

assumendo valori positivi infinitamente grandi a sinistra della pulsazione di

antirisonanza ed negativi (in valore assoluto) infinitamente grandi a destra.

La pulsazione di antirisonanza per la funzione X(ω).

polo

costituisce un 28 ) che se

Si può dimostrare (per induzione o attraverso il cosiddetto teorema di Foster

abbiamo una qualsiasi connessione di induttori e condensatori (bipoli reattivi) facenti

capo ai morsetti A-B, l’operatore di reattanza equivalente ai morsetti A-B è funzione

strettamente crescente della pulsazione negli intervalli (aperti) tra i poli. C’è quindi, a

partire da pulsazioni molto basse fino a pulsazioni infinitamente grandi, una alternanza

.

tra poli e zeri

Lezione del 2/11/06 (3h)

Per sistema in regime sinusoidale si intende un collegamento

Sistema trifase : polifase o fasi. Le tensioni tra i poli si dicono

di n-poli (vedi lezione n.3) attraverso n linee

concatenate. Il sistema di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica in Italia è un

29

, a vari livelli di tensione . Esistono, per diverse applicazioni, sistemi

sistema trifase

con un numero di fasi superiore, in genere un multiplo di tre (6,12,48,…).

: Un sistema di collegamento polifase che prevede un numero di

Sistema puro e spurio ; in tal caso la somma delle correnti di

generatori ed utilizzatori pari alle fasi si dice puro

linea è sempre nulla; un collegamento tra triangoli o in genere poligoni è sempre un

28 Si può prendere a riferimento il per le reti in regime stazionario che stabilisce che la

teorema di Cohn

resistenza equivalente ai morsetti AB di una rete resistiva non decresce al variare in aumento della

resistenza di un ramo qualsiasi; poiché l’operatore di reattanza di un bipolo elementare è funzione

strettamente crescente della pulsazione, basterà applicare la regola di derivazione delle funzioni composte

(in realtà occorrerà anche considerare che in una rete reattiva, alimentata da un solo generatore, le

correnti sono in fase o in opposizione).

29 I generatori (sistemi di produzione) lavorano a 10-15kV; le lunghe linee dorsali (sistema di

trasmissione) lavorano fino a 380 kV, la distribuzione avviene in media tensione (20kV), l’utilizzazione

domestica avviene a bassa tenzione (380V). I valori si riferiscono alle tensioni concatenate. 31

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 32

sistema puro; se gli n-poli sono a stella, è possibile collegare tra loro con un (n+1)-mo

) i centri stella. In questo caso il sistema si dice ; ad esempio,

conduttore ( neutro spurio

il sistema trifase di distribuzione in bassa tensione in Italia è un sistema spurio: oltre ai

tre conduttori di fase R-S-T è disponibile un quarto conduttore “neutro” N (oltre ad un

eventuale altro conduttore di protezione P). Il sistema di distribuzione in media tensione

è invece un sistema puro, con tre sole linee.

In un sistema spurio le correnti di linea non dipendono dai carichi (impedenze) delle

altre linee.

Sistemi non equilibrati

Nel caso di sistemi spuri, le correnti di linea sono valutati direttamente dalle tensioni

stellate dei generatori.

Nel caso dei sistemi puri e di carico a triangolo, le correnti di lato sono valutate

direttamente a partire dalle tensioni concatenate.

Nel caso dei sistemi puri e del carico a stella, senza considerare la possibile

trasformazione a triangolo, le correnti di linea possono essere valutate come

⎛ −

E V ⎟

⎜ k O O

= u g

I ⎟

⎜ &

k Z ⎠

⎝ k

valutando la tensione tra i centri stella del carico e dei generatori con l’espressione di

Millmann. E

∑ k

k Z

= k

V 1

O O ∑

u G k Z k : un sistema polifase si dice (diretto o

Sistemi simmetrici ed equilibrati simmetrico

inverso) se le tensioni di alimentazione sono simmetriche (diretto o inverso) , ossia se i

moduli sono uguali ed ogni tensione è in ritardo (in anticipo per la simmetria inversa) di

2π/n rispetto alla tensione che la precede nella sequenza. Se le tensioni sono

simmetriche, i fasori rappresentano un poligono regolare di n lati. Se anche le correnti

.

di linea sono simmetriche, il sistema si dice equilibrato

In un sistema simmetrico ed equilibrato l’intensità di corrente nell’eventuale conduttore

neutro è nulla. in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato

Potenza nei sistemi trifase: la potenza

. La potenza istantanea quindi coincide con la

fluttuante erogata dai generatori è nulla

potenza media: la sollecitazione meccanica legata alla coppia istantanea non ha quindi

un termine di “fatica”, determinando così prestazioni ottimali per quanto riguarda la

“vita” delle parte meccaniche rotanti.

Un sistema trifase simmetrico ed equilibrato consentirebbe, a parità di energia

trasmessa, un risparmio del 50% sui conduttori rispetto a tre sistemi monofasi. In un

sistema spurio, il carico è di norma “quasi” equilibrato, il conduttore neutro può essere

realizzato della stessa sezione dei conduttori di fase e quindi si ha un risparmio di 1/3

rispetto a tre sistemi monofase.

: in un sistema trifase puro (anche dissimmetrico e squilibrato), la

Teorema di Aron

potenza complessa (così come la potenza istantanea) può essere calcolata valutando le

o della

tensioni rispetto ad un riferimento qualsiasi O* ( teorema di Aron invarianza

). Infatti

della potenza rispetto al centro stella 32

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 33

( ) ( ) ( )

~ ~ ~ ~ ~ ~

& = + + = − + − + − =

' ' ' * * *

P E I E I E I E V I E V I E V I

1 1 2 2 3 3 1 * ' 1 2 * ' 2 3 * ' 3

O O O O O O

( )

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

= + + − + + = + +

* * * * * *

E I E I E I V I I I E I E I E I

1 1 2 2 3 3 * ' 1 2 3 1 1 2 2 3 3

O O

prendendo come riferimento una fase k , essa può essere quindi espressa con somma di

solo due termini considerando il prodotto del fasore delle tensioni concatenate di una

delle due linee rispetto alla terza linea k con il coniugato del fasore della corrente della

linea.

Per la misura della potenza media e della potenza reattiva in un sistema puro bastano

30

quindi due e due .

wattmetri varmetr i

Trasformatore ideale

Trattasi di un doppio bipolo ideale, caratterizzabile con parametri ibridi o, più

semplicemente dalle relazioni v /v =a , i /i =-1/ ( detto rapporto di trasformazione-

a a -

1 2 1 2

è numero reale diverso da zero). Esso può essere letto come trasformatore di tensione

. Le tensioni e le correnti s’intendono costanti o variabili nel tempo. Il

e/o di corrente

trasformatore ideale è istantanea.

trasparente alla potenza

Per numerose applicazioni, si considera il funzionamento in regime sinusoidale. In tal

caso, il trasformatore ideale si mostra . Il

trasparente alla potenza complessa

trasformatore ideale si comporta anche come : se è

Z

trasformatore d’impedenza u

un’impedenza collegata alla seconda porta, l’impedenza equivalente alla prima porta

vale =a .

Z Z

2

1eq u

Lezione del 7/11/06 (2h)

Circuiti accoppiati – Accoppiamento perfetto – rete equivalente

L’accoppiamento magnetico tra due circuiti di coefficienti di autoinduzione L , L e

1 2

mutua induzione M è valutato dal coefficiente k=M/√ L L . Tale coefficiente è in valore

1 2

assoluto non superiore all’unità, dovendo essere non negativa l’energia magnetica,

funzione quadratica delle correnti, con parametri L , L ,M .

1 2

Per k=±1, l’accoppiamento si dice : l’energia magnetica è nulla (

perfetto il campo

) anche se le correnti non sono nulle, ma nel

magnetico è nullo in tutto lo spazio

rapporto │ i /i │= √L /L .

1 2 2 1

Due circuiti accoppiati possono essere studiati con il modello del doppio bipolo, matrice

. Nel caso di accoppiamento perfetto, il doppio bipolo è equivalente ad un

Z

trasformatore ideale con un induttore L [L ] in parallelo sulla prima [seconda] porta.

1 2

Tale doppio bipolo è equivalente quindi in genere ad e non

un trasformatore di tensione

è trasparente alla potenza reattiva; per quanto riguarda le correnti, rispetto ad un

trasformatore ideale, è presente la corrente a vuoto alla prima [seconda] porta. Tale

30 Il è uno strumento che presenta due coppie ordinate di morsetti (amperometrici e

wattmetro ideale

voltmetrici) ed è preposto quindi alla misura del prodotto dei valori istantanei della tensione e della

intensità della corrente secondo i riferimenti prescelti ( quindi la potenza assorbita o erogata da un bipolo,

ma anche una potenza virtuale, se le due grandezze non si riferiscono allo stesso bipolo). Tra gli

strumenti reali analogici citiamo storicamente il wattmetro elettrodinamico (tuttora in uso) dove per

ragioni meccaniche l’indicazione dello strumento si può attestare sul valore medio del prodotto delle due

grandezze misurate e quindi –ad esempio- sulla potenza media; con qualche modifica è possibile misurare

la potenza reattiva (varmetri). In ogni caso, è possibile realizzare anche wattmetri registratori della

potenza istantanea (meccanici od elettronici). Con tecniche digitali è vviamente possibile registrare i

valori istantanei delle grandezze e quindi dare continue indicazioni sulla potenza media, sulla potenza

reattiva, sulla potenza complessa, sulla potenza apparente. Tali valutazioni “on-line” consentono la

gestione del sistema attraverso idonei processori (ad es. nel “rifasamento controllato”). 33

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 34

corrente sarà nulla se alla seconda [prima] porta è collegato un bipolo cortocircuito: in

tal caso il doppio bipolo si comporta come un , ma ambedue le

trasformatore di corrente

tensioni sono nulle.

L’intensità della corrente a vuoto è tanto più trascurabile quanto più grande è la

reattanza ωL rispetto al modulo di =a

Z Z

2

1 1eq u

Se l’accoppiamento non è perfetto possiamo considerare la scomposizione L =L ‘+L ”

1 1 1

e L = L ‘ + L “ tali che tra L “ e L “ vi sia la condizione di accoppiamento perfetto.

2 2 2 1 2

Una delle due induttanze L’ può essere scelta ad arbitrio (ad esempio nulla).

Un doppio bipolo circuito accoppiato è in genere del secondo ordine; nel caso di

accoppiamento perfetto è del primo ordine. Il trasformatore ideale è di ordine zero.

Dinamica delle reti – sistema fondamentale – Dati iniziali

Riprendendo quanto già detto in precedenza, il sistema fondamentale per una rete di l

lati consta di l equazioni topologiche (sempre algebriche) e di l equazioni caratteristiche

di cui n=n +n +2n equazioni differenziali relativi a n ed n induttori e condensatori

L C L c

M

indipendenti, nonché di n doppi bipoli ad accoppiamento magnetico non perfetto.

M

Nel caso di sistema lineare a coefficienti costanti, la soluzione è nota a meno di n

costanti arbitrarie, che andranno valutate in base al teorema di unicità di Cauchy, cioè in

base alla determinazione del valore della funzione e delle sue n-1 derivate.

Considerato lo zero come istante di riferimento, indicheremo con 0- e 0+

rispettivamente due istanti infinitamente vicini allo zero da sinistra e destra e con f(0-)

ed f(0+) il limite sinistro e destro della funzione f(t) nel punto zero.

Condizioni iniziali -Determinazione delle costanti arbitrarie

Per ricavare le condizioni iniziali della funzione (in genere non si tratta di una funzione

a memoria) si considera la scrittura (foto) del sistema all’istante 0+.

In tale istante sono incognite quasi tutti i valori tranne quelli delle n funzioni di stato,

note dallo 0-.Inoltre sono incogniti i valori allo 0+ delle n derivate che compaiono nelle

caratteristiche dinamiche. In definitiva abbiamo n equazioni ai valori (algebrici) delle

(l-n) grandezze e delle n derivate allo 0+. Il sistema è determinato e quindi siamo in

grado di conoscere allo 0+:

- i valori delle n grandezze di stato;

- i valori delle l-n grandezze non di stato

- i valori delle n derivate prime delle grandezze di stato.

Se occorre conoscere le derivate prime delle grandezze non di stato o le derivate

seconde delle grandezze di stato, basta considerare il sistema di 2l equazioni ottenuto

derivando una ad una le equazioni del sistema fondamentale.

In questo sistema derivato, letto allo 0+, conosciamo le derivate delle grandezze di stato

dal ragionamento precedente e quindi possiamo conoscere allo 0*:

- i valori delle derivate delle l-n grandezze non di stato

- i valori delle n derivate seconde delle grandezze di stato.

Tale ragionamento può essere ripetuto fino a conoscere il valore iniziale della derivata

di ordine (n-1). 34

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 35

La suddetta formulazione può essere espressa direttamente in forma “circuitale”. Lo

schema elettrico corrisponde infatti al sistema fondamentale e può essere letto in ogni

istante, in particolare allo 0+.

La “foto” del sistema allo 0+ vede quindi i valori delle funzioni note (in genere i

generatori) valutate allo 0+ ed i valori delle grandezze di stato note in quanto continue

dallo 0-.

Per il principio di sostituzione, possiamo quindi inserire al posto dei condensatori

generatori di tensione v(0-), , generatori di corrente.

al posto degli induttori

La rete in tal modo diventa “resistiva” e ad essa possono essere applicate tutte le

proprietà delle reti lineari. Possono essere quindi ricavate tutte le grandezze della rete

allo (0+). Restano altresì determinate i valori iniziali delle derivate prime delle

grandezze di stato.

Al sistema fondamentale “derivato” corrisponde lo schema “derivato” con gli stessi

bipoli (generatori e resistori), con tensioni e correnti “derivate”; i valori delle derivate

per i generatori sono noti dal primo sistema. Possono quindi essere ricavate le altre

grandezze derivate.

Si procede in tal modo qualunque sia l’ordine del sistema.

Lezione del 9/11/06 (2 h)

Esercitazione sulla determinazione delle costanti arbitrarie in un sistema del terzo

ordine

Determinazione delle frequenze naturali e dell’integrale

Il principio di sostituzione ci permette di “truccare” la foto del sistema non solo allo 0+

(per la determinazione delle costanti arbitrarie), ma in qualsiasi istante t, sostituendo ai

condensatori un generatore di tensione v (t) e agli induttori un generatore di corrente

c

i (t). La rete diventa in questo modo resistiva e possono essere facilmente valutate, con

L

gli ordinari metodi:

a) le intensità di corrente i (t) nei condensatori;

c

b) le tensioni v (t) sugli induttori.

L

Queste grandezze risulteranno quindi in relazione algebrica con le grandezze dei

“generatori”, in particolare con le v (t) e le i (t); le relazioni differenziali potranno

c L

essere quindi organizzate come segue:

⎧ dv α

= = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c

i t C a v t a i t a x t

⎪ 1 2 3

c c L g

dt

⎨ di

⎪ β

= = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

L

v t L b v t b i t b x t

1 2 3

⎩ L c L g

dt

dove sono indicate le costanti di proporzionalità dei singoli contributi dovuti ai

generatori noti [indicati genericamente con x (t)] e ai generatori fittizi corrispondenti ai

g

condensatori ed agli induttori. Da notare che dalle relazioni del tipo (α) si possono

esprimere le correnti negli induttori in funzione delle tensioni sui condensatori e della

loro derivata prima:

⎛ ⎞

1 dv

= + +

⎜ ⎟

( ) ( ) ( )

c a x t

i t a v t C

1 3

L c g

⎝ ⎠

dt

a 2

La sostituzione, nelle equazioni del tipo (β) di una relazione di questo tipo e della sua

derivata 35

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 36

⎛ 2

1 dx

dv d v

di ⎟

= + + g

c c

L a C a ⎟

⎜ 1 3

2 ⎠

dt a dt dt

dt

2 ;in un circuito con una sola L ed una sola

porta ad equazioni differenziali nelle sole v

c

C, ad una equazione del secondo ordine in v

c

⎛ ⎞

2 ⎛ ⎞

1 1

dx

dv d v dv

⎜ ⎟

+ + = + + + +

⎜ ⎟

g ( ) ( ) ( ) ( )

c

c c

L a C a b v t b a t C a x t b x t

v

⎜ ⎟ 1

3 1 2 3 3

1 2 c g g

c

⎝ ⎠

⎝ ⎠

a dt dt a dt

dt 2

2 ( )

( ) ( ) +

− +

2 dx

d v dv a b b a La

La b C a b b a

+ − = −

2 3 2 3 3 g

1 2 2 1 2 1 ( ) ( )

c c v t x t

2 c g

L LC

C LC dt

LC dt

dt L’integrale particolare, nella v , può essere valutato a partire dal secondo membro di

c

quest’ultima equazione, con gli ordinari metodi dell’Analisi matematica; ricordiamo

che, nel caso di regime stazionario o sinusoidale, tale integrale può essere valutato

per vie più brevi (es. con il metodo simbolico).

Per quanto riguarda le frequenze naturali, esse possono essere ricavate dalla

equazione algebrica associata all’omogenea delle (α)-(β), ossia

⎧ dv α

− − =

( ) ( ) 0 ( ' )

c

C a v t a i t

⎪ 1 2

c L

dt

⎨ di

⎪ β

− − =

( ) ( ) 0 ( ' )

L

L b v t b i t

1 2

⎩ c L

dt

λ − −

C a a ( )

λ

1 2 = − + + − =

2 ( ) 0

CL La Cb a b b a

λ 1 2 1 2 1 2

− −

b L b

1 2 ( )

2

+ + −

⎛ ⎞

( ) ( )

La Cb La Cb a b b a

λ −

= ± ⎜ ⎟

1 2 1 2 1 2 1 2

1

, 2 2 2

⎝ ⎠

LC LC LC

N.B. Occorre ricordare che, nei circuiti dissipativi, tali radici devono risultare negative

o a parte reale negativa. 36

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 37

Lezione del 14/11/06 (2h)

L’esame di una grandezza di y(t) (tensione o corrente in un ramo) ad una

risposta

grandezza di o forzamento x(t) (generatore di tensione o di corrente) può

ingresso

essere condotta su una rete che abbia le seguenti proprietà:

a) sia , ossia non si verificano variazioni nella topologia della

tempo-invariante

rete o nel valore dei parametri caratteristici [ se la rete è tempo-variante,

occorrerà restringere l’esame della dinamica in ogni intervallo in cui la rete sia

tempo- invariante ];

b) sia , ossia costituita da bipoli la cui caratteristica risponda a requisiti di

lineare

linearità; se una rete è costituita da bipoli fondamentali resistori, induttori

(inizialmente scarichi) e condensatori (inizialmente scarichi), la rete è lineare;

c) sia , ossia vi sia solo un generatore (ingresso); se vi sono più generatori

passiva

(più ingressi), la risposta potrà valutarsi dalla somma dei contributi legati ai

singoli ingressi, se la rete è lineare.

Nei casi suddetti la risposta prende il nome di : essa dipenderà dalla

evoluzione forzata

topologia della rete e dal forzamento. Se vi sono più forzamenti, l’evoluzione forzata

sarà pari alla somma dei contributi dei singoli forzamenti.

Nel caso di reti non a riposo nell’istante iniziale di osservazione della dinamica e

sottoposte a forzamento nullo, la risposta prende il nome di .

evoluzione libera

Se la rete non è a riposo, essa non è lineare; infatti, nella caratteristica tensione-corrente

dei bipoli a memoria C ed L (convenzione dell’utilizzatore)

t

1

dv ( ) ( )

= ⇒ = + (*)

c

i C v t i dt v t

1 o

c c c c

dt t 0

t

1

di ( ) ( )

= ⇒ = + (**)

L

v L i t v dt i t

1 o

L L L L

dt t 0

occorre precisare il “valore iniziale” della variabile di stato; le relazioni suddette sono

lineari solo se tale valore è nullo.

Se la rete non è a riposo e il forzamento è nullo, potremo tuttavia considerare, ai fini del

calcolo della evoluzione libera per t>0, la rete a riposo allo 0-, inserendo in parallelo ai

condensatori [scarichi] un generatore impulsivo di corrente di valore Q =C V pari alla

o o

carica sulle armature del condensatore per t=0 ed in serie agli induttori [scarichi] un

generatore impulsivo di tensione di valore pari al flusso iniziale ossia LI . Tale

o

generatore fittizio, nullo per t<0 e per t>0, ricostruirà allo 0+ le condizioni di carica del

bipolo. E’ possibile dimostrare, utilizzando le equazioni del sistema fondamentale e

valutazioni basate sul bilanciamento degli impulsi, che il generatore impulsivo di

corrente [di tensione] caricherà il solo condensatore indipendente in parallelo [induttore

indipendente in serie] e nessun altro bipolo a memoria nella rete.

In generale, quindi, se la rete non è a riposo potremo considerare, ai soli fini della

risposta per t>0, ed aggiungere ai forzamenti ordinari tanti

la rete a riposo per t<0

fittizi quanti sono gli elementi a memoria carichi.

generatori impulsivi

I contributi dei generatori impulsivi ricostruiranno l’evoluzione libera, mentre i

.

contributi dei forzamenti formeranno l’evoluzione forzata

Avremo quindi in generale che la risposta è pari alla somma dell’evoluzione libera e

.

dell’evoluzione forzata

Nella caratterizzazione dinamica delle reti assumono un ruolo fondamentale sia le

soluzioni della equazione algebrica associata all’omogenea (esprimibili come frequenze

λ τ λ

o attraverso le =-1/ , reali o complesse coniugate) sia

costanti di tempo

naturali k k k 37

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 38

λ

. Poiché le soluzioni sono o a

l’integrale particolare negative parte reale negativa

k

nei circuiti reali (dissipativi), l’integrale particolare può essere costituito, se

individuabile, dalla soluzione (a tempo infinito) ossia dalla

secolare soluzione a regime

(es. stazionario, sinusoidale, periodico, etc). Nel caso di forzamento polinomiale,

esponenziale o cisoidale (ossia costituito da una combinazione di funzioni esponenziali,

trigonometriche ed iperboliche), la soluzione secolare sarà del tipo polinomiale,

esponenziale o cisoidale; il applicato al sistema differenziale ci

principio di identità

permette di valutare completamente l’integrale particolare e quindi l’integrale completo.

Laddove il forzamento non fosse del tipo suddetto o addirittura non esprimibile

analiticamente (si pensi ad esempio ad una tensione indotta da un fulmine o, più

semplicemente, al segnale derivante da un microfono), l’evoluzione delle grandezze

nella rete potrà essere ricondotta a delle risposte “canoniche” ossia a forzamenti tipo

(“standard”).

Forzamenti-tipo fondamentali sono la sollecitazione “a gradino” e la sollecitazione “ad

impulso”. La prima sembra più “accessibile” anche dal punto di vista sperimentale, la

seconda si presenta più adatta ad una formulazione analitica compatta. Rientrano nelle

sollecitazioni-tipo gli impulsi di ogni ordine, ricavabili per derivazione successiva della

funzione a gradino, nel senso delle distribuzioni.

La funzione a gradino

Per una utile presentazione della funzione a gradino (che ci permetterà di interpretare

meglio la funzione impulsiva), consideriamo una funzione continua e generalmente

derivabile del tipo = < − Δ

⎧ 0 ( )

per t t U

0

⎪ Δ

1 1

− = − − Δ < < + Δ

( ) ( ) ( ) ( )

U t t t t per t t t

Δ 0 0 0 0

Δ

2

⎪ = < + Δ

1 ( )

per t t

⎩ 0 Δ Δ

t t

0

Definiamo funzione a gradino di valore unitario applicato nel punto t la funzione

0

= < − Δ

⎧ 0 ( )

per t t 0

− = −

lim ( )

( ) ⎨ U t t

U t t Δ → Δ

0 0 0

⎪ = < + Δ

1 ( )

⎩ per t t 0

La funzione a gradino risulta discontinua nel punto di applicazione .

31

Funzione impulsiva

Consideriamo la funzione P

= < − Δ

⎧ Δ

0 ( )

per t t 1/(2Δ)

0

⎪ 1

− = − Δ < < + Δ

( ) ( ) ( )

P t t per t t t

Δ 0 0 0

Δ

2

⎪ = < + Δ

0 ( )

per t t

⎩ 0 Δ Δ

t t

.

Tale funzione può essere considerata la derivata dalla funzione U 0

Δ

Una proprietà notevole della funzione suddetta è la seguente

+ Δ

∞ t 0

∫ ∫

− = − =

( ) ( ) 1

P t t dt P t t dt

Δ

Δ 0 0

− Δ

− ∞ t 0 Δ

Al tendere a zero di , il valore di P tende ad infinito.

Δ

31 Si è soliti assegnare alla funzione a gradino nel punto di discontinuità il valore 0,5, desunto dalla U .

Δ 38

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 39

La nell’istante t ) viene

funzione impulsiva unitaria del 1° ordine (impulso di Dirac 0

definita nel modo seguente:

= ≠

⎧ 0 per t t 0

⎪ ∈

δ 1 ( , )

− b

( ) se t a b

t t ∫ δ 0

− =

( )

0 ⎨

t t dt

⎪ 0 ∉

0 ( , )

⎩ se t a b

⎩ 0

a

Nell’ambito della teoria delle distribuzioni, la funzione impulsiva può essere

considerata la derivata della funzione a gradino.

può essere considerata come la differenza tra due funzioni a gradino,

La funzione P

Δ Δ Δ Δ Δ

uno di valore 1/2 applicato in t - e l’altro di valore -1/2 applicato in t + .

0 0

Possiamo quindi pensare di reiterare il procedimento precedente ed arrivare alla

definizione di impulso del 2° ordine ( , costituito da due impulsi del primo

doppietto

ordine “contigui” e di segno opposto, di valore illimitato) e degli impulsi di ordine

superiore.

Lezione del 16/11/06 (3h) Integrale di convoluzione – Risposta Impulsiva

Campionamento di una funzione f(t)

Consideriamo una funzione f(t) generalmente continua e derivabile. Volendo

descrivere tale funzione in un intervallo (0,t ) si può immaginare di suddividere

1

Δτ

l’intervallo in N sottointervalli di ampiezza = t /N e di considerare la funzione

1

f*(t) (di tipo “a scaletta) di valore costante nei sottointervalli e pari al valore

della funzione f(t) nell’estremo sinistro.

f(t) f*(t)

τ τ

τ k k+

1 t

Δτ 1 1 τ

(t- ), ma di

La funzione f*(t) si “compone” con funzioni “finestra” del tipo P

Δ k

ampiezza pari al valore che la funzione f(t) ha nell’estremo sinistro del

sottointervallo:

N

∑ τ τ τ

= ⋅ − ⋅ Δ

* ( ) ( ) ( )

f t f P t

Δ

k k

=

1

k

→∞ Δτ→ →

Per N , 0 e f*(t) f(t). Pertanto possiamo concludere che la funzione f(t)

τ

può essere descritta, nell’intervallo suddetto, attraverso i “campioni” f( ) “filtrati”

da impulsi di Dirac :

32

32 In realtà in questa presentazione non viene considerato il campione nello zero [nell’estremo destro t ].

1

Per tener conto di tale campione, occorre considerare inizialmente non il valore nell’estremo sinistro ma

Δτ/2

al centro del sottointervallo e considerando di estendere “temporaneamente” l’intervallo (0, t ) di a

1

. L’espressione del campionamento diventa

sinistra dello zero e a destra di t

1

+

t

1 ( )

∫ τ δ τ

= ⋅ −

( ) ( )

f t f t dt

0 39

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 40

t

1 ( )

∫ τ δ τ

= ⋅ −

( ) ( )

f t f t dt

0

Risposta forzata (integrale di convoluzione)

Considerata una rete lineare passiva, tempo-invariante, a riposo all'istante t ,

o

sollecitata dal forzamento f(t) (in tensione o corrente), la risposta (tensione o

corrente di lato) y (t) ( ) può quindi essere espressa, per ogni

evoluzione forzata

f

istante t>t , dalla sovrapposizione “ ” dei contributi dovuti ai

contemporanea

o

termini componenti la f(t) e quindi dall'integrale di convoluzione

+

t ( )

∫ τ τ τ

= ⋅ −

( ) ( )

y t f h t d

f −

t 0

τ ) è la risposta ad un forzamento impulsivo unitario centrato nell'istante

dove h(t-

τ τ

generico (t < <t) .

33

o

Se la rete , essa può essere ricondotta ad una rete a riposo

non è a riposo

considerando degli opportuni “forzamenti impulsivi” per la ricostruzione delle

variabili di stato. La risposta a questi forzamenti fittizi (a forzamento f(t)=0)

rappresenta l’evoluzione libera per cui, per una rete non a riposo, la risposta y(t) è

la somma dell’evoluzione libera e dell’evoluzione forzata:

= +

( ) ( ) ( ) .

y t y t y t

f libera

L’uso della funzione impulsiva permette quindi:

a) di introdurre propedeuticamente generatori fittizi (impulsivi) per ricostruire

“in un attimo” lo di una rete; se abbiamo interesse a conoscere

stato di non-riposo

l’evoluzione delle grandezze per t>0, basterà inserire in parallelo ad un

condensatore C (nella realtà carico ad una tensione Vo all’istante t=0, ma che

supponiamo scarico per t<0) un generatore di corrente

δ

=

( ) ( ) 34

i t CV t

δ o

ovvero basterà inserire in serie ad un induttore L (nella realtà carico ad una intensità di

corrente Io all’istante t=0, ma che supponiamo scarico per t<0) un generatore di

tensione δ

=

( ) ( ) 35

e t LI t

δ o

b) di determinare la h(t) ad un generico forzamento f(t) applicato ad

risposta impulsiva

una rete a riposo, tramite l’integrale di convoluzione.

33 poiché vale il principio di causalità (ossia la risposta non può dipendere dal forzamento futuro), h(t-τ) è

+∞ ( )

∫ τ τ τ

= ⋅ −

( ) ( )

y t f h t d

e l'integrale di convoluzione può essere riscritto come

nulla per t>t

1 f − ∞

34 In tal modo al condensatore viene trasferita, nell’intervallo (0-,0+) una carica Qo=CVo; tale operazione

(si ripete,fittizia) è indipendente dalla presenza del resto della rete, come si potrà anche verificare dagli

esercizi rsposti nell’ultimo paragrafo di questa nota. Si sottolinea comunque che in questa “simulazione”

perdiamo tutta l’informazione sull’evoluzione reale delle grandezze fino allo 0- (consideriamo la rete

perfettamente a riposo) ed anche nell’intervallo infinitesimo (0-,0+), in cui le grandezze di stato

raggiungono i valori effettivi.

35 In tal modo nelll’induttore viene creato , nell’intervallo (0-,0+) un flusso concatenato Φ=LIo; tale

operazione (si ripete,fittizia) è indipendente dalla presenza del resto della rete, come si potrà anche

verificare dagli esercizi rsposti nell’ultimo paragrafo di questa nota. 40

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 41

Si vuole nel seguito riportare alcune considerazioni generali sulla h(t), che

possono essere di aiuto nelle applicazioni per la determinazione della stessa.

Seguiranno alcuni esercizi per la valutazione della risposta impulsiva basati

essenzialmente sulla osservazione che, nel sistema fondamentale, devono essere

bilanciati gli impulsi di tensione e corrente ( ossia non è possibile che in

un’equazione compaia un solo termine impulsivo); basteranno semplici

considerazioni per distinguere le grandezze impulsive da quelle non impulsive e

per valutare eventuali discontinuità delle grandezze di stato.

1. RETI DI ORDINE ZERO

Si consideri una rete costituita da soli resistori . Essa è di (nel

36 ordine zero

sistema fondamentale non vi sono relazioni differenziali). δ

E' immediato riconoscere che per un forzamento impulsivo unitario f(t)= (t), ogni

risposta h(t) è impulsiva (fig.1); è da sottolineare che h(t)=0 per t>0, essendo la

rete senza memoria. y(t)=h(t)=k (t)

f(t)= (t)

δ δ

h

fig.1

Quindi la risposta forzata generica è la "copia modificata" attraverso il fattore di

riporto k (dimensionale o adimensionale a seconda dei casi)

h +

t ( )

∫ τ δ τ τ

= ⋅ − =

y (t) ( ) k f(t )

f t d

f h

t 0 y(t)= =k f(t)

f(t) h

fig.2

2

. RETI DEL I ORDINE

Si considerano i due casi rilevanti:

a) un solo bipolo condensatore di capacità C (fig.3a);

b) un solo bipolo induttore di induttanza L (fig.3b) ;

37

36 ed altri bipoli, n-poli o n-bipoli di ordine zero quali il trasformatore ideale.

37 Il caso del mutuo induttore ad accoppiamento perfetto si riconduce immediatamente al caso del singolo

induttore: 41

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 42

C L

A B

A B y(t)=h(t)=k (t)

f(t)= (t)

δ δ

y(t)=h(t)=k (t)

f(t)= (t)

δ δ h

h

a) b)

fig.3

Nel caso a) si può affermare, salvo le eccezioni di cui appresso, che l'impulso in

ingresso carica il condensatore. Infatti la rete a monte dei morsetti AB è resistiva e ad

essa si può sostituire il bipolo equivalente di Norton (fig.4a); l'intensità di corrente del

generatore equivalente di Norton e la tensione che si ritrova immediatamente ai capi del

condensatore valgono rispettivamente

δ

i (t)= k (t)

ABcc ABN

k

( )

+ = ABN

v 0

AB C

è il dovuto fattore di riporto sul lato AB; quindi, considerando l'intervallo di

dove k

ABN ∞

tempo (0-,+ ) t t

k k

− −

( ) ϑ

= ⋅ = ⋅

ABN ABN

CR

v t e e

eq c

AB C C

( ) t t

v k k

− −

t

( ) ( ) ( ) ( ) ϑ

δ δ δ

= − = − ⋅ = − ⋅

AB ABN ABN

CR

i k k k

t t t e t e

eq c

ϑ

AB ABN ABN ABN

R CR

eq eq c

v L

AB A B

A B

C i

i AB

AB R

R eqAB

eqAB y(t)=h(t)=k (t)

f(t)= (t)

δ δ

y(t)=h(t)=k (t)

f(t)= (t)

δ δ h

h e

i oAB

ccAB

a) b)

fig.4

L A L 1

2 A B

M =L L 2

B 1 a y(t)=h(t)=k (t)

f(t)= (t)

δ δ

y(t)=h(t)=k (t)

f(t)= (t)

δ δ h

h

a) b) 42

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 43

Avendo completato l'esame delle grandezze nel ramo AB, si consideri la generica

risposta h(t); essa conterrà in genere un termine impulsivo ed un termine smorzato

(fig.5a): t t t

k k

− − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ϑ ϑ ϑ

δ δ δ

= + + = + + ⋅ = + ⋅

c ABN

h k 0 k k v 0 k

t t h e t e t e

c c c

h h c AB h C

; esso sarà nullo se la risposta

Il termine impulsivo contiene il dovuto fattore di riporto k

h

è la tensione sul condensatore ovvero qualsiasi grandezza della rete che si può

immaginare "in parallelo" al condensatore (come la resistenza equivalente del bipolo

equivalente di Norton); negli altri casi tale fattore si determina in una rete di ordine

. Il fattore k si ottiene

zero, ottenuta sostituendo al condensatore un corto circuito 38 c

invece considerando il “riporto” della tensione sul condensatore alla grandezza di uscita

prescelta (anche in questo caso il calcolo del riporto viene effettuato su una rete di

.

ordine zero, in cui tra l’altro il forzamento, valutato dallo 0+, è nullo per definizione) 39

dipende invece dalla posizione del condensatore rispetto al forzamento.

Il fattore k

ABN L

C

δ(t) δ(t) t

( ) ( ) ( )

t

− ϑ

δ

= + + ⋅

( ) ( ) ( ) h k k i 0

ϑ

δ

= + + ⋅ t t e

h k k v 0 L

t t e c h L AB

h c AB

a b

fig.5

Le tensioni e correnti della porzione di rete N" nella fig.6a certamente non

, mentre le grandezze della porzione N' sono

contengono termini impulsivi

genericamente interessati da termini impulsivi. Una più profonda analisi topologica è

necessaria per meglio determinare il comportamento della porzione N'.

A L

N' N" A B

N' N"

f(t)= (t)

δ f(t)= (t)

δ

C

B

risposte impulsive risposte non impulsive risposte impulsive risposte non impulsive

b)

a)

fig.6

E' tuttavia da sottolineare che vi sono casi banali e "patologici":

(t) è nulla (perchè la tensione a vuoto ai morsetti

- se la corrente di cortocircuito i

ABcc

AB è nulla: ad es. parallelo con un cortocircuito o condensatore inserito sulla diagonale

di un ponte di Weathstone bilanciato), la rete è di ordine zero e senza memoria ( il

condensatore non si carica);

- se lo stesso condensatore è alimentato con un generatore di tensione impulsivo, il

condensatore si carica ad una tensione impulsiva, la corrente nel condensatore è

un'impulso del secondo ordine, le grandezze nella rete sono impulsive come in una rete

di ordine zero e la rete non ha memoria.

38 La sostituzione con un cortocircuito è legittimata dal fatto che la tensione sul condensatore è comunque

limitata e quindi “trascurabile” rispetto alle altre tensioni impulsive presenti nella rete.

39 In altri termini, la tensione sul condensatore è la sola tensione nota, da “ripartire”. 43

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 44

Trattasi, come si vede, di casi marginali.

Anche nel caso b) si può affermare che l'impulso in ingresso carica l'induttore. Infatti la

rete a monte dei morsetti AB è resistiva e ad essa si può sostituire il bipolo equivalente

di Thévénin (fig.4b); la tensione del generatore equivalente di Thévénin e la intensità

della corrente che si ritrova immediatamente nell'induttore valgono rispettivamente

δ(t)

(t)= k

v

oAB ABT

(0+)= k /L

i AB ABT

è il dovuto fattore di riporto sul lato AB; quindi, considerando l'intervallo di

dove k

ABT

tempo (0-,+∞) t

tR

k k −

eq

( ) ϑ

= ⋅ = ⋅

ABT ABT

i L

t e e L

AB L L k R t

tR k −

eq

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ABT eq ϑ

δ δ δ

= − = − ⋅ = − ⋅

ABT

v k R i k k

L

t t t t e t e L

ϑ

AB ABT eq AB ABT ABT

L L

Avendo completato l'esame delle grandezze nel ramo AB, si consideri la generica

risposta h(t); essa conterrà in genere un termine impulsivo ed un termine smorzato :

t t t

k k

− − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ϑ ϑ ϑ

δ δ δ

= + + = + + ⋅ = + ⋅

L ABT

h k 0 k k i 0 k

t t h e t e t e

L L L

h h L AB h L

; esso sarà nullo se la risposta

il termine impulsivo contiene il dovuto fattore di riporto k

h

è la tensione sul condensatore ovvero qualsiasi grandezza della rete che si può

immaginare "in serie" dall'induttore (come la resistenza equivalente del bipolo

equivalente di Thévénin); negli altri casi tale fattore si determina in una rete i ordine

si ottiene invece

zero, ottenuta sostituendo all’induttore un circuito aperto. Il fattore k L

considerando il “riporto” corrente dell’induttore alla grandezza di uscita prescelta

(anche in questo caso il calcolo del riporto viene effettuato su una rete di ordine zero, in

cui tra l’altro il forzamento, valutato dallo 0+, è nullo per definizione). Il fattore k

ABT

dipende invece dalla posizione dell’induttore rispetto al forzamento.

Le tensioni e correnti della porzione di rete N" nella fig.6b certamente non

, mentre le grandezze della porzione N' sono

contengono termini impulsivi

genericamente interessati da termini impulsivi. Una più profonda analisi topologica

sarebbe necessaria per migliorare l'analisi del comportamento della porzione N'.

E' tuttavia da sottolineare che anche qui vi sono casi banali e "patologici":

- se la tensione a vuoto è nulla (perché la corrente di cortocircuito nel ramo AB è nulla:

ad es. serie con un circuito aperto o induttore inserito sulla diagonale di un ponte

bilanciato), la rete è di ordine zero e senza memoria ( l'induttore non si carica);

- se lo stesso induttore è alimentato con un generatore di corrente impulsivo, esso si

carica ad una corrente impulsiva, la tensione sull'induttore è un impulso del secondo

ordine, le grandezze nella rete sono impulsive come in una rete di ordine zero e la rete

non ha memoria.

3. RETI DI ORDINE SUPERIORE

Si possono considerare i seguenti casi fondamentali:

e C ;

a) reti con due condensatori C

1 2

ed L ;

b) reti con due induttori L

1 2

c) reti resistive con un accoppiamento magnetico non perfetto M;

d) reti con un induttore ed un condensatore. 44

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 45

Nei primi due casi non si considereranno i casi di bipoli in serie o parallelo, in quanto si

rientrerebbe in problemi del primo ordine. δ(t)

Nel caso a) si consideri il caso fondamentale di forzamento impulsivo di corrente Q

o

(fig.3.1). In tal caso C si carica istantaneamente alla tensione di valore Qo/C ,

su C

1 1 1

non si carica in quanto le correnti nella rete N” non possono essere impulsive.

mentre C

2 resta quindi continua. La suddetta osservazione vale anche per il caso

La tensione su C

2

del tipo d) descritto dalla fig. 3.2; in questo vaso infatti, non potendo essere impulsive

neanche le tensioni in N”, non si può dar luogo ad una brusca variazione della corrente

continua.

nell’induttore, che resta quindi Φ δ(t)

Nel caso b) si consideri il caso fondamentale di forzamento impulsivo in tensione o

Φ

(fig.3.3). In tal caso L si carica istantaneamente alla corrente di valore /L ,

su L

1 1 o 1

non può caricarsi istantaneamente in quanto tutte le tensioni in N” sono

mentre L

2 resta quindi continua. La suddetta osservazione vale anche

limitate. La corrente in L

2

per il caso del tipo d) descritto dalla fig. 3.4; in questo vaso infatti, non potendo essere

impulsive neanche correnti in N”, non si può dar luogo ad una brusca variazione della

continua.

tensione sul condensatore, che resta quindi

In generale, nei casi di tipo a) [di tipo b)] occorrerà considerare se le correnti [le

tensioni] nei condensatori [sugli induttori] prodotti dai generatori impulsivi di tensione

e di corrente siano o meno impulsive. Per avere questa informazione, ricordando che le

grandezze di stato – escluso i casi patologici – possono avere nello zero al più un salto

limitato e quindi trascurabile rispetto all’impulso, basterà considerare al posto dei

condensatore [degli induttori] un generatore di tensione [di corrente] di valore

trascurabile e valutare in una rete “praticamente” la distribuzione delle correnti

resistiva

[delle tensioni] relativi ai rami dove sono ubicati i suddetti generatori di valore

, si avranno

trascurabile. Se le correnti [le tensioni] risulteranno impulsive di valore A

k

/C [A /L ]. Tali considerazioni

dei corrispondenti salti di tensione [di corrente] pari a A

k k k k

possono essere estese anche a casi più complessi. Ad esempio, in fig. 3.5A (in fig.3.5B

si carica al valore

è disegnata la rete resistiva associata) l’induttore L 1

+

Φ R R

+ = 2 3 ,

( 0 )

i + +

L

1 L R R R

1 1 2 3

il condensatore C al valore

1 Φ

1

+ =

( 0 ) ,

v + +

C

1 C R R R

1 1 2 3

al valore

l’induttore L

2

Φ R

+ = 2 ,

( 0 )

i + +

L

2 L R R R

1 1 2 3

mentre il condensatore C non si carica nello zero perchè interessato da corrente di

2

intensità limitata.

I casi del tipo c) rientrano nei casi di due induttori, potendo per un accoppiamento

mutuo non perfetto considerare una rete equivalente contenente un trasformatore ideale

,L” ,L’ ,L” (L =L’ +L” ; L =L’ +L” ) di

(senza memoria) e quattro induttanze fittizie L’ 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

o L’ ) può essere scelta arbitrariamente mentre L” ed L” danno luogo ad

cui una (L’

1 2 1 2

una accoppiamento perfetto (ossia ad una sottorete del primo ordine).

Si può controllare che i casi a),b),c) danno luogo a frequenze naturali (o a costanti di

tempo) reali e distinte. 45

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 46

Le considerazioni sopra esposte possono essere facilmente estese a reti di ordine

contenenti:

superiore

a’) un numero qualsiasi di condensatori;

b’) un numero qualsiasi di induttori;

c’) un numero qualsiasi di mutui accoppiamenti ed induttori;

d’) un numero qualsiasi di condensatori, induttori e mutui accoppiamenti.

In particolare, si può notare che la configurazione di fig.3.6 “protegge” la rete N” da

impulsi di tensione, la rete di fig.3.7 protegge la rete N” da impulsi di corrente.

Considerando gli impulsi come “disturbi”, le due figure presentano un primo esempio di

“filtri”. Ovviamente il filtro va opportunamente dimensionato.

i=Q δ(t) N”

0 C

fig.3.1 1 C

2

i=Q δ(t) N”

0

fig.3.2 C

1 L

N”

fig.3.3 L

1

v=Φδ(t) L

2

N”

L

1

v=Φδ(t) C

2

Fig.3.4 A) R C

1 1

Φδ(t)

+ L L

R

1 2

2

R C

3 2 46

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 47

fig.3.5 R C

B) 1 1

Φδ(t)

+ L L

R

1 2

2

R C

3 2

N”

L C

fig.3.6 v=Φδ(t)

i=Q δ(t)

0 N”

fig.3.7 L

C

Conclusioni

La metodologia tipica di valutazione della risposta impulsiva può essere parallelamente

riportata sia per la risposta al gradino (dove potranno essere rapidamente distinte le

grandezze discontinue da quelle continue –non solo di stato-), sia per la risposta a

sollecitazioni impulsive di ordine superiore.

La convenienza di approfondire il caso degli impulsi del primo ordine sta sia nel

considerare tali sollecitazioni di ampio interesse applicativo (basti pensare ai disturbi

transitori veloci introdotti nei circuiti elettrici -tali disturbi sono ovviamente intesi quali

ingressi indesiderati-), oppure, di converso, ai segnali digitali, che sono ingressi voluti

di breve durata e che vogliamo siano riportati nella rete quali grandezze di notevole

intensità rispetto ai “rumori” di varia origine).

L’ulteriore convenienza dell’impiego delle funzioni impulsive risiede nella semplicità

delle trasformate integrali lineari quali quella £ di Laplace in cui risulta

+∞

[ ] ∫

δ δ −

= = =

£ ( ) ( ) ( ) 1

st

t F s t e dt

0

L’applicazione di trasformate di tale tipo al sistema fondamentale di una rete lineare lo rende algebrico;

con le debite attenzioni, si possono quindi definire in questo caso (analogamente a quanto visto in regime

impedenze ed ammettenze

sinusoidale) operatori quali e si potranno ancora applicare proprietà e

teoremi fondamentali quali sovrapposizione degli effetti ed equivalenze di bipoli attivi e passivi.

L’allievo informatico troverà nel seguito dei suoi studi la sistematica applicazione di metodi operatoriali

del tipo suddetto, che potranno avvalersi di numerosi e consolidati algoritmi di calcolo automatico.

Ci è sembrato utile in questa sede – data anche la ristrettezza del tempo a disposizione –

insistere, per motivi di formazione, sull’analisi della risposta impulsiva nel dominio del

47

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 48

tempo, che consente una verifica diretta della sintesi personale dell’allievo sulla

dinamica delle reti lineari.

Lezione del 21/11/06 (2h)

Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è un operatore lineare che fa corrispondere ad una funzione

del tempo f(t) – nulla per t<0 - una funzione di variabile complessa

[ ]

( ) ∫ −

= =

( ) £ ( ) st

F s f t f t e dt

0

α ω

= +

s j

Il valore minimo di α, se esiste, per cui l’integrale converge è detto ascissa di

Valgono le seguenti relazioni fondamentali

convergenza.

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

+ = +

£ c f t c f t c F s c F s

1 1 2 2 1 1 2 2

⎡ ⎤

df = −

£ ( ) ( 0 )

s F s f

⎢ ⎥

⎣ ⎦

dt

[ ]

δ =

£ ( ) 1

t

[ ]

δ =

( 2 )

£ ( )

t s

1

[ ] =

£ ( ))

U t s

[ ] 1

=

£ s t

1

e −

s s

1 ω α λ α

[ ] + −

cos ( )

( ) s sen

λ ω α

+ =

£ t

e sen t ( )

λ ω

2

− +

s

∫ τ τ τ

= − =

£[ ( ) * ( )] £[ ( ) ( ) ] ( ) ( )

f t g t f g t d F s G s

0

Le relazioni suddette sono particolarmente utili nell’analisi dei circuiti in regime

dinamico e possono costituire un utile riferimento – senza aggravio di calcoli - per

.

antitrasformazione

l’

E’ infatti facilmente controllabile che il sistema fondamentale di una rete lineare è £-

trasformabile se sono £-trasformabili le caratteristiche dei generatori.

Possiamo quindi considerare una rete simbolica alle £-trasformate; le relazioni tensioni-

correnti sono quindi ricavabili dalla risoluzione di un sistema algebrico, in cui compare,

tra i coefficienti, l’operatore s.

Si potranno applicare il principio di sostituzione, i metodi semplificati ed in genere tutti

i teoremi basati sulla linearità quali sovrapposizione, generatore equivalente, ecc.

Il legame tra un forzamento d’ingresso x e una grandezza di interesse y (uscita) per una

rete tempo-invariante, a riposo per t<0, lineare ed alimentata da un solo generatore potrà

quindi essere da un operatore formale (funzione di trasferimento)

( )

Y s

=

( )

H s ( )

X s 48

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 49

che, per quanto detto a proposito della convoluzione, risulta essere la trasformata della

risposta impulsiva.

La funzione di trasferimento risulta anche interpretabile quale operatore formale di

impedenza, ammettenza (o, in generale, immettenza), a seconda delle grandezze in

esame. L’ operatore di impedenza per un resistore vale R, quello per un induttore vale

sL; l’operatore di ammettenza per un condensatore vale sC.

Se la rete è a riposo per t<0, è pienamente soddisfatta la condizione sulla f(t) ai fini

della £-trasformazione. In tal caso la Y(s) risulta essere la trasformata dell’evoluzione

forzata.

La funzione di trasferimento, data la linearità del sistema, risulta essere un rapporto di

polinomi in s, con grado del numeratore N(s) in genere inferiore al grado del

40 . L’antitrasformazione è immediata se si considerano le radici del

denominatore

polinomio al denominatore (reali e distinte e/o complesse coniugate, con le loro

41 .

molteplicità)

In caso di rete non a riposo, la tensione del condensatore e l’intensità di corrente

nell’induttore, allo 0+, non potranno essere considerate nulle, quindi le relazioni

⎡ ⎤

[ ] dv

= = = −

£ ( ) £ ( ) ( ) ( 0 )

c

i t C I s sCV s Cv

⎢ ⎥

c c c c

⎣ ⎦

dt

⎡ ⎤

[ ] di

= = = −

£ ( ) £ ( ) ( ) ( 0 )

L

v t L V s sLI s Li

⎢ ⎥

L L L L

⎣ ⎦

dt

possono essere interpretate circuitalmente, rispettivamente, come un generatore di

corrente costante (rispetto a s) in parallelo ad un condensatore di ammettenza sC e come

un generatore di tensione costante (rispetto ad s) in serie ad un induttore di impedenza

sL.

Nel dominio del tempo, questo modello corrisponde all’attivazione di corrispondenti

generatori impulsivi che istantaneamente caricano condensatori e induttori scarichi.

sull’applicazione della £-trasformata ai circuiti elettrici.

Esercizi

Lezione del 23/11/06 (3h)

Esercitazione sul regime stazionario e sinusoidale

Lezione del 28/11/06 (2h)

Esercitazione sul regime dinamico (vedi “Materiale didattico – Esercizi”)

40 Per averne una idea, basta pensare alla per cui la risoluzione di un sistema lineare si

regola di Kramer,

ottiene tramite il rapporto di due determinanti contenenti il parametro s; se i generatori “noti” sono

regolari, le loro trasformate abbassano il grado del numeratore rispetto a quello del denominatore. Se i

generatori sono impulsivi del primo ordine, la funzione di trasferimento può avere la forma

ℜ ℜ

( ) ( ) ( )

N s s s

= = + = + +

( ) ( )

H s Q s As B

( ) ( ) ( )

D s D s D s

dove nel quoziente Q(s) compare il termine B se la risposta impulsiva contiene un termine impulsivo di

valore B; il coefficiente A vale L nel caso di tensione (uscita) sull’induttore di induttanza L con ingresso

impulsivo unitario in corrente; il coefficiente A è pari a C nel caso di corrente (uscita) nel condensatore

di capacità C con ingresso in tensione impulsivo. In questi due casi siamo in presenza di un impulso del

secondo ordine (doppietto); per curiosità, il sistema non ha memoria. In tutti gli altri casi A vale zero.

Ovviamente resta un rapporto di polinomi in cui al numeratore c’è un resto.

⎡ ⎤ α −

⎡ ( )

( ) ( )

41 m r

m

N

N s N s t

∑ ∑ ∑

α α

− −

= = + +

'

1 1 ' ......

£ £ t t

k

⎢ ⎥

⎢ "

e e B

k k

α −

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + + r

2 2 ' ( ) ( )!

( ) ( ) ( ) ( )

m m m

⎣ ⎣ ⎦ D m r

D s 1

s s s s s as b

r =

' " 1

'

k k r

1 k

r 49

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 50

Lezione del 30/11/06 (3h)

ULTERIORI ESEMPI ED ESERCIZI SULLA RISPOSTA IMPULSIVA 42

1. Carica istantanea di un condensatore scarico C e di un induttore scarico L

i

A

i

k i

c C V

v k L

i(t)=CVoδ(t) e(t)=LIoδ(t)

V L

a) b)

Nel caso a) l’impulso di corrente del generatore deve essere “bilanciato” da

nella rete non

almeno un altro termine nell’equazione al nodo A; la corrente i k

può essere impulsiva (escluso i casi patologici di generatore di tensione ideale o

di altro condensatore in parallelo): in tal caso infatti se la rete fosse resistivo e/o

induttiva, la tensione v sarebbe impulsiva (del primo o secondo ordine) e quindi

sarebbe di ordine superiore e non bilanciabile nel nodo A. Quindi i è

i c k

la tensione v sul condensatore diventa:

trascurabile (nello zero) rispetto a i e i ;

c

+ + +

0

0 0

1 1 1

∫ ∫ ∫ δ

+ = ≅ = =

( 0 ) ( )

v i dt idt CV t dt V 0

0

c

C C C

− − −

0

0 0

Nel caso b) l’impulso di tensione del generatore deve essere “bilanciato” da

ai capi della

almeno un altro termine nell’equazione alla maglia; la tensione v k

rete non può essere impulsiva (escluso i casi patologici di generatore di corrente

ideale o di altro induttore in serie): in tal caso, infatti, se la rete fosse resistiva

e/o capacitiva, la corrente i sarebbe impulsiva (del primo o secondo ordine) e

sarebbe di ordine superiore e non bilanciabile nella maglia. Quindi v

quindi v

L k

e lacorrente nell’induttore diventa:

e v

è trascurabile (nello zero) rispetto a ;

L

+ + +

0

0 0

1 1 1

∫ ∫ ∫ δ

+ = ≅ = =

( 0 ) ( )

i v dt edt LI t dt I 0

0

L

L L L

− − −

0

0 0

2) Nei casi non riconducibili agli schemi a) e b) di cui sopra, occorre valutare

caso per caso il bilanciamento degli impulsi; nel caso di reti non elementari,

potrà essere di notevole aiuto la considerazione che le tensione sui condensatori

è limitata e quindi, nell’ambito di un bilancio di impulsi, il condensatore può

essere considerato un … “quasi” cortocircuito; inoltre l’intensità della corrente

negli induttori, per la presenza di generatori impulsivi, potrà al più avere un salto

limitato e quindi l’induttore può essere considerato un “quasi-aperto”. Se

l’intensità della corrente nei “cortocircuiti” è impulsiva di valore Q, il

=Q/C; se la tensione ai

condensatore di capacità C si caricherà alla tensione V

o

capi degli “aperti” è impulsiva di valore Φ, l’intensità di corrente nell’induttore

di induttanza L avrà un salto Φ/L.

42 Notare che, in relazione alle fissate grandezze di stato, sui generatori “impulsivi” va applicata la

convenzione del generatore. 50

Diario delle Lezioni

A. A. 2006/2007 Introduzione ai circuiti pagina 51

Esempio A) Calcolare i (t) – La rete è a riposo per t<0.

1

R R1 R2

e=Φδ(t) i 2 V2

V1 C1 C2

i1

i1

L’espressione generale della risposta è la seguente:

λ λ

δ

= + +

( ) ( ) t t

1 2

i t A t k e k e

1 1 2

e di λ si ricavano dall’equazione caratteristica ; i valori di k e k

I valori di λ 43

1 2 1 2

si ricavano “fotografando” la rete allo 0+ e ricavando i valori in tale istante

(t) e della sua derivata. Per tale “fotografia” occorre

della intensità di corrente i

1

conoscere gli effetti dell’impulso, ossia quali elementi a memoria si sono caricati

allo 0+.

Con riferimento a grandezze impulsive (nello zero), i due condensatori sono

è

assimilabili a “cortocircuiti” e quindi i due resistori risultano in parallelo; i

1

impulsiva e carica il condensatore al valore

+ + +

δ

0 0 0

Φ Φ

1 1 ( ) 1 1

R t R R

∫ ∫ ∫ δ

+ = ≅ = Φ =

2 2 2

( 0 ) ( )

v i dt dt t dt

1 1 + + + + +

R R

C C R R C RR RR R R C RR RR R R

+ 1 2

− − −

1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2

0 0 0

R +

R R

1 2

Analogamente si carica l’altro condensatore:

+ + +

δ Φ

0 0 0

Φ

1 1 ( ) 1 1

R R R

t

∫ ∫ ∫ δ

+ = ≅ = Φ =

1 1 1

(

0 ) ( )

v i dt dt t dt

2 2 + + + + +

R R

C C R R C RR RR R R C RR RR R R

+ 1 2

− − −

2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

0 0 0

R +

R R

1 2

43 Nel nostro caso

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

− + + + ± + + + − + +

4

R R C R R C R R C R R C C C RR RR R R

λ 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

= ( )

1

, 2 + +

2 C C RR RR R R

1 2 1 2 1 2 51

Diario delle Lezioni


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Sara F

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Introduzione ai circuiti e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Lupò Giovanni.

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