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Esempio 2

Le rette di equazione = + =

 

x 1 t x 2

t

 

= − = −

r : y t ed s : y 1 t

 

 

= + =

z 2 3

t z t

 

Non sono parallele. Esse sono incidenti o sghembe. Per trovare

l’intersezione consideriamo il sistema: + =

1 t 2

t '

 − = −

t 1 t '

 + =

2 3

t t '

che è incompatibile. Quindi le due rette non hanno punti in comune. Poiché

non sono parallele, esse sono sghembe.

Fasci di piani

Sia r una retta dello spazio. Il fascio di piani per r è l’insieme di tutti i piani

dello spazio passanti per r. (r si chiama asse o supporto del fascio).

α: β:

Siano ax+by+cz+d=0 e a’x+b’y+c’z+d=0 due piani distinti passanti per

r e consideriamo l’equazione

λ(ax+by+cz+d)+µ(a’x+b’y+c’z+d’)=0 (1)

λ µ

dove e sono due numeri reali non entrambi nulli.

Si può dimostrare che la (1) rappresenta un piano per r, qualunque siano i

λ µ

valori di e purché non entrambi nulli, e che, viceversa, ogni piano λ

passante per r ha un’equazione del tipo (1), per un’opportuna scelta di e

µ λ µ

. La (1), al variare di e non entrambi nulli nel campo reale,

rappresenta tutti e soli i piani per r, e si chiama equazione omogenea del

fascio di piani di asse r.

Fasci di piani

Dalla (1) si può ottenere l’equazione non omogenea

di un fascio di piani

ax+by+cz+d+k(a’x+b’y+c’z+d’)=0

che con l’equazione a’x+b’y+c’z+d’=0 comprende tutti i

piani del fascio (1).

Si possono considerare anche fasci di piani paralleli:

si tratta di tutti e soli i piani paralleli ad un dato piano di

equazione ax+by+cz+d=0, tale fascio ha equazione

ax+by+cz+d’=0 (2)

Problemi risolubili con i fasci di

piani

Piano passante per un punto P ed una retta r

 non contenente P.

Piano passante per una retta e perpendicolare

 ad un piano.

Piano passante per una retta e parallelo ad un

 vettore (o ad una retta)

Esempi

1) Determinare il piano passante per l’origine e

per la retta di equazione

+ − + =

 2 x y z 1 0

r :  + =

y 2 z 0

Il fascio di piani avente per asse r ha

equazione 2x+y-z+1+k(y+2z)=0, quindi quello

passante per l’origine è y+2z=0.

Esempio 2

Determinare il piano passante per la retta r di equazione

+ − + =

 2 x y z 1 0

r :  + =

y 2 z 0

e perpendicolare al piano di equazione x+2z+1=0.

Soluzione:

Il fascio di piani di asse r ha equazione 2x+y-z+1+k(y+2z)=0,

da cui 2x+(k+1)y + (2k-1)z+1=0. Applicando la condizione di

ortogonalità tra piani si ha: 2+4k-2=0, da cui k=0, pertanto il piano

cercato è 2x+y-z+1=0.

Esempio 3

Determinare il piano passante per la retta r di equazione

+ − + =

 2 x y z 1 0

r :  + =

y 2 z 0

e parallelo al vettore v(1,2,-1).

Soluzione.

Il fascio di piani avente per asse r ha equazione

2x+y-z+1+k(y+2z)=0,

da cui 2x+(k+1)y + (2k-1)z+1=0. Applicando la condizione di ortogonalità tra

vettori si ha: 2+2k+2-2k+1=0 che è un assurdo, quindi il piano cercato è

y+2z=0.

Rette complanari

Definizione Due rette r ed s si dicono

complanari se esiste un piano che le contiene.

Ciò vuol dire che le rette sono incidenti o

parallele.

Per trovare il piano che contiene due rette r ed s

si trova il piano che ha per asse una delle due

rette e si cerca il piano del fascio che passa per

un punto P dell’altra retta, diverso dalla eventuale

intersezione di r con s.

Esercizio

Si verifichi che = −

 x t + =

 2 x y 0

 =

r : y 2

t ed s :

  + =

y 2 z 0

 =

z 3

t

Sono complanari e si trovi il piano che le contiene. =

 x t

Soluzione. Una rappresentazione parametrica di  = −

s : y 2

t

 =

z t

e pertanto r interseca s nell’origine O(0,0,0), quindi r ed s sono incidenti e

quindi complanari. Il fascio di piani per s è:

2x+y+k(y+2z)=0 ed un punto di r diverso da O è P(-1,2,3). Il piano cercato è il

piano del fascio passante per P. Si trova 2x+y=0.

Distanze

Distanza di un punto da un piano

È la distanza d(P ,α) uguale alla distanza d(P ’,P ),

0 0 0

α.

dove P ’ è la proiezione ortogonale di P su Se

0 0

α:

P (x ,y ,z ) ed ax+by+cz+d=0

0 0 0 0 + + +

ax by cz d

0 0 0

α =

d ( P , ) .

0 2 2 2

+ +

a b c

Esempio α

Calcolare la distanza dell’origine dal piano di

equazione: 2x+y-3z+1=0.

Soluzione ⋅ + ⋅ − ⋅ +

2 0 1 0 3 0 1 1

α = =

d ( 0

, ) .

14

2 2 2

+ + −

2 1 ( 3

)

Distanza tra due piani paralleli

Se α β β)

e sono due piani paralleli la loro distanza d(α, è

uguale alla distanza d(P,β), dove P è un punto qualsiasi

α. β)

di Quindi d(α, si calcola con la formula precedente.

Distanza di un piano da una retta ad esso parallela

È la distanza di un punto della retta dal piano e si calcola

con la formula precedente.

Distanza di un punto da una retta

La distanza di un punto P da una retta r è la distanza di P dalla sua

0 0

proiezione ortogonale Q su r.

0

Esempio Calcolare la distanza di P (2,-1,1) da r di equazioni

0

(x,y,z)=(2t+2,2t+1,t). α

Soluzione. Il piano per P ortogonale ad r è ed ha equazione:

0 ∩ α

2(x-2)+2(y+1)+(z-1)=0. Per trovare r sostituiamo le equazioni di r

1

α.

nell’equazione di Si trova 2(2t+2-2)+2(2t+1+1)+t-1=0, 9t=-3, = −

t .

3

 

4 1 1

= −

Q , ,

 

0

Sostituendo nelle equazioni di r si trova  

3 3 3

che è la proiezione ortogonale di P su r. Si trova d(P ,r)=2

0 0

Distanza tra due rette parallele r ed s

È la distanza tra un punto arbitrario di r da s. Quindi ci

riconduciamo al caso precedente.

Distanza tra due rette sghembe

Se = + = +

 

x x lt x x ' l ' t '

0 0

 

= + = +

r : y y mt ed s : y y ' m ' t '

 

0 0

 

= + = +

z z nt z z ' n ' t '

 

0 0

sono due rette sghembe allora esiste un’unica retta p

ortogonale sia ad r che ad s, che interseca entrambe.


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Intersezioni. Intersezione di una retta e di un piano. Intersezione di due rette. Rette sghembe. Procedimento per determinare l’intersezione di due rette. Intersezione di due rette. Fasci di piani. Problemi risolubili con i fasci di piani. Rette complanari. Distanze. Distanza tra due piani paralleli. Distanza di un punto da una retta. Distanza tra due rette parallele r ed s. Distanza tra due rette sghembe. Coseni direttori di una retta. Coseni direttori di un piano. Proiezione ortogonale di una retta su piano.


DETTAGLI
Esame: Geometria
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Mediterranea - Unirc o del prof Bonanzinga Vittoria.

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