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Lezione 20

Integrazione per parti

Esempio (x) =

Calcoliamo le primitive di f x cos x.

(x) = =

f x (derivare) e g(x) cos x (integrare) dalla formula

Scelto

Z Z Z Z

(x) · = (x) − (x) ·

f g(x)dx f g(x)dx Df g(x)dx dx

si ricava il seguente risultato

Z Z Z Z

= −

x cos x x cos xdx Dx cos xdx dx

Z

= −

xsen x sen xdx

+ +c.

= xsen x cos dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 20 4 / 15

Lezione 20

Integrazione per parti

Esempio 2 x

(x) =

Calcoliamo le primitive di f x e

2 x

(x) = =

Scelto f x (funzione da derivare) e g(x) e (funzione da

integrare), si ricava

Z Z Z Z Z

2 x 2 x 2 x 2 x x

= − = −

x e dx x e dx Dx e dx dx x e 2xe dx

Non abbiamo terminato perché si presenta un nuovo termine da

integrare ma abbiamo semplificato l’espressione (il grado del monomio

è diminuito di 1). Dobbiamo ripetere il metodo di integrazione per parti

x

(x) = =

f x (funzione da derivare) e g(x) e

scegliendo questa volta

(funzione da integrare). dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 20 5 / 15

Lezione 20

Integrazione per parti

A questo punto si ottiene

Z Z

2 x 2 x x

= −

x e dx x e 2 xe dx

Z Z Z

2 x x x

= − −

x e 2 x e dx Dx e dx dx

Z

2 x x x

= − −

x e 2 xe e dx

2 x x x

= − + +

x e 2xe 2e c

2 x

= (x − + +

2x 2)e c. 2 x

− +

Provate a fare la riprova cioè a calcolare D(x 2x 2)e ! dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 20 6 / 15

Lezione 20

Integrazione per parti

Esempio (x) =

Calcoliamo le primitive di f ln x.

Sebbene non sembri (non abbiamo da integrare il prodotto di due

funzioni) ma per poter determinare le primitive di ln x si utilizza

l’integrazione per parti grazie al seguente espediente

Z Z

= ·

ln xdx 1 ln xdx

Z Z Z

= −

ln x 1dx D ln x 1dx dx

Z 1

= − ·

x ln x xdx

x

Z

= −

x ln x 1dx dsm

= − +

x ln x x c

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 20 7 / 15

Lezione 20

Integrazione per sostituzione

L’ultimo metodo presentato è quello di integrazione per sostituzione

corrispondente alla formula di derivazione della funzione composta.

Partiamo con degli esempi.

(a) Se g è derivabile e strettamente positiva, si ha

Dg(x) .

=

D ln g(x) g(x)

Se invece g oltre che derivabile è strettamente negativa abbiamo

−Dg(x) Dg(x)

= = .

D ln(−g(x)) −g(x) g(x)

La stessa derivata! Quindi le primitive di una fratta con il

numeratore derivata del denominatore sono

Z Dg(x) = |g(x)| +

dx ln c.

g(x) dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 20 8 / 15

Lezione 20

Integrazione per sostituzione

(b) Se g è derivabile si ha g(x) g(x)

=

De e Dg(x).

Quindi il viceversa

Z g(x) g(x)

= +

e Dg(x)dx e c.

α ∈

(c) Se g è derivabile e strettamente positiva ed si ha

R

α α−1

(x) = αg (x) ·

Dg Dg(x);

β 6 = −1,

il viceversa (con altrimenti siamo nel caso (a)) è

β+1 (x)

Z g

β +

(x) · = c.

g Dg(x)dx β + 1 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 20 9 / 15


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Metodo di calcolo per gli integrali indefiniti: formula di integrazione per parti e sue applicazioni (con esempi svolti). Determinazione della scelta del fattore integrale e del fattore differenziale nei casi notevoli; formula di integrazione per sostituzione e sue applicazioni (con esempi svolti). Richiamo alle formule di integrazione delle funzioni elementari.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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