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Matematica Generale

Marco Castellani

Facoltà di Economia

marco.castellani@univaq.it

Lezione 19 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 19 1 / 25

Lezione 19

Introduzione

L’operazione di derivazione ci ha permesso di generare una funzione a

partire da un’altra D

3 2

7−→ .

2x 6x

Domanda: esiste l’operazione inversa della derivata che, a partire da

funzione f la cui derivata

una funzione F mi permette di determinare la

=

è F , cioè Df F ?

Se la derivazione è un’operazione di “generazione” allora si potrebbe

=

dire che f “genera” F Df ma, vista come “genitore” meglio pensarla

come “padre” anziché “madre” di Df . Infatti. . . dsm

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Lezione 19

Introduzione

. . . mater semper certa, pater numquam.

3 +

2x 4

P

P

P D

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

( ( 2

3 / 6x

2x D /

6 6

n

n

n

n

n

n

n

n

n D

n

n

n

n

3 −

2x 5

L’operazione inversa della derivata non è una vera e propria

operazione in quanto la risposta non è unica. Ricordiamo il seguente

risultato conseguenza del Teorema di Lagrange.

Teorema

: (a, −→ (x) = ∈ (a,

Sia f b) derivabile tale che Df 0 per ogni x b);

R dsm

allora f è costante.

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Lezione 19

Introduzione

Come si utilizza il precedente risultato?

, : (a, −→ =

Se f f b) hanno la stessa derivata Df Df allora

R

1 2 1 2

− )(x) = (x) − (x) = ∀x ∈ (a,

D(f f Df Df 0, b),

1 2 1 2

∈ (x) − (x) =

quindi esiste c per cui f f c cioè

R 1 2

(x) = (x) +

f f c

1 2

Abbiamo verificato il seguente risultato.

Corollario

Se f e f hanno la stessa derivata allora differiscono tra loro di una

1 2

costante additiva. dsm

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Lezione 19

Primitive

Definizione

: (a, −→

Sia f b) continua sull’intervallo limitato. Chiamiamo

R : (a, −→

primitiva di f una funzione F b) tale che

R

(a,

F è continua su b);

1 (a,

F è derivabile su b) e

2 (x) = (x), ∀x ∈ (a,

DF f b).

Il precedente corollario afferma che due funzioni sono primitive di una

stessa funzione se e solo se differiscono tra loro di una costante;

graficamente si interpreta che hanno lo stesso grafico solamente che

uno è il traslato in verticale dell’altro. dsm

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Lezione 19

Primitive 6

4

2

0

−2

−4

−6

−8

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

2

(x ) = −

Figura: Grafico di due funzioni primitive di f 3x 1 dsm

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Lezione 19

Proprietà delle primitive

Definizione

L’insieme delle primitive di f si chiama integrale indefinito di f e si indica

Z (x)dx = {F : (a, −→ : (x) = (x), ∀x ∈ (a, .

f b) DF f b)}

R

Spesso scriviamo, con abuso di linguaggio,

Z (x)dx = (x) +

f F c

indicando con F una primitiva di f e con c una costante arbitraria.

R

Addirittura arriveremo a scrivere soltanto

Z (x)dx = (x)

f F

intendendo che F è una delle possibili primitive e tutte le altre si dsm

ottengono da F sommandoci una costante!

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 19 7 / 25

Lezione 19

Proprietà delle primitive

Definizione

Il procedimento di calcolo di una primitiva viene chiamato integrazione

indefinita o, più semplicemente, integrazione.

Il primo problema che si pone è vedere quando questa procedura di

calcolo ha successo. Per fortuna la risposta è (per noi) positiva.

Teorema

: (a, −→

Se f b) è continua allora ammette primitiva.

R

A questo punto ci interessiamo ai metodi di calcolo di una primitiva.

Sappiamo che è il problema inverso della derivazione ma . . .

. . . se per tutte le funzioni derivabili sappiamo calcolare

meccanicamente la derivata, purtroppo ciò non vale per il calcolo di

una funzione primitiva. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 19 8 / 25

Lezione 19

Proprietà delle primitive

Spieghiamoci meglio. Prendiamo una funzione f che sia

“combinazione” di funzioni elementari (potenze, logaritmi,

esponenziali, trigonometriche).

Se f è derivabile allora è sempre possibile trovare Df espressa

come “combinazione” di funzioni elementari.

Se f è continua non è detto che le sue primitive si possano

esprimere ancora come “combinazione” di funzioni elementari.

Inoltre anche quando le primitive di f si possono esprimere come

“combinazione” di funzioni elementari, la procedura di calcolo può

essere molto complessa e nient’affatto meccanica.

Per fortuna noi ci occuperemo soltanto di casi semplici. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 19 9 / 25

Lezione 19

Integrazione di funzioni elementari

Partiamo analizzando le funzioni elementari.

Z α =?, α ∈

x dx R

4 3

=

Sappiamo che Dx 4x cioè abbiamo diminuito il grado di 1 e

moltiplicato il nuovo monomio per il vecchio grado. Quindi se

5

(x) =

volessimo calcolare una primitiva di f x dovremmo operare al

contrario aumentando il grado del monomio di 1 e dividere il nuovo

monomio per il nuovo grado ottenuto, cioè

6

Z x

5 +

= c

x dx 6

A questo punto la regola sembrerebbe fatta. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 19 10 / 25

Lezione 19

Integrazione di funzioni elementari α+1

Z x

α + ∀α ∈

= c,

x dx R

α + 1 α = −1

Attenzione! Questa formula non è corretta perché . . . quando

non si può applicare! α = −1?

Domanda: cosa succede quando In altre parole quanto fa

Z Z 1 =?

= dx

x dx

−1 x

Dobbiamo determinare quelle funzioni definite su intervalli contenuti in

1

1 ) = \ {0}

( la cui derivata è .

CE R

x x dsm

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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Integrali di funzioni in una variabile: primitiva di una funzione; integrale indefinito di una funzione e sue proprietà. Formule di integrazioni di funzioni elementari: [math]x^\alpha,\ \alpha\in\mathbb{R}[/math], funzione esponenziale, funzioni trigonometriche seno e coseno. Proprietà dell'integrale indefinito: moltiplicazione per una costante e linearità. Integrazione delle funzioni razionali fratte: decomposizione in fratti semplici.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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