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# Integrali impropri

Calcolo degli integrali definiti: legame con gli integrali indefiniti e teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali impropri: integrale di una funzione definito su un intervallo illimitato; integrale di una funzione illimitata definito su un intervallo limitato. Alcuni esempi fondamentali per le funzioni potenza ad esponente reale $f(x)=x^\alpha,\... Vedi di più Esame di Matematica Generale docente Prof. M. Castellani Anteprima ### ESTRATTO DOCUMENTO Lezione 24 Integrali impropri Analizziamo il primo caso. Definizione : [a, +∞) [a, Sia f limitata ed integrabile su M] per ogni M a. > ## R −→ [a, +∞) Si dice che f è integrabile in senso generalizzato su se esiste finito il limite M Z (x)dx. lim f M→+∞ a In tal caso si scrive M ## Z Z ∞ (x)dx = (x)dx. f lim f ## M→+∞ a a (−∞, Analogamente si definisce l’integrabilità su b]. dsm Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 24 9 / 15 Lezione 24 Integrali impropri Esempio Calcolare i seguenti due integrali impropri ## Z Z ∞ ∞ 1 1 e dx dx 2 x x 1 1 Per quanto riguarda il primo si ha ## M ## Z Z ∞ 1 1 x=M = = = = lim ln M dx lim dx lim ln x ∞. x x M→∞ M→∞ M→∞ x=1 1 1 Quindi l’area sottesa è infinita. Invece per il secondo limite si ha x=M ## M ## Z Z ∞ 1 1 1 = = = + = −2 dx lim x dx lim lim 1 1 − − 2 x M x M→∞ M→∞ M→∞ 1 1 x=1 dsm e l’area in questo caso è finita! Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 24 10 / 15 Lezione 24 Integrali impropri 6 ·· · ··· ··· ····· ···· ······· ····· ········· ······ ··········· ······· ············· ········· ··············· ············ ················· ············ ··················· ·············· ······················ ················· ························· ················· ··························· ··················· ······························ ···················· ································ ······················ ··································· ······················ ······································ ······················· ········································· ·························· ············································ ··························· ················································ ······························· ····················································· ·························· ·························································· ·················· ································································· ············· - ······································································ ···· ················································································ Quali analogie ci sono tra la serie armonica e le aree sottese dalle 1 1 (x) = = funzioni f e g(x) ? 2 x x dsm Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 24 11 / 15 Lezione 24 Integrali impropri Analizziamo il secondo caso. Definizione : (a, Sia f b] illimitata in un intorno destro di a ed integrabile su ## R [a + b] per ogni 0. Si dice che f è integrabile in senso ε, ε > (a, generalizzato su b] se esiste finito il limite b Z (x)dx. f lim ε→0 + a+ε In tal caso si scrive b b Z Z (x)dx. (x)dx = f f lim ε→0 + a+ε a Se f è illimitata in un intorno sinistro di b si ragiona sugli intervalli del dsm [a, tipo b ε]. Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 24 12 / 15 Lezione 24 Integrali impropri Esempio Calcolare i seguenti due integrali impropri 1 1 ## Z Z 1 1 dx dx e √ x x 0 0 Per quanto riguarda il primo si ha 1 1 Z Z 1 1 x=1 = = = = lim ln dx lim dx lim ln x ε − ∞. x x ε→0 ε→0 ε→0 + + + x=ε ε 0 Quindi l’area sottesa è infinita. Invece per il secondo limite si ha 1 1 ## Z Z 1 √ √ x=1 = = = = −1/2 lim 2 2 x 2 x dx lim 2 dx lim ε √ − x=ε x ε→0 ε→0 ε→0 + + + ε 0 dsm e l’area in questo caso è finita! Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 24 13 / 15 Lezione 24 Integrali impropri · 6 · · · · · · · · · · ·· ·· ·· ·· ··· ··· ···· ···· ····· ····· ······ ······ ······· ········ ·········· ··········· ············· ············· ············· ············· ············· ············· ············· ············· ············· ············· ············· - ············· ············· 1 = Come mai g(x) sottende un’area finita mentre l’area sottesa da √ x 1 (x) = f è infinita? x dsm Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 24 14 / 15 PAGINE 15 PESO 187.53 KB AUTORE PUBBLICATO +1 anno fa ### DESCRIZIONE DISPENSA Calcolo degli integrali definiti: legame con gli integrali indefiniti e teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali impropri: integrale di una funzione definito su un intervallo illimitato; integrale di una funzione illimitata definito su un intervallo limitato. Alcuni esempi fondamentali per le funzioni potenza ad esponente reale [math]f(x)=x^\alpha,\ \alpha\in\mathbb{R}$.

DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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