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CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 10

A\B A B A\B

Si osservi che può risultare pur essendo e pur essendo

= 6= =

∅ ∅

A B. Tale proprietà non autorizza pertanto ad applicare alla differenza tra insiemi

6=

le proprietà tipiche della differenza “aritmetica” tra numeri.

Tra le operazioni di unione e intersezione tra insiemi sussistono le seguenti relazio-

distributive:

ni A B

(B ) (A ) (A )

∪ ∩C = ∪ ∩ ∪C

A B

(B ) (A ) (A ).

∩ ∪C = ∩ ∪ ∩C

X X

La differenza \A è l’insieme che contiene tutti gli elementi di che non appar-

A. A X

tengono ad Essa si chiama complementare di (rispetto a ) e si indica con

C A A.

o con Risulta, ovviamente,

X A A X

∪ =

e A A .

∩ = ∅

di de Morgan):

Sussitono inoltre le seguenti proprietà (leggi

A B A B

∪ = ∩

A B A B

∩ = ∪

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 11

Esercizi A B, A B, A\B, B

1.1) Per le coppie di insiemi seguenti si determini \A :

∪ ∩

A B

{1, 3, 5, 7} {2, 4, 6, 8}

= =

A B

{0, 1, 2, 3, 4} {2, 3, 5}

= =

1.2) La proposizione { } è vera o falsa?

=

∅ ∅

Utilizzando la rappresentezione grafica di Eulero-Venn, si risolvano gli esercizi se-

guenti: A, B,C X

1.3) Siano sottoinsiemi dell’insieme delle parti di un opportuno insieme .

A\(B

La proposizione \C ) (A\B )\C è vera o falsa?

= B A

1.4) La proposizione (A\B ) è vera o falsa?

∪ =

B A

1.5) La proposizione (A )\B è vera o falsa?

∪ =

1.2.4 Prodotto cartesiano

A B A B,

Dati gli insiemi e il prodotto cartesiano tra essi, denotato con è dato da

×

E coppie ordinate b) a A b B.

tutte le possibili (a, con e

∈ ∈

Esempio 1.13

A B

Sia {0, 1} e {0, 2}. Si ha:

= = A B {(0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2)}

× =

mentre B A {(0, 0), (0, 1), (2, 0), (2, 1)}.

× =

A B B A

Si osservi che essendo, ad esempio, la coppia ordinata (0, 2) diversa

× 6= ×

dalla coppia ordinata (2, 0).

Come visto nell’esempio precedente risulta, in generale,

A B B A.

× 6= × A A A.

E’ possibile effettuare il prodotto cartesiano dell’insieme con se stesso: ×

n

2

A A A A

Si usa la notazione . Più in generale si indicherà con il prodotto

× =

A n

cartesiano di con se stesso effettuato volte:

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 12

n

A A A A

... ,

× × × =

| {z }

n vol t e

n−upla a a a a a

il cui generico elemento è dato dall ordinata (a , , ..., ), con , , ..., ∈

n n

1 2 1 2

A.

1.2.5 Applicazioni A B. A

Si considerino due insiemi non vuoti e Se ad un elemento di si fa corrispon-

B

dere, tramite un qualche criterio (o legge) uno ed un solo elemento di si dice che

R A B.

risulta definita una applicazione (o funzione) da a Più precisamente

(Applicazione)

Definizione

applicazione funzione A B

Si dice o da a un legame di natura arbitraria che associa

A uno ed un solo B.

ad ogni elemento di elemento di A B

Se si indica la legge di corrispondenza tra elementi di ed elementi di con il

f

simbolo , si userà spesso la notazione

f A B.

: →

a A f b B

Se all’elemento l’applicazione fa corrispondere l’elemento si userà

∈ ∈

anche la notazione b f (a).

=

b B a A f

L’elemento è detto anche immagine di tramite l’applicazione .

∈ ∈

f .

b

.

a B

A Figura 1.6 f A B.

Rappresentazione grafica dell’applicazione : →

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 13

R (Dominio e immagine)

Definizione

Sia data l’applicazione f A B.

: →

A dominio immagine A

L’insieme si dice dell’applicazione. Si dice invece di trami-

f f b B

te , e si indica con (A), l’insieme di tutti gli elementi che provengono da

a A

qualche :

∈ f B b f A}.

(A) {b (a),

= ∈ | = ∀a ∈

f codominio f

L’insieme (A) è detto anche dell’applicazione .

Nel seguito saranno definite le nozioni di iniettività, suriettività, immagine inversa,

R f A B.

invertibilità e grafico di un’applicazione : →

(Suriettività)

Definizione

f A B suriettiva B

L’applicazione : si dice se l’insieme coincide con l’immagine

f f B.

(A) cioè se (A) =

"

Osservazione f A B

Si osservi che una funzione : è suriettiva se e solo se

B A b f (a).

∀b ∈ ∃a ∈ | =

"

Osservazione

f A

Una funzione definita nel dominio può sempre essere ricondotta ad una fun-

R A f

zione suriettiva considerandola come funzione da a (A).

(Grafico)

Definizione

grafico f A B G A B

Si dice di : il sottoinsieme di definito come

→ ×

f

R G b) A B b f A}.

{(a, (a)

= ∈ × | = ∀a ∈

f

(Immagine inversa)

Definizione −1

f A B b B. immagine inversa b, f

Sia : e Si dice di e si indica con (b), l’insieme

→ ∈

a A b f

degli elementi tali che (a) :

∈ =

−1

E f A b f

(b) {a (a)}.

= ∈ | =

Esempio 1.14

A B f A B

Siano {0, 1, 2, 3, 4} e {−1, 1} e : l’applicazione che fa corrispondere

= = →

a a

a A f

ad ogni il valore (−1) : (a) (−1) . Si ha:

∈ =

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 14

0

f (0) (−1) 1,

= =

1

f (1) (−1)

= = −1,

2

f (2) (−1) 1,

= =

3

f (3) (−1)

= = −1,

4

f (4) (−1) 1

= =

Risulta pertanto, −1

f (1) {0, 2, 4}

=

e −1

f (−1) {1, 3}.

=

R (Iniettività)

Definizione

f A B iniettiva b f

L’applicazione : si dice se per ogni (A) l’immagine inversa

→ ∈

−1 0

f f a A a

(b) contiene un solo elemento. In altri termini: è iniettiva se :

∀a, ∈ 6=

0 0

a f f

(a) (a ).

⇒ 6= f .

b

.

a .

a’ B

A Figura 1.7 0

0 −1

f f b a f

Un esempio di applicazione non iniettiva: (a) (a ) {a, } (b).

= = ⇒ ⊆

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 15

E

Esempio 1.15 2

A B B

Sia {±1, l’insieme dei numeri naturali compreso lo zero :

= ±2, ±3, ±4}, =

f A B

{0, 1, 2, 3, 4, ...} e sia : l’applicazione

→ 2

f a

(a) 1.

= −

f B

L’applicazione non è suriettiva perché, ad esempio, 4 non è immagine di al-

∈ −1

A. f

cun elemento di Essa non è nemmeno iniettiva visto che, ad esempio, (3) =

E

{±2}.

Esempio 1.16

N N, N

A B f A B

Sia e : l’applicazione definita da

= × = → N.

f b) ab a, b

(a, con

= ∈

f B

L’applicazione è suriettiva in quanto ogni intero in è ottenibile come prodotto

c B

di interi: dato ad esempio l’intero esso è certamente immagine della coppia

b) A a b c. f

(a, con 1 e L’applicazione non è però iniettiva in quanto esistono

∈ = =

b) A f B,

coppie diverse (a, a cui associa la stessa immagine in come ad esempio

∈ f f

(1, 12) a cui corrisponde (1, 12) 1 12 12, (2, 6) a cui corrisponde (2, 6) 2 6

= · = = · =

R f

12 e (3, 4) a cui corrsiponde (3, 4) 3 4 12.

= · =

(Biiezione)

Definizione f A B biie-

Se l’applicazione : è sia iniettiva sia suriettiva si dice che essa è una

zione corrispondenza biunivoca.

o una

"

Osservazione f A B

Una corrispondenza biunivoca : fa corrispondere a un elemento del do-

A B B

minio uno ed un solo elemento di e, per ogni elemento di una ed una sola

A

controimmagine nel dominio : stabilisce pertanto una corrispondenza biunivoca

E A B.

tra gli insiemi e

Esempio 1.17

A B f

Siano {0, 1, 2} e {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Sia la legge che fa corrispondere ad ogni

= =

A

elemento di il suo quadrato: 2

f a

(a) .

=

Si avrà: 2

f (0) 0 0,

= =

2 N.

Come si vedrà meglio nel seguito, tale insieme è indicato con il simbolo

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 16

2

f (1) 1 1,

= =

2

f (2) 2 4,

= =

B A,1 B A B

per cui 0 è l’immagine di 0 è l’immagine di 1 e 4 è l’immagine

∈ ∈ ∈ ∈ ∈

A. A f

di 2 L’immagine di tramite è data da

∈ f (A) {0, 1, 4}.

=

f B, f

Siccome (A) l’applicazione non è suriettiva. L’applicazione risulta invece

6=

iniettiva perché a due elementi distinti del dominio fa corrispondere due elementi

E B.

distinti di Non essendo suriettiva, essa non può essere una biiezione.

Esempio 1.18

A B f

Siano {0, 1, 2, 3} e {0, 2, 4, 6, 8, 10, ..., 24}. Sia definita da

= = 3

f a a.

(a) = −

Risulta: 3

f (0) 0 0 0,

= − =

3

f (1) 1 1 0,

= − =

3

f (2) 2 2 6,

= − =

3

f (3) 3 3 24.

= − =

B A, B A B

Si ha che 0 è l’immagine di 0, 1 6 è l’immagine di 2 e 24 è

∈ ∈ ∈ ∈ ∈

A. A f

l’immagine di 3 L’immagine di tramite è data da

∈ f (A) {0, 6, 24}.

=

f B, f

Siccome (A) l’applicazione non è suriettiva. L’applicazione non è iniettiva

6= A

perché a due elementi distinti del dominio, 0, 1 fa corrispondere un solo ele-

B

mento di : il valore 0. Non essendo suriettiva né iniettiva, essa non può essere

una biiezione.

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 17

1.2.6 Insiemi numerici

Nel resto del testo saranno usati, principalmente, insiemi i cui elementi sono nu-

meri.

1.2.6.1 Insieme dei numeri naturali

L’esempio più semplice di insieme numerico è quello i cui elementi sono i numeri

interi positivi o nulli. Tale insieme è detto insieme dei numeri naturali e si indica

N.

con il simbolo Si ha, più esplicitamente,

N {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

R =

(Operazione interna)

Definizione

operazione interna A

Si dice in un insieme un’operazione che fa corrispondere a

A A

due elementi di un elemento di stesso.

Nell’insieme dei numeri naturali sono definite due operazioni interne: somma, +,

e prodotto, ·.

Tali operazioni soddisfano le proprietà

associativa, N

b, c b) c a c)

: (a (b

∀a, ∈ + + = + +

N

b, c b) c a c)

: (a (b

∀a, ∈ · · = · ·

commutativa, N

b a b b a

:

∀a, ∈ + = +

N

b a b b a

:

∀a, ∈ · = ·

distributiva,

e N

b, c b) c a c b c.

: (a

∀a, ∈ + · = · + ·

N elementi neutri

Nell’insieme dei numeri naturali esistono inoltre gli rispetto la

somma (il simbolo si legge “esiste”),

∃ N N a a

0

∀a ∈ ∃0 ∈ | + =

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 18

e rispetto il prodotto, N N| a a.

1

∀a ∈ ∃1 ∈ · =

"

Osservazione

N

Nell’insieme non esistono gli elementi inverso di somma e prodotto. Ad esem-

pio l’elemento inverso del numero 2 rispetto alla somma (detto anche opposto)

N

a

dovrebbe essere un tale che

∈ a

2 0.

+ =

a

Come è noto, però, il numero che soddisfa la relazione precedente è il numero

N.

che non appartiene a Analogamente l’elemento inverso rispetto al prodotto

−2 N

a

(detto anche reciproco) del numero 2 dovrebbe essere un tale che

a

2 1.

· =

a

Come è noto il numero che soddisfa la relazione precedente è il numero 1/2 che,

N.

però, non appartiene a

"

Osservazione a b

Laddove ciò non comporti ambiguità il prodotto di due numeri, sarà indicato

·

ab.

brevemente con

"

Osservazione N

+

L’insieme dei numeri naturali privati dello zero si indica con :

+

N {1, 2, 3, ...}

=

1.2.6.2 Insieme dei numeri relativi

L’insieme dei numeri interi “dotati di segno” è detto insieme dei numeri relativi ed

Z.

è indicato con il simbolo Si ha:

Z {0, ...}.

= ±1, ±2, ±3,

Come per l’insieme dei numeri naturali, anche nell’insieme dei numeri relativi si

possono introdurre le operazioni interne di somma e prodotto che verificano le

stesse proprietà associativa, commutativa e distributiva soddisfatte dai numeri na-

Z

turali. Anche in esistono gli elementi neutri per la somma,0, e per il prodotto, 1.

N, Z

A differenza di tuttavia, in esiste l’elemento inverso rispetto la somma:

Z Z a b 0.

∀a ∈ ∃b ∈ | + =

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 19

b

Chiaramente l’elemento in questione è unico ed è dato dal numero relativo :

−a

a b b

0

+ = ⇒ = −a.

N,

Così come in anche nell’insieme dei relativi non esiste l’elemento inverso rispet-

E

to al prodotto.

Esempio 1.19

Utilizzando le proprietà dell’insieme dei numeri naturali relativi si dimostri che

a.

“meno per meno fa più”o, in termini più precisi, che −(−a) = b

. Il numero è l’opposto di D’altra parte l’opposto di è

−(−a) −a. −a

Soluzione b a,

chiaramente pertanto (il simbolo si legge “identico a”)

= ≡

b a

≡ = −(−a).

1.2.6.3 Insieme dei numeri razionali Q,

L’insieme dei numeri razionali, denotato con è l’insieme definito da

m

Q Z)

n

{ (m, (n 0)},

= | ∈ ∧ 6=

n

cioè l’insieme di tutti i numeri che possono essere espressi come frazione. Così

N Z Q

come e anche soddisfa le proprietà associativa, commutativa e distributiva.

Q, Z

In così come in esiste l’opposto di ogni elemento. A differenza degli insiemi

Q

dei numeri interi, naturali o relativi, in esiste per ogni numero, escluso lo zero, il

numero reciproco: Q) Q|ab

(∀a (a 0) 1 :

∈ ∧ 6= ∃b ∈ =

−1

b a a

il reciproco del numero è indicato con e coincide con il numero razionale

1 .

a

Benché dal punto di vista “aritmetico” l’insieme dei numeri razionali sia abbastan-

za “ricco”, potendosi effettuare utilizzando i suoi elementi le operazioni di somma

e prodotto e le relative operazioni inverse, per gli scopi dell’Analisi Matematica es-

so non è sufficiente. Si consideri infatti il seguente teorema che dimostra che non è

sempre possibile effettuare l’operazione di estrazione di radice quadrata lavorando

solo con numeri razionali.

w p p Q.

(Irrazionalità di 2): 2

Teorema ∉

Dimostrazione p

Si supponga, per assurdo, che 2 sia un numero razionale. Sarà allora possibile

rappresentare tale numero come p m

2 (1.1)

= n

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 20

per ipotesi, m n

con, e primi tra loro o, in altre parole, in modo che la frazione

m/n non sia ulteriormente “semplificabile”. In tal caso risulterebbe, elevando al

quadrato ambo i membri della relazione (1.1),

2

m 2 2

m 2n . (1.2)

2 ⇒ =

= 2

n

2

m

Dall’ultima relazione segue che , essendo divisibile per 2, è pari, che comporta

m

che anche è un numero pari. In tal caso si può porre

N.

m s

2s,

= ∈

Inserendo tale relazione nella (1.2) si ottiene

2 2 2 2 2 2

m n

2n 4s 2n 2s ,

= ⇒ = ⇒ =

2

n n

cosicché anche e, di conseguenza, sono numeri pari. Si è provato quindi che

m n conclusione assurda

sia sia sono numeri pari: in tal modo si arriva ad una visto

m n

che per ipotesi si era assunto che e fossero primi tra loro. ■

1.2.7 Rappresentazione cartesiana degli insiemi numerici

N, Z Q

Si introduca, in ciascuno degli insiemi numerici e la relazione d’ordine .

ordinamento

Più formalmente si supponga di dotare gli insiemi in questione di un

totale, una relazione cioè, che goda delle proprietà:

a a

b) a)

(a (b

≤ ∨ ≤

b) c) c)

(a (b (a

≤ ∧ ≤ ⇒ ≤

b) a) a b,

(a (b

≤ ∧ ≤ ⇒ =

b, c a b a

dell’insieme in considerazione. Se risulta si dice anche che pre-

∀a, ≤

b.

cede Avendo introdotto una relazione d’ordine si possono ordinare gli elementi

di ciascun insieme considerato, potendo sempre stabilire se un qualsiasi elemen-

to precede o meno un qualsiasi altro elemento. In particolare, introducendo la

retta orientata (ed avendo fissato un’opportuna unità di misura) gli insiemi so-

pra considerati possono essere rappresentati come punti della retta orientata. Tale

rappresentazione è detta cartesiana. Si osservino le figure seguenti raffiguranti le

N, Z Q.

rappresentazioni cartesiane di e

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 21

N

2

1 3 Z

−1 1 2

−2 0 Q

12 1 1

−1 0 2 Figura 1.8 N Z Q

Rappresentazione cartesiana degli insiemi , e .

"

Osservazione

I punti situati sulla retta orientata non individuano sempre un numero razionale.

Ad esempio, si veda la figura 1.9, considerando su tale retta il punto corrispondente

p

alla diagonale del quadrato unitario, cioè 2, come si è mostrato in precedenza, es-

so non è razionale. Si può affermare, quindi, che sulla retta orientata sono presenti

dei punti non rappresentabili come numeri razionali.

1 2

0

Figura 1.9

p

Il punto 2 appartiene alla retta orientata.

1.2.8 Insiemi limitati

R (Insieme superiormente limitato)

Definizione

Q.

A A

Sia Si dice che l’insieme è superiormente limitato se esiste un numero

⊂ A.

razionale più grande di ciascun numero appartenente all’insieme Più formal-

A

mente, l’insieme è superiormente limitato se

Q| A a M

: .

∃M ∈ ∀a ∈ ≤

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 22

M maggiorante A.

Il numero si chiama di

R

In modo analogo si può definire un insieme inferiormente limitato:

(Insieme inferiormente limitato)

Definizione

Q

A

L’insieme si dice inferiormente limitato se

⊂ Q| A a m.

:

∃m ∈ ∀a ∈ ≥

R m minorante A.

Il numero si chiama di

(Insieme limitato)

Definizione Q

A

Se un insieme è superiormente e inferiormente limitato si dice che esso è

limitato.

"

Osservazione

Se un insieme ammette un maggiorante allora ne ammette infiniti (ad esempio se

N

M M n, n

è un maggiorante è chiaro che tutti numeri sono ancora maggio-

+ ∈

ranti). Analogamente, se un insieme ammette un minorante allora ne ammette

infiniti. Q

A

Si consideri un insieme limitato superiormente. Come osservato in prece-

A

denza, l’insieme ammetterà infiniti maggioranti. Tra questi un ruolo chiave nelle

considerazioni che seguiranno, è svolto dal più piccolo dei maggioranti. Tale nu-

A

mero sarà detto estremo superiore dell’insieme e sarà indicato con il simbolo

R

A.

sup Più precisamente:

(Estremo superiore)

Definizione

Q

A A S

Sia superiormente limitato. Si dice estremo superiore di il numero

⊂ =

A

sup che soddisfa le proprietà

A a S, S A

1. : cioè è un maggiorante di

∀a ∈ ≤ ²,

a S S A.

2. 0 cioè è il più piccolo dei maggioranti di

∀² > ∃a | > −

In modo analogo si definisce l’estremo inferiore di un insieme inferiormente limi-

R A,

tato, inf come il più grande dei minoranti dell’insieme stesso:

(Estremo inferiore)

Definizione

Q

A A s A

Sia inferiormente limitato. Si dice estremo inferiore di il numero inf

⊂ =

che soddisfa le proprietà

A a s, s A

1. : cioè è un minorante di

∀a ∈ ≥ ²,

a s s A.

2. 0 cioè è il più grande dei minoranti di

∀² > ∃a | < +

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 23

R

Si consideri inoltre la seguente

(Massimo e minimo)

Definizione A A mas-

Se l’estremo superiore sup dell’insieme appartiene all’insieme esso è detto

simo A A. A A

di ed è indicato con max Se l’estremo inferiore inf dell’insieme appar-

minimo A A.

tiene all’insieme esso è detto di ed è indicato con min

Q

A

Se l’insieme non ammette maggioranti si dirà che esso è illimitato (o non

R

limitato) superiormente. Più precisamente:

(Insieme superiormente illimitato)

Definizione

Q

A

Un insieme si dice superiormente illimitato se

⊂ Q A|a M .

∀M ∈ ∃a ∈ >

A

In tal caso si pone sup = +∞.

R

In modo analogo si definisce

(Insieme inferiormente illimitato)

Definizione

Q

A

Un insieme si dice inferiormente illimitato se

⊂ Q A|a K .

∀K ∈ ∃a ∈ <

A

In tal caso si pone inf = −∞. N

A

Se l’insieme è un sottoinsieme limitato dei numeri naturali o dei numeri relativi

Z ammette sempre anche massimo e minimo. Ciò invece cessa di essere sempre

E Q,

A

vero per un generico come mostrato nel seguente

Esempio 1.20

2

Q|

A A

Sia {x (x 2) (x 0)}. L’insieme è composto da tutti i numeri razionali

= ∈ ≤ ∧ >

p A x

positivi e non superiori a 2. Il più grande dei minoranti di è 0 e,quindi,

=

A A A.

inf 0. Siccome 0 esso non è il minimo di Il più piccolo dei maggioranti

= ∉ p Q

A, A,

invece, essendo pari a 2, non esiste in : l’insieme pur essendo limitato

E Q.

superiormente non ammette l’estremo superiore in

Esempio 1.21

p p p

Q|

A x A

Sia {x 5 7}. Il più piccolo dei maggioranti di è 7 che, non essen-

= ∈ < < A.

do razionale, non può essere l’estremo superiore dell’insieme In modo analogo,

p Q

A A

il più grande dei minoranti di è 5 : l’insieme non ammette nemmeno

Q.

l’estremo inferiore in Q,

A

Gli esempi precedenti mostrano che un generico sottoinsieme di sebbene li-

Q,

mitato, non è detto che ammetta, in estremo superiore e/o inferiore. In altre

Q,

parole non è detto che, in l’insieme dei maggioranti (o minoranti) di un insieme

limitato ammetta un minimo (o un massimo).

Per gli scopi dell’Analisi Matematica, quindi, il solo insieme dei numeri razionali

R.

non è sufficiente. Per tale motivo si introduce l’insieme dei numeri reali

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 24

1.2.9 Insieme dei numeri reali Q,

Come visto in precedenza l’insieme dei numeri razionali benché soddisfacente

dal punto di vista algebrico (esistenza delle operazioni inverse di somma e prodot-

to) non è sufficiente per tutti gli scopi dell’Analisi Matematica e, in particolare, in

continuo.

tutte quelle problematiche che hanno bisogno di un insieme ambiente

Q

Il fatto che non contenga i numeri irrazionali si può esprimere intuitivamente

ripensando alla rappresentazione cartesiana di tale insieme: sulla retta orientata

(continua) non tutti i punti sono rappresentabili come razionali. La formalizzazio-

Q

ne rigorosa di tale argomento risiede nel fatto che in un insieme limitato non

sempre ammette gli estremi superiore ed inferiore. R.

Per ovviare a tale inconveniente si introduce l’insieme dei numeri reali Esso può

Q

essere pensato, intuitivamente, come l’insieme dei numeri razionali al quale sia-

no aggiunti i numeri irrazionali. In termini più rigorosi si può pensare di introdurre

Q

un insieme con le stesse proprietà algebriche di e assumendo il cosiddetto as-

sioma di continuità (o assioma di Dedekind) che comporta che ogni sottoinsieme

R R

limitato di ammette gli estremi superiore ed inferiore.

(Insieme ovunque denso)

Definizione

R R

A a, b A

L’insieme si dice ovunque denso in se, comunque scelti esiste un

⊂ ∈

c A a b.

punto compreso tra e

"

Osservazione R.

Pur non essendo continuo, l’insieme dei numeri razionali è ovunque denso in In

a+b

a b, c è razionale e, rappresen-

effetti, dati i due numeri razionali e il numero = 2

a b

tando il punto medio tra e è compreso tra essi. Gli insiemi dei numeri interi,

R.

naturali o relativi, non sono invece ovunque densi in

"

Osservazione

Le definizioni di insieme limitato superiormente e inferiormente, estremo supe-

riore ed inferiore, massimo e minimo ed insieme illimitato, date in precedenza per

un generico sottoisinsieme dei numeri razionali possono essere estese immediata-

R Q

A

mente al caso di un sottoinsieme : è sufficiente sostituire in tali definizioni

E R.

con Esempio 1.22

Si consideri l’insieme n

R| N}.

A x n

{x (−1) (n 1),

= ∈ = − ∈

n

n n

Per valori di pari risulta (−1) 1 per cui ai valori di {0, 2, 4, 6, 8, ...} corrispon-

= ∈

A

dono gli elementi {−1, 1, 3, 5, 7, ...}. Pertanto l’insieme non è limitato superior-

n

A n

mente e risulta, quindi, sup Per valori di dispari si ha (−1) e ad essi

= +∞. = −1

A

corrispondono gli elementi {..., 0} : l’insieme {0, ...}

−8, −6, −4, −2, = ±2, ±4, ±6, ±8,

A

non è limitato nemmeno inferiormente e, pertanto, inf = −∞.

CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 25

E

Esempio 1.23

2 2

R|

A x x x x

Sia {x 0}. Risolvendo la disequazione 0, che ammette la

= ∈ − ≥ − ≥

x

soluzione (−∞, 0) (1, si ottiene

∈ ∪ +∞),

A (−∞, 0) (1,

= ∪ +∞).

A A

Tale insieme è illimitato superiormente, sup e inferiormente, inf

= +∞, = −∞.

1.2.9.1 Intervalli e intorni

Un ruolo fondamentale nell’Analisi Matematica è svolto da particolari sottoinsiemi

R, segmenti

di detti intervalli limitati e rappresentabili come della retta orientata. Si

R

ha: (Intervalli)

Definizione R| a x b}

• L’insieme {x si dice intervallo aperto e si indica con il simbolo

∈ < <

b)

(a, R| a x b}

• L’insieme {x si dice intervallo chiuso e si indica con il simbolo

∈ ≤ ≤

b]

[a, R| a x b}

• L’insieme {x si dice intervallo semiaperto (o semichiuso) e si

∈ < ≤

b]

indica con il simbolo (a,

R| a x b}

• L’insieme {x si dice intervallo semiaperto (o semichiuso) e si

∈ ≤ <

b).

indica con il simbolo [a, R

I principali sottoinsiemi illimitati di sono i cosiddetti intervalli illimitati, rappre-

semirette.

sentabili come Si distinguono i seguenti intervalli illimitati:

R|

a] x a}

• (−∞, {x

= ∈ ≤

R|

a) x a}

• (−∞, {x

= ∈ <

R| x a}

• [a, {x

+∞) = ∈ ≥

R| x a}

• (a, {x

+∞) = ∈ >

Secondo le notazioni introdotte è chiaro che l’intero insieme dei numeri reali può

R

essere rappresentato come (−∞,

= +∞).

R

Un’altra classe di sottoinsiemi di molto importante nella formulazione dell’Ana-

intorni.

lisi Matematica è quella degli

R

x

Dato il punto si dice

0


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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Dispense di Matematica generale del Prof. Pierangelo Ciurlia. Gli argomenti su cui verte questo materiale sono:

Logica proposizionale ed insiemistica. Proposizioni, operazioni con le proposizioni, insiemi, operazioni con gli insiemi ed applicazioni.
Insiemi numerici. Numeri interi, relativi, razionali, reali; insiemi numerici limitati; intervalli, intorni, punti di accumulazione in R.
Sommatoria e produttoria. Somme particolari e proprietà


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Roma Tre - Uniroma3 o del prof Ciurlia Pierangelo.

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