Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Lezione 10

Infiniti

Esempio. Ragionando come in precedenza si ottiene

2 −

x x 1

+

lim 1

=

2

x x

+

x→+∞

2 2

− ∼ →

cioè x 1) x) per x Infatti

(x + (x + +∞.

2 2

x x x 1 x x

+ +

10 91 110

100 9.901 10.100

1.000 999.001 1.001.000

10.000 99.990.001 100.010.000 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 10 9 / 18

Lezione 10

Infiniti

Teorema (Principio di sostituzione degli infiniti)

0

−→ ∈ D

Siano f g A infinite in x

, : (A).

R 0 ∼

Se f è un infinito di ordine superiore a g allora f g f .

+

√ √

n

∼ ∼ ∼

Se f g allora log f log g e f g.

n

a a

−→ ∼ ∼ →

Siano F G A infinite in x con f F e g G per x x ;

, : R 0 0

se F (x)

lim = `

G(x)

x→x 0

allora f (x)

lim = `.

g(x)

x→x

0 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 10 10 / 18

Lezione 10

Infiniti: limiti notevoli →

Studio degli infiniti delle funzioni elementari per x +∞.

Tra due funzione esponenziali è un infinito di ordine superiore

quella con base maggiore cioè

x

a ∀a

lim b 1

= +∞, > >

x

b

x→+∞

Tra due funzione monomiali è un infinito di ordine superiore quella

con esponente maggiore cioè

n

x ∀n

lim m 0

= +∞, > >

m

x

x→+∞

Il rapporto di due logaritmi è costante! Provate! dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 10 11 / 18

Lezione 10

Infiniti: limiti notevoli

Le funzione esponenziali sono un infinito di ordine superiore alle

funzioni monomiali cioè

x

a ∀a

lim 1 e n 0

= +∞, > >

n

x

x→+∞

Le funzione monomiali sono un infinito di ordine superiore alle

funzioni logaritmiche cioè

n

x ∀a

lim 1 e n 0

= +∞, > >

log x

x→+∞ a

Quindi, per la proprietà transitiva

x

a ∀a

lim 1 e b 1.

= +∞, > > dsm

log x

x→+∞ b

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 10 12 / 18

Lezione 10

Infiniti

Riprendiamo i precedenti esempi.

3 2 3

lim x lim x

(x ) = = +∞.

x→+∞ x→+∞

2 2

2x x 3 2x 2

+ +

lim lim .

=

=

2 2

− 3

3x 5 3x

x→+∞ x→+∞

2 2

2x x 3 2x

+ + lim 0.

lim = =

3 2 3

x x x

x→+∞

x→+∞ x

x 3

2 x 2

+

lim lim

= = +∞.

2 2

x x 1 x

+ + x→+∞

x→+∞ dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 10 13 / 18

Lezione 10

Infiniti

Esercizio

Calcolare, se esiste, il seguente limite x 3

log x

(5 + )

3

lim p 2

x→+∞ 3x 7 log x

+ 2

Osserviamo che

x 3 2

lim x e lim 7 log x)

(5 + ) = +∞ (3x + = +∞

2

x→+∞ x→+∞

Quindi, per il Teorema del cambio di variabile, abbiamo la forma

∞ .

indeterminata ∞ dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 10 14 / 18

Lezione 10

Infiniti

A questo punto applichiamo la seconda proprietà del principio di

sostituzione: x 3 x x 3 x

∼ ∼

poiché 5 x 5 allora log x log 5 ,

+ (5 + )

3 3 √

p

2 2 2 2

∼ ∼

poiché 3x 7 log x 3x allora 3x 7 log x 3x .

+ +

2 2

Quindi, sfruttando le proprietà del logaritmo e portando fuori dalla

radice, si ottiene x

x 3 log 5 log 5

log x x log 5

(5 + ) 3 3

3 3

√ √ √

lim lim lim =

= =

p 2 2

x→+∞

x→+∞ x→+∞ x 3 3

3x 7 log x

+ 3x

2 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 10 15 / 18

Lezione 10

Infinitesimi 0

Interessiamoci alla forma indeterminata .

0

Definizione 0

−→ ∈ D

Siano f g A infinitesime in x cioè

, : (A)

R 0

lim f 0 e lim g(x) 0.

(x) = =

x→x x→x

0 0

Diremo che

f è un infinitesimo di ordine superiore a g se

f (x)

lim 0

=

g(x)

x→x

0 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 10 16 / 18


PAGINE

18

PESO

175.74 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Cambio di variabile nel calcolo dei limiti. Infiniti: definizione, infiniti dello stesso ordine, o piccolo ed O grande, infiniti equivalenti; funzioni asintotiche. Confronto locale tra infiniti e gerarchia degli infiniti. Infinitesimi: definizioni, infinitesimi di ordine maggiore e minore, infinitesimi equivalenti. Confronto locale tra infinitesimi e gerarchia.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Matematica generale

Integrali indefiniti
Dispensa
Limiti di funzioni
Dispensa
Funzioni - Generalità
Dispensa
Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy
Dispensa