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Viene selezionato un campione casuale semplice di n = 25

contenitori che vengono sottoposti a pressione idrostatica fino alla

rottura, al fine di misurarne la resistenza.

Si ottiene una pressione media di x̄ = 182, e pertanto

25

x̄ 175

25 √

z = = 3.50 .

10/ 25

Avendo fissato α = 0.05, si ottiene z = 1.645, quindi si rifiuta

0.05

H essendo 3.50 > 1.645. Si dice quindi che il test è risultato

0

significativo contro H ad un livello di significatività α = 0.05.

0

Il P-value corrisponde a

oss −

α = 1 Φ(3.50) = 0.00023;

quindi si rifiuta H con sicurezza, poiché i dati evidenziano un

0

accordo molto scarso con l’ipotesi nulla. ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 52/ 110

Esempio. Bovini. Sulla base dell’esperienza passata si assume che

la concentrazione di urea nel sangue dei bovini, misurata in mg per

100 ml, sia descritta da una variabile casuale N (25, 45).

Si misura la concentrazione di urea in un campione casuale

semplice di n = 10 bovini e si osserva una concentrazione media di

x̄ = 22. È ragionevole pensare che il campione di bovini

10

provenga dalla medesima popolazione analizzata in passato?

2

Essendo nota la varianza σ = 45, il sistema di ipotesi che si

considera è 6

H : µ = 25 vs H : µ = 25

0 1

e si assume un livello di significatività α = 0.05. In questo caso,

{z ∈ | |≥

α/2 = 0.025, z = 1.96 e R = R : z 1.96}, e il

0.025 0.05 √ −1.41.

− 10) =

valore della statistica test è z = (22 25)/(6.71/

Quindi l’ipotesi H non viene rifiutata. Tuttavia il grado di

0

conformità tra H e i dati non è molto alto dal momento che

0

oss − −1.41 |)]

α = 2[1 Φ(| = 0.157. ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 53/ 110

2

Se la varianza σ è ignota, si utilizza al suo posto la varianza

2

campionaria corretta S e si considera, come statistica test, la

c

media campionaria studentizzata −

X̄ µ

n 0

T = ,

S / n

c −

che, sotto H , ha distribuzione t(n 1). Il test è detto test t.

0

Fissato il livello di significatività α e indicato con t un generico

valore per T , per la regione di rifiuto si evidenziano i seguenti casi:

{t ∈ ≥ };

se 1) H : µ > µ , R = R : t t

1 0 α α

{t ∈ ≤ −t };

se 2) H : µ < µ , R = R : t

1 0 α α

6 {t ∈ | |≥ },

se 3) H : µ = µ , R = R : t t

1 0 α α/2 −

con t e t valori critici associati alla distribuzione t(n 1).

α α/2

I P-value si ottengono come nel caso di varianza nota, sostituendo

Φ(·) con la funzione di ripartizione di una t(n 1).

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 54/ 110

Esempio. Spese mediche. Sulla base dell’esperienza passata si

assume che l’importo in euro delle spese mediche per famiglia in

2 2

un mese segue una distribuzione N (66, σ ), con σ ignota.

Si considerano le spese mensili di un campione casuale semplice di

n = 56 famiglie e si osserva una spesa media di x̄ = 60 euro, con

56

2

s = 19.36.

c

Per valutare se la spesa media sia effettivamente diminuita si

definisce il sistema di ipotesi è

H : µ = 66 vs H : µ < 66.

0 1

Essendo ignota la varianza, si considera un test t con un livello di

significatività α = 0.05. In questo caso, considerando la

{t ∈ ≤ −1.67};

distribuzione t(55), t = 1.67 e R = R : t il

0.05 0.05 √

− −10.20.

valore della statistica test è t = (60 66)/(4.4/ 56) =

Quindi l’ipotesi H viene rifiutata. Il grado di conformità tra H e i

0 0

−14

oss ·

dati è molto scarso, infatti α = F (−10.2) = 1.37 10 . ♦

T

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 55/ 110

Esempio. Bovini (continua). Si considera un problema analogo al

precedente, con l’unica differenza che la concentrazione di urea è

2 2

descritta da una variabile casuale N (25, σ ), con σ ignota.

Si misura la concentrazione in un campione casuale semplice di

10 2

P

n = 10 bovini e si osserva x̄ = 22 e x /10 = 526.4. Si ha

10 i

i=1 6

H : µ = 25 vs H : µ = 25

0 1

e si assume un livello di significatività α = 0.05. Poiché

10 10

1 X 210 2 2

2 −

x x̄ = 42.4, s = s = 47.11,

s = i c

10 9

i=1 √

− −1.38.

il valore della statistica test è t = (22 25)/(6.86/ 10) =

In questo caso, considerando una distribuzione t(9), t = 2.262

0.025

{t ∈ | |≥

e R = R : t 2.262}; l’ipotesi H non viene rifiutata.

0.05 0

Tuttavia il grado di conformità tra H e i dati non è molto alto dal

0

oss − −1.38 |)]

momento che α = 2[1 F (| = 0.20. ♦

T

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 56/ 110

Verifica di ipotesi per la media di una popolazione

qualsiasi

Sia X , . . . , X un campione casuale semplice da una popolazione

1 n

non normale con media µ. Si vuole verificare l’ipotesi nulla

H : µ = µ ,

0 0

ad un livello di significatività α fissato.

Per il Teorema limite centrale, se la numerosità campionaria n è

sufficientemente elevata, si determina, con relativa facilità, un test

per µ con livello di significatività α approssimato.

Come statistica test si considera la media campionaria

standardizzata −

X̄ µ

n 0

Z = σ/ n

che, sotto H , ha distribuzione approssimata N (0, 1). Se il valore

0

di σ non è noto sotto H , lo si può stimare con σ̂.

0

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 57/ 110

La regione di rifiuto e il livello di significatività osservato

(approssimato) si definiscono come nel caso del test sulla media di

una popolazione normale con varianza nota.

Si considerano i seguenti casi interessanti:

• ∼

se X Ber(p), i = 1, . . . , n, allora H : p = p e la

i 0 0

statistica test per la media p si specifica con p = µ ,

0 0

p −

p̂ = X̄ = e σ = p (1 p ) (test su una proporzione);

n 0 0

• ∼

se X P (λ), i = 1, . . . , n, allora H : λ = λ e la statistica

i 0 0

test per la media λ si specifica con λ = µ , λ̂ = X̄ e

0 0 n

√ λ .

σ = 0

Per distribuzioni non normali esistono anche metodi più accurati,

generalmente implementati nei software statistici, che risultano

utili per il calcolo di test sulla media nel caso di piccoli campioni.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 58/ 110

Esempio. Talassemia. In un campione di 120 individui, 36 sono

risultati talassemici. Sapendo che l’incidenza della talassemia nella

regione da cui provengono gli individui è del 20%, ci si chiede se la

proporzione osservata può essere considerata in accordo con i dati.

Il campione osservato, di dimensione n = 120, proviene da una

popolazione Ber(p), con p ignoto. Si considerano le ipotesi

6

H : p = 0.2 vs H : p = 0.2

0 1

con un livello di significatività (approssimato) α = 0.05. In questo

p −

p (1 p ) = 0.4, z = 1.96 e

caso, p̂ = 37/120 = 0.3, 0 0 0.025

{z ∈ | |≥

R = R : z 1.96}, mentre il valore della statistica test

0.05 √

è z = (0.3 0.2)/(0.4/ 120) = 2.74.

Quindi l’ipotesi H viene rifiutata e il test risulta significativo al

0

livello (approssimato) α = 0.05. Il livello di significatività osservato

.

oss − |)]

(approssimato) è α = 2[1 Φ(| 2.74 = 0.006. ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 59/ 110

Esempio. Pronto soccorso. La direzione di un piccolo ospedale

afferma che il numero medio di accessi giornalieri al pronto

soccorso pediatrico è pari a 25, ma l’osservazione di un campione

casuale semplice, relativo a n = 75 giorni, ha registrato un totale

di 2204 accessi.

Si utilizza il modello P (λ) per descrivere il numero giornaliero di

accessi e si considerano le ipotesi

H : λ = 25 vs H : λ > 25

0 1

con un livello di significatività (approssimato) α = 0.01. In questo

√ λ = 5, z = 2.33 e la regione di

caso, λ̂ = 2204/75 = 29.39, 0 0.01

{z ∈ ≥

rifiuto è R = R : z 2.33}, mentre il valore della

0.01 √

statistica test è z = (29.39 25)/(5/ 75) = 7.60.

Quindi l’ipotesi H viene rifiutata e il test risulta significativo al

0

livello (approssimato) α = 0.01. Il livello di significatività osservato

. −14

oss − ·

(approssimato) è α = 1 Φ(7.60) = 1.48 10 . ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 60/ 110

Esempio. Battere. È noto che la durata in vita in ore di un

battere può essere descritta dal modello Esp(λ). L’esperienza

passata indica che λ = 0.005, cioè che la vita media è µ = 200 ore.

Considerando un campione casuale semplice di dimensione n = 70,

si ottiene una durata media osservata di x̄ = 249.5. Si desidera

70

verificare le ipotesi

H : µ = 200 vs H : µ > 200

0 1

con un livello di significatività (approssimato) α = 0.01. In questo

caso, sotto H , σ = µ = 200, z = 2.33 e la regione di rifiuto è

0 0 0.01

{z ∈ ≥

R = R : z 2.33} , mentre il valore della statistica test

0.01 √

− 70) = 2.07.

è z = (249.5 200)/(200/

Quindi l’ipotesi H non viene rifiutata. Tuttavia il grado di

0

conformità tra H e i dati è basso, infatti il livello di significatività

0 .

oss −

osservato (approssimato) è α = 1 Φ(2.07) = 0.02, valore

leggermente superiore a α = 0.01. ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 61/ 110

Verifica di ipotesi per la varianza di una popolazione

normale

Sia X , . . . , X un campione casuale semplice da una popolazione

1 n

2 2

N (µ, σ ). Dato un valore σ per la varianza, si vuole verificare

0

l’ipotesi nulla 2 2

H : σ = σ

0 0

ad un livello di significatività α fissato. La statistica test è la

2

varianza campionaria S , opportunamente modificata,

2

nS

K = 2

σ 0

2 −

che, sotto H , ha distribuzione χ (n 1).

0

La regione di rifiuto R si determina considerando il vincolo α sulla

α

probabilità dell’errore di I tipo e corrisponde a valori per K che

sono sintomo di allontanamento da H nella direzione di H .

0 1

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 62/ 110

Si considerano i seguenti casi:

2 2

1) H : σ > σ (alternativa unilaterale destra)

1 0

Poiché valori grandi per K non sono conformi all’ipotesi nulla H ,

0

nella direzione di H , si ha che

1 + 2

{k ∈ ≥ },

R = R : k χ

α α

2 2

con χ valore critico tale che P (K χ ) = α.

0

α α

2 2

2) H : σ < σ (alternativa unilaterale sinistra)

1 0

Poiché valori piccoli per K non sono conformi all’ipotesi nulla H ,

0

nella direzione di H , si ha che

1 + 21−α

{k ∈ ≤ },

R = R : k χ

α

21−α 21−α

≥ −

con χ valore critico tale che P (K χ ) = 1 α.

0

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 63/ 110

2 2

6

3) H : σ = σ (alternativa bilaterale)

1 0

Poiché sia valori grandi che valori piccoli per K non sono conformi

all’ipotesi nulla H , nella direzione di H , si ha che

0 1

+ 21−α/2 2

{k ∈ ≤ ≥ },

R = R : k χ o k χ

α α/2

2 21−α/2 2

con χ e χ valori critici tali che P (K χ ) = α/2 e

0

α/2 α/2

21−α/2

≥ −

P (K χ ) = 1 α/2.

0

Si noti che, a differenza dei test sulla media, nel caso di alternativa

bilaterale non è possibile determinare i valori critici invocando la

simmetria della distribuzione di probabilità della statistica test.

La statistica test si può ottenere partendo anche dalla varianza

2

campionaria corretta S , infatti

c 2

(n 1)S

c .

K = 2

σ 0

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 64/ 110

È possibile determinare il livello di significatività osservato

(P-value), con riferimento alle tre tipologie di ipotesi alternativa.

oss

Essendo k il valore osservato della statistica test K, si ha che:

2 2 oss oss oss

≥ −

se 1) H : σ > σ , α = P (K k ) = 1 F (k );

1 0 K

0

2 2 oss oss oss

se 2) H : σ < σ , α = P (K k ) = F (k );

1 0 K

0

2 2

6

se 3) H : σ = σ , poiché K non ha densità simmetrica,

1 0

oss oss oss

{F −

α = 2 min (k ), 1 F (k )} ,

K K 2 −

con F (·) la funzione di ripartizione di una χ (n 1).

K

Esempio. Si vuole studiare la variabilità dei tempi di crescita di un

gruppo di piante ottenute con una varietà di semi modificati

geneticamente. È noto che i tempi di crescita per piante non

modificate sono descritti da una N (µ, 3.83), con µ ignoto.

Si osservano i tempi di crescita di un campione casuale semplice di

n = 13 piante modificate geneticamente. Si vuole verificare

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 65/ 110

2 2 6

H : σ = 3.83 vs H : σ = 3.83

0 1

con un livello di significatività α = 0.05.

13 2

P

Dai dati si ricava che x̄ = 12.4 e x /13 = 161.02, quindi

13 i

i=1

13

1 X

2 213

s = x x̄ = 7.26.

i

13 i=1 2

Poiché α/2 = 0.025 e, con riferimento a una distribuzione χ (12),

21−0.025 20.025

χ = 4.404 e χ = 23.337, si ottiene la regione di rifiuto

+

{k ∈ ≤ ≥

R = R : k 4.404 o k 23.337}.

α ·

Il valore della statistica test è k = 13 7.26/3.83 = 24.64 e l’ipotesi

H viene rifiutata. Il P-value è

0 oss {F −

α = 2 min (24.64), 1 F (24.64)} = 0.033,

K K

2

essendo K χ (12). ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 66/ 110

Test per il confronto tra medie di popolazioni

normali

Quando si hanno due o più campioni, ci si può chiedere se

provengono dalla stessa popolazione o, in particolare, se

provengono da popolazioni che hanno qualche caratteristica simile.

Si presenteranno alcuni test di ipotesi che permettono di

confrontare valori di sintesi calcolati su due o più campioni.

L’obiettivo è fare inferenza sulla differenza tra parametri delle

corrispondenti popolazioni, quali ad esempio, medie, varianze e

proporzioni.

Esempio. Emoglobina. Per confrontare due diverse metodiche, A

e B, per la misurazione dell’emoglobina, si è creato in laboratorio 3

del sangue artificiale con contenuto nominale di 15 gr per 100 cm .

Su due campioni indipendenti di sangue artificiale si applicano le

due metodiche e si vuole verificare se vi è una differenza

significativa tra le misurazioni medie fatte con A e con B. ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 67/ 110

Siano date due popolazioni normali indipendenti con distribuzione

2 2

di probabilità N (µ , σ ) e N (µ , σ ), con varianze note.

1 2

1 2

Si estraggono due campioni casuali semplici di dimensione n e n

1 2

dalla prima e dalla seconda popolazione, rispettivamente.

Si vuole verificare l’ipotesi che le due popolazioni abbiano la stessa

media e quindi si considera l’ipotesi nulla

H : µ = µ (µ µ = 0)

0 1 2 1 2

ad un livello di significatività α fissato. La statistica test è la

differenza tra le medie campionarie X̄ e X̄ , calcolate sui due

1 2

campioni, opportunamente standardizzata,

X̄ X̄

1 2

Z = p 2 2 /n

σ /n + σ

1 2

1 2

che, sotto H , ha distribuzione N (0, 1).

0

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 68/ 110

La regione di rifiuto R e il P-value, in corrispondenza alle varie

α

tipologie di ipotesi alternativa, coincidono con quelli individuati per

la verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale.

Se le varianze sono ignote e uguali (omoschedasticità), la statistica

test è la differenza tra le medie campionarie studentizzata,

X̄ X̄

1 2

T = q 2

S (1/n + 1/n )

1 2

p −

che, sotto H , ha distribuzione t(n + n 2). Per la varianza

0 1 2

2 2 2

comune σ = σ = σ si è utilizzato lo stimatore combinato

1 2 2 2

− −

(n 1)S + (n 1)S

1 2

2 c1 c2

S = ,

p −

n + n 2

1 2

2 2

con S e S le varianze campionarie corrette basate sui due

c1 c2

campioni.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 69/ 110

Il test è detto test t a due campioni; la regione di rifiuto R e il

α

P-value, in corrispondenza alle varie tipologie di ipotesi alternativa,

si ottengono in modo analogo a quanto visto per il test t.

Se le varianze sono ignote e diverse (eteroschedasticità), si utilizza

il test di Welch, con statistica test, −

X̄ X̄

1 2

T = p 2 2

S /n + S /n

1 2

c1 c2

con distribuzione, sotto H , complicata ma disponibile in molti

0

software statistici, che forniscono automaticamente il P-value.

Può essere utile premettere al test di ipotesi una analisi grafica

comparata dei due insiemi di dati campionari.

Esempio. Emoglobina (continua). Si estraggono due campioni

casuali semplici, di dimensione n = n = 180 indipendenti, a cui

1 2

si applicano rispettivamente le due metodiche per la misurazione.

2 2

Si ottiene x̄ = 15.00, x̄ = 15.02, s = 0.046, s = 0.099.

1 2 c1 c2

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 70/ 110

Per verificare le ipotesi 6

H : µ = µ vs H : µ = µ ,

0 1 2 1 1 2

con un livello di significatività α = 0.05, si considera il test t a due

campioni.

Visto che α/2 = 0.025 e, per una distribuzione t(358), il

corrispondente valore critico è t = 1.96, si ottiene la regione di

0.025

{t ∈ | |≥

rifiuto R = R : t 1.96}.

α

2 · ·

Poiché s = (0.046 179 + 0.099 179)/358 = 0.0725 e la statistica

p p · −0.705,

− 0.0725 (1/180 + 1/180) = si

test è t = (15 15.02)/

conclude che l’ipotesi H non va rifiutata.

0

oss − −0.705 |)]

Inoltre, il P-value è α = 2[1 F (| = 0.48.

T

Si noti che le due varianze campionarie sembrano sensibilmente

diverse. Se tale differenza risulta statisticamente significativa, si

deve utilizzare il test di Welch. ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 71/ 110

Esempio. Antidolorifici. Si desidera confrontare il tempo di

efficacia di due diversi antidolorifici. Si considerano due campioni

casuali semplici di n = 17 e n = 18 pazienti, rispettivamente.

1 2

Si ottengono i seguenti risultati, in ore: x̄ = 9.85, x̄ = 9.31,

1 2

2 2

s = 4.09, s = 4.15. Per verificare le ipotesi

c1 c2 6

H : µ = µ vs H : µ = µ ,

0 1 2 1 1 2

con un livello di significatività α = 0.01, sotto ipotesi di normalità

e omeschedasticità, si considera il test t a due campioni.

Visto che per una distribuzione t(33), il corrispondente valore

{t ∈ | |≥

critico è t = 2.73, si ottiene R = R : t 2.73}.

0.005 α

2 · ·

Poiché s = (4.09 16 + 4.15 17)/33 = 4.12 e la statistica test è

p p ·

− 4.12 (1/17 + 1/18) = 0.786, si conclude che

t = (9.85 9.31)/

l’ipotesi H non va rifiutata.

0 oss − |)]

Inoltre, il P-value è α = 2[1 F (| 0.786 = 0.44. ♦

T

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 72/ 110

L’utilizzazione dei test ora presentati richiede la verifica preliminare

dell’ipotesi di normalità ed inoltre una valutazione in merito alla

eventuale omoschedasticità.

Con tale obiettivo si possono utilizzare metodi grafici, come ad

esempio, istogrammi, boxplot, q-q plot, p-p plot. Per la verifica

dell’omoschedasticità si può utilizzare un opportuno test statistico.

Nel caso del confronto tra medie di popolazioni non normali, se la

numerosità dei due campioni è molto grande, si possono utilizzare

le statistiche test viste in precedenza che, sotto H , hanno

0

distribuzione approssimata N (0, 1).

È possibile operare un confronto tra medie di due popolazioni

anche quando non sono indipendenti. Ad esempio, quando si

effettuano osservazioni ripetute sulle medesime unità statistiche

(dati appaiati).

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 73/ 110

Esempio. Pressione. Si desidera valutare l’efficacia di un farmaco

per abbassare la pressione sistolica.

A tale scopo, si misura le pressione ad un campione casuale

semplice di n = 15 pazienti, prima e dopo il trattamento con il

farmaco in esame. ♦

La verifica di ipotesi sulle medie di popolazioni, in ipotesi di dati

appaiati, si effettua con metodi simili a quelli già studiati, senza

trascurare la relazione tra le due popolazioni in esame.

Siano date due popolazioni normali dipendenti, con distribuzione di

2 2

probabilità N (µ , σ ) e N (µ , σ ). Si estraggono due campioni

1 2

1 2

casuali semplici (appaiati) di dimensione n dalla prima e dalla

seconda popolazione, rispettivamente.

Si calcolano le differenze tra osservazioni corrispondenti; si ha un

campione casuale semplice di variabili casuali differenza

− −

D = X X , i = 1, . . . , n, con media E(D ) = µ µ = µ .

i 1i 2i i 1 2 d

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 74/ 110

Si vuole verificare l’ipotesi che le due popolazioni abbiano la stessa

media, cioè che le variabili casuali differenza abbiano media nulla,

H : µ = 0 (µ = µ )

0 1 2

d

ad un livello di significatività α fissato.

Limitando l’analisi alle differenze, ci si riconduce di fatto ad un

problema di verifica di ipotesi sulla media di una popolazione

normale.

Quindi si utilizzano le formule del test t applicate al campione

formato dalle n differenze d = x x , i = 1, . . . , n.

i 1i 2i

Esempio. Pressione (continua). La misurazione della pressione

sistolica ad un campione casuale semplice di n = 15 pazienti,

prima e dopo il trattamento con il farmaco in esame, fornisce i

seguenti risultati.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 75/ 110

La media delle osservazioni prima del trattamento è x̄ = 145, la

1

media dopo il trattamento è x̄ = 123, mentre la varianza

2 2

campionaria corretta calcolata sulle differenze è s = 2.586.

cd

Per verificare le ipotesi

H : µ = 0 vs H : µ > 0,

0 1

d d

con un livello di significatività α = 0.01, sotto ipotesi di normalità,

si considera il test t a un campione applicato alle differenze.

Visto che per una distribuzione t(14), il valore critico è

{t ∈

t = 2.62, si ha R = R : t > 2.62}.

0.01 α p

− 2.586/15 = 40.96 è il valore della

Poiché t = (140 123)/

statistica test, si rifiuta l’ipotesi H ; il farmaco è efficace per

0

abbassare la pressione. −16

oss − ·

Inoltre, il P-value è α = 1 F (40.96) = 3.33 10 . ♦

T

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 76/ 110

Test per il confronto tra proporzioni

Un caso che si presenta con molta frequenza nella pratica

sperimentale riguarda il confronto tra due o più proporzioni

campionarie.

In questo contesto non è disponibile un valore di riferimento

teorico o ideale e il confronto coinvolge esclusivamente le

proporzioni osservate riferite ai campioni in esame.

Le popolazioni da cui i campioni sono estratti vengono usualmente

descritte dal modello bernoulliano.

Oltre a ciò si presenteranno procedure per la verifica dell’ipotesi di

dipendenza tra due variabili categoriali. Il test ottenuto può anche

venir utilizzato per verificare se una variabile categoriale segue una

specifica distribuzione di probabilità.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 77/ 110

Siano date due popolazioni bernoulliane indipendenti con

distribuzione di probabilità Ber(p ) e Ber(p ), con p e p

1 2 1 2

proporzioni ignote.

Si estraggono due campioni casuali semplici di dimensione n e n

1 2

dalla prima e dalla seconda popolazione, rispettivamente.

Si vuole verificare l’ipotesi che i due campioni provengano dalla

stessa popolazione e quindi si considera l’ipotesi nulla

H : p = p (p p = 0)

0 1 2 1 2

ad un livello di significatività α fissato. La statistica test è la

differenza tra le proporzioni campionarie p̂ = X̄ e p̂ = X̄ ,

1 1 2 2

calcolate sui due campioni, opportunamente standardizzata,

p̂ p̂

1 2

Z = .

p −

p̂(1 p̂)(1/n + 1/n )

1 2

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 78/ 110

Si definisce p̂ lo stimatore combinato di p = p = p sotto H

1 2 0

n p̂ + n p̂

1 1 2 2

p̂ = .

n + n

1 2

Nel caso in cui n e n sono sufficientemente elevati, la statistica

1 2

test Z ha distribuzione approssimata N (0, 1).

La regione di rifiuto e il livello di significatività osservato

(approssimato) si definiscono come nel caso del test sulla media di

una popolazione non normale.

Se i campioni in esame non sono sufficientemente elevati, esistono

soluzioni approssimate più accurate o soluzioni esatte, che sono di

solito implementate nei software statistici.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 79/ 110

Esempio. Cerotti. Ad un gruppo di n = 224 fumatori che

1

desiderano smettere di fumare viene prescritto il cerotto alla

nicotina, mentre ad altri n = 245 fumatori oltre al cerotto si

2

prescrive anche un antidepressivo.

Dopo sei mesi, 40 soggetti del primo gruppo e 87 del secondo

avevano smesso di fumare. Ci si chiede se è utile associare cerotto

ad antidepressivo.

Si considera il test per il confronto tra proporzioni ad un livello

6

α = 0.05, per verificare l’ipotesi H : p = p vs H : p = p . La

0 1 2 1 1 2

{z ∈ |≥

regione di rifiuto è R = R :| z 1.96}.

α

Poiché p̂ = 40/224 = 0.18, p̂ = 87/245 = 0.36 e p̂ = 0.27, il

1 2 −4.39.

valore della statistica test è z = −5

oss − −4.39 |)] ·

Quindi si rifiuta H e α = 2[1 Φ(| = 1.13 10 . La

0

proporzione di successo nei due casi è significativamente diversa.

La maggiore efficacia della terapia dipende dall’utilizzazione o

meno dell’antidepressivo. ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 80/ 110

Esempio. Aspirina. Alcuni anno or sono venne condotto uno

studio per valutare l’effetto dell’aspirina per prevenire l’infarto.

Si costituı̀ un gruppo di trattamento (somministrazione giornaliera

di aspirina) con n = 11037 individui e un gruppo di controllo

1

(somministrazione giornaliera di placebo) con n = 11034 individui.

2

Dopo un certo periodo si osservarono 139 infartuati nel primo

gruppo e 239 nel secondo. Sulla base di questi dati preliminari si

interruppe lo studio che doveva durare cinque anni.

Infatti, p̂ = 139/11037 = 0.0126, p̂ = 239/11034 = 0.0217 e

1 2

p̂ = 0.0171, da cui si ottiene che il valore della statistica test è

−5.19.

z = Si vuole verificare H : p = p vs H : p < p .

0 1 2 1 1 2

−7

oss ·

Poiché α = Φ(−5.19) = 1.05 10 , si rifiuta l’ipotesi che la

proporzione di infartuati sia la stessa nel due casi. La terapia con

l’aspirina porta ad una riduzione significativa della proporzione di

infartuati. ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 81/ 110

Esempio. Fisioterapia. Si vuole valutare il livello di soddisfazione

dei clienti di un centro di fisioterapia, considerando separatamente

coloro che svolgono attività ginnica e terapie.

I dati sono riassunti nella seguente tabella a doppia entrata,

chiamata tabella di contingenza,

ginnastica fisioterapia Totale

soddisfatto 163 154 317

64 108 172

non soddisfatto

Totale 227 262 489

Ci si chiede se la proporzione di soddisfatti p tra coloro che

1

svolgono attività ginnica e la proporzione di soddisfatti p tra

2

coloro che seguono terapie è la stessa. 6

Si considerano le ipotesi H : p = p vs H : p = p e, per la

0 1 2 1 1 2

verifica, si può seguire la procedura illustrata in precedenza.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 82/ 110

Il problema può anche essere affrontato considerando le due

variabili: “Livello di soddisfazione”, con modalità soddisfatto, non

soddisfatto, e “Attività”, con modalità ginnastica, fisioterapia.

Le due variabili in esame sono categoriali e il sistema di ipotesi

considerato in precedenza è equivalente a

H : variabili indipendenti vs H : variabili dipendenti.

0 1

Se le due variabili sono indipendenti, la proporzione di soddisfatti

sarà la stessa qualunque sia il tipo di attività svolta, cioè

qualunque sia la popolazione considerata (clienti che svolgono

attività ginnica o clienti che che seguono terapie).

Se invece c’è dipendenza, la proporzione di soddisfatti sarà diversa

al variare del tipo di attività svolta. ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 83/ 110

Una tabella di contingenza descrive la frequenza con la quale le

modalità (categorie) di due variabili qualitative X e Y vengono

congiuntamente osservate in un campione di dimensione n.

Se X ha m categorie, x , . . . , x , ed Y ha k categorie, y , . . . , y ,

1 m 1 k

la tabella di contingenza contiene la frequenza n con cui si sono

rs

×

osservate le m k coppie (x , y ), r = 1, . . . , m, s = 1, . . . , k,

r s

y y ... y

1 2 k

x n n ... n n

1 11 12 1+

1k

x n n ... n n

2 21 22 2+

2k

.. .. .. .. ..

.. .

. . . . .

n n ... n n

x m1 m2 m+

m mk

n n ... n n

+1 +2 +k

dove n e n sono, rispettivamente, i totali di riga e di colonna

r+ +s

e corrispondono alle frequenze marginali osservate associate alle

variabili X e Y .

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 84/ 110

Se si dividono le frequenze assolute, congiunte e marginali, per la

dimensione del campione n si ottengono le corrispondenti

frequenze relative o proporzioni osservate.

In analogia con quanto affermato sia in Statistica descrittiva che in

Probabilità, ci sarà indipendenza tra X e Y se le frequenze

congiunte sono pari a

n n

r+ +s

∗ , r = 1, . . . , m, s = 1, . . . , k.

n =

rs n

Per verificare le ipotesi H : indipendenza vs H : dipendenza, si

0 1

può considerare la seguente statistica test

m k ∗ 2

(n n )

rs

X X rs

2

χ = ,

n rs

r=1 s=1

che si basa sulla differenza tra le frequenze osservate n e le

rs

frequenze attese in ipotesi di dipendenza n .

rs

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 85/ 110

È evidente che valori elevati per la statistica test sono in

disaccordo con l’ipotesi nulla.

Se il numero di osservazioni per ogni combinazione di modalità è

2

sufficientemente elevato, la statistica test χ ha, sotto H ,

0

2 − −

distribuzione approssimata χ ((m 1)(k 1)).

2

Il test è detto test χ di indipendenza; fissato il livello di

significatività α, la regione di rifiuto corrisponde a

+ 2

{k ∈ },

R = R : k > χ

α α

oss oss oss

mentre α = 1 F (k ), con k il valore osservato della

2

χ 2

statistica test, essendo χ e F (·) il valore critico di livello α e la

2

χ

α 2 − −

funzione di ripartizione di una variabile casuale χ ((m 1)(k 1)).

L’approssimazione fornisce risultati soddisfacenti se tutte le

frequenze attese n sono almeno pari a 5. Per piccoli campioni, è

rs

preferibile utilizzare soluzioni esatte, come ad esempio il test esatto

di Fisher, usualmente implementate nei software statistici.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 86/ 110

Esempio. Fisioterapia (continua). Con riferimento ai dati sui

clienti del centro di fisioterapia, si determina la seguente tabella

con le frequenze attese nel caso di indipendenza

ginnastica fisioterapia Totale

soddisfatto 147.16 169.84 317

non soddisfatto 79.84 92.16 172

Totale 227 262 489

2

Il valore osservato della statistica test χ è 9.05. Posto α = 0.05,

+

{k ∈

la regione di rifiuto è R = R : k > 3.84}, dove 3.84 è il

α 2

valore critico di livello 0.05 di una variabile casuale χ (1).

Quindi si rifiuta l’ipotesi nulla di indipendenza e si conclude che il

livello di soddisfazione dipende dal tipo di servizio offerto. Inoltre,

oss −

si ha che α = 1 F (9.05) = 0.0026.

2

χ

Al medesimo risultato si giunge considerando il test per il confronto

tra proporzioni, con riferimento all’ipotesi nulla H : p = p .

0 1 2

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 87/ 110

In questo caso, p̂ = 0.718, p̂ = 0.588, p̂ = 0.648 e, poiché il

1 2

valore osservato della statistica test è 3.009, si rifiuta H ad un

0

livello di significatività α = 0.05.

Si noti che il quadrato della statistica test corrisponde a 9.05,

2

valore osservato della statistica test χ . ♦

Esiste una forte analogia tra il test per il confronto tra proporzioni

2

e il test χ di indipendenza, infatti il quadrato della statistica test

2

Z coincide con la statistica test χ .

Esempio. Farmaco. Per sperimentare l’efficacia di un principio

attivo si considerano tre farmaci: A (senza principio attivo), B

(con una certa quantità di principio attivo) e C (con una quantità

doppia di principio attivo).

Si effettua la sperimentazione su un campione di 330 pazienti, con

riferimento ai quali si rileva lo “Status” finale (migliorato o non

migliorato). Ci si chiede che esiste una relazione tra le variabili

“Status”, con m = 2 modalità, e “Farmaco”, con k = 3 modalità.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 88/ 110

Dai dati campionari si ottiene la tabella di contingenza

Farmaco

Status A B C

migliorato 12 5 29

114 80 90

non migliorato

Le frequenze attese nel caso di indipendenza sono

Farmaco

Status A B C Totale

migliorato 17.6 11.8 16.6 46

108.4 73.2 102.4 284

non migliorato

Totale 126 85 119 330

2

Il valore osservato della statistica test χ è 17.4. Posto α = 0.01,

+

{k ∈

la regione di rifiuto è R = R : k > 9.21}, dove 9.21 è il

α 2

valore critico di livello 0.01 di una variabile casuale χ (2).

Quindi si rifiuta l’ipotesi nulla di indipendenza tra “Status” e

.

oss −

“Farmaco”. Inoltre, si ha che α = 1 F (17.4) = 0.0002. ♦

2

χ

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 89/ 110

Modello di regressione lineare

Il modello di regressione lineare semplice può venire considerato

anche in ambito inferenziale, quando la variabile risposta viene

misurata con errore o quando fa riferimento ad un campione tratto

da una certa popolazione di interesse.

Quindi, la variabile risposta Y è una variabile casuale, mentre la

variabile esplicativa x si suppone non casuale, ad esempio perché

fissata dallo sperimentatore o misurata senza errore sulle unità

campionarie.

Nonostante l’analisi di regressione presenti alcuni aspetti in

comune con l’analisi di correlazione, in questo contesto l’obiettivo

è studiare l’eventuale rapporto tra una variabile dipendente Y e

un’altra variabile x assunta come indipendente.

Si vuole indagare se e in che misura le variazioni riferite alla

variabile Y possano essere interpretate come risposta alle variazioni

della variabile esplicativa x.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 90/ 110

In molti casi questa distinzione risulta chiara dalla struttura

dell’esperimento e dalla natura dei dati, come ad esempio quando

si analizza la relazione tra la dose di un certo farmaco e il suo

effetto sui pazienti.

In altri contesti applicativi, questa distinzione non sussiste e non ci

sono ragioni obiettive per supporre una relazione di causa ed

effetto, come ad esempio quando si studia la relazione tra peso

corporeo e diametro del torace.

In questo caso l’analisi di regressione può essere comunque utile

per descrivere la relazione tra le variabili, senza postulare

l’esistenza di una specifica relazione di causa ed effetto.

Esempio. Mais. Si considerano i dati sulla dose di fertilizzate

utilizzata x e sulla quantità di mais prodotta Y (peso della granella

in Kg), con riferimento a n = 10 distinte parcelle sperimentali,

simili per caratteristiche e della medesima dimensione.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 91/ 110

parcella 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 171 169 181 173 178 180 185 183 170 174

Y 60 57 71 66 65 78 82 78 62 70

In questo caso è chiara la distinzione tra la variabile risposta Y e la

variabile esplicativa x.

80

75

mais 70

peso 65

60 170 175 180 185

fertilizzante

Il grafico evidenzia una sostanziale relazione lineare tra x e Y ,

anche se è presente una certa quota di variabilità che non viene

spiegata da tale relazione. ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 92/ 110

Nel modello di regressione lineare semplice si assume che le

osservazioni Y , . . . , Y , riferite alla variabile risposta, siano tali che

1 n

Y = a + b x + , i = 1, . . . , n,

i i i

dove a e b sono parametri reali non noti chiamati coefficienti di

regressione, mentre x , . . . , x , nell’ottica tipica della regressione,

1 n

sono interpretati come valori noti riferiti alla variabile esplicativa.

Le quantità , . . . , , chiamate residui (errori), sono variabili

1 n 2

casuali indipendenti, con distribuzione N (0, σ ), dove la varianza

2

comune σ > 0 non è nota.

Quindi le osservazioni y , . . . , y , riferite alla variabile risposta,

1 n

sono determinazioni osservate di variabili casuali indipendenti, ma

non necessariamente identicamente distribuite,

2

Y N (a + b x , σ ), i = 1, . . . , n.

i i

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 93/ 110

Dal punto di vista del Calcolo delle probabilità, si propone un

modello per la distribuzione di probabilità della variabile risposta

Y , “condizionata” al valore assunto dalla variabile esplicativa x.

In particolare, si assume che il corrispondente valor medio risulti

specificato dalla retta di regressione y = a + bx, con intercetta a e

coefficiente angolare b.

Si noti che se b = 0, le variabili casuali Y , . . . , Y sono anche

1 n

identicamente distribuite e di fatto la variabile risposta Y non

risulta “spiegata” dalla variabile esplicativa x.

Il modello di regressione è detto lineare e semplice, poiché si

assume una relazione lineare, con riferimento alla media, e si

considera una sola variabile esplicativa (regressore).

Il modello può venire generalizzato considerando più di una

variabile esplicativa (regressione lineare multipla), introducendo

ipotesi diverse sugli errori o definendo una relazione non lineare con

riferimento alla media.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 94/ 110

Inferenza e verifica di ipotesi nella regressione lineare

Sulla base delle osservazioni y , . . . , y e x , . . . , x si possono

1 n 1 n

2

stimare i parametri non noti a, b e σ .

Gli stimatori per a e b basati sul metodo dei minimi quadrati si

ottengono con una procedura analoga a quella vista in Statistica

descrittiva e corrispondono a n

n P

P −

− − Y x nȲ x̄

(Y Ȳ )(x x̄ ) i i n n

i n i n i=1

i=1

− = ,

â = Ȳ b̂x̄ , b̂ =

n n n n 2

2

P 2

P

− −

(x x̄ ) x nx̄

i n n

i=1 i=1 i

dove Ȳ è la media campionaria di Y , . . . , Y e x̄ è la media dei

n 1 n n

valori x , . . . , x .

1 n

La retta y = â + b̂x è detta retta di regressione stimata.

2

Si noti che il coefficiente angolare b̂ = σ̂ /σ̂ , con σ̂ la

Y x Y x

x 2

covarianza campionaria di Y , . . . , Y e x , . . . , x e σ̂ la varianza

1 n 1 n x

basata su x , . . . , x . Il segno di b̂ è determinato dal segno di σ̂ .

1 n Y x

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 95/ 110

Esempio. Mais (continua). Con riferimento ai dati sulla

produzione di mais, si ha che ȳ = 68.9, x̄ = 176.4, σ̂ = 39.64

n n Y x

2 −167.01

e σ̂ = 29.64, da cui â = e b̂ = 1.34.

x 80

75

mais 70

peso 65

60 170 175 180 185

fertilizzante

Nel grafico si è disegnata la retta di regressione stimata

−167.01

y = + 1.34 x, che si adatta bene alle osservazioni. ♦

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 96/ 110

Gli stimatori â e b̂ hanno distribuzione di probabilità normale,

poiché sono combinazioni lineari di variabili casuali Gaussiane.

Inoltre, sono non distorti, cioè E(â) = a e E( b̂) = b, con varianza

ni=1 2

2 2

P x

σ σ

i

V (â) = , V (

b̂) = .

n n

2 2

2 2

P P

− −

n( nx̄ ) nx̄

x x

n n

i=1 i=1

i i

Sotto deboli ipotesi su x , . . . , x , . . ., si verifica che sono anche

1 n q

p

V (â) e se( b̂) = V ( b̂).

consistenti, con standard error se(â) =

Una volta calcolate le stime â e b̂, si possono determinare i valori

stimati dal modello ŷ = â + b̂x , i = 1, . . . , n,

i i

cioè i valori stimati della variabile risposta Y per ogni valore

osservato x e i residui stimati

i − − −

ˆ = y â b̂x = y ŷ , i = 1, . . . , n,

i i i i i

cioé la stima degli errori (residui) basata sulle osservazioni.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 97/ 110

2

Una stima per la varianza σ coinvolge i residui stimati elevati al

quadrato e corrisponde a n n

2 2

P P

(y ŷ )

ˆ

i i

2 i

i=1 i=1

s = = .

− −

n 2 n 2

2

Lo stimatore corrispondente S è non distorto e consistente. 2

Gli standard error stimati di â e b̂ si ottengono rimpiazzando σ

2

con s : s s

ni=1 2

2 P 2

s x s

i , se(

ˆ b̂) = .

se(â)

ˆ = n n

2 2

2 2

P P

− −

n( x nx̄ ) nx̄

x

n n

i=1 i=1

i i

Esempio. Mais (continua). I valori stimati dal modello ŷ e i

i

residui stimati

ˆ corrispondono a:

i

ŷ 61.68 59.00 75.06 64.35 71.04 73.71 80.40 77.73 60.34 65.69

i

ˆ -1.68 -2.00 -4.05 1.65 -6.04 4.29 1.60 0.27 1.66 4.31

i

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 98/ 110

2

Quindi, la stima per la varianza è s = 13.09, mentre gli standard

error stimati di â e b̂ sono se(â)

ˆ = 37.10 e se(

ˆ b̂) = 0.21. ♦

Valgono i seguenti risultati, che risultano utili per definire intervalli

di confidenza e procedure di verifica di ipotesi per a e b:

− −

â a b̂ b

∼ − ∼ −

t(n 2), t(n 2).

se(â)

ˆ se(

ˆ b̂)

In particolare, si può determinare facilmente un intervallo di

confidenza per b con livello 1 α, che corrisponde a

[

b̂ t se(

ˆ b̂), b̂ + t se(

ˆ b̂)],

α/2 α/2

con t valore critico tale che P (T t ) = α/2, dove

α/2 α/2

∼ −

T t(n 2).

In modo analogo si definiscono gli intervalli di confidenza per a.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 99/ 110

È possibile considerare opportune procedure di verifica di ipotesi su

a e b. Con riferimento a b si considera l’ipotesi nulla

H : b = 0,

0

a fronte di una ipotesi alternativa H , bilaterale o unilaterale, ad

1

un livello di significatività α fissato.

L’ipotesi H indica assenza di dipendenza lineare tra Y e x ed

0

evidenzia la non adeguatezza del modello di regressione in esame.

Si considera la statistica test b̂ ,

T = se(

ˆ b̂)

che, sotto H , ha distribuzione t(n 2).

0

La regione di rifiuto e il livello di significatività osservato si

determinano come nel caso del test t sulla media, con l’unica

differenza che i gradi di libertà sono n 2.

Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica - Parte 2, 2010-2011 — P. Vidoni 100/ 110


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DESCRIZIONE DISPENSA

La dispensa fa riferimento alle lezioni di Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica, tenute dal Prof. Paolo Vidoni, nell'anno accademico 2011.
Il documento è dedicato alla inferenza statistica.
Tra gli argomenti affrontati: stima puntuale, controllo di qualità, stima intervallare, errore standard.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in tecniche di radiologia medica per immagini e radioterapia
SSD:
Università: Udine - Uniud
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher lenlauret di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica per la ricerca sperimentale e tecnologica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Udine - Uniud o del prof Vidoni Paolo.

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